Van der Waerden's Theorem on Homothetic copies of {1,1+s, 1+s+t}
T.C.布朗，B.M. Landman和M.密西拿提出了一个问题，单色位似副本{1，1 +s，1+s+t}。我们完全解决了这个问题。
2004-10-19 math.CO
An Algebraic Proof of the Polynomial Version of van der Waerden's Theorem
针对范德瓦尔登定理的多项式版本，本文引入符号多项式，给出了一种仅基于无限离散半群Stone-Čech紧化的替代代数证明，为该定理提供了新的证明路径。
2025-10-22 math.CO
A note on the van der Waerden complex
埃斯波伯格、戈文达雅、帕克和雷迪最近引入了范德瓦尔登复形，这是一种纯单纯复形，其面对应于等差数列。使用组合交换代数的技术，我们分类时，这些纯单纯复形是顶点可分解或不科恩-麦考利。作为一个推论，我们分类的范德瓦尔登复壳。
2017-07-24 math.AC math.CO
The van der Waerden complex
我们引入范德瓦尔登复形${\rm vdW}(n,k)$定义为单纯复形，其刻面对应于顶点集$\{1, 2, \ldots, n\}$中长度$k$的等差数列。证明了范德瓦尔登复形${\rm vdW}(n,k)$同伦等价于$CW$复形，其胞元的维数渐近至多为$\log k / \log \log k$ .此外，我们给出了$n$和$k$的界，这意味着van der Waerden复形是可收缩的.
2016-10-20 math.CO math.NT
Anti-van der Waerden numbers on Graphs
本文将整数和模n整数的等差数列推广到图上。这允许定义图的反范德瓦尔登数。本文的重点是3-term等差数列，一般的边界得到的基础上的半径和直径的图。改进了树和笛卡儿积的一般界，并确定了某些图类的精确值。考虑了较大k项的等差数列，建立了路的Ramsey数与图的反van der Waerden数之间的联系.
2019-06-21 math.CO
A Canonical Polynomial Van der Waerden's Theorem
我们证明了一个典型多项式范德瓦尔登定理。更准确地说，我们展示了以下内容。令$\{p_1(x),\ldots,p_k(x)\}$是一组多项式，使得对于每个$i\in \{1,\ldots,k\}$，$p_i(x)\in \mathbb{Z}[x]$和$p_i(0)=0$。然后，在$\mathbb{Z}$的任何着色中，存在$a,d\in \mathbb{Z}$，使得$\{a+p_1(d),\ldots,a+p_{k}(d)\}$形成单色或彩虹集。
2020-04-16 math.CO
On Polynomial Extensions of van der Waerden's Theorem and its Applications
该研究对van der Waerden定理进行多项式推广，证明了$IP_r^\star$-强化版本的多项式van der Waerden定理，得到加性与乘性情形下新的单色多项式构型及指数单色构型丰富的结论。
2025-07-30 math.CO
The shifted primes and the multidimensional Szemeredi and polynomial van der Waerden theorems
在这个简短的说明，我们建立新的改进多维Szemeredi和多项式范德瓦尔登定理沿移位素数。
2010-11-30 math.CO math.DS
Some New Exact van der Waerden Numbers
对于正整数$r,k_0,k_1,...,k_{r-1},$，范德瓦尔登数$w(k_0,k_1,...,k_{r-1})$是最小正整数$n$，使得每当$\{1,2,...,n\}$被划分成$r$集合$S_{0},S_{1},...,S_{r-1}$时，存在一些$i$，使得$S_i$包含$k_i$ -项等差数列。我们发现了几个新的精确值的$w(k_0,k_1,...,k_{r-1})$。此外，对于只有一个$k_i$值不等于2的情况，我们给出了van der Waerden函数的精确公式（只要$k_i$的这一个值不太小）
2005-07-01 math.CO
A Van der Waerden-free proof of Rado's theorem
Università di Pisa（比萨大学）；Università di Milano（米兰大学）
本文给出线性丢番图方程分划正则性Rado条件充分性的证明，未用范德瓦尔登定理，仅应用紧致性原理，属初等证明。
2026-08-12 math.CO
New Lower Bounds for van der Waerden Numbers Using Distributed Computing
本文利用Rabung方法给出了vanderWaerden数的新的下界，该方法基于模某个素数的离散对数着色.通过一个分布式计算项目，500名志愿者在一年多的时间里，我们检查了多达9.5亿个素数，而之前的工作是2700万个。我们指出，$r$颜色和级数长度$k$的范德瓦尔登数大约是$r^k$的证据。
2022-11-20 cs.DC math.CO
On a Generalization of the van der Waerden Theorem
