Motion and Bäcklund Transformations of Discrete Plane Curves
Jun-ichi Inoguchi, Kenji Kajiwara, Nozomu Matsuura, Yasuhiro Ohta
我们构造明确的解决方案，离散平面曲线的离散运动，最近已经推出的作者之一。给出了用$τ$函数表示的显式公式。同时发展了光滑曲线和离散曲线运动的变换理论。
We construct explicit solutions to the discrete motion of discrete plane curves that has been introduced by one of the authors recently. Explicit formulas in terms the $τ$ function are presented. Transformation theory of the motions of both smooth and discrete curves is developed simultaneously.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Lax representations for the magnetohydrodynamics equations
本文找到了约化磁流体动力学方程（RMHD）的两个 Lax 表示，推导了其切覆盖与余切覆盖间的 Bäcklund 变换，并通过沿 $z$ 轴平移对称性约化，为二维理想磁流体动力学方程（IMHD）提供了类似的 Lax 表示与变换构造。
An insight into the $q$-difference two-dimensional Toda lattice equation, $q$-difference sine-Gordon equation and their integrability
在我们以前的工作\cite{LNS}中，我们利用达布变换构造了非对易$q$ -差分二维Toda格点（$q$ -2DTL）方程的拟Casoratian解，并证明了在对易情况下，该拟Casoratian解产生了双线性$q$ -2DTL方程的已有Casoratian解.实际上，利用达布变换和二元达布变换，不仅可以构造孤子方程的解，而且可以构造相应的B $\ddot{a}$ cklund变换的解。更具体地说，孤子方程的迭代达布变换和二元达布变换产生的本征函数只给出它们的B $\ddot{a}$ cklund变换的行列式解。这揭示了达布变换和广田双线性方法之间的深刻联系。本文将以$q$-2DTL方程为例阐明这一观点。首先，我们导出了双线性$q$-2DTL方程的广义双线性B $\ddot{a}$ cklund变换，从而得到了广义拉克斯对.在此基础上，建立了双线性$q$-2DTL方程及其双线性B $\ddot{a}$ cklund变换的量子积分形式的Grammian解.最后，通过对$q$-2DTL方程的相应结果进行2-周期约化，得到了一个$q$ -差分sine-Gordon方程和一个修正的$q$ -差分sine-Gordon方程，并得到了它们的相应解.
Discrete mKdV equation via Darboux transformation
我们介绍了一种有效的途径来获得离散势mKdV方程出现从一个特定的离散运动的离散平面曲线。
Bäcklund transformations as integrable discretization. The geometric approach
本文以 Bäcklund 变换为可积离散化工具，从几何角度统一解释离散渐近网与离散共轭网的经典和现代结果，并通过 Ribaucour 变换构造正交共轭网的可积离散类似物。
Geometric discretization of the Koenigs nets
我们介绍了柯尼希斯格，这是一个新的可积约化的四边形格（离散共轭网），并提供了自然的可积离散模拟的柯尼希斯网。我们构造了Koenigs格的Darboux型变换，并证明了这种变换的叠加的可置换性，从而证明了Koenigs格的可积性。我们还研究了离散柯尼希斯变换的几何。特别是，我们的特点柯尼希斯变换的对合确定的一个同余共轭格。
Max-Plus Algebra for Complex Variables and Its Application to Discrete Fourier Transformation
最大加变换是一种从可积方程导出元胞自动机的方法，本文将其推广到复数情形。本文还研究了一般复变量数下这种变换的运算规则。作为应用，将极大加变换应用于离散傅立叶变换。引入拉伸坐标，得到虚部与离散傅立叶变换相位一致的极大加变换。
Factorization of Darboux-Laplace transformations for discrete hyperbolic operatros
对半离散和离散二阶双曲算子的初等Darboux-Laplace变换进行了分类.证明了在（半）-离散情形下，也存在两类初等Darboux-Laplace变换：由初始双曲算子核中特定元素的选择定义的达布变换和由算子本身定义的经典Laplace变换.本文证明了在离散情形下，在等价类的水平上，任何达布-拉普拉斯变换都是初等变换的乘积。
Discrete asymptotic nets and W-congruences in Plucker line geometry
