Hessian quartic surfaces that are Kummer surfaces
在1899年，Hutchinson提出了一种方法来获得一个三参数家庭的海森的三次曲面作为blowups的库默尔曲面。我们表明，这个家庭由那些海森包含一个额外的一类圆锥曲线。在此基础上，我们找到了五面体三次曲面C的Hessian族不变量，并给出了五面体三次曲面与Kummer曲面blowup之间的显式映射.
1999-03-07 math.AG
On cubic hypersurfaces with vanishing hessian
如果$X = V(f) \subset \mathbb P^N$是一个约化的复超曲面，则$f$的海森矩阵（或通过滥用术语$X$的海森矩阵）是形式为$f$的二阶导数矩阵的行列式，也就是$f$的海森矩阵的行列式。在[GN]中，Gordan和M. Noether分析了Hesse在[Hesse 1，Hesse 2]中提出的超曲面必然是锥的结论。当然锥有消失的粗麻布。显然，如果deg（X）=2，则该声明为真，因此该问题的第一个相关情况是三次超曲面。人们立即看到，$V(x_0x_3^2 + x_1x_3x_4 + x_2x_4^2)\subset \mathbb P^4$是一个三次超曲面，具有消失的海森，但不是一个圆锥（例如，人们可以检查方程的一阶偏导数是线性无关的）。正如在[GN]中首次指出的，该声明对于$N\leq 3$是正确的，并且通常对于每个$N\geq 4$都是错误的。本文证明了对于$N\leq 6$，$\mathbb P^N$中Hessian为零的不可约三次超曲面在与该超曲面的极映射的象的对偶相切的线性空间中是圆锥或涡卷.我们还提供了规范形式和{ \it特殊Perazzo三次超曲面}的射影特征，这是一个后验，排气类的三次超曲面消失的海森，而不是锥，为$N\leq 6$。最后通过实例说明了$N\geq 7$的技术难点。
2014-11-23 math.AG
The moduli space of Hessian quartic surfaces and automorphic forms
我们将证明在三次曲面的标记Hessian四次曲面的模空间上存在15个权8的自守形式。这些自守形式可以用一般三次曲面的Sylvester形式的系数来解释。
2011-11-02 math.AG
Ranks and Singularities of Cubic Surfaces
我们探讨了多项式的秩和它的消失轨迹的奇异性之间的联系。我们首先描述的奇异性一般多项式的固定秩。然后，我们集中在三次曲面。已知具有孤立奇点的三次曲面可分为22种奇点类型。我们计算每种奇异类型的三次曲面的秩。这使我们能够找到可能的奇异轨迹的三次曲面的固定秩。最后，我们研究了与Hessian判别式的连接。我们证明了一个三次曲面的奇点不是普通的二重点在于Hessian判别式，和Hessian判别式是封闭的秩六三次曲面。
2020-06-12 math.AG
The Fano variety of lines on singular cyclic cubic fourfolds
本文研究奇异循环三次四重簇上直线Fano簇的辛解消，特别关注沿具有$A_i$型孤立奇点的三次三重簇分支的情形，并发现覆盖自同构诱导的三阶非辛自同构。
2023-12-23 math.AG
Galois representations arising from twenty-seven lines on a cubic surface and the arithmetic associated with Hessian polyhedra
在本文中，我们将证明三个明显不相交的对象：由三次曲面上的27条线产生的伽罗瓦表示（数论和算术代数几何），Picard模形式（自守形式），刚性Calabi-Yau三重及其算术（丢番图几何）与Hessian多面体及其不变量密切相关。我们构造了一个伽罗瓦表示，它的象是例外李代数$E_6$的Weyl群$W(E_6)$的一个真子群.本文给出了关于两种不同类型的$L$ -函数的同一性的一个猜想，该猜想可以看作是Langlands-Tunnell定理的一个高维对应.
2006-12-14 math.AG math.NT
Hessian K3 surfaces of non-Sylvester type
构造了不允许Sylvester形式作为等差商的三次曲面的模空间，并确定了偶权模形式的分次环.