对于给定的长度和次数以及正整数的任意划分，总有一个单元包含该长度和该次数的多项式级数;此外，生成多项式的系数可以从给定的半群中选择，并且可以规定出现幂。一个多维的版本包括在内。
2007-03-28 math.CO
Restricted van der Waerden theorem for nilprogressions
本文肯定回答了关于幂零数列的限制性范德瓦尔登定理对任意秩均成立的猜想。
2024-08-26 math.CO
Translation invariant filters and van der Waerden's Theorem
我们提出了一个强版本的范德瓦尔登定理的一个自包含的证明。通过使用平移不变过滤器是最大的关于包含，一个简单的归纳论证表明存在“分段syndetically”-许多单色等差数列的任何长度k的自然数的每一个有限着色。所有提出的结构是建设性的性质，在这个意义上说，所涉及的极大滤子的定义由适当的可数代数集的递归。不需要使用选择选择公理或佐恩引理。
2020-01-16 math.CO
A New Lower Bound for van der Waerden Numbers
本文证明了vanderWaerden数的一个新的递推关系式$w(r,k)$ .特别地，如果$p$是素数且$p\leq k$则为$w(r, k) > p \cdot \left(w\left(r - \left\lceil \frac{r}{p}\right\rceil, k\right) -1\right)$。当$r \leq p$时，这个递归给出了下界$w(r, p+1) > p^{r-1}2^p$，这推广了Berlekamp关于2-着色的定理，并给出了$r$的大区间的最佳已知界。递归也可以用来构造显式的有效着色，它改善了已知的小范德瓦尔登数的下界。
2017-10-25 math.CO
A new ultrafilter proof of Van der Waerden's theorem
Dipartimento di Matematica Università di Pisa（比萨大学数学系）
本文通过超滤子理论提供了一个简短的新证明，用于展示Van der Waerden定理中任意长单色等差数列的存在性。
2026-03-04 math.CO math.LO
A subexponential upper bound for van der Waerden numbers W(3,k)
我们证明了范德瓦尔登数$W(3,k):$的一个改进的上估计，存在一个绝对常数$c>0$，使得如果$\{1,\dots,N\}=X\cup Y$是一个划分，使得$X$不包含任何长度为$3$的等差数列，$Y$不包含任何长度为$k$的等差数列，则$$N\le \exp(O(k^{1-c}))\,.$$
2020-06-04 math.CO math.NT
Van der Waerden Conjecture for Mixed Discriminants
我们证明了半定Hermitian $n \times n$矩阵的双随机$n$ -元组的混合判别式由$\frac{n!}{n^{n}}$下有界，并且这个界在$n$ -元组$(\frac{1}{n} I,...,\frac{1}{n} I)$上是唯一的。这一结果解决了R. 1989年的巴帕特。我们考虑这个结果的各种推广和应用。
2004-06-21 math.CO
Zero-sum Analogues of van der Waerden's Theorem on Arithmetic Progressions
令$r$和$k$是正整数，其中$r \mid k$。用$w_{\mathrm{\mathfrak{z}}}(k;r)$表示最小整数，使得每个着色$χ:[1,w_{\mathrm{\mathfrak{z}}}(k;r)] \rightarrow \{0,1,\dots,r-1\}$允许一个$k$项等差数列$a,a+d,\dots,a+(k-1)d$，其中$\sum_{j=0}^{k-1} χ(a+jd) \equiv 0 \,(\mathrm{mod }\,r)$。我们调查这些数字以及一个“混合”单色/零和模拟。我们还提出了一个有趣的vanderWaerden数和$w_{\mathrm{\mathfrak{z}}}(k;r)$之间的互惠关系。
2018-02-09 math.CO
A sharp threshold for van der Waerden's theorem in random subsets
我们建立了van der Waerden定理在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$随机子集上的阈值的锐度。更准确地说，对于$k\geq 3$和$Z\subseteq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，如果$Z$的任何二次着色产生长度为$k$的单色等差数列，则我们说$Z$具有范德瓦尔登性质。Rödl和Rucibrski（1995）确定了对于任意k的这个性质的阈值，我们证明了这个阈值是尖锐的。这个证明是基于Friedgut的锐阈值标准（1999），以及Balogh，Morris和Samotij（2015）以及Saxton和Samoason（2015）最近开发的超图中独立集的容器方法。
2017-11-13 math.CO
Anti-van der Waerden Numbers of Graph Products of Cycles
