The Plancherel Formula, the Plancherel Theorem, and the Fourier transform of orbital integrals
Rebecca A. Herb, Paul J. Sally,
讨论了局部域上约化群的Plancherel公式和Plancherel定理的各种形式。
We discuss various forms of the Plancherel Formula and the Plancherel Theorem on reductive groups over local fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Formule de Plancherel pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif $p$-adique
证明了约化p-adic群上Whittaker函数的Plancherel公式。这是我们关于Paley-Wiener定理工作的续篇。我们的证明是接近的证明书面Waldspurger的哈里什-钱德拉Plancherel公式的光滑函数的群体和使用他的许多成果。一个简化是傅立叶变换的简单证明，它来自约瑟夫·伯恩斯坦的结果。
A Whittaker-Plancherel Inversion Formula for $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$
本文从Bruggeman和Motohashi的Bessel变换的解析角度出发，建立了$\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$的Whittaker-Plancherel反演公式.该公式给出了$\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$上紧支函数的Whittaker-傅里叶系数根据其Bessel系数与$\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$的不可约调和酉表示的分解.
Inversion formula for the hypergeometric Fourier transform associated with a root system of type $BC$
当多重性参数不一定非负时，给出了与$BC$型根系相关的超几何傅里叶变换的反演公式和Plancherel公式.
A spectral expression for a certain orbital integral
令$F$是$p$ -adic字段，$G = \text{GL}_{2n}(F)$和$θ_0$是固定Borel对的钉扎的$G$的外自同构。考虑$G$通过共轭作用于其上的集合$\widetilde{G} = G θ_0$和在$θ_0$上的轨道积分$J_{\widetilde{G}}(θ_0, f)$。我们证明了这个轨道积分的Plancherel-Harish-Chandra型公式，即作为不可约回火自对偶表示的$G$，我们称之为“辛”（这意味着他们的朗兰兹参数因子通过$\text{Sp}_{2n}(\mathbb{C})$）的积分。这解决了G. Chenevier和L.克洛泽尔我们的方法使用内窥镜转移到$\text{SO}_{2n+1}$。同时证明了Plancherel测度在$L$ -包上是常数.
After Plancherel formula
本文讨论了李群和齐性空间上与傅里叶变换有关的两个问题：算子演算和非均匀谱分离的Gelfand-Gindikin问题（程序）。本文的目的是指出非对易调和分析中某些未解的问题是肯定可解的。这是我在VI学校“几何和物理”，比亚沃维耶扎，波兰，2017年6月的演讲草图。
Plancherel and Poisson summation formulae for a family of affine $Ψ$-bundles
本文证明一类仿射Ψ丛的Plancherel公式，构造对应傅里叶变换与渐近Schwartz空间，在适当假设下证明泊松求和公式，其研究动机源于三重乘积L-函数的应用。
Plancherel Theorem and the Left Ideals of the Group Algebra for the Jacobi Group
设G是三维连通实半单李群，KAN是G的Iwasawa分解，J是Jacobi群，它是两个群Heisenberg群与G的半直积.雅可比群在量子力学中起着重要的作用。本文定义了傅里叶变换，从而得到了群J的Plancherel定理，并由此对Jacobi群的群代数的所有左理想进行了分类
The Fourier transform on the group $GL_2(R)$ and the action of the overalgebra $gl_4$
