On the spectral radius of unicyclic and bicyclic graphs with a fixed diameter
连通图$G$的$α$ -谱半径是$G$的$A_α$ -矩阵的谱半径。本文讨论了图的$α$ -谱半径的比较方法。作为应用，我们分别刻画了直径为$d$的$n$阶单圈和双圈图中具有最大$α$ -谱半径的图.最后，在直径为$d$的$n$阶双圈图中，确定了唯一具有最大无符号Laplacian谱半径的图.
2021-06-17 math.CO
Oriented unicyclic graphs with extremal skew energy
设$\G$是$n$阶的定向图，$\a_1,\a_2,..., \a_n$表示$\G.$的斜邻接矩阵的所有特征值。斜能量$\displaystyle{\cal E}_s(\G)= \sum_{i=1}^{n} |\a_i|.$本文确定了具有最小和最大斜能量的有向单圈图。
2011-08-31 math.CO
The largest $n-1$ Hosoya indices of unicyclic graphs
图$G$的Hosoya指标$Z (G)$定义为图$G$的边独立集的总数.本文推广了[J. Ou，On extremal unicyclic molecular graphs with maximum Hosoya index，\textit{Discrete Appl. Math.} 157（2009）391--397.]和[Y。是的，X。潘，H. Liu，Ordering unicyclic graphs with respect to Hosoya indices and Merrifield-Simmons indices，\textit{MATCH Commun. Math. Comput. Chem.} 59（2008）191--202.]并根据Hosoya指标对最大的$n-1$单圈图进行排序。
2011-05-27 math.CO
A Proof of a Conjecture on Positive and Negative Square Energies of Unicyclic Graphs
Nankai University（南开大学）
本文证明了Akbari等人关于单圈图正负特征值平方和与阶数n大小关系的猜想，即当圈长k为奇数时，k模4决定s^+(G)和s^-(G)与n的大小关系。
2026-05-23 math.CO
Resolvent Energy of Unicyclic, Bicyclic and Tricyclic Graphs
定义了阶为$n$的图$G$的预解式能量为$ER=\sum_{i=1}^n (n-λ_i)^{-1}$，其中$λ_1,λ_2,\ldots,λ_n$是$G$的特征值.在最近的一项工作中[Gutman等人，{ \it MATCH通信数学。计算。化学式{ \bf 75}（2016）279--290]图极值w.r.t.基于广泛的计算机辅助检索，建立了$ER$。我们现在确认其中一些假设的正确性。
2015-12-30 math.CO
Laplacian coefficients of unicyclic graphs with the number of leaves and girth
设$G$是$n$阶图，$\mathcal{L}(G,λ)=\sum_{k=0}^n (-1)^{k}c_{k}(G)λ^{n-k}$是其Laplacian矩阵的特征多项式.由Ilić和Ilić猜想[A. Ilić，M. Ilić，Laplacian coefficients of trees with given number of leaves or vertices of degree two，线性代数及其应用431（2009）2195-2202.]本文研究了所有叶数为$l$的$n$ -顶点单圈图的集合$\mathcal{U}_{n,l}$中所有Laplacian系数最小的极图，其中$\mathcal{U}_{n,l}^g$表示叶数为$l$且围长为$g$的$n$ -顶点单圈图的集合$(\mathcal{U}_{n,l}^g, \preceq)$中极小元的性质。这些结果被用来反驳他们的猜想。此外，还研究了$\mathcal{U}_{n,l}^g$中具有最小类拉普拉斯能量的图。
2013-11-08 math.CO
Prime Vertex Labelings Of Families Of Unicyclic Graphs
一个简单的$n$ -顶点图有一个素顶点标号，如果顶点可以用整数$1, 2, 3,\ldots, n$内射地标号，使得邻顶点有互素标号.我们将提出以前未知的素顶点标号为新的家庭的图，所有这些都是特殊情况下的Seoud和Youssef的猜想，所有的单圈图有一个素标签。
2015-06-18 math.CO
Maximum first Zagreb index of orientations of unicyclic graphs with given matching number
设$D=(V,A)$是一个无孤立点的有向图.有向图$D$的第一Zagreb指标定义为所有弧之和$M_1(D)=\frac{1}{2}\sum\limits_{uv\in A}(d^{+}_{u}+d^{-}_v)$，其中$d^{+}_u$（分别为. $d^{-}_u$）表示出度（或在度）的顶点$u$。本文给出了具有$n$顶点和匹配数为$m$ $(2\leq m\leq \lfloor \frac{n}{2}\rfloor)$的单圈图的所有方向集上的第一Zagreb指标的最大值和极大有向图.
