We provide a new analytical approach to operator splitting for equations of the type $u_t=Au+u u_x$ where $A$ is a linear differential operator such that the equation is well-posed. Particular examples include the viscous Burgers' equation, the Korteweg-de Vries (KdV) equation, the Benney-Lin equation, and the Kawahara equation. We show that the Strang splitting method converges with the expected rate if the initial data are sufficiently regular. In particular, for the KdV equation we obtain second-order convergence in $H^r$ for initial data in $H^{r+5}$ with arbitrary $r\ge 1$.
New bounds for the inhomogenous Burgers and the Kuramoto-Sivashinsky equations
本文对文献[F. Otto，“Optimal bounds on the Kuramoto-Sivashinsky equation”，JFA 2009]，同时略微改进了结果。上述论文中的结果依赖于两个成分：毛细管Burgers的正则性估计和非均匀无粘Burgers方程的新先验估计，该估计表明在许多方面保守输运非线性充当强制项。这是证明的第二个成分，我们大大简化证明一个修改后的卡门-豪沃思-莫宁身份的解决方案的非齐次无粘伯格斯方程。这对[F.戈尔塞湾Perthame“标量守恒律的最佳正则化效应”，Rev. Mat。伊伯，2013年]。
Dissipation vs. quadratic nonlinearity: from a priori energy bound to higher-order regularizing effect
我们考虑一类相当普遍的进化偏微分方程涉及耗散（可能是分数阶），这与二次非线性的整体方程的规律性竞争。这包括Burgers方程、Navier-斯托克斯方程、地面准地转方程和Keller-Segel趋化性模型。在这里，我们建立了一个Petrowsky型抛物估计，这类方程需要一个精确的时间衰减高阶Sobolev规范这类方程。为此，我们引入了一个新的主要工具，即无限阶能量泛函E（t）：= n α n t^n|（-Δ）^{nθ/2} u（*，t）|_{H^{β_c}}，得到适当的临界正则性指数β_c。它捕捉到了u（*，t）的所有高阶导数的正则化效果，通过证明-对于一个仔细的、依赖于问题的权重{α_n}的选择，E（t）是不随时间增加的。
The regularizing effects of resetting in a particle system for the Burgers equation
研究了Burgers方程随机粒子系统的耗散机制。粘性Burgers和斯托克斯方程的速度场可以表示为基于噪声粒子轨迹的随机过程的期望值[Constantin和Iyer Comm. Pure Appl.Math.3（2008）330-345]。在本文中，我们研究了一个粒子系统的粘性Burgers方程使用上述的蒙特卡洛版本，我们考虑N个副本的上述随机流，每个驱动独立的维纳过程，并取代期望值与$\frac{1}{N}$倍的总和超过这些副本。Mattingly和本文的第一作者[Iyer and Mattingly Nonlinearity 21（2008）2537-2553]研究了Navier-斯托克斯方程的类似构造。令人惊讶的是，对于任何有限的N，伯格斯方程的粒子系统几乎必然在有限时间内发生冲击。与完全期望值相比，经验平均值$\frac{1}{N}\sum_1^N$不足以正则化系统以确保时间全局解。为了避免这些冲击，我们考虑一个重置程序，乍一看应该没有正规化的影响。然而，我们证明，这一程序可以防止任何$N\geq2$的冲击的形成，因此作为$N\to\infty$，我们得到收敛的粘性Burgers方程的解决方案在很长的时间间隔。
Inverse initial problem for fractional reaction-diffusion equation with nonlinearities
研究了一类分数阶反应扩散方程的初始反问题，即由已知的最终解（$t = T$）求出方程的解及其初值（$t = 0$）.我们的工作集中在两种情况下温和的解决方案的存在性和正则性：\begin{itemize} \item[--] The first case: The nonlinearity is globally Lipschitz and uniformly bounded which plays important roles in PDE theories, and especially in numerical analysis. \item[--] The second case: The nonlinearity is locally critical which widely arises from the Navier-Stokes, Schrödinger, Burgers, Allen-Cahn, Ginzburg-Landau equations, etc. \end{itemize}我们的解决方案是本地的时间，并通过不动点参数在适当的功能空间。其核心思想是结合Mittag-Leffler函数和分数Sobolev嵌入理论。最后，将所得结果应用于时间分数阶Navier-Stokes方程和Allen-Cahn方程，验证了本文方法的有效性.
Polynomial mixing for stochastic viscous conservation law equation on the whole line
School of Mathematics and Statistics, Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Northeast Normal University（东北师范大学数学与统计学院、数学与交叉科学中心）；Department of Mathematics, Southern University of Science and Technology（南方科技大学数学系）
Convergence of a least-squares splitting method for the Monge-Ampère equation
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；Geneva School of Business Administration (HEG-GENÈVE), University of Applied Sciences and Arts Western Switzerland (HES-SO)（日内瓦商业管理学院（HEG-GENÈVE），西部瑞士应用科学大学（HES-SO））；Imperial College London（帝国理工学院）
