高级聚类分类介绍
An introduction to higher cluster categories
摘要：
在本综述中，我们讨论了一些组合方面的更高的集群类别。
英文摘要：
In this survey we discuss some combinatorial aspects of higher cluster categories.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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用于更高聚类类别的有色突变
Coloured quiver mutation for higher cluster categories
我们定义突变与倾斜的物体在更高的集群类别的彩色颤动。我们表明，这种操作是兼容的突变操作的倾斜对象。这给出了一个组合的方法来倾斜在更高的集群类别，特别是一个算法来确定加布里埃尔抖动的倾斜对象在这样的类别。
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高维簇范畴的热带系数动力学
Tropical coefficient dynamics for higher-dimensional cluster categories
本文研究高维簇范畴中指标的突变规律，证明其遵循高维版本的热带系数动力学。
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d-簇范畴的簇组合学
Cluster combinatorics of d-cluster categories
研究了$d-$簇范畴中$d-$簇倾斜天体的簇组合。利用与$d-$聚类倾斜对象相似定义的$d-$聚类范畴中的极大刚性对象的变异，证明了$d-$聚类倾斜对象、极大刚性对象和完全刚性对象之间的等价性.利用文献[IY]中$d-$簇倾斜对象的$d+1$三角形链，证明了几乎完备$d-$簇倾斜对象有恰$d+1$补，计算了补之间的扩张群，并研究了这些$d+1$三角形的中间项.这些结果是[BMRRT]中建立的簇范畴中簇倾斜对象的相应结果到$d-$簇范畴的推广。它们被应用到Fomin-Reading的广义簇复形的有限根系定义和研究[FR 2] [Th] [BaM 1 -2]，和无限根系[Zh 3]。
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簇代数和簇范畴的尺规作图法
Geometric construction of cluster algebras and cluster categories
在这篇注记中，我们解释了如何从（穿孔）圆盘的三角剖分中得到簇代数。Fomin，M. Shapiro和D.瑟斯顿此外，我们给出了一个描述的m-集群类别通过对角线（弧）（打孔）多边形和m-集群类别通过权力的平移箭图中给出的联合工作与R。马什
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E型m-簇范畴的组合模型
Combinatorial model for m-cluster categories in type E
我们重新讨论了几何描述的集群类别在类型E的着色对角线的多边形，并推广到m-集群类别的情况下。作为应用，我们把多边形中的着色对角线与E_6，E_7，E_8型的半标准Young图联系起来。这为E_6、E_8型Grassmannian簇代数和E_7型子簇代数的半标准Young图提供了一种新的相容性描述。
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局部有限三角范畴中的高阶簇倾斜对象
Higher cluster tilting objects in locally finite triangulated categories
研究通过遗传代数导出范畴的覆盖函子探讨高阶簇倾斜对象，覆盖形式可将存在性问题转化，对有限不可分解对象三角范畴给出存在准则与公式，证明有限Frobenius模型中相关自同态代数导出等价，还应用于多个领域。
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$A_n$ 型重复簇范畴中的挠对
Torsion pairs in repetitive cluster categories of type $A_n$
本文利用Ptolemy图对$A_n$型重复簇范畴中的挠对进行完整分类，并应用其分类刚性子范畴，推广了先前关于簇范畴挠对分类的工作。
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具有无限维态射空间的相对丛范畴与希格斯范畴
Relative cluster categories and Higgs categories with infinite-dimensional morphism spaces
该研究在相对雅可比无限设定下构建了具有外三角结构的希格斯范畴与相对丛范畴，涵盖格拉斯曼流形丛范畴情形，还构建了改进的丛特征标，附录中完成了准丛态射的范畴化并被用于证明相关猜想。
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高等同调代数中的热带中带与指数
Tropical friezes and the index in higher homological algebra