线几何方法内的渐近格和它们的变换进行了研究。证明了离散渐近网可用Plucker二次曲面上的迷向同余表示。在渐近格的Lelieuvre型表示和Moutard变换的离散模拟的基础上，构造了W-同余的离散模拟，它提供了渐近格的Darboux-Backlund型变换，并建立了渐近格的离散Moutard变换和相应变换的置换定理.证明了在Plucker二次曲面中离散W-同余是由四边形格表示的。这些结果推广到离散水平的经典线几何方法的渐近网和W-同余，并纳入理论的渐近格到更一般的理论的四边形格及其减少。
The determinant representation of the gauge transformation for the discrete KP hierarchy
定义了离散KP（dKP）族的连续规范变换算子$T_{n+k}$，它包含两类规范变换算子.建立了$T_{n+k}$的行列式表示，并利用它从初始的$τ_\triangle$得到dKP层次的新的$tau$函数$τ^{(n+k)}_\triangle$.在这个过程中，我们引入了广义离散Wronskian行列式和离散差分算子的一些有用的性质。
The compatibility of additional symmetry and gauge transformations for the constrained discrete Kadomtsev-Petviashvili hierarchy
本文给出了约束离散Kadomtsev-Petviashvili方程族的规范变换与附加对称性之间的相容性，它保持了cdKP方程族的附加对称性的形式，直到相应的附加流被普通时间流移位.
$\mathbb{Z}_\mathcal{N}$ graded discrete integrable systems and Darboux transformations
本文给出了一类新的二维离散可积系统的达布变换，这类系统被称为$\mathbb{Z}_\mathcal{N}$分次离散可积系统，是Fordy和Xenitidis最近在$\mathbb{Z}_\mathcal{N}$分次离散拉克斯对的框架下提出的.本文从离散的Gel'fand-Dikii方程族出发，通过对自变量进行变换，导出了互质情况下的$\mathbb{Z}_\mathcal{N}$分次离散方程及其相应的拉克斯对.构造达布变换是通过考虑$\mathbb{Z}_\mathcal{N}$分次格点方程的双线性形式中的相关线性问题来实现的。我们证明了所有这些$\mathbb{Z}_\mathcal{N}$分次方程在我们的方案中共享一个统一的解结构。
Symmetric Linear Backlund Transformation for Discrete BKP and DKP equation
确定了离散BKP和离散DKP方程的真格。对离散的BKP方程和DKP方程构造了线性Bäcklund变换方程，它具有格对称性，并产生自贝克隆变换
Discrete canonical system and non-Abelian Toda lattice: Backlund-Darboux transformation and Weyl functions
对于离散正则系统和非阿贝尔Toda格，构造了一种迭代Bäcklund-达布变换，其中达布矩阵采用系统理论中的转移矩阵函数的形式.得到了外尔函数的变换、本征值的插入和束缚态的构造等结果。给出了一类广泛的显式解。给出了半无限块Jacobi矩阵的一个应用。
Darboux transformation and analytic solutions of the discrete \PT-symmetric nonlocal nonlinear Schrodinger equation
本文对离散的宇称时间对称非定域非线性薛定谔方程构造了达布变换，它提供了一个代数迭代算法，可以从已知解得到一系列解析解.以零波解和平面波解为种子，导出了呼吸孤子解、行波解和局域有理孤子解。这些解决方案的性质进行了讨论，特别是渐近分析揭示了所有可能的情况下，离散的有理暗孤子和反暗孤子之间的相互作用。
Bäcklund-Darboux Transformations and Discretizations of $N=2\; a=-2$ Supersymmetric KdV Equation
研究了$N=2 \;a=-2$超对称KdV方程.构造了该方程的达布变换和相应的贝克隆变换。同时，还导出了相应的贝克隆变换的非线性叠加公式。利用贝克隆变换和相关的非线性叠加公式构造了可积的超半离散和全离散系统。同时也考虑了这些离散系统的连续极限。
Darboux transformation and multi-soliton solutions of discrete sine-Gordon equation
研究了离散达布变换，构造了可积离散sine-Gordon方程的多孤子解.我们还计算了离散sine-Gordon方程的单、双、三、四孤子解以及单、双呼吸子解的显式表达式。离散扭结和呼吸子的动力学特征也得到了说明。
Darboux and Binary Darboux Transformations for Discrete Integrable Systems. II. Discrete Potential mKdV Equation
本文提出了两个结果。首先，它是如何显示的离散势修正KdV方程及其拉克斯对矩阵形式产生的Hirota-Miwa方程的2-周期约化。然后推导了离散势修正KdV方程的达布变换和二元达布变换，并给出了如何用它们构造精确解的方法.
