Multiple closed geodesics on Finsler $3$-dimensional sphere
本文在所有素闭测地线Morse指数非零的条件下，证明了Anosov关于bumpy Finsler $S^3$至少存在四条素闭测地线的猜想。
2024-01-28 math.DG math.DS math.SG
Resonance identity and multiplicity of non-contractible closed geodesics on Finsler $\mathbb{R}P^{n}$
本文首先建立了Finsler-维实射影空间$n$ -维$(\mathbb{R}P^n,F)$上同调可见的非收缩素闭测地线的共振恒等式，当$(\mathbb{R}P^n,F)$上只存在1/2个不同的非收缩闭测地线时，其中整数$n\geq2$ .作为这个共振恒等式的应用，我们证明了在不可逆的不平坦Finsler度量下，$\mathbb{R}P^{n}$上至少存在两条不同的不可收缩闭测地线.结合\cite{DLX2015}和\cite{Tai2016}中关于颠簸和可逆Finsler度量的两个结果，得到了每个具有颠簸Finsler度量的$\mathbb{R}P^{n}$至少具有两条不同的不可收缩闭测地线.
2017-07-31 math.DG math.DS math.SG
Geodesic vector fields, induced contact structures and tightness in dimension three
本文简化了Gluck-Harrison定理的证明，证明了在非负混合曲率条件下测地向量场诱导切触结构，并分类了具有等距Reeb流的闭切触3-流形，推广了紧致性结果。
2024-03-19 math.DG math.SG
Multiplicity of closed geodesics on bumpy Finsler manifolds with elliptic closed geodesics
设$M$是紧致单连通流形，对整数$d\ge 2$和$n\ge 1$满足$H^*(M;\mathbf{Q})\cong T_{d,n+1}(x)$.如果$(M,F)$上所有的素闭测地线都是椭圆的，且$F$是不可逆的，则要么存在$\frac{dn(n+1)}{2}$（当$d\ge 2$是偶数时）或$(d+1)$（当$d\ge 3$是奇数时）完全不同的闭测地线，要么存在无穷多个完全不同的闭测地线.
2023-01-20 math.DG math.DS math.SG
Multiplicity and stability of closed geodesics on positively curved Finsler $4$-spheres
本文证明了：对于任意具有可逆性$λ$和旗曲率$K$满足$\frac{25}{9}\left(\fracλ{1+λ}\right)^2<K\le 1$ with $λ<\frac{3}{2}$的Finsler $4$维球面$(S^4,F)$，或者至少存在4条素闭测地线，或者恰好存在3条素非双曲闭测地线，并且其中至少有两条是无理椭圆.
2022-09-12 math.DG math.DS math.SG
The index growth and multiplicity of closed geodesics
在最近的论文\cite{LoD1}中，我们将Finsler流形上的闭测地线分为有理和无理两类，并对有理闭测地线迭代的指数增长性质给出了完整的理解.本文证明了有理闭测地线不可能是每个不可逆或可逆（包括黎曼）Finsler球面上唯一的闭测地线，并且证明了每个紧致单连通不可逆或可逆（包括黎曼）Finsler三维流形上至少存在两条不同的闭测地线.本文研究了Finsler流形上无理闭测地线的指数增长性质。本文的研究使我们能够将\cite{LoD1}关于有理的结果，\cite{DuL1}，\cite{Rad4}和\cite{Rad5}关于球面上完全非退化闭测地线的结果以及$\CP^2$的结果推广到每一个紧致单连通Finsler流形上.然后证明了在每个紧致单连通的不可逆或可逆（包括黎曼）Finsler四维流形上至少存在两条不同的闭测地线。