簇范畴和簇代数编码二维结构。例如，一个簇范畴的Auslander-Reiten图可以画在一个曲面上，并且有一类簇代数由带有标记点的曲面确定。簇特征是从簇范畴（和更一般的三角范畴）到簇代数的映射。他们有一个热带阴影的形式，所谓的热带friezes，这是从集群类别（和更一般的三角形类别）到整数的映射。本文将定义高维热带中楣。动机之一是Oppermann和Thomas的高维簇类别，其编码整数$d \geqslant 1$的$( d+1 )$维结构。它们是$( d+2 )$ -角范畴，属于高等同调代数的范畴.我们将把高维的热带中楣定义为从更高的聚类类别（以及更一般的$( d+2 )$ -角化类别）到整数的映射。在Palu之后，我们将定义一个$( d+2 )$ -角化指数的概念，建立它的一些性质，并使用它来构造高维的热带中楣。
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聚类类别
Cluster categories
簇代数是由Fomin-Zelevinsky在2002年引入的，目的是为代数群中的现象提供一个组合框架。簇代数还与其他广泛的学科有联系，包括有限维代数的表示论，这是Marsh-Reineke-Zelevinsky首先发现的。修改遗传代数上的模范畴，在Buan-Marsh-Reineke-Todorov的工作中引入了簇范畴，以“分类”非循环情况下簇代数定义中的基本成分。他们被凯勒用三角定位。相关的工作由Geiss-Leclerc-Schröer使用Dynkin型的预投射代数完成。在许多作者的工作中，有了进一步的发展，导致了对簇代数的反馈，新的有趣的有限维代数类，以及对卡-丘维数$2.$范畴的研究
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$A_{\infty}^{\infty}$型簇范畴中的余挠对
Cotorsion pairs in cluster categories of type $A_{\infty}^{\infty}$
本文利用带有标记点的无限带中的弧的某些构形，即$τ$ -紧Ptolemy图，给出了$A^\infty_\infty$型簇范畴$\mathscr{C}$中余挠对的完全分类.作为应用，我们分别对$\mathscr{C}$中的$t$ -结构和泛函有限刚性子范畴进行了分类。我们还推出了Liu-Paquette对$\mathscr{C}$的集团倾斜范畴的分类和Ng对$A_\infty$型集团范畴中扭对的分类.
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聚类类别商
Quotients of cluster categories
最近引入了更高的聚类类别作为聚类类别的推广。本文证明了在Dynkin类型A和D中，所有更高的聚类类别中有一半实际上只是聚类类别的继承者。另一半可以作为2-集群类别的子项获得，这是较高集群类别的“最低”类型。因此，在Dynkin类型A和D中，所有更高的簇现象都隐含在簇范畴和2-簇范畴中。相比之下，Dynkin E型中的情况并非如此。
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簇范畴，m-簇范畴与多边形中的对角线
Cluster categories, m-cluster categories and diagonals in polygons
本文的目标是一方面描述如何从三角剖分构造（$m$ -）聚类类别（分别为：从多边形的$m+2$ -角度）。另一方面，我们解释了如何使用平移箭图和他们的权力，以获得$m$ -集群类别直接从一个多边形的对角线。
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Dynkin D型簇范畴中的Ptolemy图和挠偶
Ptolemy diagrams and torsion pairs in the cluster categories of Dynkin type D
本文通过对新的组合对象D型Ptolemy图的双射，给出了Dynkin型D_n簇范畴中挠对的一个完全分类。对于后者，我们给沿途不同的组合描述。其中之一是通过显式地给出它们的生成函数来计算D_n型簇范畴中挠对的个数。
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具有倾斜对象的遗传范畴在聚类范畴中的渐变变异
Graded mutation in cluster categories coming from hereditary categories with a tilting object
提出了簇倾斜代数箭图的一个分次变异规则。在此基础上，我们给出了一种从coh $\mathbb{X}$的簇范畴中恢复簇倾斜目标的方法。
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从带状图案到丛范畴
From frieze patterns to cluster categories
本文以 Conway–Coxeter 带状图案为动机，介绍无圈箭图的丛代数与丛范畴，并用其解释整性与周期性。
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连续簇类别II：连续簇倾斜类别
Continuous cluster categories II: continuous cluster-tilted categories