A Bilinear Approach to Discrete Miura Transformations
我们提出了一个系统的方法来构造离散潘勒韦方程的Miura变换。我们的方法是基于双线性形式主义，我们开始与非线性离散方程的表达方面的$τ$ -功能。从所得到的系统中消除$τ$函数导致另一个非线性方程，这是原始方程的“修改”版本。因此，该过程产生三浦变换。在这封信中，我们说明了这种方法，通过复制以前已知的三浦变换和构造新的。
Discrete Levy Transformations and Casorati Determinant Solutions of Quadrilateral Lattices
研究了多维四边形格上的离散Levy变换序列和伴随Levy变换序列。经过适当的迭代次数，我们展示了如何变换的四边形晶格的所有相关的几何特征可以表示在多Casorati决定因素。作为一个例子，我们打扮笛卡尔晶格。
Modified series of integrable discrete equations on a square lattice with a non-standard symmetry structure
在作者最近的一篇论文[TMP，200：1（2019），966- 984]中，构造了一系列具有非标准广义对称结构的正方形格上的可积离散自治方程。我们通过使用离散非点变换来建立修正级数。我们使用不可逆的线性化变换和非点变换可逆的离散方程的解决方案。结果，我们得到了几个新的离散方程的例子，以及它们的广义对称和主对称。构造的广义对称给出了五点和七点微分差分方程及其主对称的新的可积例子。在离散方程的情况下，利用守恒律构造不可逆线性化变换的方法显然是第一次被考虑。
Darboux and binary Darboux transformations for discrete integrable systems 1. Discrete potential KdV equation
Hirota-Miwa方程可以用两种方式写成“非线性”形式：离散KP方程和通过使用相容连续变量的离散势KP方程。对于这两个系统，我们认为达布和二进制达布变换，表示在连续变量，并获得精确的解决方案，在Wronskian和Grammian形式。我们讨论减少这两个系统的离散KdV和离散潜在的KdV方程，分别利用这种连接找到达布和二元达布变换和这些方程的精确解。
A supersymmetric AKNS problem and its Darboux-Bäcklund transformations and discrete systems
本文考虑一个超对称AKNS谱问题。构造了两个初等和一个二元达布变换。利用约化方法，给出了超对称修正Korteweg-de Vries方程、sinh-Gordon方程和非线性薛定谔方程的Darboux变换和贝克隆变换.这些达布变换和贝克隆变换被用来构造可积的离散超系统，并给出了半离散和全离散系统.并求出了相关离散系统的连续极限。
Pearson Equations for Discrete Orthogonal Polynomials: III. Christoffel and Geronimus transformations
半经典离散正交多项式的连续超几何关系用Christoffel变换和Geronimus变换描述。利用Christoffel-Geronimus-Uvarov公式，得到了移位半经典离散正交多项式的拟定表达式。
Discrete transformation for matrix 3-waves problem in three dimensional space
构造了三波问题的显式离散变换。本文还将该系统推广到三维空间中的矩阵情形，并给出相应的离散变换。
Discrete Integrable Systems and Hodograph Transformations Arising from Motions of Discrete Plane Curves
我们考虑与平面曲线运动相关的一些孤子方程的可积离散：Wadati-Konno-Ichikawa弹性梁方程，复Dym方程和短脉冲方程。它们通过速端图变换与修正的KdV方程或sine-Gordon方程相联系。基于将速端图变换看作曲线运动的欧拉-拉格朗日变换的观察，我们构造了速端图变换的离散类似物，得到了这些孤子方程的可积离散化.