我们为$GL_2(R)$定义了一种“运算演算”。也就是说，群$GL_2(R)$可以看作是$R^4$中二维子空间的格拉斯曼图中的开稠密图。因此，$GL_4(R)$基团在$L^2$中作用于$GL_2(R)$。我们将李代数$gl_4$的相应作用转化为$GL_2(R)$的Plancherel分解，李代数作用于在虚方向上移位的微分-差分算子。我们还写出了$gl_4\oplus gl_4$在$GL_2(C)$的Plancherel分解中的作用的类似公式
Etude de deux classes de groupes nilpotents de pas deux
我的博士工作的目的是研究两类两步幂零李群上算子的$L^p$ -有界性，使用Plancherel公式和球函数作为工具。第一类群由海森堡型群组成，第二类群由两步自由幂零李群组成（表示为$N_{v,2}$，表示为$v$生成元）。在后一种情况下，我们开发了径向傅立叶演算。我们的研究主要集中在Korányi球的极大函数及其平方函数，以及两步自由幂零李群上的径向傅里叶演算定义的卷积算子（径向傅里叶乘子问题）。事实上，一章的这项工作是专门证明的$L^p$ -不等式的最大球面函数的两个考虑类的群体。我们的方法是基于插值相同的操作家庭在欧几里德的情况下，对$L^p$ -有界的标准极大函数，和$L^2$ -平方函数的不等式。这些$L^2$ -不等式是基于Plancherel公式和正交群上有界球函数的性质。在$N_{v,2}$上，利用$N_{v,2}$与正交群的半直积的表示构造了有界球函数.我们还得到了Kohn次拉普拉斯算子和径向Plancherel测度的一些性质。然后，我们提出了第一次研究的径向傅里叶乘法器的问题，目的是给我们的解决方案的一些技术难点。
Fourier Transform of Schwartz Algebras on Groups in the Harish-Chandra class
众所周知，Harish-Chandra变换$f\mapsto\mathcal{H}f,$是球面（Schwartz）卷积代数$\mathcal{C}^{p}(G//K)$（其中$K$是Harish-Chandra类和$0<p\leq2$中任意选择的群$G$的极大紧致子群）到（Schwartz）乘法代数$\bar{\mathcal{Z}}({\mathfrak{F}}^ε)$（$\mathcal{Z}({\mathfrak{F}}^ε),$的$\mathfrak{w}-$不变成员与$ε=(2/p)-1$）上的拓扑同构。然而，对于完整的Schwartz卷积代数$\mathcal{C}^{p}(G),$，除了少数几个特定的群例子（特别是$G=SL(2,\mathbb{R})$）和$p$的一些值得注意的值（对$G$和/或对$\mathcal{C}^{p}(G)$有限制），情况并非如此。然而，$G$上的完整Harish-Chandra Plancherel公式对于所有$\mathcal{C}^{2}(G)=:\mathcal{C}(G).$都是已知的，以便更清楚地理解Harish-Chandra变换的结构并计算$\mathcal{C}^{p}(G)$在其下的图像（没有任何限制）我们得到一个绝对收敛的级数展开式（就已知功能而言）通过在$G.$上应用完整的Plancherel公式的Chandra变…
Operational calculus for Fourier transform on the group $GL(2,R)$
考虑实$2\times 2$ -矩阵群$GL(2,R)$上的傅里叶变换。证明了$GL(2,R)$上多项式微分算子的傅立叶像是系数亚纯于表示参数的微分-差分算子.算子的表达式包含相对于Plancherel公式中的积分轮廓在虚方向上的移位。我们提出了明确的公式图像的偏导和乘法的坐标。
Fourier transform on the Lobachevsky plane and operational calculus
在线上的经典傅里叶变换将$x$的乘法运算符发送到$i\frac{d}{dξ}$，并将微分运算符$\frac{d}{d x}$发送到$-iξ$的乘法。对于Lobachevsky平面上的傅里叶变换，我们建立了一类微分算子的类似对应。看起来罗巴切夫斯基平面上的微分算子对应于傅立叶图像中的微分-差分算子，其中移位算子作用在虚方向上，即，在Plancherel公式中横向于积分轮廓的方向。
Fourier transforms of orbital integrals on the Lie algebra of $\operatorname{SL}_2$
Harish-Chandra-Howe局部特征展开用幂零轨道积分在其李代数上的傅里叶变换表示约化$p$ -adic群的特征，Murnaghan-Kirillov理论用半单轨道积分（也在其李代数上）的傅里叶变换表示约化$p$ -adic群的许多特征。在许多情况下，这些傅里叶变换的计算似乎很难处理;但是，对于$\operatorname{SL}_2$，幂零轨道积分已经计算出来了。在本文中，我们使用一个变体的Huntsinger的积分公式，和理论的$p$ -adic特殊函数，计算半单轨道积分。