2022-05-29 math.CO math.OC
Extremal unicyclic graphs with respect to additively weighted Harary index
本文定义圈星图CSk，n-k为n个顶点的图，由长度为k的圈和附加在该圈的同一个顶点上的n-k个叶组成。我们还定义了圈路图CPk，n-k是由长度为k的圈和n-k个顶点上的路组成的n个顶点上的图，其中路的一端与圈上的一个顶点相连。我们证明了圈星图CS3，n-3是n阶单圈图中唯一的关于加权Harary指数的极大图，而圈路图CP 3，n-3是唯一的极小单圈图（这里n必须至少为5）.给出了极单圈图的加权Harary指数的值，从而给出了n阶单圈图的加权Harary指数的上界和下界.
2013-06-18 math.CO
Reconstructing edge-deleted unicyclic graphs
本文证明Harary重构猜想对恰好含一个环且具有三个非同构子树的图成立，改进了Müller和Lovás的界限。
2024-11-05 cs.DS math.CO
Ramsey numbers of trees and unicyclic graphs versus fans
广义Ramsey数$R(H, K)$是最小的正整数$n$，使得对于任何具有$n$顶点的图$G$，要么$G$包含$H$作为子图，要么它的补数$\overline{G}$包含$K$作为子图.令$T_n$是具有$n$顶点的树，并且$F_m$是具有由共享公共顶点的$m$三角形组成的$2m + 1$顶点的扇形。本文证明了Zhang，Broersma和Chen关于$m \ge 9$的一个猜想，即对所有$n \ge m^2 - m + 1$都有$R(T_n, F_m) = 2n - 1$. Zhang，Broersma和Chen证明了$R(S_n, F_m) \ge 2n$ for $n \le m^2 -m$，其中$S_n$是$n$顶点上的星，这意味着我们所证明的下界在某种意义上是紧的.我们还将这个结果扩展到单圈图$UC_n$，这是连接图$n$顶点和一个单一的循环。我们证明了对于所有的$n \ge m^2 - m + 1$，其中$m \ge 18$，$R(UC_n, F_m) = 2n - 1$。在证明这个猜想和扩展，我们提出了几种方法嵌入树的图，这可能是独立的利益。
2019-11-18 math.CO
Super edge-magic total strength of some unicyclic graphs
设$G$是一个有限简单无向$(p,q)$ -图，其顶点集$V(G)$和边集$E(G)$使得$p=|V(G)|$和$q=|E(G)|$ . $G$的超边幻全标号$f$是一个双射$f\colon V(G)\cup E(G)\longrightarrow \{1,2,\dots , p+q\}$，使得对于所有边$u v\in E(G)$，$f(u)+f(v)+f(u v)=c(f)$，其中$c(f)$被称为幻常数，和$f(V(G))=\{1,\dots , p\}$。所有$c(f)$的最小值定义为图$G$的超边幻总强度，其中最小值取在$G$的所有超边幻总标号$f$上。在这篇文章中，我们研究了某些单圈图，并提供了一些证据来猜想，一类单圈$(p,q)$ -图的超边幻总强度等于$2q+\frac{n+3}{2}$。
2022-12-10 math.CO
On the largest real root of the independence polynomial of a unicyclic graph
图$G$的独立多项式，记为$I(G,x)$，是每个大小的独立集的数目的生成多项式。$I(G,x)$的根称为$G$的\textit{independence roots}。已知对于每个图$G$，最小模的独立根（记为$ξ(G)$）是实数.所有图的集合上的关系$\preceq$定义如下：$H\preceq G$当且仅当$I(H,x)\ge I(G,x)\text{ for all }x\in [ξ(G),0].$我们找到关于$\preceq$的给定阶的最大和最小连通单圈图以及连通良好覆盖单圈图。这扩展了Csikvári在2013年的工作，其中确定了给定顺序的最大和最小树，并回答了同一工作中提出的一个开放问题。我们的结果的推论给出的图，最小化和最大化$ξ(G)$之间的所有连接（覆盖良好）单圈图。我们还回答了Oboudi在2018年提出的更多相关的开放性问题，并反驳了Levit和Mandrescu在2008年提出的一个猜想。
2022-06-28 math.CO
Extremal graphs for average size of maximal matchings in bicyclic graphs
