Compactifications of rational maps, and the implicit equations of their images
本文对参数化超曲面的仿射有理映射$f$的定义域和上定义域给出了不同的紧化。我们表明，封闭的形象，这个地图（可能与其他一些额外的超曲面）可以表示的矩阵的线性syzygies。我们将$\Bbb {A}^{n-1}$紧化为某个$\Bbb {P}^N$的$(n-1)$维投影算术Cohen-Macaulay子概型. $\Bbb {A}^{n-1}$的一个特别有趣的紧化是与定义$f$的多项式的牛顿多面体相关联的环面簇。我们考虑$f$的余域的两种不同的紧化：$\Bbb {P}^n$和$(\Bbb {P}^1)^n$。在这两种情况下，我们给出了充分条件，根据性质的基本轨迹的地图，得到一个矩阵表示，其封闭的形象，而不涉及额外的超曲面。这构成了[BuseJouanolou 03]，[BuseChardinJouanolou 06]，[BuseDohm 07]，[BotbolDickensteinDohm 09]和[Botbol 09]中相应结果的直接推广.
2010-06-12 math.AC math.AG
Implicitization of rational ruled surfaces with $μ$-bases
Chen，Sederberg，and Zheng在Chen et al.（2001）中引入了有理直纹曲面的$μ$ -基的概念，并证明了如果参数化是一般内射的，则其结果是曲面的隐式方程。我们将这个结果推广到任意参数化的情况。本文还对曲线情形下的相应定理给出了新的证明，并讨论了曲线和直纹曲面的重参数化问题。
2007-06-05 math.AG
Implicitization of rational hypersurfaces via linear syzygies: a practical overview
我们在具体条款中揭示了基于合合的算法的一般机制，用于根据多项式中定义参数化的单项式来隐式化有理曲面，遵循并扩展我们与M的联合文章。多姆这些代数技巧是以J.Herzog，A，Simis和W. Vasconcelos是由J. P. Jouanolou湖Busé和M.夏丹他们的工作受到了T. Sederberg和F. Chen，由D.考克斯我们的目标是表达的理论结果和算法到非常具体的条款，避免使用先进的同调交换代数工具，需要他们的证明。
2015-02-03 cs.CG math.AC math.AG
Implicitization of rational maps
Bézout、Cayley和Sylvester在18世纪和19世纪对计算结式和判别式的显式公式产生了兴趣，近年来由于计算能力的提高，这种兴趣得到了强调。我们的方法是基于使用线性syzygies通过近似复合物，以下[Busé Jouanolou 03]，他们开发的理论，一个合理的地图$f:P^{n-1}\dashrightarrow P^n$。近似复形最早是由Herzog、Simis和Vasconcelos在[Herzog Simis Vasconcelos 82]中提出的。这种基于近似复数的方法的主要障碍来自于$f$的基轨迹的不良行为。因此，自然会尝试更适合于映射$f$的不同的$A^{n-1}$兼容性，以避免不需要的基点。基于这个目的，本文研究了$A^{n-1}$的环面紧化$T$。我们为$Sym_I(A)$提供了$Z.$的解决方案，使得$\det((Z.)_ν)$为分级链$ν\gg 0$提供了隐式方程的倍数。准确地说，我们给出了具体的界限$ν$对所有这些设置依赖于$\SIA$的规律性。本文从复曲面簇的Cox环的齐次结构出发，给出了交换环$k$上的多项式环$R$的Castelnuovo-Mumford正则性的一般定义，该环由$T$的因子类群分次.与标准情形一样，对于$G$分次的$R$模$M$和$R$的齐次理想$B$，我们将$H_B^i(M)$的支集与$Tor_j^R(M,k)$的支集…
2011-09-07 math.AC math.AG
Recognizing implicitly given rational canal surfaces