我们证明了连续簇范畴$\mathcal C_π$模由任何簇生成的加法子范畴的商是一个阿贝尔范畴，并且我们证明了它同构于簇的自同态环上的无限长模范畴。这些定理将Caldero-Chapoton-Schiffler和Buan-Marsh-Reiten关于簇范畴的定理推广到$A$型连续簇范畴.这些结果将在一系列即将举行的联合文件的两名作者与工作岩石。
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D型连续簇范畴
Continuous cluster categories of type D
我们构造了$D$型的连续Frobenius范畴.这些Frobenius范畴的稳定范畴是包含$D_n$类型的标准簇范畴的簇范畴。当$n=\infty$时，不可分解对象的最大相容集是穿孔圆盘的叠层。离散叠层是簇。这种新的结构是拓扑的，它也给出了一个代数解释的“标记弧”发生在Schiffler的几何描述的集群类型$D_n$。
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连续聚类分类I
Continuous cluster categories I
在arXiv：1209.0038中我们构造了拓扑三角范畴C_c作为某些拓扑Frobenius范畴F_c的稳定范畴。在本文中，我们表明，这些类别有一定的c值，包括c= π的集群结构。连续簇范畴是指具有簇结构的C_c。研究了这些簇范畴的基本结构，证明了当c= rpi/s时，C_c同构于连续导出范畴D_r的轨道范畴D_r/F_s.在C_pi中，一个簇等价于双曲平面的离散层。我们给出了这些团簇和叠层的表示论解释。
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广义高级团簇范畴中的团簇倾斜天体
Cluster tilting objects in generalized higher cluster categories
本文证明了在$(m+1)$ -Calabi-Yau dg代数的广义$m$ -簇范畴中存在一个$m$ -簇倾斜对象，这个$m$-簇范畴是$(m+2)$ -Calabi-Yau dg代数的Hom-有限范畴.这是Amiot的Ph.~中关于${m = 1}$情形的结果的推广。D.~论文我们的研究结果特别适用于更高的集群类别相关联的合适的有限维代数的有限的全球维度，和更高的集群类别相关联的Ginzburg dg类别来自合适的分级箭图与超势。
math.RT
广义高阶团簇范畴中的几乎完全团簇倾斜天体
Almost complete cluster tilting objects in generalized higher cluster categories
研究了由高维dg代数产生的广义高阶团簇范畴中的高阶团簇倾斜对象。利用Aihara-Iyama的淤积突变，我们在广义$m$ -簇范畴中得到了一类$m$-簇倾斜对象.对于由强（$m+2$）-Calabi-Yau dg代数产生的广义$m$ -簇范畴，利用单模的极小凝聚分解的截断，证明了每个几乎完全$m$ -簇倾斜$P$ -对象都有具有周期性质的恰$m+1$补.这使我们猜想，每个可提升的几乎完全$m$ -簇倾斜对象在由$m$ -刚性好的完全变形预投射dg代数产生的广义$m$ -簇范畴中具有恰好$m+1$补.
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Igusa-Todorov集团的倾斜子范畴和挠对--Dynkin型$A_{ \infty }$的Todorov集团范畴
Cluster tilting subcategories and torsion pairs in Igusa--Todorov cluster categories of Dynkin type $A_{ \infty }$
本文给出了Dynkin型$A_{ \infty }$的Igusa-Todorov簇范畴中簇倾斜子范畴和挠对的组合分类。
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关于广义簇范畴
On Generalized Cluster Categories
Buan，Marsh，Reineke，Reiten和Todorov为了对Fomin-Zelevinsky簇代数进行分类而引入了簇范畴。本调查的动机和概括的集群类别的建设，并解释这些新的类别在表示论的不同应用。
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双曲范畴
Clustered Hyperbolic Categories
我们引入一类范畴，称为\emph{clustered hyperbolic categories}，这是由一些Weyl簇代数的表示的等价范畴生成。每一个预置的$p$都会产生一个\emph{categorical preseed} $\mathcal{P}$，$\mathcal{P}$通过\emph{categorical mutations}生成一个聚类的双曲范畴。定义了从聚簇双曲范畴$\mathfrak{C}(\mathcal{P})$到Weyl聚簇代数$\mathcal{H}(p)$的映射$\mathbf{F}_{p}$，其中$\mathbf{F}_{p}$的图像生成$\mathcal{H}(p)$，从而引入了Weyl聚簇代数的“范畴化”.
