Distance-balanced closure of some graphs
N. Ghareghani, B. Manouchehrian, M. Mohammad-Noori
本文证明了任何具有$Δ(G)\geq |V(G)|-3$的距离平衡图$G$都是正则的。定义了图的距离平衡闭包的概念，并用$Δ(T)\geq |V(T)|-3$求树$T$的距离平衡闭包.
In this paper we prove that any distance-balanced graph $G$ with $Δ(G)\geq |V(G)|-3$ is regular. Also we define notion of distance-balanced closure of a graph and we find distance-balanced closures of trees $T$ with $Δ(T)\geq |V(T)|-3$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On $\ell$-distance balanced product graphs
一个图$G$是$\ell$-距离平衡的，如果对于$G$中距离$\ell$的每对顶点$x$和$y$，距离$x$比距离$y$近的顶点的数目等于距离$y$比距离$x$近的顶点的数目。一个完整的$\ell$距离平衡电晕产品的特性和$\ell \ge 3$的词典产品的特性，从而补充了已知的结果$\ell\in \{1,2\}$和纠正早期的相关断言。给出了$H$上保证$K_n \,\square\, H$是$\ell$-距离平衡的一个充分条件，并证明了如果$K_n \,\square\, H$是$\ell$-距离平衡的，则$H$是一个$\ell$-距离平衡图.一个已知的$1$-距离平衡图的特征被扩展到$\ell$-距离平衡图，再次纠正了先前声称的断言。
Distance-balanced graphs and Travelling Salesman Problems
对于每个概率$p\in[0,1]$，我们定义一个基于距离的图形属性，$p$ TS-距离平衡性，在$p=0$与标准距离平衡性一致的情况下，以及在$p=1$与Hamilton连通性相关的情况下。类比与经典的情况下，在一个图的距离平衡性是等价的自中值的属性，我们刻画类的$p$ TS-距离平衡图的公平性方面的某些概率中心性措施，受到流动推销员问题。我们证明，它是可能的，以检测这个属性看经典的距离平衡性（因此，在经典的中心性问题）的一个合适的图形组成，即图的圈积。更准确地说，我们刻画的距离平衡的圈积的两个图的$p$ TS-距离平衡的因素。
On some problems regarding distance-balanced graphs
一个图$Γ$被称为距离平衡的，如果对于$Γ$的任何边$uv$，距离$u$比距离$v$近的顶点数等于距离$v$比距离$u$近的顶点数，并且如果这个数与所选边$uv$无关，则称为精确距离平衡的。一个图$Γ$被称为强距离平衡的，如果对于$Γ$的任何边$uv$和任何整数$k$，距离$u$和距离$v$的$k$处的顶点数等于距离$u$和距离$v$的$k+1$处的顶点数。在本文中，我们回答了一个开放的问题所提出的Kutnar和Miklavidian [欧洲J. Combin。39（2014），57 - 67]通过构建几个无限族的非二部的距离平衡图，这些图不是强距离平衡的。我们反驳了Balakrishnan等人[European J. Combin. 30（2009），1048 - 1053]，并通过提供无限多个反例来回答Kutnar等人在[Discrete Math.306（2006），1881 - 1894]中提出的关于半对称距离平衡图的存在性的公开问题，所述半对称距离平衡图不是强距离平衡的。我们还表明，图$Γ$与$n$顶点和$m$边，它可以检查在$O(mn)$时间，如果$Γ$是强距离平衡，如果$Γ$是很好的距离平衡。
Distance-balanced graphs: symmetry conditions
如果对于$X$的任何边$uv$，距离$u$比距离$v$近的顶点数等于距离$v$比距离$u$近的顶点数，则称图$X$是{ \it距离平衡的}。一个图$X$称为{ \it强距离平衡}，如果对于$X$的任意边$uv$和任意整数$k$，距离$u$和距离$v$的顶点数等于距离$k+1$和距离$u$和距离$v$的顶点数.显然，距离平衡的度量条件比强距离平衡的度量条件弱。本文探讨了图的对称性与（强）距离平衡的度量性之间的联系。特别地，证明了每个点传递图都是强距离平衡的。一个图称为{ \em半对称}，如果它的自同构群作用在它的边集上是传递的，但不作用在它的顶点集上。构造了一类距离不平衡的半对称图.最后，我们给出了以下广义Petersen图无限族的强距离平衡图的完全分类：$\GP(n,2)$，$\GP(5k+1,k)$，$\GP(3k\pm 3,k)$，和$\GP(2k+2,k)$ .