School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
本文研究双环图中最大匹配平均大小的极值问题，确定了连通双环图中该参数的最小值，并证明了特定结构的图达到下限。
2026-04-30 math.CO
On the third ABC index of trees and unicyclic graphs
本文研究树与单圈图的第三原子键连通性指数，分别确定给定直径的树和给定围长的单圈图的最大 $ABC_3$ 指数，并刻画达到极值的图结构。
2025-03-17 math.CO
Computing Unique Maximum Matchings in O(m) time for Konig-Egervary Graphs and Unicyclic Graphs
设α（G）表示图G中一个独立集的最大顶点数，μ（G）表示图G中一个最大匹配的基数.一个匹配饱和所有的顶点是完美的。如果alpha（G）+ mu（G）等于G的顶点数，则称之为Konig-Egervary图。一个图是单圈的，如果它有一个唯一的圈。在2010年，Bartha证明了一个唯一的完美匹配，如果存在的话，可以在O（m）时间内找到，其中m是边的数量。本文对Konig-Egervary图和单圈图证明了这一猜想。我们提出了一个变体的Karp-Sipser叶去除算法（Karp和Spiser，1981），它结束于一个空图当且仅当原始图是一个Konig-Egervary图，并获得一个唯一的完美匹配作为输出。我们还证明了一个单圈非二部图G可能至多有一个完美匹配，这是G是一个Konig-Egervary图的情况。
2014-02-12 cs.DM math.CO
A Comparison between the Metric Dimension and Zero Forcing Number of Trees and Unicyclic Graphs
图$G$的\emph{metric dimension} $\dim(G)$是使得$G$的每个顶点由其到所选顶点的距离向量唯一确定的最小顶点数。图$G$的\emph{zero forcing number} $Z(G)$是黑色顶点集合$S$的最小基数（而$V(G)\!\setminus\!S$中的顶点被着色为白色），使得$V(G)$在有限次应用“颜色变化规则”后变成黑色：如果白色顶点是黑色顶点的唯一白色邻居，则白色顶点被转换为黑色。我们表明，$\dim(T) \leq Z(T)$为树$T$，和$\dim(G) \le Z(G)+1$，如果$G$是一个单圈图，一路上，我们表征树$T$达到$\dim(T)=Z(T)$。对于一般图$G$，我们引入了“圈秩猜想”。最后，我们证明了$e \in E(\overline{T})$的$\dim(T)-2 \leq \dim(T+e) \le \dim(T)+1$。
2017-02-13 math.CO
On Conjecture of Binomial Edge Ideals of Linear Type
Sabanci University（萨班哲大学）；Indian Institute of Technology Hyderabad（印度理工学院海德拉巴分校）
本文研究Jayanthan等人2021年提出的关于树或单圈图的二项边理想是否为线性型的猜想，验证了该猜想对树成立，发现并非所有单圈图都符合该猜想。
2026-08-28 math.AC math.CO
On Rall's $1/2$-conjecture on the domination game
关于控制对策的$1/2$ -猜想断言，如果$G$是可迹图，则$G$的对策控制数$γ_g(G)$至多为$\left\lceil \frac{n(G)}{2} \right\rceil$ .如果$γ_g(G) = \left\lceil \frac{n(G)}{2} \right\rceil$成立，则可追踪图是$1/2$ -图.证明了所谓的带帽圈是$1/2$ -图，单圈图满足$1/2$ -猜想.另外几个家庭的图，支持的猜想，确定和计算机实验相关的猜想描述。
2020-06-04 math.CO
On the signless Laplacian spectral radius of $C_{4}$-free $k$-cyclic graphs
$k$ -循环图是阶为$n$、大小为$n+k-1$的连通图.本文确定了所有$n$阶的无$C_{4}$ $k$ -循环图的最大无号Laplacian谱半径和相应的极图.此外，我们确定了前三个单圈，双圈，$C_{4}$ -自由图的谱半径的无符号拉普拉斯是最大的。类似的结果得到（组合）拉普拉斯算子。
2016-12-12 math.CO
Vertex and edge metric dimensions of cacti