2010-05-12 math.DG math.DS math.SG
Closed geodesics on reversible Finsler 2-spheres
本文将两个著名的关于黎曼2-球面的闭测地线的定理推广到更大类的可逆Finsler 2-球面上：Lusternik-Schnirelmann定理证明存在三条简单的闭测地线，Bangert-Franks-Hingston定理证明存在无穷多条闭测地线.为了证明第一个定理，我们采用了推广的格雷森曲线缩短流开发的Angenent-Oaks。
2022-01-19 math.DG math.DS math.SG
Sharp systolic inequalities for Reeb flows on the three-sphere
三球面上接触形式$α$的收缩比是量\[ ρ_{\mathrm{sys}}(α) = \frac{T_{\min}(α)^2}{\mathrm{vol}(S^3,α\wedge dα)}, \]，其中$T_{\min}(α)$是$(S^3,α)$上闭合Reeb轨道的最小周期。Zoll接触形式是使得相应Reeb流的所有轨道都闭合并且具有相同周期的接触形式。我们的第一个主要结果是，$ρ_{\mathrm{sys}}\leq 1$在附近的空间Zoll接触形式上的$S^3$，与平等持有正是在Zoll接触形式。这意味着一个特殊的情况下的Viterbo猜想，一个局部的中维非压缩定理，和一个尖锐的收缩不等式Finsler度量的两个领域，这是接近Zoll的。我们的第二个主要结果是$ρ_{\mathrm{sys}}$在$S^3$上的紧接触形式空间上是无界的。
2017-05-23 math.DG math.SG
Equidistributed Closed Geodesics on Closed Finsler and Riemannian Surfaces
本文利用嵌入切触同调的体积性质、局部变分构造与横截性论证，证明了闭曲面上一般Finsler、对称Finsler及Riemann度量存在非退化闭测地线的等分布序列。
2025-07-06 math.DG math.DS math.SG
Hilbert forms for a Finsler metrizable projective class of sprays
投影芬斯勒度量化问题处理的问题是否一个投影等价类的喷雾是测地类（局部或全局定义）芬斯勒函数。在本文中，我们使用希尔伯特型的形式来说明一些不同的方式指定的充要条件，这是这种情况下，我们表明，他们是等价的。我们还解决了几个相关的问题，包括道路空间，雅可比领域，全测地子流形的喷雾空间，和等价的道路几何和投影等价类的喷雾。
2013-01-11 math.DG math.SG
The optimal lower bound estimation of the number of closed geodesics on Finsler compact space form $S^{2n+1}/ Γ$
设$M=S^{2n+1}/ Γ$，$Γ$是自由等距作用在$(2n+1)$-球面上的有限群，因此$M$同构于一个紧空间形式.本文首先研究了Katok关于球面上不可逆Finsler度量的著名例子，研究了$M$形式的紧空间上自由圈空间的可缩分支的拓扑结构，然后我们应用这个结果建立了在每一个Finsler紧空间形式$(M, F)$上的同调可见的可收缩极小闭测地线的共振恒等式，当只存在两个不同的可收缩极小时，$(M, F)$上的最小闭测地线。作为其应用，利用这个恒等式和Duan，Long和Wang在\cite{DLW2}中证明的辛路的增强的公共指标跳跃定理，证明了在某些自然曲率条件下，在具有凹凸不可逆Finsler度量$F$的每个紧空间形式$S^{2n+1}/ Γ$上至少存在$2n+2$不同的闭测地线，这是Katok例子中的最优下界.