对于仅用隐式表示来描述的代数曲面，如何识别其类型仍然是一个具有挑战性的课题。在~本文中，我们将更详细地调查的情况下，经常使用的几何造型，计算机辅助设计和技术实践中的渠道表面（如融合表面光滑连接两个部分与圆形结束）。已知如果平方中轴变换是有理曲线，则相应的曲面也是有理曲线。然而，从多项式开始，尚不知道如何确定相应的代数表面是否是有理运河表面。我们的目标是制定一个简单而有效的算法，其输入是一个~多项式的系数从一些子域的实数和输出的答案是否是一个合理的渠道表面。在肯定的情况下，我们还计算合理的参数化的平方中轴变换，然后可以用于找到一个合理的参数化的隐式给定的运河表面。
2014-10-14 cs.SC math.AG
Computing the symmetries of a ruled rational surface
我们提出了一种方法来计算所有的对称性的有理直纹曲面定义的有理参数化，直接在参数有理形式，即不计算或利用的表面的隐式方程。该方法通过将问题转化到参数空间中来进行，并且依赖于多项式系统求解。如果我们想要曲面的所有对称性，包括旋转对称性，我们需要处理四变量的多项式系统;如果我们只对合感兴趣（例如中心对称，轴对称，平面反射），我们可以归结为二元多项式系统。并给出了在一定条件下计算隐式代数曲面对称性的一个应用。
2018-06-26 math.AG
Torsion of the symmetric algebra and implicitization
最近，作者发展了一种计算参数化超曲面隐式方程的方法。我们在这里解决一些与这种方法有关的问题。首先，我们证明了对称代数分次部分的MacRae不变量的稳定化的度估计是最优的。然后，我们表明，可能出现在这个过程中的外来因素分裂成一个产品的线性形式的代数闭包的基本字段，每个线性型被关联到一个非完整的交点基点。最后，我们将这种方法与有理平面曲线和空间曲面的结果计算联系起来。
2007-09-13 math.AC math.AG
Computing the Newton polygon of the implicit equation
我们考虑多项式和合理的参数化曲线，在参数化的多项式有固定的支持和通用的系数。我们应用稀疏（或复曲面）消除理论，以确定其隐式多边形，即隐式方程的牛顿多边形的顶点表示。特别是，我们认为混合细分的输入牛顿多边形和定期三角剖分的点集定义的凯莱技巧。我们区分多项式和合理的参数化，后者可能有相同或不同的参数化;隐式多边形分别有4，5或6个顶点。
2008-11-03 math.AG math.CO
The implicit equation of a multigraded hypersurface
本文研究了有理映射$ϕ: X --> P^n$的象的隐式化问题，其中$T$是由其Cox环$R$定义的维数为$n-1$的复曲面簇.设$I:=(f_0,...,f_n)$是$R$的$n+1$齐次元素。我们将$ϕ$的基轨迹$V(I)$爆破，并用对称代数$Sym_R(I)$逼近这个爆破的Rees代数$Rees_R(I)$。在适当的假设下，我们提供了$Sym_R(I)$的$\Z.$的分辨率，由$X$的环面不变因子群$Cl(X)$分级，使得分级链的行列式$\det((\Z.)_μ)$给出了隐式方程的倍数，对于适当的$μ\in Cl(X)$。实际上，我们计算$Cl(X)$中的一个区域，该区域取决于选择$μ$的$Sym_R(I)$的正则性。我们还给出了可能出现在$\det((\Z.)_μ)$的其他因素的几何解释。当$X$是一个多投射空间时，给出了非常详细的描述。
2011-10-06 math.AC math.AG
The implicit equation of a canal surface
管道曲面是单参数球面族的包络。本文提出了一种计算由有理球面族生成的渠道曲面隐式方程的有效算法。利用Laguerre几何和Lie几何，将管道曲面方程与5维射影空间中某条曲线的对偶簇方程联系起来。定义了任意维数的μ-基，并给出了计算μ-基的一个简单算法.然后将其应用于对偶变量，这允许我们推导对偶变量、管道表面和管道表面的任何偏移的隐式方程。
2008-06-25 cs.SC math.AC math.AG
Implicitization of tensor product surfaces in the presence of a generic set of basepoints