在一个图G中，一个顶点（或边缘）度量生成器是一组顶点S，使得任何一对顶点（分别为边）与G的区别在于至少有一个顶点与S的区别：最小顶点的基数（相应地，边缘）度量生成器是顶点（或在[19]中，我们确定了G的顶点（分别为）度量维数。边）度量维数，它从两个连续的整数中取值。其中，几个循环配置被引入和顶点（分别）。边缘）度量维度仅在这些配置中的任一个存在于图中时才取两个连续值中的较大者。在本文中，我们推广的结果，仙人掌图，即图中的所有圈是两两边不交的。我们这样做，定义一个单循环的子图G的每个周期G和应用已经介绍的方法，涉及单循环图的配置。所得结果使我们能够证明仙人掌的圈秩猜想。他们还产生了一个简单的上界的仙人掌图的度量维数，我们得出结论的文件，通过说明，同样的上界持有一般。
2021-07-03 math.CO
On a conjecture for the signless Laplacian eigenvalues
设$G$是一个具有$n$顶点和$e(G)$边的简单图，$q_1(G)\geq q_2(G)\geq\cdots\geq q_n(G)\geq0$是$G.$的无符号Laplacian特征值。设$S_k^+(G)=\sum_{i=1}^{k}q_i(G),$，其中$k=1, 2, \ldots, n.$ F. Ashraf等人证明了$S_k^+(G)\leq e(G)+\binom{k+1}{2}$对$k=1, 2, \ldots, n.$的猜想。本文给出了$S_k^+(G),$的各种上界，并证明了这个猜想对下列情形成立：具有足够大$k,$的连通图，当$k\neq 3.$
2013-06-01 math.CO
A Nordhaus-Gaddum conjecture for the minimum number of distinct eigenvalues of a graph
本文对图$G$所对应的对称矩阵的最小特征值个数$q(G)$提出了一个Nordhaus-Gaddum猜想：对于除四个例外之外的所有图$G$，我们猜想有$q(G)+q(G^c)\le |G|+2$，其中$G^c$是$G$的补.我们用$q(G)=|G|-1$计算了所有树和所有图$G$的$q(G^c)$，从而验证了树，单圈图，图与$q(G)\le 4$，以及图与$|G|\le 7$的猜想。
2018-07-17 math.CO math.SP
Gallai's path decomposition conjecture for cartesian product of graphs (\uppercase\expandafter{\romannumeral 2})
本文证明了 Gallai 路径分解猜想对任意图与单圈图或双圈图的笛卡尔积成立，即连通图的路径数不超过顶点数的一半上取整。
2023-10-18 math.CO
Remarks on the Local Irregularity Conjecture
局部不规则图是指每条边的端点具有不同度的图。图G的局部不规则边染色是指图G的任意边染色，使得每种颜色都诱导出图G的一个局部不规则子图。一个图G是可着色的，如果它允许局部不规则边着色。可着色图G的局部不规则边染色所用的最小颜色数，记为CHI'irr（G）.局部不规则猜想认为除了奇长路、奇长圈和某类仙人掌图外，所有图都可以用3种颜色着色。由于该猜想对最小度大的图是有效的，并且所有不可着色图都是顶点不交的仙人掌，因此我们将研究方向转向了稀疏图。本文给出了一个与这个猜想相矛盾的仙人掌图B，即CHI'irr（B）= 4.尽管如此，我们证明了该猜想对于具有顶点不相交圈的单圈图和仙人掌成立。
2021-11-15 math.CO
Scott's induced subdivision conjecture for maximal triangle-free graphs
Scott证明了给定图不具有诱导剖分的图类是$χ$ -有界的.我们验证了他的猜想，极大的三角形自由图。
2011-07-18 math.CO
Solution to Bishnoi's conjecture on minimal t-fold blocking sets of maximal size
Bishnoi证明了如果素数幂阶的射影平面中的极小t-重阻塞集具有最大尺寸，则它要么是一个射影平面减一点，要么是Baer子平面的补，要么是一个酉集。本文证明了这一猜想。
2017-05-09 math.CO
On a Conjecture on the Wiener Index of a Maximal Planar Graph
证明了顶点为$n$的极大可平面图$G$的Wiener指标$W(G)$满足$3 \leq n \leq 18$的$W(G) \leq \Big{\lfloor} \frac{1}{18}(n^3 + 3n^2) \Big{\rfloor}$.