图$G$中的$k$ -项算术级数（$k$ -AP）是一个顶点列表，使得每个连续的顶点对相距相同的距离。如果$c$是$G$的顶点的着色函数，并且$G$中的$k$ -AP使每个顶点着色不同，则该$k$ -AP是彩虹$k$ -AP。图$G$关于$k$的反van der Waerden数是最小正整数$r$，使得每一个具有域$V(G)$和余域$\{1,2,\dots,r\} = [r]$的满射染色都保证有彩虹$k$ -AP.本文重点研究了$3$ -AP和带圈图产品。具体地，精确地确定$P_m \square C_n$、$C_m\square C_n$和$G\square C_{2n+1}$相对于$3$的反范德瓦尔登数。
2022-05-23 math.CO
A classification of van der Waerden complexes with linear resolution
本文给出了具有线性分解的 van der Waerden 复形的完整分类，并证明了 Cohen--Macaulay van der Waerden 复形的 Stanley--Reisner 环是 level 的。
2025-03-05 math.AC math.CO
Combinatorial Structures on van der Waerden sets
在本文中，我们提供了两个结果。第一个是Furstenberg-Weiss定理的无限版本。更精确地说，我们表明，每一个子集$A$的齐次树$T$，使$\frac{|A\cap T(n)|}{|T(n)|}\geqδ$，其中T（n）表示$T$的$n$ -th水平，对所有$n$在一个范德瓦尔登集，对一些积极的实$δ$，包含一个强的子树具有形成一个范德瓦尔登集的水平集。第二个结果如下。对于每个正整数序列$(m_q)_{q}$和每个实$0<δ\\leq1$，存在正整数序列$(n_q)_{q}$，使得对于对于范德瓦尔登集合中的每个$k$满足$$\frac{\big{|}D\cap \prod_{q=0}^{k-1} [n_q]\big{|}}{\prod_{q=0}^{k-1}n_q}\geqδ$$的每个$D\subseteq \bigcup_k\prod_{q=0}^{k-1}[n_q]$，存在序列$(J_q)_{q}$，其中$J_q$是对于所有$q$包含在$[n_q]$中的长度$m_q$的算术级数，使得对于范德瓦尔登集合中的每个$k$满足$\prod_{q=0}^{k-1}J_q\subseteq D$。此外，在一个抽象的设置工作，我们得到$J_q$是任何配置的自然数，可以发现在一个任意的正密度。
2013-06-20 math.CO
Improved lower bounds for van der Waerden numbers
最近，Ben Green证明了双色van der Waerden数$w(3,k)$由$k^{b_0(k)}$从下有界，其中$b_0(k) = c_0\left(\frac{\log k }{\log \log k}\right)^{1/3}$。利用$b(k) = \frac{c\log k}{\log \log k}$证明了$k^{b(k)}$的一个新的下界.这是通过修改格林的论点，取代一个复杂的结果随机二次型与一个基本的概率结果。
2022-08-21 math.CO math.NT
Three-color van der Waerden numbers grow super-exponentially
Stanford University（斯坦福大学）；ETH, Zr̈ich（苏黎世联邦理工学院）
通过构造一个前 $2^{k (\log^* k)/4}$ 个正整数的三着色不含单色 $k$ 项等差数列，证明三色 van der Waerden 数 $w(k;3)$ 的增长速度快于任何指数函数，并给出多色 van der Waerden 数的新下界，解决了 Erdős 和 Graham 关于典范 van der Waerden 数的问题。
2026-06-01 math.CO math.NT
Multi-recurrence and van der Waerden systems
我们探讨递归性质所产生的动力学方法的组合问题，如范德瓦尔登定理。我们描述这些属性之间的关系，研究其后果的动态，并展示连接到组合问题。特别是，我们提出了一个测度理论的模拟结果的多传递性的拓扑弱混合极小映射。我们还得到了Banach密度为零的C-集的存在性的动力学证明。
2016-09-02 math.CO math.DS
Anti-van der Waerden numbers of 3-term arithmetic progressions
用$aw([n],k)$表示的\emph{anti-van der Waerden number}是最小的$r$，使得$[n]$的每个精确$r$ -着色都包含彩虹$k$ -项算术级数. Butler et.等人证明了$\lceil \log_3 n \rceil + 2 \le aw([n],3) \le \lceil \log_2 n \rceil + 1$，并证明了存在一个常数$C$，使得$aw([n],3) \le \lceil \log_3 n \rceil + C$。本文通过对所有$n$确定$aw([n],3)$，证明了这一猜想的正确性.我们证明了对于$7\cdot 3^{m-2}+1 \leq n \leq 21 \cdot 3^{m-2}$，\[ aw([n],3)=\left\{\begin{array}{ll} m+2, & \mbox{if $n=3^m$}\\ m+3, & \mbox{otherwise}. \end{array}\right.\]