$\ell$-distance-balanced graphs
令$\ell$表示正整数。直径至少为$\ell$的连通图$\G$称为$\ell$ { \it -距离平衡}，只要对于$\G$的任何一对顶点$u,v$，使得$d(u,v)=\ell$，与$v$相比更靠近$u$的顶点的数目等于与$u$相比更靠近$v$的顶点的数目。本文给出了$\ell$ -距离平衡图的一些基本性质，并对直径至多为$3$的$\ell$ -距离平衡图进行了较详细的研究.我们还研究了一些著名的图族，如广义Petersen图的$\ell$ -距离平衡性质。
On the Connectivity of Bipartite Distance-Balanced Graphs
一个连通图$\G$称为{ \it距离平衡}，只要对于$\G$的任意一对相邻顶点$u,v$，距离$u$比距离$v$近的顶点数等于距离$v$比距离$u$近的顶点数。在[具有平衡$(a,b)$ -划分的二部图中，{ \em Ars Combin.} { \bf 51}（1999），113-119]汉达问是否每个二部距离平衡图，这不是一个循环，是3-连通的。在本文中，汉达的问题是在否定的回答。此外，我们证明了一个最小的二部距离平衡图，这不是一个循环，不是3-连通，有18个顶点，是唯一的。此外，我们还给出了2-割中两点间的最小距离为3的非3-连通二部距离平衡图的一个完全分类。所有这样的图都是正则的，并且对于每一个$k \geq 3$，都存在一个无限族这样的图是$k$ -正则的。此外，我们确定了一些结构性质，一个二部距离平衡图，这是不是3-连通，必须有。作为应用，我们对二部强距离平衡图的子族的汉达问题给出了肯定的回答。
On certain regular nicely distance-balanced graphs
一个连通图$\G$称为{\em精细距离平衡}，只要存在一个正整数$γ=γ(\G)$，使得对于$\G$的任意两个相邻顶点$u,v$，恰好有$\G$的$γ$顶点离$u$比离$v$近，恰好有$\G$的$γ$顶点离$v$比离$u$近.令$d$表示$\G$的直径。已知$d \le γ$和具有$γ= d$的精确距离平衡图是长度为$2d$或$2d+1$的完全图和圈。本文利用$γ=d+1$对正则的好距离平衡图进行分类。
2-Edge Distance-Balanced Graphs
本文定义并研究2-边距离平衡图，提出利用偶环或奇环识别k=2,3的该类图的方法，并探讨笛卡尔积、字典序积及细分相关图的性质。
Generalized T-Edge Distance-Balanced Graphs
本文定义了广义t-边距离平衡图，刻画了其若干类别，并研究了其边Szeged指数及笛卡尔积和字典序积的性质。
Quasi-(λ; n)-distance-balanced graphs
对任意一对顶点u和v，d（u; v）= n，Wun Gv表示G中所有离u比离v近的顶点的集合.本文引入了拟（λ; n）-距离平衡图，研究了这类图的一些性质，给出了任意直径d的拟（λ; n）-距离平衡图的构造公式.对于n = 1，这类图包含Abedi等人最近引入的拟λ-DB图[Quasi-λ-distance-balanced graphs，Discrete Appl. Math. 227（2017）21{28]。此外，我们还将研究Abedi等人提出的问题，其中涉及一些问题和猜想。
Unified spectral hamiltonian results of balanced bipartite graphs and complementary graphs
关于图的哈密尔顿性和路可复盖性的充分谱条件已有研究。利用Bondy-Chvátal闭包，我们提供了一种统一的方法来研究这些性质的充分图特征值条件，并锐化了[{ \em线性代数应用程序}，432（2010），566-570]，[{ \em线性代数应用}，432（2010），2170-2173]，[{ \em Appl. Mech. Mater.}，336-338（2013），2329-2334]，[{ \em线性代数应用}，467（2015），254-266]、[{ \em Linear多重线性代数}，64（2016），2252-2269]和[{ \em J. Comb. Optim.}，35（2018），1104-1127]等。