2019-12-06 math.CO
Extremal Graph Theory for Degree Sequences
本文综述了由具有相同图度序列的简单连通图组成的图集的极值问题的一些最新结果和进展。特别地，我们研究和刻画了在给定的具有相同树、单圈、图的度序列的集合中，具有最大（或最小）图不变量（Laplacian、p-Laplacian、无符号Laplacian）的谱半径、第一Dirichlet特征值、Wiener指标、Harary指标、子树数和色数等的极图.此外，还包括一些插图。
2015-10-07 math.CO
Metric dimension on sparse graphs and its applications to zero forcing sets
图$G$的度量维数dim（G）是$G$的顶点子集$S$的最小基数，使得$G$的每个顶点由它到$S$的距离唯一地确定。图的度量维数可以通过修改一条边而大大增加。我们的主要结果包括在证明边增加的度量维数的增加可以摊销的意义上说，如果图由一个生成树$T$加上$c$边，那么$G$的度量维数最多是$T$加上$6c$的度量维数。然后利用这个结果证明了Eroh等人的一个猜想的一个弱化。$G$的迫零数$Z(G)$是黑顶点子集$S$的最小基数（而其他顶点被着色为白色），使得在多次应用以下规则之后，所有顶点都将变为黑色：如果白色顶点是黑色顶点的唯一白色邻居，则白色顶点变为黑色。Eroh等人指出，对于任何图$G$，$dim(G)\leq Z(G) + c(G)$，其中$c(G)$是必须从$G$中删除以获得森林的边的数量。他们证明了这个猜想对树和单圈图是正确的。我们证明了一个较弱的版本的猜想：$dim(G)\leq Z(G)+6c(G)$持有任何图。我们还证明了猜想是真实的图边不相交的循环，广泛推广的单圈Eroh等人的结果。
2022-06-02 cs.DM math.CO
Counterexamples to conjectures on strong maximality and minimality
本文针对无限图和超图中强极大与强极小结构的猜想，构造3-一致超图等反例，解决了多位学者提出的相关猜想与问题。
2025-11-17 math.CO
Counterexamples to a conjecture of Hoa on maximal non-Hamiltonian graphs
East China Normal University（华东师范大学）
针对1994年Hoa提出的极大非哈密顿图相关猜想，本文通过构造n≥56阶的反例，成功推翻了该猜想。
2026-08-17 math.CO
Positive and Negative Square Energies of Graphs
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Ghent University（根特大学）；Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；Federal University of Parana（巴拉那联邦大学）；University of Delaware（特拉华大学）；University of Wyoming（怀俄明大学）；Korteweg-de Vries Institute, University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学科蒂格-德弗里斯研究所）；Iowa State University（爱荷华州立大学）；American Institute of Mathematics（美国数学研究所）；Universite de Geneve（日内瓦大学）
本文研究连通图正、负特征值平方和的下界猜想，通过推导图运算等结构性结果，在若干图类上部分证明了该猜想。
2023-03-21 math.CO
Abstract 3-Rigidity and Bivariate $C_2^1$-Splines I: Whiteley's Maximality Conjecture
Graver在1991年提出的一个猜想指出，一般的$3$ -维刚性拟阵是关于拟阵弱序的唯一极大抽象$3$ -刚性拟阵. 1996年，Whiteley利用逼近论中广义$d$ -维刚性拟阵与广义$C_{d-2}^{d-1}$ -余因子拟阵的相似性，提出了一个类似的猜想：广义$C_{d-2}^{d-1}$ -余因子拟阵是所有$d\geq 2$唯一的最大抽象$d$ -刚性拟阵.本文证明了Whiteley猜想的$d=3$情形.在我们的证明中的一个关键步骤是验证怀特利的第二个猜想，“双V-替换操作”保持独立的通用$C_2^1$ -余因子拟阵。
2022-04-22 math.CO
A counterexample to a conjecture on facial unique-maximal colorings