Supersymmetric KdV equation: Darboux transformation and discrete systems
对于超对称KdV方程，给出了一个恰当的达布变换.这种达布变换导致了刘和谢\cite{liu2}早期发现的贝克隆变换。利用达布变换和相关的贝克隆变换构造了可积的超微分-差分系统和差分-差分系统.这些离散系统及其拉克斯对的连续极限也被考虑。
Continuous-discrete integrable equations and Darboux transformations as deformations of associative algebras
定义并研究了由变形驱动代数生成的一类结合非交换代数的结构常数的变形。这些变形由中央系统（CS）控制。这样的CS研究的情况下，DDA是移位代数。变形的三维代数离散和混合连续离散Boussinesq（BSQ）和WDVV方程的具体例子。它示出的达布变换的理论，至少对于BSQ的情况下，是完全纳入拟议计划的变形。
Binary Darboux transformations for discrete modified Boussinesq equation
通过对Hirota-Miwa方程及其拉克斯对的3周期约化技术，得到了著名的离散修正Boussinesq方程的双分量形式及其$3\times3$矩阵形式的Lax对.我们描述了如何达布变换和二元达布变换可以构造这个两个组件的离散可积方程。然后使用这些变换来获得卡索拉蒂型和格拉姆型行列式形式的显式解类。当真空势为常数时，讨论了离散修正Boussinesq方程的$N$ -孤子解.
Darboux transformation and soliton solutions of the semi-discrete massive Thirring model
利用拉克斯对和Dressing方法，导出了半离散质量Thirring模型解之间的一重达布变换.这种变换被用来寻找零和非零背景下孤子解的精确表达式。结果表明，离散孤子具有与连续质量Thirring模型孤子相同的性质。
The gauge transformation of the constrained semi-discrete KP hierarchy
本文通过选择适当的生成函数，明确地构造了约束半离散KP（cdKP）族的规范变换。在$m$ -步逐次规范变换$T_m$下，给出了cdKP族变换Lax算符的变换（伴随）本征函数和$τ$ -函数.
The integrable discretization of the Bianchi-Ernst system
给出了离散的Moutard方程的约束条件，从而给出了Bianchi-Ernst系统的可积离散化。我们还推导出这样一个系统的解决方案之间的Bianchi变换（孤子术语中的Darboux-Backlund变换）的离散模拟。我们最终得到了离散Bianchi变换的叠加。
On an integrable system related to the relativistic Toda lattice -Bäcklund transformation and integrable discretization
研究了一个与相对论Toda晶格有关的可积系统。给出了这个格的双线性表示，并得到了Bäckulund变换。一个完全离散的版本也介绍了其双线性贝克隆变换和拉克斯对。利用贝克隆变换给出了离散系统的单孤子解。
Integrable Mappings Related to the Extended Discrete KP Hierarchy
我们研究扩展的离散KP族的自相似解。结果表明，相应的ansatzes导致纯离散方程与依赖于一些参数连同方程的变形相对于这些参数。提供了一些例子。特别是，它表明，众所周知的离散第一Painleve方程（dPI）及其层次产生的自相似减少的Volterra格层次，这反过来又可以被视为减少的扩展离散KP层次。它是写下来的方程，自然推广dPI。证明了这些离散系统描述了$A_{2(n-1)^{(1)}}$型Noumi-Yamada系统的贝克隆变换.我们还考虑三浦变换有关不同的无限和有限场可积映射。最简单的例子，这种Miura变换。
Integrable Discrete Nonautonomous Quad-equations as Bäcklund Auto-transformations for Known Volterra and Toda Type Semidiscrete Equations
我们构造了可积离散非自治四元方程作为已知Volterra和Toda型半离散方程的Bäcklund自变换，其中有些方程也是非自治的.这种额外的例子被发现通过使用离散方程的转换是可逆的解决方案。通过这种方式，我们得到不同类型的可积的例子：离散类似的正弦戈登方程，刘维方程和敷料链的Shabat。对于刘维尔型方程，我们构造一般的解决方案，使用特定的线性化。对于sine-Gordon型方程，我们发现广义对称，守恒律和$L-A$对。