On $\ell$-distance-balancedness of cubic Cayley graphs of dihedral groups
本文证明了生成集为特定形式的二面体群三次Cayley图均高度距离平衡，部分解决了Miklavič和Šparl提出的问题。
Local Distance Antimagic Labeling of Neighborhood Balanced Colored Graphs
本文针对无孤立顶点的图定义局部距离反幻标号及相应色数 χ_ld(G)，并研究邻域平衡着色图的标号问题。
Balanced bipartite distance of $K_4$-free graphs
研究证明，通过删除至多 $n^2/9$ 条边，可使无 $K_4$ 图成为平衡二部图，验证了 Baloogh 等人的猜想，并扩展了 Sudakov 和 Reiher 的结果。
Edge Quasi $λ$-distance-balanced Graphs in Metric Space
本文定义度量空间中的边拟-$λ$-距离平衡图（$EQDBG$），给出例子与构造，证明其二部性、计算边-Szeged指数，并研究图积性质及向优、强边距离平衡图的推广。
On $\{1,2\}$-distance-balancedness of generalized Petersen graphs
研究证明广义彼得森图在特定条件下具有或不具有距离平衡性，改进了已有结论并部分解决了相关猜想。
On distance-balanced generalized Petersen graphs
研究广义彼得森图的距离平衡性质，证明当参数n相对k足够大时，图是直径距离平衡的，部分解决了相关猜想，并确定了该条件下的直径。
Distance-balancing of cube-connected cycles graphs
该研究证明立方体连接循环图$CCC_n$具有距离平衡性，且仅当$n$为偶数时具备良好距离平衡性。
Non-$\ell$-distance-balanced generalized Petersen graphs $GP(n,3)$ and $GP(n,4)$
本文证明了当 n>16 时广义彼得森图 GP(n,3) 以及当 n>24 时 GP(n,4) 对所有小于其直径的 ℓ 均非 ℓ-距离平衡，部分解决了 Miklavič 和 Šparl 的猜想。
Resistance distance in connected balanced digraphs
设$D = (V, E)$是一个强连通平衡有向图，其顶点集为$V$，弧集为$E.$，$i$到$j$的经典距离$d_{ij}^D$是$D.$中$i$到$ L^{\dagger} = ( l_{ij}^{\dagger} )$的最短有向路的长度。$L.$的Penrose逆$i$到$j$的电阻距离定义为$r_{ij}^D := l_{ii}^{\dagger } + l_{jj}^{\dagger } - 2 l_{ij}^{\dagger }.$设$\{ D_1, D_2, ...., D_k \}$是强连通平衡有向图序列，其中$D_i \cap D_j$至多有一个公共点为所有$i \neq j$和与$r_{ij}^{D_t} \leq d_{ij}^{D_t} \ \forall \ t = 1 \ \mathrm{to} \ k.$设$\mathcal{C}$是一个集合的连接，平衡的有向图，其中每个成员是一个有限的联盟的形式$D_1 \cup D_2 \cup ....\cup D_k$其中每个$D_i$是一个连接和平衡的有向图与$D_{i} \cap ( D_1 \cup D_2 \cup ....\cup D_{i-1} )$是一个单一的顶点，对所有$i,$ $1 < i \leq k.$在本文中，我们证明了，对于任何有向图$D$在$\mathcal{C}$，$r_{ij}^D…