平面图的面唯一最大染色是一个自然数的真顶点染色，其中在每个面$α$上，最大颜色在$α$的顶点上只出现一次。法布里齐和戈林证明了六种颜色是足够的任何平面图，并证明了四种颜色足够。这个猜想是四色定理的一个加强。温德兰后来把上界从6降到了5。本文通过给出无穷多个反例证明了该猜想的错误。从而得出球面的面唯一最大色数为5。
2017-09-14 math.CO
Maximal-clique partitions and the Roller Coaster Conjecture
一个图$G$是{ \em well-covered}，如果每个极大独立集具有相同的基数$q$。令$i_k(G)$表示$G$中基数$k$的独立集的数目。Brown，Dilcher，and Nowakowski证明了独立序列$(i_0(G), i_1(G), \ldots, i_q(G))$对任意具有独立数$q$的良序图$G$都是单峰的.迈克尔和特拉维斯推翻了这个猜想。相反，他们提出了所谓的“过山车”猜想：对于具有独立数$q$的覆盖良好的图$G$，项\[ i_{\left\lceil\frac{q}2\right\rceil}(G), i_{\left\lceil\frac{q}2\right\rceil+1}(G), \ldots, i_q(G) \]可以是任何指定的顺序。Michael和Traves证明了$q<8$的猜想，Matchett将其扩展到$q<12$。在本文中，我们证明了过山车猜想使用的一个结构图的性质有关，有一个最大团划分。特别是，我们表明，对于所有对的整数$1\le k<q$和正整数$m$，有一个覆盖良好的图$G$与独立数$q$的每个独立集的大小$k+1$包含在一个唯一的最大独立集，但每个独立集的大小$k$包含在至少$m$不同的独立集。
2014-12-15 math.CO
Counterexamples to Gerbner's Conjecture on Stability of Maximal $F$-free Graphs
设$F$是一个具有$r\geq 2$的$(r+1)$ -色临界图，即$χ(F)=r+1$，且$F$中存在边$e$使得$χ(F-e)=r$ . Gerbner最近证明了：每一个至少有$(1-\frac{1}{r})\frac{n^2}{2}- o(n^{\frac{r+1}{r}})$边的$n$ -顶点极大$F$ -自由图都包含一个在$n-o(n)$顶点上的导出完全$r$ -部图.令$F_{s,k}$是通过共享公共边从$C_{2k+1}$的$s$拷贝获得的图。本文证明了对所有$k\geq 2$，如果$G$是一个至少有$n^{2}/4 - o(n^{\frac{s+2}{s+1}})$条边的$n$ -顶点极大$F_{s,k}$ -free图，则$G$包含一个在$n-o(n)$顶点上的导出完全二部图.我们也证明了这是最好的可能。这证明了Gerbner对$r=2$的猜想是错误的。
2022-05-03 math.CO
The minimum number of maximal independent sets in graphs with given order and independence number
本文研究给定顶点数和独立数的树与单圈图中极大独立集数目的最小值，通过斐波那契数给出紧的下界。
2024-10-23 math.CO
Spectral threshold dominance, Brouwer's conjecture and maximality of Laplacian energy
图的拉普拉斯能量是图的拉普拉斯矩阵的特征值到图的平均度的距离之和。对于阈值图，证明了在$n$节点和$m$边上的所有图的最大Laplacian能量.我们证明了猜想持有的性质，对于每个$k$有一个阈值图上的相同数量的节点和边缘的总和的$k$最大拉普拉斯特征值超过了图的$k$最大拉普拉斯特征值的图。我们称这样的图为谱阈值支配图。这些图包括分裂图和余图，谱阈值优势通过不交并和取补来保持。我们猜想所有的图都是谱阈值控制的。这个猜想原来是等价于布劳威尔的猜想有关的限制总和的$k$最大的拉普拉斯特征值。
2016-04-26 math.CO
Solution to a conjecture on the maximal energy of bipartite bicyclic graphs
简单图$G$的能量定义为它的邻接矩阵的所有特征值的绝对值之和，记为$E(G)$。令$C_n$表示$n$阶的圈，$P^{6,6}_n$表示通过具有两个叶子的路径$P_{n-12}$连接两个圈$C_6$而得到的图。设$\mathscr{B}_n$表示所有二部双圈图的类，但不表示图$R_{a,b}$，图$R_{a,b}$是由两个圈$C_a$和$C_b$（$a, b\geq 10$和$a \equiv b\equiv 2\, (\,\textmd{mod}\, 4)$）通过边连接而得到的。在[I. Gutman，D. Vidović，Quest for molecular graphs with maximum energy：a computer experiment，{ \it J. Chem. Inf. Sci.} { \bf 41}（2001），1002- 1005]，Gutman和Vidović证明了具有最大能量的双圈图是$P^{6,6}_n$，对于$n=14$和$n\geq 16$ .在[X.李军，张军，关于具有极大能量的双圈图，{ \it线性代数应用}。{ \bf 427}（2007），87- 98]，Li和Zhang证明了该猜想对于$\mathscr{B}_n$类中的图是成立的。然而，他们不能确定两个图$R_{a,b}$和$P^{6,6}_n$中的哪一个具有最大的能量值。在[…