Classification of discrete equations linearizable by point transformation on a square lattice
本文给出了定义在四点上的非线性偏差分方程可线性化的一组完备条件，并利用它们将定义在四点上的可线性化的多线性偏差分方程分类到Mobious变换
Discrete integrable systems, Darboux transformations, and Yang-Baxter maps
这些课堂讲稿致力于离散系统的可积性及其与Yang-Baxter（YB）映射理论的关系。拉克斯对在离散系统的可积性中起着重要的作用。通过考虑著名的双无限Toda格，我们引入了拉克斯对的概念。特别地，我们给出了用逆散射变换方法求解Cauchy初值问题，回顾了Jacobi矩阵的散射理论，并给出了逆散射变换的Riemann-Hilbert公式.另一方面，Lax-Darboux方案构成了可积系统理论中的重要工具，因为它涉及几个可积性概念。我们解释的作用，达布和Bäcklund transformations在理论的可积系统，我们展示了它们如何可以用来构建离散的可积系统通过Lax-Darboux计划。此外，我们还介绍了Yang-Baxter映射的理论，并指出了它与离散可积系统的关系。最后，我们以非线性薛定谔方程为例，演示了通过达布变换构造杨-巴克斯特映射的方法。
Integrable Modifications of the Ito-Narita-Bogoyavlensky Equation
我们考虑五点微分差分方程。我们的目标是通过不可逆的离散变换找到与之相关的伊藤-成田-Bogoyavlensky方程的可积修正。我们列举了与第一、第二和第三阶变换相关的所有修改。据我们所知，这样的分类问题是第一次在离散的情况下解决。我们分析得到的变换，以指定其性质。发现了一些新的可积五点方程和新的变换，并推导出一个新的完全离散方程。有一些非标准变换是三浦型的，或者是以非标准方式线性化的。我们还证明了在这个问题中，可能的变换的阶数受到数字5的限制。
Discrete equations and the singular manifold method
第二类Painleve方程（PII）和第四类Painleve方程（PIV）的Painleve展开式有两个分支。因此，奇异流形方法需要两个奇异流形。利用双奇异流形方法，将PII和PIV的Miura变换导出到修正的Painleve型方程组，并得到自Backlund变换。这些自Backlund变换可用于获得离散方程。
Discrete Darboux Transformation for Ablowitz-Ladik Systems Derived from Numerical Discretization of Zakharov-Shabat Scattering Problem
本文基于Zakharov-Shabat散射问题的数值离散化，推导出Ablowitz-Ladik系统的离散Darboux变换，研究其在计算多孤子势中的有效性，并发现所得数值方案对步长是一阶的。
Discrete Schlesinger Transformations, their Hamiltonian Formulation, and Difference Painlevé Equations
Schlesinger变换是Fuchsian系统的代数变换，它保持其单值表示，并通过积分移位作用于系统的特征指数。研究这类变换的一个重要原因是Schlesinger变换与离散潘勒韦方程之间的关系，这也是我们工作背后的主题。我们导出了描述由初等Schlesinger变换生成的离散动力系统的\emph{discrete Schlesinger evolution equations}，并给出了它们的离散Hamilton描述。Fuchsian系统空间上的标准辛结构。作为应用，我们计算了两个从Schlesinger变换到差分潘勒韦方程约化的例子.第一个例子d- $P\big(D_{4}^{(1)}\big)$（或差分Painlevé V）对应于连续$P_{\text{VI}}$的贝克隆变换。第二个例子d- $P\big(A_{2}^{(1)*}\big)$（具有对称群$E_{6}^{(1)}$）是纯离散的。我们还描述了冈本空间的初始条件，在比较不同的方程相同类型的几何所发挥的作用。
A noncommutative semi-discrete Toda equation and its quasideterminant solutions
考虑半离散Toda方程的非对易形式。找到了一个拉克斯对及其达布变换和二元达布变换，并用它们构造了两族拟行列式解.