2016-04-29 math.CO
New lower bounds for van der Waerden numbers
我们发现，有一个红蓝色的$[N]$没有蓝色的3项等差数列，没有红色的等差数列长度$e^{C(\log N)^{3/4}(\log \log N)^{1/4}}$。因此，双色范德瓦尔登数$w(3,k)$由$k^{b(k)}$限定，其中$b(k) = c \big( \frac{\log k}{\log\log k} \big)^{1/3}$。以前曾推测，数据支持，$w(3,k) = O(k^2)$。
2022-06-16 math.CO math.NT
Van der Waerden's theorem on arithmetic progressions -- a survey of some historical and modern developments
综述范德瓦尔德定理的历史起源及其在Ramsey理论中的影响，探讨其在不同研究领域的联系及引发的重要成果。
2026-03-26 math.CO math.DS math.NT
A blurred view of Van der Waerden type theorems
设$AP_k=\{a,a+d,\ldots,a+(k-1)d\}$是一个等差数列。对于$ε>0$，我们称一个集合$AP_k(ε)=\{x_0,\ldots,x_{k-1}\}$为$ε$ -近似等差数列，如果对于某些$a$和$d$，$|x_i-(a+id)|<εd$对所有$i\in\{0,1\ldots,k-1\}$成立。作为对Dumitrescu先前结果的补充，本文研究了Van der Waerden，Szemeredi和Furstenberg Katznelson等结果的数值方面，其中等差数列及其高维扩展被其$ε$ -近似所取代.
2021-09-14 math.CO math.NT
Random Van der Waerden Theorem
本文证明了随机Van der Waerden定理：对于$q_1 \geq q_2 \geq \dotsb \geq q_r \geq 3 \in \mathbb{N}$，存在$c,C >0$，使得\[ \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}([n]_p \rightarrow (q_1,\dotsc, q_r)) = \begin{cases} 1 & \text{if } p \geq C \cdot n^{-\frac{q_2}{q_1(q_2-1)}}, 0 & \text{if } p \leq c \cdot n^{-\frac{q_2}{q_1(q_2-1)}}, \end{cases}\]推广了Rödl和Rucibrski关于对称情形$q_i = q$的结果. 1-陈述的证明是基于Balogh、Morris和Samotij以及Saxton和Mesason的超图容器方法。0-陈述的证明是Rödl和Rucibrski对对称情况的论证的扩展。
2021-07-12 math.CO
Bounds on Van der Waerden Numbers and Some Related Functions
对于正整数$s$和$k_1, k_2, ..., k_s$，令$w(k_1,k_2,...,k_s)$是最小整数$n$，使得任何$s$ -着色$\{1,2,...,n\} \to \{1,2,...,s\}$允许对某些$i$，$1 \leq i \leq s$，有一个$k_i$ -项的颜色$i$的算术级数.在$k_1=k_2=...=k_s=k$的情况下，我们简单地写为$w(k;s)$。这样一个最小整数的存在是由范德瓦尔登的算术级数定理得出的。在本文中，我们给出了一个下界的$w(k,m)$为每个固定的$m$。我们包括一个表，其中$w(k,3)$的值与$5 \leq k \leq 16$的下限密切匹配。对于任意固定的$k$，我们还给出了$w(k,4)$的上界、$w(4;s)$的上界和$w(k;s)$的下界.我们讨论了一些与van der Waerden函数密切相关的其他函数。
2007-06-29 math.CO
On the Independence Numbers of the Cyclic Van der Waerden Hypergraphs
本文提出一种构造不含循环等差数列子集的方法，为子集最大规模提供下界，并借此紧密界定色数及提高循环Van der Waerden数的下界。
2025-09-17 math.CO
On the degree of regularity of generalized van der Waerden triples
令$1 \leq a \leq b$为整数。形式为$(x,ax+d,bx+2d)$的三元组称为{ \em（a，b）-三元组}，其中$x,d$是正整数。所有$(a,b)$ -三元组族的{ \em正则度}记为dor（$a,b)$），是使得$\mathbb{N}$的每个$r$ -着色都允许单色$(a,b)$ -三元组的最大整数$r$.我们解决，在肯定的，猜测，或$(a,b) < \infty$为所有$(a,b) \neq (1,1)$。我们还证明了dor（$a,b) \in \{1,2,\infty\}$）对所有$(a,b)$都成立的猜想是错误的.