2011-02-17 math.CO
Maximal $k$-Edge-Colorable Subgraphs, Vizing's Theorem, and Tuza's Conjecture
证明了：如果$M$是重图$G$的极大$k$ -边可着色子图，且如果$F = \{v \in V(G) : d_M(v) \leq k-μ(v)\}$，则对所有$v \in F$，有$d_F(v) \leq d_M(v)$. (When $G$是一个单图，集合$F$只是$M$中度小于$k$的顶点的集合。）这意味着Vizing定理以及图扎猜想的一个特殊情况下包装和覆盖的三角形。我们的结果的一个更详细的版本也意味着Vizing的邻接引理的单图。
2017-03-06 math.CO
On comparing Zagreb indices
设$G=(V,E)$是具有$n = |V|$顶点和$m = |E|$边的简单图.第一和第二萨格勒布指数是最古老和最著名的拓扑指数之一，定义为$M_1 = \sum_{i \in V} d_i^2$和$M_2 = \sum_{(i, j) \in E} d_i d_j$，其中$d_i$表示顶点$i$的度。最近提出的猜想$M_1 / n \leqslant M_2 / m$已被证明适用于树、单圈图和化学图，而反例则被发现适用于连通图和不连通图。我们的目标是双重的，既支持一个猜想，也反对它。首先，我们证明了表达式$M_1/n$和$M_2/m$有相同的上下界，这两个上界对正则图是相等的。我们还建立了可变的第一和第二萨格勒布指数的急剧下界。其次，我们证明了对于任何固定的数$k\geqslant 2$，存在一个连通图的$k$圈，其中$M_1/n>M_2/m$成立，有效地表明，猜想不能成立，除非存在某种限制的数量的循环或最大顶点度的图。特别是，我们证明了猜想持有细分图。
2011-04-21 math.CO
On a conjecture about tricyclic graphs with maximal energy
对于给定的简单图$G$，定义$G$的能量为它的邻接矩阵的所有特征值的绝对值之和，记为$\mathcal {E}(G)$。古特曼对于给定的一类图，确定最大能量的问题往往是复杂的。树、单圈图和双圈图的最大能量分别有多种方法。令$P^{6,6,6}_n$表示具有从$C_6$的三个副本和路径$P_{n-18}$获得的$n\geq 20$顶点的图，该路径通过将$C_6$的两个副本中的每一个之间的单个边添加到路径的一个端点并且将从第三个$C_6$到$P_{n-18}$的另一个端点的单个边添加。最近，Aouchiche et al. [M. Aouchiche，G. Caporossi，P. Hansen，Open problems on graph eigenvalues studied with AutoGraphiX，{ \it Europ. J. Comput. Optim.} { \bf 1}（2013），181--199]提出了如下猜想：设$G$是$n$顶点上的一个具有$n=20$或$n\geq22$的三圈图，则$\mathcal{E}(G)\leq \mathcal{E}(P_{n}^{6,6,6})$具有相等性当且仅当$G\cong P_{n}^{6,6,6}$ .设$G(n;a,b,k)$表示$n$上的所有连通二部三圈图的集合，其中$C_{a}$，$C_{b}$和$C_{k}$…
2014-01-30 math.CO
The Purity Conjecture in Type $C$
如果对于每个$I, J \in \mathcal{C}$，当整数$1,2,\ldots,m$排列在圆中时，存在将$I \backslash J$与$J \backslash I$分开的弦，则$k$-$\{1,2,\ldots,m\}$的元素子集的集合$\mathcal{C}$是弱分离的。哦，Postnikov和Speyer构建了弱分离集合之间的对应关系，这些集合通过包含和约化平面图而最大化，约化平面图是Postnikov定义的一类网络，它给出了m-空间中$k$ -平面的格拉斯曼图。作为一个推论，他们证明了斯科特的纯度猜想，其中指出，一个弱分离的集合是最大的包含，当且仅当它是最大的大小。本文描述了对称平面图对应的极大弱分离集，给出了Lagrangian Grassmannian上的坐标图，并证明了纯度猜想的一个对称版本.