Transformations of Quadrilateral Lattices
受共轭网变换的经典研究的启发，我们发展了其离散类似物的变换的一般几何理论：多维四边形格，即格x：Z^N -> R^M，其基本四边形是平面的。我们的调查是基于离散模拟的直线同余理论，我们也详细介绍。我们的研究，特别是离散类似物的拉普拉斯，Combescure，利维，径向和基本的变换及其相互关系。这些变换的组成和它们的置换性也从几何的角度进行了研究。对于四边形格，我们也研究了“变换”和“离散”之间的深层联系。最后，我们解释这些结果内的D-酒吧形式主义。
Integrable Discrete Geometry: the Quadrilateral Lattice, its Transformations and Reductions
本文综述了可积离散几何的最新研究成果。事实证明，大多数已知的（连续和/或离散）可积系统是四边形格的特殊对称性，一个多维格的特点是其基本四边形的平面性。因此，平面性的线性性质似乎是可积性的一个基本几何性质。我们提出的几何意义的τ函数，作为潜在的连接其向前和向后的数据。我们提出了理论的四边形晶格，这是基于离散模拟的直线同余理论的变换。特别是，我们讨论了离散的类似物的拉普拉斯，Combescure，利维，径向和基本的变换及其相互关系。我们还展示了如何描述的离散户田系统的四边形表面的拉普拉斯变换序列。最后，我们表明，这些经典的转换是严格相关的基本运营商与量子场论制定的多组分Kadomtsev Petviashvilii层次。我们回顾的性质，四边形超平面晶格，这在减少理论中发挥了有趣的作用，当引入额外的几何结构允许建立点和超平面晶格之间的连接。我们提出并充分表征一些几何区别减少的四边形格，像对称，圆形和叶戈罗夫格，我们还审查基本几何结果的理论四边形格在二次曲面，和相应的模拟Ribaucour减少的基本变换。
Discrete dynamics in cluster integrable systems from geometric $R$-matrix transformations
本文研究簇可积系统中由几何 $R$-矩阵引发的非局部离散动力学，利用扩展仿射对称群刻画包含局部与非局部变换的广义簇模群，并描述其对谱数据的作用。
Miura transformations for discrete Painlevé equations coming from the affine E$_8$ Weyl group
我们得到可积方程从自治映射的一般形式的启发，与仿射Weyl群E $_8^{(1)}$的加性系统。通过deplenisation，我们得到两个迄今未知的系统，其中之一原来是一个线性化的，我们表明，这两个系统产生的deplenisation的非QRT映射。为了明确地证明这些非自治系统的可积性，我们引入了一系列的Miura变换，使我们能够证明这些系统之一确实是一个离散的潘勒韦方程，与仿射Weyl群E $_7^{(1)}$相关，并将其转换为规范形式。类似的三浦变换序列使我们能够有效地线性化我们得到的第二个系统。一个有趣的分支，我们的计算是，一系列的三浦变换，当应用在自治的限制，允许一个非QRT不变量转化为QRT之一。