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将Dynkin型高阶簇范畴实现为稳定模范畴
Realising higher cluster categories of Dynkin type as stable module categories
本文证明了树类为A_n，D_n，E_6，E_7或E_8的有限表示型自内射代数的稳定模范畴与对应Dynkin型的u-簇范畴是三角等价的。证明依赖于Keller和Reiten的u-簇范畴的“森田”定理，以及Dugas最近对稳定模范畴的卡-丘维数的计算。
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模范畴内簇范畴的基本区
Fundamental domains of cluster categories inside module categories
设$H$是代数闭域上的有限维遗传代数，$\mathcal{C}_{H}$是相应的簇范畴.给出了$\mathcal{C}_{H} $在有界导出范畴$\mathcal{D}^{b}(H)$中的（标准）基本区的一个描述，以及在适当的倾斜代数$% Γ.$上有限生成模范畴$\modΓ$中的团倾斜对象的一个描述.
math.RT
完备无穷边形的簇范畴 I：三角剖分的范畴化
Cluster categories for completed infinity-gons I: Categorifying triangulations
本文通过将完备无穷边形的三角范畴替换为extriangulated结构，证明弱簇倾斜子范畴与三角剖分一一对应，并刻画了函子有限性与突变条件。
math.COmath.RT
2-Calabi-Yau范畴和幂幺群的簇结构
Cluster structures for 2-Calabi-Yau categories and unipotent groups
我们调查集群倾斜对象（和子类别）在三角形2-卡-丘范畴和相关的类别。特别是，我们构建了一类新的此类范畴相关的预投射代数的非Dynkin箭图与元素的Coxeter群。这类2-Calabi-Yau范畴包含Dynkin图的预投射代数的簇范畴和稳定范畴作为特例。对于这些2-Calabi-Yau类别，我们构建与每个简化表达式相关的集群倾斜对象。相关联的双曲正切描述的减少的表达。受簇代数理论的启发，我们提出了（弱）簇结构和子结构的概念，并给出了几个例子。我们给出了与幂幺群相关的簇代数和子簇代数的应用，包括Dynkin和非Dynkin情形。
math.RT
提升到更高簇类别中的簇倾斜对象
Lifting to cluster-tilting objects in higher cluster categories
本文研究了$d$ -簇倾斜代数，即$d$ -簇范畴中$d$-簇倾斜对象的自同态代数.我们证明了这样一个代数上的一个倾斜模提升到这个$d$ -簇范畴中的一个$d$-簇倾斜对象。
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m-簇范畴三角结构的几何解释
A geometric interpretation of the triangulated structure of m-cluster categories
本文的目的是回答由$A_n$类型的$m$ -簇范畴的几何描述及其在平移向量的$m$次幂上的实现所引起的几个公开问题。特别地，我们给出了$m$ -簇范畴的三角结构的几何解释。此外，我们刻画了所有的连通组件时，采取$m$次权力的Auslander-Reiten的集群范畴。
math.RT
Dynkin型倾斜代数的奇异范畴
The singularity categories of the Cluster-tilted algebras of Dynkin type
本文利用自内射代数的稳定范畴来刻画Dynkin型簇倾斜代数的奇异范畴。进而，我们分别解决了$A$、$D$和$E$型簇倾斜代数的奇异等价分类问题.
