The equivariant cohomology rings of Peterson varieties
本说明的主要结果是一个有效的介绍$S^1$ -等变上同调环的彼得森品种（在类型$A$）作为商的多项式环的理想$\mathcal{J}$，在精神上著名的博雷尔介绍的上同调的标志品种。我们的结果简化了Harada-Tymoczko和Bayegan-Harada以前的介绍。特别地，我们的结果对Bayegan和Harada关于定义理想$\mathcal{J}$由二次型生成的猜想给出了肯定的回答.
2013-11-06 math.AG math.AT
A positive formula for type $A$ Peterson Schubert calculus
Peterson簇是在量子上同调、表示论和组合学研究中出现的特殊幂零Hessenberg簇。在类型$A$中，彼得森簇$Y$是完全标志簇$Fl(n; \mathbb C)$的子簇，并且在$T$的子群$S\cong \mathbb C^*$的作用下不变，其中$T$是作用于$Fl(n; \mathbb C)$的标准（非紧）环面。利用Harada和Tymoczko通过将一组特定的Schubert类从$H_T^*(Fl(n; \mathbb C))$限制到$H_S^*(Y)$而引入的Peterson Schubert基，我们描述了等变上同调$H_{S}^*(Y)$的乘积结构.特别是，我们表明，该产品是明显的积极在适当的意义上，通过提供一个明确的积极的组合公式，其结构常数。我们的方法需要一个新的组合身份的二项式系数，推广范德蒙的身份。
2022-02-18 math.AG math.CO
On the Smooth Points of T-stable Varieties in G/B and the Peterson Map
设G是${\mathbb C}$上的半单代数群，B是G的博雷尔子群，T是B中的极大环面.戴尔·彼得森（Dale Peterson）的一个未发表的漂亮结果说，如果G是简单的花边，那么G/B中的舒伯特簇X的每个有理光滑点在X中是非奇异的。本文的目的是把这个结果推广到G/B的任意T-稳定子簇，唯一的限制是G不含$G_2$因子.特别地，我们证明了在这样的G/B中的Schubert簇X是非奇异的当且仅当X的所有约化切锥是线性的。
2000-05-02 math.AG
The equivariant cohomology rings of Peterson varieties in all Lie types
设G是复半单线性代数群，Pet是旗簇G/B中的Peterson簇.本文的主要定理给出了Peterson簇的等变上同调环H^*_S（Pet）作为多项式环与二次多项式生成的理想J的商的有效表示，其实质是标志簇的上同调环的Borel表示.这里群S \cong \mathbb{C}^*是G的一个极大环面T的某个子群。我们对理想J的描述使用了Cartan矩阵，并且在Lie类型上是一致的。在我们的论点，我们使用蒙克公式和Giambelli公式的等变上同调环的彼得森品种的所有李类型，在工作中获得的Drellich。我们的结果推广了以前的一个仅适用于李型A的定理。
2014-09-15 math.AG math.AT
A Peterson program for general Schubert varieties and mirror symmetry
Sun Yat-sen University（中山大学）；King’s College London（伦敦国王学院）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文启动 Peterson 程序，将 Peterson 理论推广至任意 Schubert 簇，构造推广 Peterson 簇与超势，提出量子上同调恢复猜想，并在光滑 Schubert 除子上验证，与 Grassmann 情形一致。
2026-09-25 math.AG
Totally nonnegative part of the Peterson variety in Lie type A
本文利用与Peterson簇密切相关的环面几何，证明了Rietsch提出的李型A中Peterson簇全非负部分作为胞腔分解空间同胚于对应维数立方体的猜想。
2023-10-04 math.AG
On Positivity for the Peterson Variety
本文探讨旗流形 $G/B$ 及其子变形上同调环中的几何正性，阐述了 Schubert 变形基的非负结构常数，并解释了该正性现象如何扩展至特定的幂零 Hessenberg 变形（Peterson 变形），同时提出了向其他 Hessenberg 变形扩展的开放问题。