2019-05-31 math.DG math.DS math.SG
Rigidity of coarsely minimal Reeb flows
引入粗极小Reeb流概念，证明满足发散性质的粗极小Reeb流轨道等价于负曲率黎曼度量的测地流，推广了Gromov的刚性结果。
2026-06-19 math.DS math.SG
On the minimal number of closed geodesics on positively curved Finsler spheres
该研究针对满足特定曲率与可逆性条件的正曲率Finsler球面，证明了其上素闭测地线的最小数量下界，解决了偶数维情形下的Katok-Anosov猜想，并给出了有限闭测地线情形下非双曲闭测地线的数量下界。
2024-06-22 math.DG math.DS math.SG
The multiplier approach to the projective Finsler metrizability problem
本文讨论了一个射影等价的喷簇类是否是Finsler函数的测地类的问题。我们处理这一问题的地方和全球方面。我们提出我们的结果完全在乘子，即（0，2）型张量场沿切丛投影。在分析的过程中，我们考虑几个相关的问题，包括正齐次函数的正性和强凸性，与所谓的Rapcsák条件的关系，二维情况下的一些特殊性，以及喷雾的测地凸性。
2012-03-14 math.DG math.SG
The existence of two non-contractible closed geodesics on every bumpy Finsler compact space form
设$M=S^n/ Γ$和$h$是$π_1(M)$中有限阶$p$的非平凡元，其中整数$n\geq2$，$Γ$是自由等距作用在$n$ -球面上的有限群，因此$M$同构于一个紧空间形式.当$(M, F)$上的$[h]$类的不可压缩闭测地线只有1/2个时，本文首先建立了每个Finsler紧空间形式$(M, F)$上的不可压缩同调可见的$[h]$类的极小闭测地线的共振恒等式.然后，作为该共振等式的应用，我们证明了具有凹凸芬斯勒度量的$(M, F)$上存在至少两个不同的$[h]$类不可收缩闭测地线，这通过消除一些附加条件改进了Taimanov在[Taimanov 2016]中的结果。我们的结果还将[arXiv：1607.02746]中关于$\mathcal{R}P^n$的共振恒等式和多重性结果推广到一般的紧空间形式。
2017-08-02 math.DG math.DS math.SG
The existence of two closed geodesics on every Finsler 2-sphere
本文证明了对于二维球面上的每一Finsler度量，至少存在两条不同的素闭测地线。对于双球的情形，这解决了D. 1974年的V. Anosov。
2007-09-27 math.DS math.SG
The enhanced common index jump theorem for symplectic paths and non-hyperbolic closed geodesics on Finsler manifolds
本文首先推广了Long和Zhu于2002年在[LoZ]中证明的辛矩阵路的公共指标跳跃定理，并得到了它的一个加强版本.作为它的应用，我们进一步证明了对于紧致单连通流形$(M,F)$，对于某些偶数$d\ge 2$和整数$n\ge 1$，具有凹凸的不可逆Finsler度量$F$和$H^*(M;{\bf Q})\cong T_{d,n+1}(x)$，如果不同的素闭测地线的数目有限，并且每个素闭合测地线满足$i(c)>0$，则至少存在$\frac{dn(n+1)}{2}$不同的具有奇Morse指标的非双曲闭测地线。注意，如果标志曲率$K$满足$K\ge 0$，则满足最后的非零索引条件。对于奇数维凹凸Finsler球面$(S^d,F)$，只要不同的素闭测地线的个数有限，且每个素闭测地线$c$满足$i(c)\ge 2$，则至少存在$(d+1)$个不同的具有偶数Morse指标的素闭测地线，且至少存在$(d-1)$个非双曲的素闭测地线.注意，如果$(M,F)$的可逆性$λ$和标志曲率$K$满足$\frac{λ^2}{(1+λ)^2}<K\le 1$，则满足最后索引条件$i(c)\ge 2$。注意，由于Katok的例子，上述三个下界估计中的前两个是尖锐的。此外，我们还证明了在满足上述上同调条件的紧致单连通凹凸Finsler $(M,F)$上，至少存在一条非双曲闭测地线，或者存在无穷多条不同的闭测地线，…
2016-01-06 math.DG math.DS math.SG
A Poincaré-Birkhoff theorem for tight Reeb flows on $S^3$
本文考虑紧$3$球面上的Reeb流，其中紧球面上有一对形成Hopf链的闭轨道.如果与这些轨道上的横向线性动力学相关的旋转数未能满足一定的共振条件，则存在无限多个周期轨迹，这些轨迹通过其与链接分量的环绕数来区分。这个结果承认一个自然的比较庞加莱-伯克霍夫定理面积保持环同胚。一个类似的定理在$SO(3)$上成立，并适用于$S^2$上Finsler度量的测地流。