Characterization and linear-time recognition of balanced distance-hereditary graphs
本文证明在距离遗传图中，平衡图等价于遗传团-Helly图，并由单个禁止诱导子图$\overline{3K_2}$刻画，进而给出线性时间识别算法。
Balanced vertices in labeled rooted trees
在一棵有根树中，如果一个顶点到它所有的后代叶子的距离相等，我们称它为{ \em balanced}。我们在三个不同的树品种平衡顶点计数。对于递减二元树，我们可以证明从给定大小的所有树的集合中随机均匀选择的顶点是平衡的概率是单调递减的。
Balanced Vertices in Trees and a Simpler Algorithm to Compute the Genomic Distance
本文对Bergeron { \it et al.}算法中起关键作用的白-灰树的覆盖代价问题给出了一种简洁而透明的求解方法。计算线性时间内两个多染色体基因组之间的重排距离（{ \it Theor. Comput. Sci.}，410：5300-5316，2009）。在这个过程中，它为树引入了一个新的{ \em中心}概念，这本身似乎很有趣。
The Norton-balanced condition for $Q$-polynomial distance-regular graphs
本文为$Q$-多项式距离正则图引入Norton平衡条件，证明其在二分、紧、Hamming图、Johnson图等十三类图中成立，并给出理论结果与开放问题。
Stochastic safety radius on Neighbor-Joining method and Balanced Minimal Evolution on small trees
一种基于距离的$n$叶系统树重构方法，以距离矩阵$n$为输入，利用组合学中的工具，以对角线上的$0$ s为单位的$n \times n$对称矩阵，重构出具有$n$叶的系统树。安全半径是从树度量（实现真树的距离矩阵）开始的半径，输入距离矩阵必须全部位于该半径内，以便满足精确的组合条件，在该条件下，基于距离的方法保证返回正确的树。随机安全半径是保证基于距离的方法在一定概率内返回正确树的安全半径。本文研究了$n = 5$的邻接法（NJ）和平衡最小进化法（BME）的随机安全半径。
Maximum Edge-Colorable Subgraph and Strong Triadic Closure Parameterized by Distance to Low-Degree Graphs
给定一个无向图$G$和整数$c$和$k$，最大边可着色子图问题是问我们是否可以删除$G$中至多$k$条边，以得到一个具有至多$c$颜色的适当边着色的图.我们证明了最大边着色子图承认，对于每一个固定的$c$，一个线性大小的问题的核心时，参数化的边缘删除距离$G$的最大程度$c-1$的图。这个参数化测量到实例的距离，由于Vizing的著名定理，这些实例是平凡的yes实例。对于$c\le 4$，我们还提供了一个线性大小的内核相同的参数化多强三元闭包，相关的边着色问题与应用程序在社会网络分析。我们提供了进一步的结果，最大边着色子图参数化的顶点删除距离的图形，每个组件的顺序最多$c$和列表着色版本的两个问题。
Small subgraphs and their extensions in a random distance graph
在以往的文章中，我们得到了随机距离图包含严格平衡图的阈值概率，并将此结果推广到任意图，证明了在阈值处严格平衡图的拷贝数具有渐近的泊松分布.
Distance-unbalancedness of graphs
在本文中，我们提出并研究了一个新的结构不变量的图，称为距离不平衡\-度，作为衡量多少图是（不）平衡的距离。给出了几类著名图的显式公式。本文还研究了树的距离不平衡性。提出了几点看法，并提出了一些有待解决的问题.