Discrete equations from Bäcklund transformations of the fifth Painlevé equation
本文从第五Painlevé方程的Bäcklund变换导出离散方程，包括一个具有三元对称性的新离散方程，并利用广义Laguerre多项式和广义Umemura多项式推导出离散方程的有理解层次，同时利用非唯一有理解对得到满足同一离散方程的不同有理解层次。
On the Lagrangian Structure of the Discrete Isospectral and Isomonodromic Transformations
我们建立了相应的有理矩阵函数的黎曼球面上的重构变换的离散等谱和等单道动力系统的拉格朗日性质。具体而言，在等谱的情况下，我们推广的Moser-Veselov方法的离散系统的可积性，通过重构矩阵多项式的矩阵有理函数，有一个简单的除数，在二次的情况下，明确地写拉格朗日函数这样的系统。接下来，我们表明，如果我们让某些参数在这个拉格朗日是时间依赖的，所得到的欧拉-拉格朗日方程描述的线性差分方程系统的isomondromic变换。已知在某些特殊情况下，这类方程可化为差分潘勒韦方程。作为一个例子，我们展示了如何获得差分Painlevè V方程以这种方式，因此，我们建立了这个方程可以写在拉格朗日形式。
The wronskian solution of the constrained discrete KP hierarchy
从约束离散KP（cdKP）族，Ablowitz-Ladik格已被导出。利用规范变换，给出了Ablowitz-Ladik格点的Wronskian解。cdKP族的$u_1$在奇数次规范变换时是Y型孤子解，而在偶数次规范变换时则变成暗-亮孤子解.离散变量$n$的$u_1$的配置文件中的作用进行了讨论。
On Discrete Symmetries of the Multi-Boson KP Hierarchies
我们表明，多玻色子KP层次结构具有一类离散的对称性，将它们连接到离散户田系统。这些离散对称性是由相应的Lax算子的相似变换产生的。这建立了离散变换的规范性质。谱方程定义了格点系统和相应的Lax算子，在确定相关的对称结构中起着关键作用。我们还介绍了平方根格的概念，导致一个家庭的新的伪微分算子的协方差下额外的贝克隆变换。
A comparison of two discrete mKdV equations
在这里，我们考虑两个离散版本的修改KdV方程。在一种情况下，已知一些孤立波解、贝克隆变换和运动积分。在另一个方程中，只给出了孤立波解，并给出了相应的结果。我们还推导了第二个方程的可积性，并给出了连接两个模型的变换。
Bäcklund-Darboux Transformations and Discretizations of Super KdV Equation
对于广义超KdV方程，构造了三个达布变换和相应的贝克隆变换.这些达布变换的兼容性导致三个离散系统及其Lax表示。研究了Kupershirt超KdV方程的一个Bäcklund-达布变换的约化及其相应的离散系统.当所有奇变量为零时，得到了KdV方程的Levi贝克隆变换的一个非线性叠加公式.