2005-07-28 math.CO
Superfilters, Ramsey theory, and van der Waerden's Theorem
超滤子是广义的超滤子，它包含了范德瓦尔登定理等Ramsey理论中的基本概念。我们建立了超滤子的几个性质，推广了自然数上的Ramsey定理及其变形。我们用它们来证实Kočinac和Di Maio的一个猜想，这是Scheepers关于开覆盖选择的Ramsey理论结果的推广。在Bergelson和Hindman的1989年定理之后，我们给出了Ramsey，van der Waerden，Schur，Folkman-Rado-Sanders，Rado等人的定理的一个新的同时推广，其中色集可以比自然数的全集小得多.
2011-08-22 math.CO math.DS math.GN
On the van der Waerden numbers w(2;3,t)
给出了vanderWaerden数w（2;3，t）和新的回文vanderWaerden数pdw（2;3，t）的结果和图解.我们已经计算出新的数w（2; 3，19）= 349，并且我们提供了20 <= t <= 39的下界，其中对于t <= 30，我们推测这些下界是精确的。24 <= t <= 30的下界反驳了w（2;3，t）<= t^2的猜想，并提出了一个改进的猜想.我们还调查了好的分区（证书）中的错误，以更好地理解下界。受这些规则的启发，我们引入 * 回文范德瓦尔登数 * pdw（k; t_0，.，t_{k-1}），定义为普通范德瓦尔登数w（k; t_0，.，t_{k-1}），然而仅允许回文解（良好分区），其定义为从两端读取相同。与普通范德瓦尔登数的情况不同，这些“数”实际上需要是数对。我们计算pdw（2;3，t），其中3 <= t <= 27，并且我们提供下界，其中我们推测t <= 35是精确的。所有的计算都是基于SAT求解，并讨论了SAT求解与拉姆齐理论之间的各种关系。特别是我们介绍了一种新的（开源）SAT求解器，tawSolver，它在这里研究的SAT实例上表现最好，实际上是原始的DLL求解器，但具有高效的实现和现代启发式典型的前瞻求解器（应用第二作者的SAT手册文章中开发的理论）。
2014-03-05 cs.DS math.CO
On Generalized Van der Waerden Triples
Van der Waerden关于等差数列的经典定理指出，对于任何正整数k和r，存在最小正整数w（k，r），使得{1，2，.，w（k，r）}必须包含单色k项等差数列{x，x+d，x+2d，.，x+（k-1）d}。我们研究W（3，r）的以下推广。对于固定的正整数a和b，其中a <= b，定义N（a，b;r）为最小正整数，如果它存在，使得{1，2，.，N（a，b;r）}必须包含形式为{x，ax+d，bx+2d}的单色集合。我们证明了N（a，b; 2）存在的充要条件是b <> 2a，并给出了它的上界和下界，然后证明了对于一个大类的对（a，b），当r足够大时，N（a，b;r）不存在.我们还给出了关于{x，ax+d，ax+2d，.，ax+（k-1）d}。
1999-10-19 math.CO
Lower Bounds on the van der Waerden Numbers: Randomized- and Deterministic-Constructive
范德瓦尔登数W（k，2）是使1到n的每一个2-着色都有长度为k的单色等差数列的最小整数n。存在这样的n为任何k是由于范德瓦尔登，但已知的上界对W（k，2）是巨大的。大量的努力被投入到开发W（k，2）的下界。大多数这些下界证明采用概率方法，往往结合洛瓦茨局部引理。虽然这些证明表明存在一个2-着色，没有单色等差数列的长度为k，他们没有提供有效的算法来找到这样的着色。这类证明通常被非正式地称为非构造性证明，与提供有效算法的构造性证明相反。本文澄清了这些概念，并给出了不同类型的建设性证明的确定性和随机化的建设性证明的定义。然后，我们调查文献的下界W（k，2）在这个光。我们展示了如何已知的非建设性的下界证明的基础上的Lovász局部引理可以随机建设性使用最近的算法的Moser和Tardos。我们还使用一个去随机化的Errasekaran，戈亚尔和Haeupler这些证明转化为确定性建设性的证明。我们为这些算法提供了大大简化和完全独立的证明和描述。
2011-04-07 math.CO
Full classification of anti-van der Waerden numbers of graph products of forests
本文研究了图乘积的反范德瓦尔登数，完成了两棵树乘积$\operatorname{aw}(T\square T',3)$的刻画，并将该结果扩展到森林乘积的完整分类。
2025-03-31 math.CO