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簇代数和簇范畴上的群作用
Group actions on cluster algebras and cluster categories
在簇代数、簇范畴和带势箭图上引入了容许群作用，并研究了由此得到的轨道空间。簇代数的轨道空间具有广义簇代数的结构。这种广义的团簇结构不同于Chekhov-Shapiro和Lam-Pylyavskyy提出的团簇结构。对于簇代数上的曲面的群作用，我们用三角化的轨道空间来描述其广义簇结构。在这种情况下，我们给出了交换多项式的完整列表，并对秩为1和2的代数进行了分类。我们还表明，每一个允许的群作用的集群类别诱导一个precovering从集群类别的轨道。而且，如果范畴是有限型的，则这种预覆盖是稠密的。
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Grassmannian和根组合的簇范畴
Cluster categories from Grassmannians and root combinatorics
利用代数$B_{k,n}$的Cohen-Macaulay模范畴[JKS 16]给出了$n$ -空间中$k$ -平面的Grassmannian的齐次坐标环上的簇代数结构的加法范畴化。在本文中，我们发现了典型的Auslander-Reiten序列，并研究了这一范畴的Auslander-Reiten平移周期。此外，我们给出了任意秩Cohen-Macaulay模的一个显式构造。然后利用我们的结果，建立了Tame情形下相关Kac-Moody代数的秩为2的刚性不可分解模与2次实根之间的对应关系.
math.COmath.RT
广义聚类范畴的普遍性
The ubiquity of generalized cluster categories
在\cite{Ami3}中引入了一个广义簇范畴，并结合一些整体维数不超过2的有限维代数，证明了当它是$\Hom$ -有限的时，它是三角化的，是2-Calabi-Yau的.根据定义，\cite{Bua}的聚类类别是一个特例。本文证明了一大类2-Calabi-Yau三角范畴，包括那些与来自\cite{Bua2}的Coxeter群中的元素相关的范畴，是广义簇范畴的三角等价.对于\cite{Ami3}中的某些特殊元素，已经显示了这一点。
math.RT
广义簇范畴的Caldero-Chapoton公式
A Caldero-Chapoton formula for generalized Cluster Categories
对于Dynkin型遗传代数，Caldero-Chapoton公式将Auslander-Reiten序列的尾项的簇特征标与中间项的簇特征标联系起来。通过考虑Auslander-Reiten三角形，我们将这一结果推广到了具有簇倾斜对象的广义簇范畴.
math.RT
分次Frobenius簇范畴
Graded Frobenius cluster categories
最近，第一作者研究了多等级的广义集群类别，这些是2-Calabi-Yau三角分类与集群倾斜对象的选择。分类上的分级对应于聚类代数上的分级，而没有由聚类分类的系数，因此这些结构之一的知识可以帮助我们研究其他结构。在这项工作中，我们将上述扩展到某些Frobenius范畴，这些范畴对具有系数的簇代数进行分类。我们解释了分级K-理论上证明了类似的结果，三角形的情况下，特别是获得度是加性的确切序列。我们表明，Buan，Iyama，Reiten和斯科特，其中一些被用来Geiss，Leclerc和Schroer的分类细胞部分旗品种，和那些詹森，国王和苏，分类Grassmannians的类别，分级Frobenius集群类别的例子。
math.RT
从三角范畴到阿贝尔范畴--一般框架下的集团倾斜
From triangulated categories to abelian categories--cluster tilting in a general framework
我们把聚类倾斜放在一个一般的框架中，证明了一个三角范畴模一个倾斜子范畴（即一个极大的一正交子范畴）的任何商都带有一个阿贝尔结构。这些交换代数是维数至多为1的Goreisten代数的模范畴。
math.CTmath.RT
关于2-Calabi-Yau范畴簇乘公式的注记
Notes on the cluster multiplication formulas for 2-Calabi-Yau categories
Y. Palu将簇乘公式推广到了具有簇倾斜对象的2-Calabi-Yau范畴（\cite{Palu2}）。本文的目的是构造Y的一个变体。Palu公式的基础上，推导出了一个新的非循环箭图的簇乘公式（\cite{XiaoXu}）。
math.RAmath.RT
具有infinite-dimensional态射空间的簇范畴的簇特征标
Cluster characters for cluster categories with infinite-dimensional morphism spaces
证明了Hom-无限簇范畴的簇特征标的存在性。为此，我们引入了一个合适的突变不变的子类别的集群类别。我们勾勒出如何应用我们的结果，以分类任何反对称集群代数。更多的应用和比较Derksen-Weyman-Zelevinsky的结果将在未来的文件。
math.RAmath.RT
拓扑学家的簇范畴
Cluster categories for topologists
我们考虑三角轨道范畴，与集群范畴的激励的例子，在他们通常的代数三角范畴的背景下，然后从另一个角度提出他们在拓扑三角范畴的框架。
math.ATmath.CTmath.RT
E型聚类范畴的组合模型