Branching of some holomorphic representations of SO(2,N)
本文考虑李球$$\mathscr{D}=SO(2,n)/S(O(2) \times O(n))$$上加权Bergman空间的解析延拓以及SO（2，n）在这些空间上的相应全纯酉（投射）表示.已知这些表示是不可约的。我们的目标是将它们分解到子群SO（1，n）下，SO（1，n）是$\mathscr{D}$的全实子流形$\mathscr{X}$的等距群.给出了半单李群的某些酉表示的一般分解定理的一个证明。在特定的情况下，我们关注的，我们发现一个明确的公式的Plancherel措施的分解作为正交化措施，某些超几何多项式。此外，我们构建了一个明确的广义傅里叶变换，发挥作用的交织算子的分解。我们证明了这种变换的一个反演公式和一个Plancherel公式。最后，我们构造显式实现的分解中出现的离散部分，也在这个家庭中的最小表示。
Fourier positivity for spherical functions I: split tori and spherical principal series
本文证明了局部域上半单线性代数群G的球函数在分裂环面A上的傅里叶正性，针对G的酉主级数参数，并给出SL_n(F)情形下对角分裂环面上傅里叶变换的显式递推公式及指数下界。
On harmonic analysis of spherical convolutions on semisimple Lie groups
本文将有限中心连通半单李群$G,$上的Harish-Chandra变换推广为球面卷积。在其它结果中，我们证明了它在有界球函数集合上在单位元$e \in G$上的积分是在$0.$上Abel变换的加权Fourier变换。作为$G,$上的函数，它的球傅里叶变换的积分对正定球函数的限制是（的非零常数倍）的正定分布在$G,$上是调和的和不变的$G=SL(2,\mathbb{R}).$这些结果建议考虑一个演算的Schwartz代数的球函数。球卷积的Plancherel措施也明确计算。
Fonctions dont les intégrales orbitales et celles de leurs transformées de Fourier sont à support topologiquement nilpotent
设$F$是$p$ -adic域，$G$是定义在$F$上的连通约化群.我们假设$p$很大。表示$\mathfrak{g}$ $G$的李代数。对于$G$的约化Bruhat-Tits'构建的每个顶点$s$，我们通常将定义在剩余域${\mathbb F}_{q}$上的约化李代数$\mathfrak{g}_{s}$关联起来。我们在$C_{c}^{\infty}(\mathfrak{g}(F))$上适当地归一化傅里叶变换$f\mapsto \hat{f}$。研究了函数$f\in C_{c}^{\infty}(\mathfrak{g}(F))$的子空间，使得对于非拓扑幂零的$ \mathfrak{g}(F)$的每个元素，$f$和$\hat{f}$的轨道积分都是$0$.这个空间与空间$\mathfrak{g}_{s}({\mathbb F}_{q})$上的特征层的特征函数有关，对于每个顶点$s$，它是尖点的，具有幂零支撑。我们证明了我们的子空间在内窥镜下表现良好。
On certain identities between Fourier transforms of weighted orbital integrals on infinitesimal symmetric spaces of Guo-Jacquet
本文研究了加uo-杰克特迹公式中微分对称空间上加权轨道积分的傅里叶变换关系，探讨其在非不变比较中的应用。
Relation of Orbital Integrals on SO(5) and PGL(2)
本文给出了p-adic群SO（5）和PGL（2）上相应球函数的“Fourier”轨道积分。对应关系是由这些群的表示的“提升”来定义的。这是一个局部的“基本引理”，需要比较这两个群上的全局傅立叶求和公式（或相对迹公式）的几何方面。这种比较导致了关于从PGL（2）到PGSp（4）的一个众所周知的表示提升的结论。这种提升产生了对拉马努金猜想的反例。
Paley-Wiener Theorems with respect to the spectral parameter