2010-06-18 math.AG
On the irreducibility of Hessian loci of cubic hypersurfaces
研究光滑三次超曲面的 Hesse 簇不可约性问题，证明当 $n\leq5$ 时其正规且不可约当且仅当多项式非 Thom-Sebastiani 型，推广了三次曲面情形的结论。
2024-06-17 math.AC math.AG
On the birationality of the Hessian maps of quartic curves and cubic surfaces
本文证明四次平面曲线的 Hessian 映射是到其像的双有理态射，为 Ciliberto-Ottaviani 猜想提供新证据，并用新方法简化了三次曲面相应性质的证明。
2024-02-21 math.AC math.AG
Double cubics and double quartics
研究了在光滑因子$R\subset V$上分支的双覆盖$ψ:X\to V\subset\mathbb{P}^{n}$，使得$R$在$V$上被一个次数为$2(n-\mathrm{deg}(V))$的超曲面切割，其中$n\geqslant 8$和$V$是3或4次光滑超曲面.我们证明了$X$是非有理的和双有理超刚性的.
2005-06-14 math.AG
Periods of cubic surfaces with the automorphism group of order 54
对于任何三次曲面，我们可以将一个由在这个三次曲面中分支的$\mathbb P^3$的三重覆盖给出的三次三重关联起来。D. Allcock，J. Carlson，and D.托莱多使用这种构造来定义三次曲面的周期图。对于某些特定的三次曲面，计算这种映射是很有趣的。本文计算了三次曲面由分支于光滑椭圆曲线上的$\mathbb P^2$的三重覆盖给出的情形。在这种情况下，可以通过对应的椭圆曲线的周期来表示周期。
2021-11-02 math.AG math.GR math.NT
The tetrahedron and automorphisms of Enriques and Coble surfaces of Hessian type
考虑一个满足温和条件的三次曲面，它可以用西尔维斯特五面体形式来描述。有一个著名的Enriques或Coble曲面S，其K3覆盖与该三次曲面的Hessian曲面双有理同构。我们描述了S的nef锥和（-2）-曲线。在五面体参数为（1，1，1，1，非零t）的情况下，我们计算S的自同构群。当t不为1时，它是自由积（Z/2）*（Z/2）*（Z/2）*（Z/2）与对称群S4的半直积。在t=1/16的特殊情况下，研究了Aut（S）对Coble曲面S上的不变光滑有理曲线C的作用.我们描述的行动和它的形象，几何和算术。特别地，我们证明了Aut（S）-->Aut（C）在特征为0时是单射的，并且我们将它的像与来自于正四面体的对称性和通过其小平面的反射的PGL 2的子群相一致.
2018-09-20 math.AG
Some geometry and combinatorics for the S-invariant of ternary cubics
给定一个实三次型f（x，y，z），存在一个伪黎曼度量，由它的黑塞矩阵给出，定义在R^3的开子集上，其中黑塞行列式h不为零。我们用h和f的S-不变量来确定这个度量的全曲率张量，在这个过程中得到了S的各种不同的特征。受三个射影空间的乘积中与完全交三重相关联的交形式的情况的启发，我们然后研究如下产生的三元三次型：我们选择正整数d1，d2，d3，设r = d1 + d2 + d3 - 3，并考虑系数F（x，y，z）中的H1 ^d1 H2 ^d2 H3 ^d3的乘积（x H1 + y H2 + z H3）^3（a_1 H1 + b_1 H2 + c_1 H3）.（a_r H1 + b_r H2 + c_r H3），其中a_j，b_j，c_j表示非负实数，并假定F是非退化的.作者以前关于Kahler模的截面曲率的工作提出了一些关于F的不变量的组合定理。例如，本文证明了Hessian行列式作为关于x，y，z和a_j，b_j，c_j的多项式，只有正系数。同样的性质也被证明为S-不变量;这一猜想的证据和背景在本文中详细解释。
2006-06-20 math.AG
Metric curvature of infinite branched covers
我们研究了分支覆盖空间在几个方面，证明了在适当的情况下，覆盖满足相同的曲率上界的底空间。第一个上下文是在任意完备凸集上满足Alexandrov曲率条件CAT（k）的任意度量空间的分支覆盖。第二个背景是一类相互正交子流形上的黎曼流形的分支覆盖。在这两种情况下，我们都不要求分支是局部有限的。我们将所得结果应用于几个非正截面曲率的复流形中的超平面补。这意味着代数几何中出现的两个模空间是非球面的，即复射影三维空间中光滑的三次曲面的模空间和光滑的复Enriques曲面的模空间。
1999-07-30 math.AG math.DG
A characterization of secant varieties of Severi varieties among cubic hypersurfaces
证明了具有非零Hessian和光滑奇异轨迹的不可约三次超曲面是Severi簇的割线簇当且仅当其无穷小线性自同构的李代数允许非零延拓.