2023-06-26 math.AG
Geometric Invariant Theory of Peterson Varieties
Chennai Mathematical Institute（钦奈数学研究所）；Indian Institute of Technology Kanpur（坎普尔印度理工学院）
本文研究彼得森簇的几何不变量理论，利用理查森分层明确其GIT商的稳定与半稳定轨迹，确定腔分解与跨壁态射，还刻画正则性并证明商光滑的充要条件，揭示彼得森簇奇异几何与GIT商变化的关联。
2026-08-28 math.AG
Decomposing Hessenberg varieties over classical groups
黑森伯格品种是旗品种的一个亚品种家族，包括施普林格纤维，彼得森品种和整个旗品种本身。开创性的例子产生于数值分析中的一个问题，包括一个固定的线性算子M的全标志V_1 \subsetneq V_2 >. GL_n中的\subsetneq V_n，其中对于所有i，M V_i包含在V_{i+1}中。本文证明了A_n型的所有Hessenberg簇和B_n，C_n，D_n型的半单正则幂零Hessenberg簇都可以由仿射空间铺成.此外，这个铺路是一个特定的Bruhat分解与海森伯格品种的交集。在类型A_n中，用Young图的某些填充物等价地描述铺路的单元格，可以用来计算Hessenberg簇的贝蒂数。作为例子，证明了A_n中Peterson簇的Poincare多项式为\sum_{i =0}^{n-1} \binom{n-1}{i} x^{2 i}.
2004-09-05 math.AG math.CO
A mirror construction for the totally nonnegative part of the Peterson variety
我们解释了A. Givental关于A型旗簇的镜像对称族及其由Batyrev，Ciocan-Fontanine，Kim和van Straten提出的关于部分旗簇的推广与SL_n/B中的Peterson簇Y有关。然后我们用这个理论来描述Y的完全非负部分。
2006-12-04 math.AG
Regular Hessenberg varieties for the minimal indecomposable Hessenberg space
本文研究复约化群旗簇中极小不可分解Hessenberg空间的正则Hessenberg簇几何，计算仿射胞腔闭包并建立对应关系，分析奇点轨迹推广结果，给出Hessenberg-Schubert簇相关刻画与公式，分类A型奇异置换旗并推广至所有李型。
2024-11-26 math.AG
A Hessenberg generalization of the Garsia-Procesi basis for the cohomology ring of Springer varieties
Springer簇是由幂零算子稳定的标志的集合。1976年，T.A.施普林格观察到这个变种的上同调环带有一个对称群作用，他提供了一个关于这个作用的深层尺规作图法。16年后，Garsia和Procesi提出了上同调环作为多项式环的分次商，使施普林格的工作更加透明和容易理解。它们组合起来描述了这个商的明确基础。本文的目的是概括他们的工作。我们的主要结果加深了他们的分析施普林格品种，并将其扩展到一个家庭的品种称为海森伯格品种，施普林格品种的两个参数的推广。很少有人知道他们的上同调。对于正则幂零Hessenberg簇类，我们猜想了其上同调环的商表示，并给出了一个显式基.诱人的新证据支持我们的猜想，一个子类的定期幂零品种称为彼得森品种。
2010-12-02 math.AC math.AG math.CO
Coordinate rings of regular nilpotent Hessenberg varieties in the open opposite Schubert cell
本文基于 Peterson 未发表结果，通过推广 Ciocan-Fontanine 和 Givental-Kim 的量子上同调环表示，给出正则幂零 Hessenberg 簇与开相反舒伯特胞交的坐标环刻画，并应用于奇异轨迹分析及循环商奇点关联研究。
2024-11-19 math.AG math.CO
Combinatorial Tangent Space and Rational Smoothness of Schubert Varieties
