关于凸形极小化λ2的Hölder正则性
About Hölder-regularity of the convex shape minimizing λ2
摘要：
在本文中，我们考虑著名的形状优化问题：$$λ_2(Ω^*)=\min_{\stackrel{|Ω|=V_0} {Ω\textrm{ convex}}} λ_2(Ω),$$其中$λ_2(\Om)$表示在$\Om\subset\R^2$中具有齐次Dirichlet边界条件的Laplace算子的第二特征值，而$|\Om|$是$\Om$的面积。我们证明，在一些技术假设下，任何最佳形状$Ω^*$是$\mathcal{C}^{1,\frac{1}{2}}$，而不是$\C^{1,α}$任何$α>\frac{1}{2}$。我们还从我们的策略中得到一些更一般的正则性结果，在部分超定边值问题的框架内，我们将这些结果应用到其他一些形状优化问题。
英文摘要：
In this paper, we consider the well-known following shape optimization problem: $$λ_2(Ω^*)=\min_{\stackrel{|Ω|=V_0} {Ω\textrm{ convex}}} λ_2(Ω),$$ where $λ_2(\Om)$ denotes the second eigenvalue of the Laplace operator with homogeneous Dirichlet boundary conditions in $\Om\subset\R^2$, and $|\Om|$ is the area of $\Om$. We prove, under some technical assumptions, that any optimal shape $Ω^*$ is $\mathcal{C}^{1,\frac{1}{2}}$ and is not $\C^{1,α}$ for any $α>\frac{1}{2}$. We also derive from our strategy some more general regularity results, in the framework of partially overdetermined boundary value problems, and we apply these results to some other shape optimization problems.
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