2021-02-20 math.AG
Birational automorphisms of quartic Hessian surfaces
我们找到了一般三次曲面的Hessian曲面的双有理自同构群的生成元。它的非奇异极小模型是秩为16的Picard格的K3曲面。后者自然地嵌入秩为26的偶幺模格$II^{1,25}$中，并且签名$(1,25)$作为秩为10的根子格的正交补。我们的发电机有关的反射，就一些水蛭根。在S.康德$\bar {\roman o}$。我们将解释我们的发电机是如何相关的发电机组的双理性自同构的一般四次库默尔表面是双理性同构的一个特殊的海森曲面。
2001-03-27 math.AG
On the Lefschetz locus in Gor(1,n,n,1)
本文研究 Hessian 矩阵消失的三次超曲面，给出两类特殊族的有理参数化与次数，并借助 Macaulay-Matlis 对偶刻画了 Gor(1,n,n,1) 中满足强 Lefschetz 性质的代数轨迹。
2025-08-22 math.AG
The moduli space of cubic surface pairs via the intermediate Jacobians of Eckardt cubic threefolds
利用Laza，Pearlstein和第二作者的Hodge理论周期映射，研究了光滑三次曲面和光滑超平面截面组成的偶的模空间.这种构造将一个所谓的埃卡特三次三重矩阵与这样一个矩阵对联系在一起，允许一个对合，而周期映射将这个矩阵对发送到这个三次三重矩阵的中间雅可比矩阵的反不变部分，关于这个对合。我们的主要结果是，整体Torelli定理对这个周期映射成立;即，周期映射是单射的。为了证明这一结果，我们将中间雅可比矩阵的反不变部分描述为分支覆盖的Prym簇。我们的证明使用Naranjo-Ortega，Bardelli-Ciliberto-Verra和Nagaraj-Ramanan在相关Prym映射上的结果。事实上，我们能够通过描述正维纤维来恢复其中一个Prym映射的度，这与Donagi-Smith关于亏格为6的曲线的连通双覆盖的Prym映射的度的结果相同。
2021-09-14 math.AG
Twelve points on the projective line, branched covers, and rational elliptic fibrations
在P^1上的十二个点的空间Sym^{12} P^1中，下列因子实际上是相同的：（A）有理椭圆纤维化中十二个节点纤维的可能轨迹（B）可以表示为立方体加正方形的12阶二进制形式;（C）光滑平面四次曲线从平面一般点的12条切线的轨迹;（D）超椭圆亏格为3的曲线到P^1的4次映射的分支轨迹;（E）由θ-特征诱导的从亏格4曲线到P^1的3次映射的分支轨迹;以及其他几个。相应的模空间是光滑的，但它们并不都是同构的;有些是其他的有限余覆盖。我们描述了这些空间之间的互联网络，并给出了单值性，合理性和普林相关的后果。列举的后果包括：（i）该位点的度为3762（例如，有3762个有理椭圆纤维化的节点高于11个给定的一般点的基础）;（ii）如果C -> P^1是一个覆盖，如（D），那么有135个不同的覆盖分支在相同的点;（iii）在（C）中出现的12条切线的一般集合以120种本质上不同的方式出现。这个故事的某些部分是众所周知的，而其他一些部分则是经典的（Zeuthen，Zebraki，Coble，Mumford等）。统一的图像是令人惊讶的复杂和连接许多美丽的结构，包括Recillas的三角结构和Shioda的E8-Mordell-Weil晶格。
1999-10-14 math.AG
Level structures on the Weierstrass family of cubics