New Bounds on van der Waerden-type Numbers for Generalized 3-term Arithmetic Progressions
设a和b是正整数，a \leq b。一个（a，b）-三元组是一个集合{x，ax+d，bx+ 2d}，其中x，d \geq 1.定义T（a，b;r）为最小正整数n使得{1，2.，n}包含单色（a，b）-三元组。早期的结果给出了T（a，b;2）的一个上界，它是b和a的四次多项式，以及一个二次下界。给出了T（a，b;2）的一个新的二次上界.此外，下界的情况下，a = b，更新的表格提供，并提出了开放的问题。
2012-01-19 math.CO
On generalizing the Van der Waerden theorem to some symmetric functions
本文研究模n整数环上无限序列中是否存在m个等长连续块，使每块的和加c倍积为零，几乎完整回答了Alon部分解决的问题，并给出范德瓦尔登定理的其他推广例子。
2025-11-11 math.CO math.NT
A sparse canonical van der Waerden theorem
University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
本文研究了稀疏集合在规范van der Waerden性质下的阈值，证明了二项随机子集几乎必然继承该性质，并构造了具有高圈长的超图。
2026-04-26 math.CO math.NT
A new lower bound for two-color van der Waerden numbers
IMPA（巴西数学研究所）；Department of Mathematics, Stanford University（斯坦福大学数学系）
该研究证明了对所有正整数$k$，双色范德瓦尔登数$w(k) \geq (1-o(1))k2^{k-1}$，验证了埃尔德什的猜想，其一般$k$的染色方法基于Berlekamp1968年的素数相关结论。
2026-08-24 math.CO math.NT
Fast winning strategies in a generalized van der Waerden game
Auburn University（奥本大学）
研究广义瓦尔德韦因游戏中的获胜策略，证明当$|S|\leq 3$时制胜者可在$|S|$回合内获胜，当$|S|=4$时可在5回合内获胜，而$|S|\geq 5$时无此类策略。
2026-01-27 math.CO
Van der Waerden type theorem for amenable groups and FC-groups
本文针对离散可数顺从群证明其直积有限着色时存在左IP*型单色构型，部分解决Bergelson-McCutcheon猜想，并将结论推广至FC-群的任意有限直积。
2024-11-24 math.CO math.GR
Polynomial extension of Van der Waerden's Theorem near zero
本文证明了Van der Waerden定理在零点附近的多项式版本，表明在实数稠密子环中，满足特定正性条件的多项式族在有限划分下必能找到包含特定多项式组合的单元。
2025-08-12 math.CO
Anti-van der Waerden Numbers of Graph Products with Trees
本文研究图乘积的反范德瓦尔登数，针对树与树、一般图与树的笛卡尔积情形确定了$aw(G\square H,3)$的精确值。
2023-10-31 math.CO
Application of Hales-Jewett theorem near 0
著名的van der Waerden定理指出，如果将N划分为n个单元，则其中一个单元将包含任意长度的等差数列。它也有一个多项式版本。在这篇文章中，我们将证明近0版本的多项式范德瓦尔登定理，这是未解决的，使用组合。
2020-05-08 math.CO
Rainbow Arithmetic Progressions in Finite Abelian Groups
对于正整数$n$和$k$，$\mathbb{Z}_n$的\emph{anti-van der Waerden number}，用$aw(\mathbb{Z}_n,k)$表示，是为阶为$n$的循环群的元素着色并保证存在长度为$k$的彩虹算术级数所需的最小颜色数。Butler等人根据$n$的素因子给出了$aw(\mathbb{Z}_{n},3) = 3$的约化公式。本文类比地定义了有限交换群$G$的反van der Waerden数，并证明了$aw(G,3)$由$G$的阶和同构于$G$的偶数阶直和群的个数决定.还定义和确定了组的\emph{unitary anti-van der Waerden number}。
2016-03-26 math.CO