在Contou-Carrere [CC]之后，我们认为舒伯特品种的Bott-Samelson决议是与这种情况相关的山雀建筑中的各种画廊。本文证明了Schubert簇的有理光滑性可以用Zuberki切空间的一个子空间表示，称为组合切空间.为此，我们使用由Carrell和Peterson [CP]引入的Schubert簇的有理光滑性的表征。
2001-03-05 math.AG
Type A Nilpotent Hessenberg varieties with Hessenberg function $h(i)\le i+1$
Washington University in St. Louis（圣路易斯华盛顿大学）
研究具有\(h(i)\leq i + 1\)的 A 型幂零 Hessenberg 簇即广义抛物 Peterson 簇，证明其可分解，给出最大维数分量基数与维数相关结论及 Poincaré 多项式递归公式，部分回答 Hessenberg 簇几何问题并引发新思考。
2026-08-25 math.AG
Hessenberg varieties, Slodowy slices, and integrable systems
这项工作的目的是语境化和加强某些海森伯格品种和户田格之间的关系，从而建立在Kostant，彼得森和其他人的结果。一个这样的关系是这样一个事实，即每一个拉格朗日叶户田格是紧的一个适当的选择海森堡品种。于是很自然地想象户田格延伸到一个适当的海森伯格簇的并集。我们固定一个简单的连接复杂的半单线性代数群$G$和限制我们的注意力到一个特定的家庭的Hessenberg品种，一个家庭，包括彼得森品种和所有户田叶紧。这个家庭的总空间，$X(H_0)$，被证明是一个泊松簇的完全可积系统定义的Mishchenko-Fomenko多项式。这导致从Toda晶格到$X(H_0)$的完全可积系统的自然嵌入。我们还表明$X(H_0)$有一个开放的密集辛叶同构于$G/Z \times S_{\text{reg}}$，其中$Z$是中心的$G$和$S_{\text{reg}}$是一个定期的Slodowy切片的李代数$G$。这使我们能够调用结果约可积系统的$G\times S_{\text{reg}}$，开发的Rayan和第二作者。最后，我们见证了一些影响，我们的工作的几何形状的定期Hessenberg品种。
2018-07-20 math.AG math.RT math.SG
Billey-Postnikov decompositions and the fibre bundle structure of Schubert varieties
Ryan和Wolper的一个定理指出A型舒伯特簇是光滑的当且仅当它是格拉斯曼的迭代纤维丛。我们将这个定理推广到任意有限型，证明了广义旗簇中的Schubert簇是有理光滑的当且仅当它是有理光滑Grassmannian Schubert簇的迭代纤维丛.证明依赖于Billey-Postnikov关于外尔群的深层组合结果。确定了所有光滑的和有理光滑的Grassmannian Schubert簇，并给出了Peterson定理的一个新证明：所有简单的有理光滑Schubert簇都是光滑的.总之，我们的结果给出了一个相当完整的几何描述的光滑和合理光滑的舒伯特品种主要使用组合的方法。
2017-02-09 math.AG math.CO
Geometry of Hessenberg varieties with applications to Newton-Okounkov bodies
在本文中，我们研究的几何形状的各种Hessenberg品种在A型，以及家庭，与额外的目标奠定基础，为未来的计算牛顿Okounkov机构的Hessenberg品种。我们的主要结果如下。我们发现明确的和计算方便的发电机的局部定义理想的不可分解的正则幂零Hessenberg品种，然后表明，所有的正则幂零Hessenberg品种是局部完全相交。我们还表明，某些家庭的Hessenberg品种，其通用的纤维是定期半单Hessenberg品种和特殊的纤维是一个定期幂零Hessenberg品种，是平坦的，并减少了纤维。这个结果进一步允许我们给出正则幂零Hessenberg簇关于Plücker嵌入的次数的计算有效公式。此外，我们还构造了正则幂零Hessenberg簇的子簇的某些标志，这些标志是通过与Schubert簇相交而得到的，它们适合于计算Newton-Okounkov体。作为我们的结果的应用，我们明确地计算了许多牛顿Okounkov机构的二维彼得森品种的Plücker嵌入。
2021-02-02 math.AG math.CO