Combinatorial model for cluster categories of type E
本文给出了E型簇范畴的一个几何组合刻画。特别地，我们给出了E_6型团簇范畴中所有团簇倾斜天体的一个明确的几何描述。我们在这里提出的模型来自于两个多边形的组合，它推广了A型和D型簇范畴的描述。
math.RT
相对簇范畴与Higgs范畴
Relative cluster categories and Higgs categories
本文将簇范畴构造推广至相对语境，证明了由左(n+1)-Calabi--Yau态射产生的Higgs范畴中存在稳定n-Calabi--Yau的n-cluster tilting对象，并应用于相对Ginzburg dg代数与高维Auslander代数。
math.RT
正合范畴的商与簇倾斜子范畴模范畴
Quotients of exact categories by cluster tilting subcategories as module categories
证明了正合范畴的某些子商范畴是交换的。这推广了Koenig-Zhu在（代数）三角范畴中的一个结果。作为一种特殊情况，如果一个具有足够投射和内射的正合范畴B有一个簇倾斜子范畴M，则B/M是阿贝尔范畴。更确切地说，它等价于M的稳定范畴上的可表示模范畴。
math.CTmath.RT
离散Dynkin型簇范畴$A_{\infty}$的Grothendieck群
The Grothendieck Groups of Discrete Cluster Categories of Dynkin Type $A_{\infty}$
在这项工作中，我们计算三角Grothendieck群的Dynkin型$A_{\infty}$的离散集群类别的家庭中的每一个霍尔姆-Jorgensen介绍。随后，我们还计算的Grothendieck群完成这些离散集群类别的意义上的Paquette-Yildirim。
math.CTmath.RT
2-Calabi-Yau范畴上簇结构的一个非简单的laced版本
A non-simply laced version for cluster structures on 2-Calabi-Yau categories
本文研究了任意域上2-Calabi-Yau或稳定2-Calabi-Yau范畴的非简单形式的簇结构。结果表明，2-Calabi-Yau范畴或稳定的2-Calabi-Yau范畴具有一个既不含圈也不含2-圈的簇倾斜子范畴，它们确实具有广义的簇结构。这特别是在非代数闭域上的簇范畴的情况。
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通过 Nakayama 表示与持续性理论构造负 Calabi-Yau 离散丛范畴
Negative Calabi-Yau discrete cluster categories via Nakayama representations and persistence theory
本文利用持续性理论构造对称 Nakayama 表示的无限离散版本，经稳定化得到一族负 Calabi-Yau 三角范畴，并刻画其几何模型与 AR 理论。
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2-Calabi-Yau三角范畴中倾斜簇对象的提升
Lifting to cluster-tilting objects in 2-Calabi-Yau triangulated categories
我们证明了在2-Calabi-Yau三角范畴中的一个簇倾斜对象的自同态代数上的倾斜模提升到这个2-Calabi-Yau三角范畴中的一个簇倾斜对象。这推广了D.史密斯的聚类分类。
math.RAmath.RT
来自循环偏序集的簇范畴
Cluster categories coming from cyclic posets
循环偏序集是循环序集的推广。本文证明了任何循环偏序集都产生任何离散赋值环R上的Frobenius范畴。arXiv：1209.1879的连续簇类别就是这种构造的例子。如果我们使用循环偏序集的容许自同构来扭曲这个构造，我们会产生其他例子，例如A-无穷大（m>2）类型的m-簇范畴。
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簇代数与导出范畴
Cluster algebras and derived categories
本文介绍了利用Ginzburg代数的导出范畴对簇代数及其加性范畴化的研究。在一个温和的介绍集群组合，我们回顾重要的例子，坐标环承认集群代数结构。然后，我们提出了一个集群代数的一般定义，并描述集群变量，系数，c-向量和g-向量之间的相互作用。我们展示了c-向量如何出现在量子簇代数的研究中，以及它们与量子双对数的联系。然后，我们提出了一个框架的基础上的概念与潜在的Ginzburg代数的导出范畴的簇代数的加法范畴化。我们将展示如何组合先前推出的电梯的范畴水平，这将导致证明，集群代数与颤抖，一些Fomin-Zelevinsky的主猜测。
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Dynkin型簇范畴$D$中扭对的突变
Mutation of torsion pairs in cluster categories of Dynkin type $D$
Zhou和Zhu研究了三角范畴中扭对的突变及其对Dynkin型$A_n$和$A_\infty$型簇范畴的组合解释。本文利用Holm，Jørgensen和Rubey提出的Dynkin型$D_n$的Ptolemy图，给出了Dynkin型$D_n$簇范畴中扭对突变的一个组合模型.
