van der Waerden 数 $w(3,k)$ 的改进下界

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对于整数 $k\ge 3$，设 $w(3,k)$ 为最小的 $n$，使得对 $[n]$ 的任意红蓝染色，要么包含一个非平凡的蓝色三项等差数列，要么包含一个非平凡的红色 $k$ 项等差数列。Green 最近的一个突破性结果证明了当 $k$ 较大时 $w(3,k)\ge k^{\Omega\left(\left(\frac{\log k}{\log\log k}\right)^{1/3}\right)}$，随后 Hunter 将下界改进为 $w(3,k)\ge k^{\Omega\left(\frac{\log k}{\log\log k}\right)}$。另一方面，Green 指出有理由相信 $w(3,k)\le k^{O(\log k)}$。我们证明了 $w(3,k)\ge k^{\Omega(\log k)}$，这可能为 $k^{\Theta(\log k)}$ 是正确的数量级提供了一些证据。

英文摘要

For an integer $k\ge 3$, let $w(3,k)$ be the least $n$ such that every red-blue coloring of $[n]$ contains either a nontrivial three-term arithmetic progression in blue or a nontrivial $k$-term arithmetic progression in red. A recent breakthrough of Green proved that $w(3,k)\ge k^{Ω\left(\left(\frac{\log k}{\log\log k}\right)^{1/3}\right)}$ when $k$ is large, and Hunter later improved the bound to $w(3,k)\ge k^{Ω\left(\frac{\log k}{\log\log k}\right)}$. On the other hand, Green remarked that it is reasonable to believe that $w(3,k)\le k^{O(\log k)}$. We prove that $w(3,k)\ge k^{Ω(\log k)}$, which perhaps gives some evidence that $k^{Θ(\log k)}$ is the correct order of magnitude.

发表机构

• Zhejiang University（浙江大学）

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