设W -> A^2是C上的万有Weierstrass三次曲线族。对于每个N >= 2，我们构造曲面参数化的三种标准类型的水平N结构上的光滑纤维W。然后，我们将这些曲面完全化为A^2的有限覆盖。由于W -> A^2是尖点奇异性的通用变形空间，因此这些表面传达了有关退化为尖点曲线的亏格g的任何曲线族上的水平结构的信息。我们在这篇笔记中的目标是确定这些曲面在（0，0）上对N的哪些值是光滑的。从拓扑学的角度，这些结果确定了SL_2（Z/N）中某些单值分支覆盖的同胚类型。
2006-07-03 math.AG math.GT
Monodromy of the family of cubic surfaces branching over smooth cubic curves
考虑光滑三次曲面族，它可以实现为$\mathbb{P}^{2}$的三重分支覆盖，分支轨迹等于光滑三次曲线。该族由$\mathbb{P}^{2}$中的光滑三次曲线的空间$\mathcal{U}_{3}$参数化，并且每个曲面配备有$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$甲板组动作。计算了$π_{1}\left(\mathcal{U}_{3}\right)$作用于一族三次曲面上的$27$线所引起的单值映射$ρ$的象。由于经典的结果，这个图像包含在Weyl群$W\left(E_{6}\right)$中。我们的主要结果是：$ρ$满射到甲板群的生成元的象a的中心化子上。我们的证明主要是计算性的，并且依赖于三次曲线中的$9$拐点与在其上分支的三次曲面中所包含的$27$线之间的关系。
2021-05-13 math.AG math.AT math.GT
Vector bundles, dualities, and classical geometry on a curve of genus two
设$C$是亏格为2的曲线。用$SU_C(3)$表示$C$上秩为3的平凡行列式半稳定向量丛的模空间，用$J^d$表示$C$上度为$d$的线丛簇.特别地，$J^1$具有规范θ因子$Θ$。空间$SU_C(3)$是沿着六次超曲面Coble六次分支的$P^8=|3Θ|$的双覆盖。在嵌入了$J^1$的对偶$\check{P}^8=|3Θ|^*$中，存在唯一的沿$J^1$奇异的立方超曲面，Coble立方。我们证明了这两个超曲面是对偶的，从而得到了一个非交换的Torelli结果。此外，通过观察这些超曲面的一些特殊的线性截面，我们可以在向量丛的背景下观察和重新解释代数几何中的一些经典结果：Segre-Igusa四次曲面与Segre三次曲面的对偶性、15线15点的对称构形、Weddle四次曲面和Kummer曲面.
2007-02-24 math.AG
Rational elliptic surfaces with six singular double fibres
Università di Roma Tor Vergata（罗马托尔维加塔大学）；Università di Bologna（博洛尼亚大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；Colorado State University（科罗拉多州立大学）；Università Roma Tre（罗马第三大学）；École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文研究具有六个奇异双纤维的有理椭圆面，通过多种视角进行分类并给出构造方法。
2026-02-12 math.AG
A 9-dimensional family of K3 surfaces with finite dimensional motive
该研究利用与四次三维立方体的关联，证明了一类二次曲面三重覆盖K3曲面的Kimura有限维motive，并确立其Kuga-Satake Hodge猜想与Voisin零闭链猜想，进而得到带3阶非辛自同构K3曲面模空间2个9维不可约分支的对应结果。
2024-04-16 math.AG