Discrete Crum's Theorems and Integrable Lattice Equations
在本文中，我们建立了两个二阶差分方程的离散形式的达布变换和Crum定理。差分方程的离散化版本（使用达布变换）的频谱问题的KdV方程，修改的KdV方程或sine-Gordon方程。考虑差分方程通过达布变换产生的离散动力学，得到了格点势KdV方程、格点势修正KdV方程和格点Schwarzian KdV方程，它们是可积格点方程的原型。事实证明，沿着离散化过程中使用达布变换，两个家庭的可积系统（KdV家庭，和修改的KdV或sine-Gordon家庭），包括其连续，半离散和晶格版本，明确地构建。作为离散Crum定理的直接应用，得到了格点方程的多孤子解。
On the discrete and continuous Miura Chain associated with the Sixth Painlevé Equation
三浦链是由三浦或贝克隆变换相关的微分（或差分）方程的（闭合）序列。我们描述了这样一个链的第六潘勒韦方程（\pvi），包含，除了\pvi本身，一个Schwarzian版本以及二阶二度常微分方程（ODE）。作为一个副产品，我们得到了一个自动贝克隆变换，涉及两个副本的\pvi与不同的参数。我们还在链的离散对应物中建立了类似的常差分方程。这种差分方程控制贝克隆变换下\pvi的解的迭代。离散方程和连续方程构成了一个更大的系统，其中包括偏差分方程，微分差分方程和偏微分方程，所有与格Korteweg-de Vries方程受相似约束。
Discretization of Camassa-Holm peakon equation using orthogonal polynomials and matrix $LR$ transformations
本文利用正交多项式与矩阵 $LR$ 变换的关系，提出 Camassa-Holm peakon 方程的非自治时间离散化，验证其渐近行为并用数值例子证明其能捕捉 peakon 波运动。
Schlesinger Transformations for Linearisable Equations
介绍了Gambier方程的Schlesinger变换。在连续和离散两种情况下，后者都可以写成两个耦合的Riccati方程的级联系统，其中包含整数参数n。在连续的情况下，该参数出现在方程中，而在离散的情况下，它对应于奇异约束的步骤的数量。两个Schlesinger变换得到的解决方案有关的某个值$n$，对应于n+1或n+2。
Linearization through symmetries for discrete equations
我们表明，可以定义通过对称性的方法来检查通过一个点或离散的科尔-霍普夫变换的差分方程的线性化的程序。如果方程是可线性化的，则对称性提供线性化变换。在最后，我们提出了几个例子的应用程序上定义的四个格点的方程。
A discrete Darboux-Lax scheme for integrable difference equations
我们提出了一个离散的达布-拉克斯计划，用于导出自动贝克隆变换和构造不一定具有3D一致性的四元图方程的解决方案。作为一个说明性的例子，我们使用与非线性薛定谔（NLS）方程相关的Adler-Yamilov型系统[19]。特别是，我们构造了一个自动贝克隆变换的离散系统，它的叠加原理，我们采用它们在建设的一个和两个孤子解的Adler-Yamilov系统。
Matrix Orthogonal Polynomials, non-abelian Toda lattice and Bäcklund transformation
研究了矩阵正交多项式与非交换可积格之间的关系。证明了用拟行列式表示的矩阵正交多项式的正规化因子在半离散和全离散情况下都是非交换Toda格的解。利用矩修正方法，证明了Popowicz给出的非交换Toda的贝克隆变换等价于非交换Volterra格，其解也可用拟行列式表示.
Noncommutative discrete equations, symmetries and reductions
本文利用非交换离散KdV方程的Lax对构造广义对称与Miura变换，通过对称约化得到非交换离散Painlevé方程和推广的Ernst方程，并建立Darboux变换、自Bäcklund变换与非交换Yang–Baxter映射的联系。
Darboux transformations, discrete integrable systems and related Yang-Baxter maps
本文研究了在约化群作用下不变的NLS型Lax算子的达布变换。具体地说，我们研究的情况下：1）非线性薛定谔方程（无约化），2）衍生的非线性薛定谔方程，其中相应的Lax算子是不变的作用下的$\mathbb{Z}_2$ -约化群和3）的衍生的非线性薛定谔方程的变形，与一个Lax算子不变的作用下的二面角约化群。这些约化群对应于最近的自守李代数的分类结果。我们推导出达布矩阵的所有上述情况下，我们用它们来构建新的离散可积系统连同他们的Lax表示。对于这些差分方程组，我们讨论了初值问题，而且，我们考虑其可积约化。此外，达布矩阵的推导产生了许多有趣的对象，如相应的偏微分方程的贝克隆变换以及它们相关的差分方程系统的对称性和守恒律。此外，我们使用这些达布矩阵构造六维杨巴克斯特映射的所有上述情况。这些地图可以被限制为四维杨巴克斯特映射不变的叶子，这是完全可积的，我们也考虑他们的向量推广。
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