We consider an equation for a thin-film of fluid on a rotating cylinder and present several new analytical and numerical results on steady state solutions. First, we provide an elementary proof that both weak and classical steady states must be strictly positive so long as the speed of rotation is nonzero. Next, we formulate an iterative spectral algorithm for computing these steady states. Finally, we explore a non-existence inequality for steady state solutions from the recent work of Chugunova, Pugh, & Taranets.
A priori positivity of solutions to a non-conservative stochastic thin-film equation
随机守恒律在证明非负解的存在性时往往具有挑战性。在J.Fischer和G. Grün（2018，随机薄膜方程正解的存在性，SIAM J. Math. Anal.），在二次迁移率情形下，建立了一类保守随机薄膜方程正鞅解的存在性。在这项工作中，我们专注于一个更大的类的迁移率（包括线性）的薄膜模型。为了做到这一点，我们需要引入非线性源势，从而获得薄膜方程的非保守版本。对于这个模型，我们假设存在一个充分正则的局部解（即，定义到一个停时$τ$），通过对源电位和噪声提供适当的条件，我们证明了这样的解可以推广到任何$T>0$，并且它是正的概率为1.提供了与上述参考工作的全面比较。
Energy levels of steady states for thin film type equations
本文利用耗散能（Liapunov函数）研究了发展方程h_t =-（f（h）h_{xxx}）_x-（g（h）h_x）_x的相空间.这里h（x，t）是非负的，在h = 0时，系数函数f> 0和g可以退化为0，或者爆炸为无穷大，或者趋于非零常数。我们首先证明了所有的正周期稳定状态是“能量不稳定”的不动点的演变（这意味着一些零平均扰动下的能量减少），如果g/f是凸的，或者如果扰动被允许有周期长于稳定状态。对于幂律系数（f（y）= y ^n和g（y）= B y ^m，对于某些B> 0），我们解析地确定了不同稳态的相对能级。例如，对于[1，2]中的m-n，适当选择周期和平均值，我们发现三个根本不同的稳态。第一个是一个恒定的稳态，是非线性稳定的，是一个局部最小的能量。第二个是一个正的周期稳定状态，是线性不稳定的，并具有更高的能量比恒定的稳定状态;它是一个鞍点。第三种是周期性收集的“液滴”（compounds支持）的稳定状态具有较低的能量比正的稳定状态或恒定的。由于能量必须沿每个轨道减少，这些结果显着约束的演化方程的动力学。我们的研究结果表明，异宿连接可能存在于某些稳定状态之间，例如从周期稳定状态到液滴稳定状态。在一篇配套文章中，我们进行了数值模拟，以确认它们的存在。
Analysis of a three-dimensional fluid flow in rotating cylinders
University of Stuttgart（斯图加特大学）；Institute of Analysis, Dynamics and Modeling, University of Stuttgart（斯图加特大学分析、动力学与建模研究所）；University of Bonn（波恩大学）；Institute of Applied Mathematics, University of Bonn（波恩大学应用数学研究所）
