L_2-差异衡量有限点集分布的不规则性。本文证明了任意N点集的L_2-差异的下界。主要关注二维情形。二维L_2-差异的渐近上下界是众所周知的，且具有尖锐阶sqrt(log N)。然而，对于二维问题，最佳已知下界和上界之间的常数差距大得不令人满意。我们的下界显著改善了这种情况。主要方法是K. F. Roth方法的改编，利用差异函数关于Haar基的傅里叶系数。
英文摘要：
The L_2-discrepancy measures the irregularity of the distribution of a finite point set. In this note we prove lower bounds for the L_2 discrepancy of arbitrary N-point sets. Our main focus is on the two-dimensional case. Asymptotic upper and lower estimates of the L_2-discrepancy in dimension 2 are well-known and are of the sharp order sqrt(log N). Nevertheless the gap in the constants between the best known lower and upper bounds is unsatisfactory large for a two-dimensional problem. Our lower bound improves upon this situation considerably. The main method is an adaption of the method of K. F. Roth using the Fourier coefficients of the discrepancy function with respect to the Haar basis.
University of Washington（华盛顿大学）；University of St Andrews（圣安德鲁斯大学）；Stanford University（斯坦福大学）；ELLIS Institute Tübingen（蒂宾根ELLIS研究所）；Max Planck Institute for Intelligent Systems（马克斯·普朗克智能系统研究所）；Tübingen AI Center（蒂宾根人工智能中心）
本文证明了单位$2$ -球面HEALPix曲面（Hierarchical，Equal Area and iso-Latitude Pixellation）中由像素中心给出的点集的球冠差的上、下界为点个数的平方根阶，并计算了显式常数.这增加了显式构造的集合的已知集合，其差异收敛于$N^{-1/2}$阶，匹配i.i.d.的渐近阶。随机点集我们更详细地描述了HEALPix框架，并给出了边界和像素中心的明确公式。然后，我们引入了一个$n$凸曲线的概念，并证明了一个上界有多少基本区是由这样的曲线包围，特别是我们表明，球冠的边界有这个属性。最后，我们简要地提到，抖动采样技术也适用于HEALPix框架。