给定$H^{0}(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1,\mathcal{O}(a,b))$的一个$4$维向量子空间$U=\{ f_{0},\ldots,f_{3}\}$，一个张量积曲面，记作$X_{U}$，是由$U$确定的有理映射$λ_{U}:\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 -\!\to \mathbb{P}^{3}$的象的闭包.这些曲面出现在几何造型中，在这种情况下，了解$\mathbb{P}^{3}$中$X_{U}$的隐式方程是有用的。本文证明了：如果$U\subseteq H^{0}(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1,\mathcal{O}(a,1))$在一般位置上有一个有限的$r$基点集，则$X_{U}$的隐式方程由$I_{U}=\langle f_{0},\ldots,f_{3} \rangle$在二度上的两个合矢$\left( a-\lceil\frac{r}{2}\rceil,0 \right)$和$\left( a-\lfloor\frac{r}{2}\rfloor,0 \right)$确定.通过理解$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$中$U$的基点的几何形状来证明该结果。当$U$没有基点时，主要定理的证明技巧也适用。
2016-10-12 math.AC math.AG
Determining surfaces of revolution from their implicit equations
许多几何操作的结果（通常用于技术实践，例如混合操作）在许多情况下是隐含描述的表面。然后，它是一个具有挑战性的任务，以识别所获得的曲面的类型，找到它的特点，并为合理的曲面计算其参数化。在这篇文章中，我们将重点放在旋转表面。这些对象广泛用于几何建模，通过围绕给定轴旋转母线来生成。如果母线是一条代数曲线，那么得到的曲面也是如此，由一个多项式唯一地描述，这个多项式可以通过一些公认的隐式技术找到。然而，从多项式开始，不知道如何确定相应的代数曲面是否旋转。出于这一动机，我们的目标是制定一个简单而有效的算法，其输入是一个多项式的系数从$\mathbb{R}$的一些子域和输出的答案是否是一个曲面的形状是一个革命。在肯定的情况下，我们也找到了它的轴和母线的方程。此外，我们还研究了旋转曲面的合理性和单合理性问题，并证明了这个问题可以有效地回答讨论某一相关平面曲线的合理性。
2014-07-10 cs.GR cs.SC math.AG
On the square-freeness of the offset equation to a rational planar curve
众所周知，有理平面曲线的偏移量的隐式方程可以通过去除由曲线的参数化计算的两个特定多项式的结果的无关分量来计算。此外，众所周知，由这个结式的非无关分量提供的隐式方程最多有两个不可约因子。在本文中，我们完成了这个结果的代数描述表明，对应于偏移量的因子的多重性可以提前计算。特别是，当参数化是适当的，即当曲线只是跟踪一次参数化，我们证明，任何因素对应于一个简单的组件的偏移有重1，而对应于特殊组件的因素，如果有的话，有重2。因此，如果参数化是正确的，并且没有特殊的分量，则结果的非无关部分是无平方的。事实上，这个条件也被证明是充分的。此外，该结果提供了一个简单的测试，以检查给定的有理曲线是否是另一条曲线的偏移。
2015-09-03 math.AG
A new method to compute the singularities of offsets to rational plane curves
给定一条由实有理参数化定义的平面曲线，证明了生成等距线实奇点的参数的仿射值是一个一元多项式的实根，该多项式可由原曲线的参数化导出，而无需计算或利用等距线的隐式方程.利用这个结果，可以计算出包含偏移量的所有实奇点，特别是偏移量的所有实自相交的有限集。我们还报告在计算机代数系统Maple中进行的实验，显示算法的效率为中等程度。
2015-06-11 math.AG
The Newton polygon of a rational plane curve