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$m$-簇范畴中$m$ -簇倾斜对象与$(m+2)$ -角化之间的双射
A bijection between $m$-cluster-tilting objects and $(m+2)$-angulations in $m$-cluster categories
在本文中，我们研究了$m$ -Dynkin类型A、D、$\tilde{A}$和$\tilde{D}$的簇类别的几何实现。我们表明，在这四种情况下，有一个双射之间的$(m+2)$ -角度和isoclasses基本$m$ -集群倾斜对象。在这些双射下，$(m+2)$ -角的翻转对应于$m$ -簇倾斜物体的突变。我们的策略在于表明，所考虑的$m$簇类别的某些Iyama-Yoshino约化可以用沿着弧线切割相应的几何实现来描述。这允许从小情况到一般情况推断结果。
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A_n型重复高丛范畴
Repetitive higher cluster categories of type A_n
我们证明了定义为轨道范畴D^b（mod kA_n）/（tau^{-1}[m]）^p的A_n型重复高团簇范畴等价于定义在正则p（nm+1）-边形的对角线子集上的范畴.这推广了Caldero-Chapoton-Schiffler的构造，当p=m=1时，我们恢复了它，以及Baur-Marsh的工作，处理p=1，m>1的情况。我们的方法也导致有界导出范畴D^b（mod kA_n）的几何模型。
math.COmath.CTmath.RT
标记表面的聚类类别：穿孔情况
Cluster categories for marked surfaces: punctured case
我们研究的集群类别所产生的标记表面（穿孔和非空的边界）。通过构造skewed-gentle代数，我们证明了标记曲线与弦对象之间存在一个双射。应用包括将$\operatorname{Ext}^1$的尺寸解释为标记曲线的相交数和将Auslander-Reiten平移解释为标记旋转。一个重要的后果是，集群（倾斜）交换图，这样的集群类别连接。
math.GTmath.RT
Frobenius外三角范畴中的簇子代数与余扭对
Cluster subalgebras and cotorsion pairs in Frobenius extriangulated categories
Nakaoka和Palu通过提取精确范畴和三角范畴之间的相似性引入了外三角范畴的概念。本文研究了Frobenius外三角范畴$\C$中的余挠对.特别地，对于具有簇结构的$2$ -Calabi-Yau外三角范畴$\C$，我们用余挠对描述了簇的子结构.对于由具有簇倾斜对象的$\C$生成的根簇代数，我们给出了$\C$中的余扭对与其根簇子代数中的某些对（我们称之为完全对）之间的一一对应.最后，我们解释这种对应关系的一个例子有关的格拉斯曼集群代数。
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群作用于相对簇范畴和Higgs范畴
Group actions on relative cluster categories and Higgs categories
University of Luxembourg（卢森堡大学）
本文研究有限群作用下的相对簇范畴和Higgs范畴，通过轨道突变和聚类特征链接到具有系数的非单向簇代数，提供非单向簇代数的加法分类法。
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由集团倾斜子范畴产生的阿贝尔范畴
Abelian categories arising from cluster tilting subcategories
对于一个三角范畴T，如果C是T的一个簇倾斜子范畴，则商范畴T \C是一个阿贝尔范畴.在某些条件下，反之亦然。这是Koenig-Zhu和Bkillannis提出的团簇倾斜理论的一个非常重要的结果。设B是一个适当的外三角范畴，它是三角范畴和正合范畴的同时推广。我们引入了B的预簇倾斜子范畴C的概念，它是簇倾斜子范畴的推广。我们证明了C是集团倾斜的当且仅当B/C是阿贝尔的。