A proof of hyperbolic van der Waerden conjecture : the right generalization is the ultimate simplification
考虑$n$复变量中的次数为$n$的齐次多项式$p(z_1,...,z_n)$。假设该多项式满足属性：\\$|p(z_1,...,z_n)| \geq \prod_{1 \leq i \leq n} Re(z_i)$在域$\{(z_1,...,z_n) : Re(z_i) \geq 0, 1 \leq i \leq n \}$上。证明了$|\frac{\partial^n}{\partial z_1...\partial z_n} p | \geq \frac{n!}{n^n}$.我们的证明相对较短且独立（即我们只使用双曲多项式的基本性质）。作为范德瓦尔登猜想的永久式，证明了D. I。Falikman和G.P. Egorychev以及作者证明的Bapat关于混合判别式的猜想都是这个结果的特例。我们还证明了所谓的“小秩”下界（在持久性上下文中，它对应于稀疏双随机矩阵，即在每列中具有少量的非零条目）。后一个下界推广了最近由A. Schrijver提出的$k$-正则二部图的完美匹配数的下界（证明简单）.我们提出了一些重要的算法应用的结果，包括多项式时间的确定性算法近似永久的$n \times n$非负条目明智的矩阵内的乘法因子$\frac{e^n}{n^m}$任何固定的积极$m$。
2005-08-15 math.CO math.OC
An improved lower bound for the van der Waerden number $w(3,k)$
Zhejiang University（浙江大学）
本文证明了 van der Waerden 数 $w(3,k)$ 的下界为 $k^{\Omega(\log k)}$，改进了此前的结果，并支持 $k^{\Theta(\log k)}$ 为正确数量级的猜想。
2026-09-29 math.CO
Van der Waerden/Schrijver-Valiant like Conjectures and Stable (aka Hyperbolic) Homogeneous Polynomials : One Theorem for all
令$p$是$n$变量$p(z_1,...,z_n) = p(Z)$、$Z \in C^{n}$中的次数$n$的齐次多项式。如果$p(z_1,...,z_n) \neq 0$提供了实部$Re(z_i) > 0, 1 \leq i \leq n$，我们称这样的多项式为$p$ { \bf H-稳定}。这个来自{PDMATHAMT控制理论}的概念与{PDMATHAMT PDE}理论中密集使用的{PDMATHAMT双曲性}概念密切相关。本文的主要定理是：如果$p(x_1,...,x_n)$是一个具有非负系数的齐次{ \bf H-Stable} $n$多项式; $deg_{p}(i)$是变量$x_i$的最大程度，那么下面的不等式成立$C_i = \min(deg_{p}(i),i)$这个不等式是一个巨大的（和统一）推广的范德瓦尔登猜想的永久性的双重随机矩阵以及Schrijver-关于$k$ -正则二部图中完美匹配数的Valiant猜想。这两个著名的结果对应于{ \bf H-稳定}多项式是产品的线性形式。我们的证明是相对简单和“非计算性的”;它只使用了复数和AM/GM不等式的非常基本的性质。
2008-05-13 math.AG math.CO
Katětov order between Hindman, Ramsey, van der Waerden and summable ideals
本文研究 Hindman、Ramsey、可和与 van der Waerden 理想的 Katětov 序关系，证明前三者两两不可比，且它们均不低于 van der Waerden 理想。
2023-07-13 math.CO math.LO
Formulating Szemerédi's Theorem in Terms of Ultrafilters
范德瓦尔登定理断言，如果你用五种不同的颜色给自然数着色，那么你总是可以找到任意长的具有相同颜色的数字序列，它们形成一个等差数列。Szemerédi定理推广了这一说法，并断言每一个具有正密度的自然数子集都包含任意长度的等差数列。范德瓦尔登定理可以用初等组合学证明，但也可以用超滤子和斯通-切赫紧化βN给出解释和简短证明。这篇毕业论文给出了一个解释Szemerédi定理方面的超滤波器以及。特别地，van der Waerden定理等价于存在一个具有特殊性质的超滤子，我们将证明Szemerédi定理等价于这样一个事实，即关于βN上的计数测度，几乎所有的超滤子都具有这些性质。
2012-06-05 math.CO math.FA