Equivariant K-theory and tangent spaces to Schubert varieties
A型舒伯特簇的切空间由Lakshmibai和Seshadri刻画。Lakshmibai将这一结果推广到其他经典类型。我们给出了余丛G/P中Schubert簇的切空间的一个统一刻画.我们的结果推广到余丛G/P之外，它们描述了G/B中任意Schubert簇在点xB处的切空间，其中x是Peterson意义下的余丛外尔群元.我们的结果也给出了关于任意Schubert簇在任意点的切空间的部分信息。我们的方法是描述Kazhdan-Lusztig簇的切空间，然后恢复Schubert簇的结果。我们的证明使用了一个具有环面作用的簇的切空间的权与环面等变K-理论中簇的类的因子之间的关系。证明依赖于一个公式舒伯特类在等变K理论由于格雷厄姆和威廉姆斯，以及定理的子字复合由于克努森和米勒。
2022-02-22 math.AG math.CO math.RT
Hessenberg varieties and hyperplane arrangements
给定半单复线性代数群$G$和$G$的正根中的下理想$I$，产生了三个对象：理想排列$\mathcal{A}_I$，正则幂零Hessenberg簇$\mbox{Hess}(N,I)$和正则半单Hessenberg簇$\mbox{Hess}(S,I)$。证明了由$\mathcal{A}_I$的对数导子模导出的分次环在$G$的Weyl群$W$的作用下同构于$H^*(\mbox{Hess}(S,I))$中的不变量$H^*(\mbox{Hess}(N,I))$和$H^*(\mbox{Hess}(S,I))^W$.这种同构是一般的李型，并推广Borel的著名定理表明，上不变代数的$W$是同构的上同调环的标志品种$G/B$。海森堡簇和超平面排列之间的这种令人惊讶的联系使我们能够产生许多有趣的结果。例如，戴尔·彼得森（Dale Peterson）宣布的限制性图谱$H^*(G/B)\to H^*(\mbox{Hess}(N,I))$的满射性和对萨默斯-蒂莫茨科猜想的肯定回答是直接的结果。我们还给出了$H^*(\mbox{Hess}(N,I))$在类型$B$、$C$和$G$中的显式环表示。这种表现在$A$型或当$\mbox{Hess}(N,I)$是彼得森变种时已经是已知的。此外，我们发现体积多项式的$\mbox{Hess}(N,I)$，并看到硬Lefschetz性质和Hodge-Riemann关系保持…
2016-12-05 math.AG math.AT math.CO
The equivariant cohomology ring of regular varieties
设$B$表示$SL_2(C)$的上三角子群，$T$表示其对角环面，$U$表示其幂幺根.一个复射影簇$Y$被赋予$B$的代数作用，使得不动点集$Y^U$是一个单点，称为正则的。与任何正规的$B$ -变种$Y$相关联，有一个显著的具有$T$ -作用的仿射曲线$Z_Y$，这是第二作者研究的。本文证明了当$Y$是光滑的，或者更一般地，当$Y$是正则光滑$B$簇$X$的$B$稳定子簇，使得从$H^*(X)$到$H^*(Y)$的限制映射是满射时，$Z_Y$的坐标环与复系数的等变上同调环$H_T^*(Y)$同构.这个同构是作为等变上同调局部化定理的一个改进而得到的;它适用于例如旗簇中的舒伯特簇和Kostant研究的彼得森簇。我们的同构的另一个应用是等变推进的自然代数公式。
2002-11-02 math.AG math.AT
A Gröbner Basis for Schubert Patch Ideals
本文利用链结理论方法证明了Schubert斑块理想的本原子式构成Gröbner基，并得出相关的Kazhdan-Lusztig理想等齐次理想是glicci的结论。
2023-08-02 math.AC math.AG math.CO
K-theoretic Gromov-Witten invariants of line degrees on flag varieties
本文研究旗簇上线次数的K理论Gromov-Witten不变量，证明其量子不变量等于相应旗簇上的经典相交数，并与完全旗簇不变量一致，从而便于计算大量子K理论环。
2024-09-15 math.AG
The cohomology rings of regular nilpotent Hessenberg varieties in Lie type A