2019-07-18 math.CO
Pairs of a tree and a nontree graph with the same status sequence
图中顶点$x$的状态是$x$与所有其他顶点之间的距离之和。设$G$是一个连通图. $G$的状态序列是按非降序排列的所有顶点的状态列表。$G$称为状态内射，如果它的所有顶点的状态是不同的。设$G$是图族$\mathscr{F}$的一个成员，并设$G$的状态序列为$s.$，如果$G$是$\mathscr{F}$中状态序列为$s.$的唯一图，则称$G$在$\mathscr{F}$中状态唯一。Shang和C.林提出以下两点主张。猜想1：树和非树图不能有相同的状态序列。猜想2：任何状态内射树在所有连通图中是状态唯一的。我们以否定的方式解决这两个猜想。对于每一个整数$n\ge 10,$，我们构造了一棵树$T_n$和一个单圈图$U_n,$，它们都是$n,$阶的，并且具有以下两个性质：（1）$T_n$和$U_n$具有相同的状态序列;（2）对于$n\ge 15,$，如果$n$与$3$模$4$全等，则$T_n$是状态内射的，并且在任意四个连续偶数阶中，存在至少一个阶$n$，使得$T_n$是状态单射的。
2019-01-28 math.CO
The Maximum Wiener Index of Maximal Planar Graphs
一个连通图的Wiener指数是图中所有顶点对之间的距离之和。证明了$n$ -顶点极大可平面图的Wiener指标至多为$\lfloor\frac{1}{18}(n^3+3n^2)\rfloor$ .我们证明了这个猜想，并为每一个$n$，$n \geq 10$，确定唯一的$n$ -顶点极大可平面图，这是达到最大值。
2019-12-05 math.CO
The subpath number of cactus graphs
本文研究仙人掌图的子路径数，刻画了具有n个顶点和k个圈的极大与极小仙人掌图结构，并证明子路径数与子树数及Wiener指数均不相关。
2025-03-04 math.CO
On a maximal anti-Ramsey conjecture of Burr, Erdős, Graham, and Sós
University of Vienna（维也纳大学）；Princeton University（普林斯顿大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文证实了对于奇数环C_{2k+1}（k≥4），最大反Ramsey函数的猜想，并给出了其渐近公式。
2026-03-19 math.CO
Well-indumatched Trees and Graphs of Bounded Girth
如果图G的所有极大诱导匹配都具有相同的大小，则称图G是良诱导的。在本文中，我们刻画了所有的良内插树。我们提供了一个线性时间算法来判断一棵树是否是良索引的。然后，我们刻画了围长至少为9的极小良标号图，并证明了对于大于或等于9且不等于11的奇数g，不存在围长为g的良标号图。另一方面，存在无限多围长为k的良凝聚单圈图，其中k在{3，5，7}中或k是大于2的偶数。我们还表明，虽然识别良好的indoched图是已知的合作NP-完全的一般情况下，人们可以在多项式时间识别良好的indoched图的最大诱导匹配的大小是固定的。
2019-12-16 cs.DM math.CO
Maximal triangulations of a regular prism
本文给出了De Loera，Santos和Takeuchi的两个定理，并计算了$n$ -棱柱和$n$ -反棱柱的任意正三角剖分的最大尺寸.
2003-09-13 math.CO
Upper bounds for the average size of maximal matchings in bicyclic graphs
School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
该研究确定了顶点数为$n$的连通双环图中最大匹配平均大小的上界，刻画了达到上界的图类，完善了图的最大匹配平均大小的极值研究。
2026-08-10 math.CO
Proof of a Conjecture on the Growth of the Maximal Resistance Distance in a Linear 3--Tree
本文证明了Barret等人关于线性3-树最大电阻距离增长极限为1/14的猜想，通过删除拉普拉斯矩阵行列式及拉普拉斯展开得到递推和Binet公式。
2025-05-26 math.CO
A generalization of Tuza's conjecture
图扎\cite{tuza}的一个著名猜想是，覆盖图中所有三角形所需的最小边数至多是边不相交三角形最大数的两倍。我们提出了一个更广泛的设置这个猜想。对于超图$H$，令$ν^{(m)}(H)$是边集合的最大尺寸，其中没有两个边共享$m$或更多顶点，并且令$τ^{(m)}(H)$是$m$顶点集合的集合$C$的最小尺寸，使得$H$中的每条边包含来自$C$的集合。我们猜想在满足$ν^{(m)}(H)=1$的超图中可得到最大比$τ^{(m)}(H)/ν^{(m)}(H)$.这将意味着，特别是，以下推广图扎的猜想：如果$H$是$3$ -均匀的，那么$τ^{(2)}(H)/ν^{(2)}(H) \le 2$。(Tuza的猜想是这样的情况下，其中$H$是集的三角形的顶点在图中的所有三元组）。我们表明，大多数已知的结果图扎猜想去这个更一般的设置。我们还证明了关于比率$τ^{(m)}(H)/ν^{(m)}(H)$的一些一般性结果，并研究了分数形式和$k$ -部超图的情形。
2019-12-18 math.CO
One conjecture about size of Sidon sets
我们证明了$[n]$的Sidon集的最大基数超过$ \sqrt{n}
2013-04-08 math.CO