有理平面曲线隐式方程的牛顿多边形由其任意参数化的重数显式确定。我们给出了一个交叉理论证明这一事实的基础上改进的Kushnirenko-Bernstein定理。我们将这个结果应用到确定的牛顿多边形的曲线参数化的一般洛朗多项式或一般的有理函数，具有显式的genericity条件。证明了给定牛顿多边形的有理曲线簇是单有理的，并计算了其维数。由此，我们得到：任何面积为正的凸格点多边形都是有理平面曲线的牛顿多边形。
2010-02-24 math.AG math.CO
Determination and (re)parametrization of rational developable surfaces
可展曲面是计算机辅助设计、几何造型和工业制造中的重要曲面。它通常以标准参数形式给出，但也可以是代数几何中常用的隐式形式。并非所有代数可展曲面都有有理参数化。本文主要研究有理可展曲面。对于一个给定的代数曲面，首先通过几何检验来判定它是否可展，并对可展的情形给出一个有理的适当参数化。对于有理参数曲面，我们还可以确定可展曲面的可展性，并对可展曲面进行适当的重参数化。
2013-05-11 cs.CG cs.SC math.AG
Rational Normal Scrolls and the Defining Equations of Rees Algebras
考虑一个高度为2的理想$I$，它是由多项式环$R=k[x,y]$中次数为$d$的$m$齐次形式极小生成的。假设$I$的齐次表示矩阵$\f$中的一列具有度为$n$的条目，并且$\f$的所有其他条目都是线性的。我们确定了一个明确的生成集的理想$\Cal A$定义的里斯代数$\Cal R=R[It]$，所以$\Cal R=S/\Cal A$的多项式环$S=R[T_1,...,T_m]$。我们解决$\Cal R$作为一个$S$ -模块和$I^s$作为一个$R$ -模块，所有权力$s$。该证明使用有理正规涡卷的齐次坐标环$A=S/H$和$H\subseteq \Cal A$。理想$\Cal AA$同构于$A$的高度为1的素理想$K$的$n^{\text{th}}$符号幂。理想的$K^{(n)}$是由单项式生成的。只要有可能，我们研究$A/K^{(n)}$代替$A/\Cal AA$，因为$K^{(n)}$的生成器比$\Cal AA$的生成器简单得多。我们得到一个过滤的$K^{(n)}$，其中的因素是多项式环，超曲面环，或模块解决了广义的Dupon-Northcott复合物。$I$参数的生成元表示射影$m-1$空间中的一条代数曲线$\Cal C$。特殊纤维环$\Cal R/(x,y)\Cal R$的定义方程给出了$\Cal C$隐式化问题的解。
2008-12-29 math.AC math.AG
Characterization of Rational Ruled Surfaces
直纹曲面是计算机辅助几何设计中的一种典型造型曲面。它通常以标准参数形式给出。然而，它也可以是比标准的形式。对于这些形式，有必要确定并找到标准形式。在本文中，我们提出的算法，以确定是否一个给定的隐式曲面是一个合理的直纹曲面。一个参数化的表面计算的肯定的情况下。我们还考虑了参数的情况。更确切地说，当一个给定的有理参数曲面被确定为直纹曲面后，我们将其重新参数化为标准形式。
2013-06-04 cs.CG cs.SC math.AG
Detecting Symmetries of Rational Plane and Space Curves
本文讨论由有理参数化定义的平面或空间曲线的对称性的判定问题。我们提供了计算平面情况下对合和旋转对称性的有效方法。至于空间曲线，我们的方法发现在所有情况下的对合，和所有的旋转对称性的毕达哥拉斯速端曲线的特殊情况下。我们的算法解决这些问题，而不转换为隐式形式。相反，我们利用同一曲线的两个适当的参数化之间的关系，这导致只涉及一元多项式的算法。这些算法已在Sage系统中实现和测试。
2013-12-22 cs.SC math.AG
Real birational implicitization for statistical models
该研究推导半代数集双有理映射像的隐式描述，为全局有理可识别统计模型提供定义约束，重现并推广多种模型的马尔可夫性质，还推广了零化理想相关的先前结果。
2024-10-30 math.AG math.ST stat.TH