2014-04-02 math.DS math.SG
Dense existence of periodic Reeb orbits and ECH spectral invariants
本文证明了：（1）对任何具有$C^\infty$ -一般切触形式的闭切触三流形，周期Reeb轨道的并是稠密的;（2）对任何具有$C^\infty$ -一般黎曼度量的闭曲面，闭测地线的并是稠密的.关键的观察结果是$C^\infty$ -3D Reeb流的封闭引理，它源于嵌入接触同调（ECH）谱不变量恢复体积的事实。
2015-10-22 math.DG math.DS math.SG
Global surfaces of section for Reeb flows in dimension three and beyond
我们调查了一些最近的事态发展，在寻求全球表面的部分Reeb流在三维辛拓扑的方法。我们专注于应用几何，包括存在的闭测地线和尖锐的收缩不等式。应用拓扑学和天体力学也提出。
2020-01-17 math.DG math.DS math.SG
Existence of Birkhoff sections for Kupka-Smale Reeb flows of closed contact 3-manifolds
当Reeb向量场的所有闭轨道都是非退化的，且其双曲闭轨的稳定流形和不稳定流形横截相交时，Reeb向量场满足Kupka-Smale条件.证明了在闭三维流形上，任何满足Kupka-Smale条件的Reeb向量场都有Birkhoff截面.特别地，这意味着闭三维流形上的$C^\infty$ -一般切触形式的Reeb向量场允许Birkhoff截面，并且闭曲面上的$C^\infty$ -一般黎曼度量的测地线向量场允许Birkhoff截面。
2021-11-11 math.DG math.DS math.SG
Genus zero global surfaces of section for Reeb flows and a result of Birkhoff
给出了闭$3$ -流形上Reeb流的周期轨道的有限集合有界于亏格为零的正整体截面曲面的充分条件。这些条件被证明是$C^\infty$ -一般必要的。此外，他们涉及链接的假设，在一个有限集确定的环境接触几何的康利-曾德指数范围内的周期轨道。作为应用，我们改进和推广了Birkhoff关于正曲双球面上测地流的类环整体截面曲面存在性的一个经典结果.
2021-09-13 math.DG math.DS math.SG
Healthy vector spaces and spicy Hopf algebras (with applications to the growth rate of geodesic chords and to intermediate volume growth on manifolds of non-finite type)
给出了非有限型闭流形M上球化的Reeb弦数增长和Reeb流体积增长的下界，这些闭流形M具有虚多环基本群，并满足对基环空间的同调性的一个温和假设.对于测地流的特殊情况，这些下界是：（i）对于M上的任何黎曼度量，M中的任何一对非共轭点p，q，以及从p到q的路空间的每个分支C，C中长度至多为T的测地线的数目至少像e^{ \sqrt T}那样增长。(ii)M上任何测地流的体积增长指数至少为1/2。我们得到这些结果结合新的代数结果的增长某些过滤霍普夫代数与已知的结果弗洛尔同调。
2013-09-25 math.AT math.DG math.DS
On the Conley Conjecture for Reeb Flows
本文证明了一类切触流形存在无穷多个闭Reeb轨道。这个结果可以看作是Hamilton Conley猜想的一个接触模拟。建立切触Conley猜想的流形是以非球面为底的预量子化圆丛。作为应用，我们证明了对于亏格至少为2且具有非零磁场的曲面，扭曲测地流在每个低能级上都有无穷多个周期轨道。
2014-07-07 math.DS math.SG
Periodic geodesics for contact sub-Riemannian 3D manifolds
本文研究了三维切触流形上次黎曼度量的周期测地线，主要研究了两个相互独立的问题：1）一般度量的周期Reeb轨道周围螺旋的闭测地线的存在性; 2）SL 2（R）的商上右不变度量的周期测地线的精确研究。
2022-02-28 math.DG math.DS math.OC
Slow volume growth for Reeb flows on spherizations and contact Bott--Samelson theorems
给出了闭流形上球化（S*M，S*M）上所有Reeb流的多项式复杂度的一致下界.我们对Reeb流的动力学复杂性的度量是缓慢的体积增长，一个多项式形式的拓扑熵，我们的一致界是M的基环空间的同调的多项式增长。作为应用，我们将Bott-Samelson定理从测地流推广到Reeb流：如果（S*M，M）允许周期Reeb流，或者更一般地，如果存在纤维S* q M的正Legendrian环，则M是圆或者M的基本群是有限的，并且M的泛覆盖的积分上同调环是紧秩1对称空间的积分上同调环.
2013-07-27 math.DS math.SG