Strengthening the balanced set condition for the distance-regular graph of the bilinear forms
该研究加强了双线性形式图的距离正则图的平衡集条件，证明了特定向量之间的标量倍数关系，并探讨了其影响。
On the Djoković-Winkler relation and its closure in subdivisions of fullerenes, triangulations, and chordal graphs
最近指出，某些SiO $_2$层结构和SiO $_2$纳米管可以被描述为完全细分，即部分立方体的细分图。分析分子图中基于距离的拓扑指数的一个关键工具是Djoković-Winkler关系$Θ$及其传递闭包$Θ^\ast$。本文研究了$Θ$和$Θ^\ast$关于全细分的行为。我们应用我们的结果来描述$Θ^\ast$在充分细分的富勒烯，平面三角形，和弦图。
Classification of 3-GNDB Graphs
本文定义了广义3-距离平衡图（3-GDB）和广义3-优美距离平衡图（3-GNDB），并分类了满足 gG 为1或2的3-GNDB图。
Distance Matrices for Conjugate Skew Gain Graphs
针对边标号反转方向时取共轭的共轭斜增益图，本文引入距离矩阵，用其刻画平衡图，并给出若干图类距离谱的显式公式。
Sharp threshold for embedding balanced spanning trees in random geometric graphs
一棵有根树是平衡的，如果一个顶点的度只取决于它到根的距离。本文确定了随机几何图$\mathcal{G}(n,r,d)$中平衡生成树出现的最小阈值。特别是，我们找到了平衡二叉树的尖锐阈值。更一般地说，我们表明，所有序列的平衡树一致有界度和高度趋于无穷大出现在一个尖锐的阈值以上，这些都没有出现在同一个值以下。我们的结果更一般的几何图满足一个温和的条件，其顶点集的分布，我们提供了一个多项式时间算法找到这样的树。
Homotopy, homology, and persistent homology using closure spaces
本文在 Čech 闭包空间滤过上构建多种同伦与奇异同调理论以生成持续模，并推广 Gromov-Hausdorff 距离证明其稳定性。
Optimality of the Neighbor Joining Algorithm and Faces of the Balanced Minimum Evolution Polytope
平衡最小进化（Balanced Minimum Evolution，BME）是一种基于统计一致距离的方法，用于从分子数据的比对中重建系统发育树。在2000年，Pauplin证明了BME方法等价于在BME多面体上优化线性泛函，从Pauplin公式得到的BME向量的凸包适用于所有二叉树。BME方法与邻居连接（NJ）算法有关，现在已知该算法是BME原理的贪婪优化。此外，先前已经研究了NJ和BME算法，以了解NJ算法何时返回少量分类群的BME树。在本文中，我们的目的是阐明结构的BME多面体和加强知识之间的联系BME方法和NJ算法。我们首先证明，任何子树修剪嫁接移动从一个二叉树到另一个二叉树对应的BME多面体的边缘。此外，我们描述了一个完整的家庭的脸参数化不相交的分支。我们表明，这些{ \em进化枝面}是较小的维BME多面体本身。最后，我们证明了，对于任何顺序的连接节点形成一棵树，存在一个相关的距离矩阵（即，相异度图），NJ算法针对该相异度图返回BME树。更强地，我们表明，BME锥和每一个NJ锥关联到一棵树$T$有一个交集的积极措施。
Explicit Almost-Optimal $\varepsilon$-Balanced Codes via Free Expander Walks
本文提出一种更简单的显式构造方法，利用自由扩张行走，基于O'Donnell和Wu构造的近X-拉马努金图，实现接近最优的ε-平衡码，其速率和距离接近Gilbert-Varshamov界限。
On resistance matrices of weighted balanced digraphs
设$G$是一个具有$V(G)=\{1,\dotsc,n\}$的连通图.则任意两个顶点$i$和$j$之间的电阻距离由$r_{ij}:=l_{ii}^† + l_{jj}^†-2 l_{ij}^†$给出，其中$l_{ij}^†$是$G$的拉普拉斯矩阵的Moore-Penrose逆的$(i,j)^{\rm th}$项。对于电阻矩阵$R:=[r_{ij}]$，有一个简洁的公式来计算$R$的逆。这说明\[R^{-1}=-\frac{1}{2}L + \frac{1}{τ' R τ} ττ', \]其中\[τ:=(τ_1,\dotsc,τ_n)'~~\mbox{and}~~ τ_{i}:=2- \sum_{\{j \in V(G):(i,j) \in E(G)\}} r_{ij}~~~i=1,\dotsc,n. \]本文得到了这个结果的一个深远的推广，给出了强连通矩阵加权平衡有向图的广义电阻矩阵的一个求逆公式.当权系数为标量时，证明了广义电阻为非负实数。我们还得到了一个涉及连通图的电阻矩阵和有向图的拉普拉斯算子的扰动结果。
On a class of metrics related to graph layout problems
我们研究的度量时出现的一个有限集的点被嵌入在真正的线，在这样的方式，每对点之间的距离至少是1。这些度量与文献中的其他一些已知度量密切相关，也与一类称为图布局问题的组合最优化问题密切相关。我们证明了这些度量的结构的几个结果。特别地，证明了它们的凸包一般不是封闭的。然后，我们表明，某些线性不等式定义方面的封闭的凸包。最后，我们给出了凸包及其闭包的无界边。
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