设$n$为固定正整数，$h: \{1,2,\ldots,n\} \rightarrow \{1,2,\ldots,n\}$为Hessenberg函数.本文的主要结果是双重的。首先，我们给出了一个系统的方法，以一种简单的方式依赖于Hessenberg函数$h$，用于产生显式表示的生成元和关系的上同调环$H^\ast(Hess(\mathsf{N},h))$与相应的正则幂零Hessenberg簇$Hess(\mathsf{N},h)$的$\mathbb{Q}$系数。我们的结果概括了已知的结果在特殊情况下，如彼得森品种，也让我们回答了一个问题所提出的Mbirika和Tymoczko。此外，我们的生成元列表实际上形成了一个规则序列，允许我们在论证中使用交换代数的技巧。我们的第二个主要结果给出了一个同构之间的上同调环$H^*(Hess(\mathsf{N},h))$的正规幂零Hessenberg品种和$S_n$不变的子环$H^*(Hess(\mathsf{S},h))^{S_n}$的上同调环的正规半单Hessenberg品种（相对于$S_n$ -行动$H^*(Hess(\mathsf{S},h))$定义的Tymoczko）。我们的第二个主要结果意味着，$\mathrm{dim}_{\mathbb{Q}} H^k(Hess(\mathsf{N},h)) = \mathrm{dim}_{\mat…
2016-12-10 math.AG math.AT math.CO
On the infinitesimal rigidity of homogeneous varieties
令$X\subset P^N$为一个簇（分别为解析子流形的一个补丁），令$x\in X$为一个一般点。证明了如果$X$在$x$上的射影第二基本形式同构于Segre $P^n\times P^m$，$n,m\geq 2$，Grassmaniann $G(2,n+2)$，$n\geq 4$，或Cayley平面$OP^2$上的点的第二基本形式，则$X$是相应的齐次簇（分别为.一片对应的同质变种）。如果$X$在$x$的投影第二基本形式同构于Veronese $v_2(P^n)$的点的第二基本形式，并且$X$在$x$的Fubini三次形式为零，则$X=v_2(P^n)$（分别为一片PDMATHAMV）。所有这些结果是有效的实或复的分析范畴和局部的$C^{\infty}$范畴，如果一个假设成立的任何点$x$的邻域。作为一个副产品，我们表明，系统的二次曲面$I_2(P^{m-1}\sqcup P^{n-1}), I_2(P^1\times P^{n-1})$和$I_2(S_5)$是稳定的意义上说，如果$A_t\subset S^2T^*$是一个分析的家庭，使$t\neq 0$，$A_t\simeq A$，然后$A_0\simeq A$。我们也做了一些与Fulton-Hansen连通性定理相关的观察。
1997-10-29 alg-geom dg-ga math.AG
The equivariant cohomology rings of regular nilpotent Hessenberg varieties in Lie type A: a research announcement
设$n$为固定正整数，$h: \{1,2,...,n\} \rightarrow \{1,2,...,n\}$为Hessenberg函数.本文的主要结果是给出了一个系统的方法，用生成元和关系给出了A型正则幂零Hessenberg簇$\mathrm{Hess}(h)$的等变和普通上同调环（具有$\mathbb{Q}$系数）的显式表示。具体地说，我们给出了一个明确的算法，只依赖于Hessenberg函数$h$，它产生的$n$定义关系$\{f_{h(j),j}\}_{j=1}^n$的等变上同调环。我们的结果推广了已知的结果：对于$h=(2,3,4,...,n,n)$的情况下，这对应于彼得森品种$\mathrm{Pet}_n$，我们恢复了$H^*_S(\mathrm{Pet}_n)$的介绍，以前由川，原田，增田。此外，在$h=(n,n,...,n)$的情况下，对应的正则幂零Hessenberg簇是满旗簇$\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)$，我们可以明确地将我们理想的生成元与$\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)$的上同调环的通常Borel表示中的生成元联系起来。我们的主要定理的证明包括一个参数，限制同态$H^*_T(\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)) \to H^*_S(\mathrm{Hess}(h))$是满射。在本研究…
2014-12-18 math.AG math.AT