与流形M或齐性空间G/K上的任何积分变换有关的重要问题之一是给定函数空间的象的描述。如果M=G/K，其中（G，K）是一个Gelfand对，那么调和分析与G的表示和L^2（M）到不可约表示的直接积分分解密切相关。我们给出了这种空间上的傅里叶变换的简短概述，然后问是否可以用谱参数来描述光滑紧支函数空间的图像，即，支持L^2（M）的Plancherel测度的不可约表示集合的参数化。然后，我们讨论欧几里德运动群，半单对称空间，以及这些空间的一些极限。
Good orbital integrals
本文研究p-adic域上李代数的一类轨道积分。这些轨道积分的值在单位元素的赫克代数计数点品种超过有限域。该构式以动机整合为基础，在零特征和正特征两种情况下都有效。作为应用，将这类积分的基本引理从正特征线提升到零特征线。结果是基于一个公式的轨道积分的分布膨胀的商空间的Moy-Prasad过滤的李代数。这个公式是通过对这些商空间的傅里叶分析建立的。
Asymptotic and descent formulas for weighted orbital integrals
我们重写阿瑟的加权轨道积分的渐近公式的援助下的剩余演算和推广所得到的公式的实群的施瓦兹空间。然后，我们提取了Arthur不变分布I_M（γ）的傅里叶变换分解中系数的可用信息，并将其表示为完整微分方程的标准解。这使我们能够明确地确定其中的一些系数。最后，我们证明了这些微分方程的标准解和上述系数的下降公式，从而将它们归结为γ在M中是椭圆的情形。
The Schrodinger model for the minimal representation of the indefinite orthogonal group O(p, q)
本文在R^n（n=n_1+n_2：偶数）上引入了符号（n_1，n_2）的不定二次型在迷向锥C上的“傅里叶变换”F_C.这种变换在某种意义上是L^2（C）上唯一的自然酉算子，就像欧几里得傅里叶变换一样。受约化群的代数表示论发展的启发，我们一方面为经典分析提供了新的思路，另一方面给出了单李群G=O（n_1+ 1，n_2 +1）的最小表示的L^2-模型的整体公式.变换F_C将C上的函数展开为n个交换的自伴二阶微分算子的联合本征函数。我们将F_C分解为奇异Radon变换和Mellin-Barnes积分，求出其分布核，并建立反演和Plancherel公式。若G为O（n，2）或O（3，3），则F_C约化为Hankel变换.酉算子F_C与保角变换群的单作用一起生成不定正交群G的极小表示。Kazhdan、Kostant、Binegar-Zierau、Gross-Wallach、Zhu-Huang、Torasso、Brylinski和Kobayashi-Orsted等人已经构建了相同表示的各种不同模型。其中，我们建立在L^2（C）上的模型推广了经典的Weil表示的薛定谔模型。另一个主题是特殊函数。最小表示中的大群对称性产生各种特殊函数的函数方程。我们找到了L^2（C）上的显式K-有限向量，并给出了Meijer G-变换的Plancherel公式的一个新证明.
Nonabelian Fourier Kernels on $\mathrm{SL}_2$ and $\mathrm{GL}_2$
本文给出了 $\mathrm{SL}_2$ 和 $\mathrm{GL}_2$ 上非交换傅里叶核、轨道 Hankel 变换及基本函数稳定轨道积分的显式公式，证实了 Braverman 和 Kazhdan 的猜想，适用于剩余特征非 2 的局部域。
Uniform analysis on local fields and applications to orbital integrals
本文研究了非阿基米德局部域上一致的动力指数类函数的上界、逼近和极限，其特征是$0$或充分大.我们的结果一起形成了一个灵活的框架，在局部域进行分析，在一个字段独立的方式。作为推论，我们得到了许多新的转移原理，例如，局部恒定性、连续性和各种极限的存在性。此外，我们还证明了动力指数类的$L^2$ -函数的傅里叶变换也是动力指数类的.作为在表示论领域的应用，我们证明了连通约化$p$ -adic群上轨道积分的判别傅里叶变换归一化的一致界.
Beyond Endoscopy via the trace formula - II: Asymptotic expansions of Fourier transforms and bounds towards the Ramanujan conjecture
我们继续分析的椭圆部分的轨迹公式发起的\cite{Altug:2015aa}。在该文献中，泊松求和被应用到椭圆部分，并分析了主导项。本文的主要目的是研究泊松求和后的余项。分析了（光滑）轨道积分的傅里叶变换，得到了精确的渐近展开。作为一个应用，我们恢复，使用阿瑟-塞尔伯格迹公式，库兹涅佐夫的结果（cf。\cite{Kuznetsov:1980aa}）证明了$p$ th Hecke算子在尖点自守表示上的迹是由$p^{\frac14}$有界的.
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