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$D_n$型聚类范畴的几何模型
A geometric model for cluster categories of type $D_n$
我们给出了$D_n$型簇范畴的一个几何实现，它使用一个多边形作为模型，该多边形具有$n$顶点和在其中心的一个穿刺。在这个实现中，簇范畴的不可分解对象对应于两个顶点之间路径的某些同伦类。
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2-Calabi–Yau Frobenius 外三角范畴的丛特征标
Cluster characters for 2-Calabi-Yau Frobenius extriangulated categories
本文定义带丛倾斜对象的 2-Calabi–Yau Frobenius 外三角范畴的丛特征标，统一了三角与正合两类范畴中的既有理论。
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具有有向簇倾斜子范畴的2-Calabi-Yau范畴
2-Calabi-Yau categories with a directed cluster-tilting subcategory
作为非循环2-Calabi-Yau范畴的推广，我们考虑了具有有向簇倾斜子范畴的2-Calabi-Yau范畴，研究了它们的簇倾斜子范畴及其编码的簇组合学.我们表明，这样的类别有一个集群结构。具有有向簇倾斜子范畴的三角化2-Calabi-Yau范畴与某些半遗传范畴的表示密切相关，更具体地说，与线颤动的表示密切相关。线程箭图是一个工具，分类和研究某些半遗传类别使用箭图和线性有序集（线程）。我们研究的情况下，由一个单一的线程线程（使该线程的表示对应于一些线性有序集的表示），并表明，类似的情况下，Dynkin的类型$A$，集群倾斜的子类可以理解通过三角形的相关循环有序集。通过这种方法，我们得到了2-Calabi-Yau范畴的有向倾斜子范畴的倾斜子范畴的结构。作为一个应用，我们证明了每个2-Calabi-Yau范畴，如果它有一个有向的簇倾斜子范畴，其中有可数个不可分解对象的同构类，那么它就有一个簇倾斜子范畴$\mathcal{V}$，该簇倾斜子范畴具有以下性质：该簇范畴中的任何刚性对象都可以从$\mathcal{V}$通过可数个变异到达.这意味着存在一个定义在所有刚性对象上的簇映射，因此存在一个簇代数，其簇变量由刚性不可分解对象精确给出。
math.CTmath.RT
聚类类别之间的等价性
Equivalences between cluster categories
[BMRRT]和[BMR]发展了遗传代数簇范畴的倾斜理论。这些结果被推广到遗传阿贝尔范畴的簇范畴。进一步，对于遗传阿贝尔范畴$\mathcal{H}$中的任意倾斜对象$T$，证明了倾斜函子Hom $_\mathcal{H}(T,-)$诱导了从簇范畴$\mathcal{C(H)}$到簇范畴$\mathcal{C}(A)$的三角等价，其中，$A$是准倾斜代数End $_{\mathcal{H}}T.$在遗传交换范畴$\mathcal{H},$ $\mathcal{H}'$的一个导范畴是三角形等价于一个遗传代数的基础上，利用簇倾斜代数（定义为簇范畴中倾斜对象的自同态代数）与相应的拟倾斜代数之间的精确关系，证明了簇范畴$\mathcal{C(H)}$与$\mathcal{C(H')}$是三角等价的当且仅当$\mathcal{H}$与$\mathcal{H}'$是导出等价的.作为应用，我们通过取$\mathcal{H}$为有值Dynkin算子的表示范畴，取$T$为BGP-倾斜（或APR-倾斜），给出了Fomin-Zelevinsky定义的“截断单反射”在相应类型的几乎正根集[FZ 2，FZ 5]上的一个实现.
math.RAmath.RT
