Explicit error bound of the fast multipole method for scattering problems in 2-D
本文研究了二维散射问题的快速多极子方法（FMM）的误差估计。FMM错误是由于在算法的每一步中截断了Graf加法定理，包括两次展开和三次平移。首先利用Bessel函数和Neumann函数的极限形式给出了Graf加法定理的截断误差的一个新的界，然后对FMM的误差进行了估计。给出了显式的误差界及其收敛阶。本文提出的方法也可应用于其它问题的有限单元法，如位势问题、弹性静力学问题、Stokes流问题等。
2023-01-31 cs.NA math.NA
A Cubed Sphere Fast Multipole Method
University of Michigan（密歇根大学）
本文提出一种新的快速多极方法，用于求和离散化球面积分变换和卷积中出现的粒子相互作用。方法利用球面网格单元的四叉树中的重心拉格朗日插值进行核近似，适用于球面泊松和双调和方程、旋转球体的环流方程以及潮汐计算中的自吸引和加载势。
2026-03-31 cs.NA math.NA
Adapting free-space fast multipole method for layered media Green's function: algorithm and analysis
University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛厄尔分校）；University of North Carolina at Chapel Hill（北卡罗来纳大学教堂山分校）
本文提出了一种数值算法，用于准确高效地计算频率域分层介质格林函数与给定密度函数的卷积。不同于传统快速多极方法、快速直接求解器和快速H矩阵算法直接压缩卷积矩阵的方式，新算法考虑了原矩阵的转换形式，从而可以方便地将高度优化的自由空间快速多极方法中的现有构建块适应到分层介质格林函数的Sommerfeld积分表示中。对大阶次的Sommerfeld积分进行了渐近分析，以提供新“多极”和“局部”展开式中衰减率的估计。为了在源点和目标点接近彼此或两者都接近散射场界面时避免原Sommerfeld积分表示中高度振荡的被积函数，引入了数学等价的替代方向积分表示。对多极和局部展开式及其公式和求积规则的收敛性以及原和替代方向积分表示的求积规则进行了数值验证。
2019-02-21 cs.NA math.NA
A parallel fast multipole method for a space-time boundary element method for the heat equation
提出了一种新的方法，将抛物型快速多极子方法并行化，用于热传导方程的时空边界元方法。我们利用所涉及的运营商的特殊的时间结构，提供一个有效的分布式并行化的时间和单向通信模式。在上面，我们应用基于任务的共享内存并行化和SIMD向量化。在数值测试中，我们观察到我们的并行化方法的高效率。
2023-01-29 cs.DC cs.NA math.NA
Efficient Fast Multipole Accelerated Boundary Elements via Recursive Computation of Multipole Expansions of Integrals
提出求积到展开（Q2X）方法，通过每个矩成本为O(1)的递归计算解析生成多极展开系数，将边界元方法与快速多极方法高效集成，实现可控误差下的矩阵向量乘积加速。
2023-04-05 cs.NA math.NA
A parallel directional Fast Multipole Method
本文介绍了一种求解具有高振荡核的N体问题的并行方向快速多极子方法（FMM），重点研究了三维空间中的Helmholtz核。这类振荡内核需要一个更严格的低秩标准比低频政权，因此有效的并行化必须适应修改后的数据依赖性。我们提出了一个简单的分区在一个固定的水平的八叉树，并表明，如果分区之间的p个进程适当的平衡，整体运行时间基本上是O（N日志N/P+ P）。通过低秩准则的结构，我们能够避免八叉树顶部的通信。我们证明了我们的并行化在几个具有挑战性的模型的有效性。
2013-11-18 cs.NA math.NA
A Directional Equispaced interpolation-based Fast Multipole Method for oscillatory kernels
基于振荡Helmholtz核的快速多极子方法（Fast Multipole Method，简称FMF）可以有效地减少求解声学或电磁学中由边界积分方程（BIEs）引起的N体问题的计算量。然而，它们的成本在高频范围内强烈增加。本文介绍了一种新的振荡核方向FMM（defmm - directional equisspaced interpolation based fMM），由于在等间距网格上进行多项式插值，其预计算和应用都得到了FFT加速。我们证明了我们的FFT方法的一致性，并显示如何对称性可以利用在傅立叶域。我们还描述了算法设计的defmm，非常适合的BIE非均匀粒子分布，并提出一个CPU核心上的性能优化。最后，我们表现出重要的性能增益的所有测试情况下，defmm在一个国家的最先进的FMM库振荡内核。
2022-02-10 cs.NA math.NA
A parallel fast multipole method for elliptic difference equations
California Institute of Technology（加州理工学院）
本文提出了一种用于无界域上求解椭圆差分方程的快速多极方法及其并行实现，利用离散算子在无限网格上的基本解（即晶格格林函数）实现O(N)复杂度的快速求解，通过利用Cartesian网格的正则性和FFT的效率提升计算效率。
2016-04-06 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Multilevel Fast Multipole Algorithm for Characteristic Mode Analysis
Wuhan University（武汉大学）；the University of Hong Kong（香港大学）
本文提出将多级快速多重算法与隐式重启Arnoldi方法结合，用于高效求解特征模问题，降低计算复杂度并提升大规模三维对象分析能力。
2014-12-08 cs.NA math.NA
Fourier Based Fast Multipole Method for the Helmholtz Equation
Stanford University（斯坦福大学）
提出一种使用傅里叶基函数替代球谐函数的亥姆霍兹FMM，通过预计算阶段修改传递函数，利用快速傅里叶变换加速插值算子，并给出先验积分求积规则和尖锐误差界。
2011-10-26 cs.NA math.NA
Alternative Tilings for the Fast Multipole Method on the Plane
University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）
研究使用正六边形（七叉树）和三角形（三角形四叉树）作为快速多极子方法的替代空间划分结构，证明其满足分离性质并分析误差界与计算成本。
2012-04-13 cs.CG cs.NA math.NA
An adaptive fast multipole accelerated Poisson solver for complex geometries
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）
本文提出一种基于位势理论和快速多极加速的高效直接自适应泊松求解器，通过体积积分和层势方法处理复杂二维几何，利用快速多极方法扩展源分布以提高精度和效率。
2016-10-04 cs.NA math.NA
A Matrix-free Preconditioner for the Helmholtz Equation based on the Fast Multipole Method
快速多极子方法（FMM）最初是为了加速基于粒子的方法的$N$体问题而开发的。然而，FMM不仅仅是一个$N$ -实体求解器。最近的努力，查看FMM作为一个椭圆型偏微分方程（PDE）求解器已经打开了可能性，使用它作为一个预处理器的更广泛的应用。FMM能够以最优的$\mathcal{O}(N \log N)$复杂度求解Helmholtz问题，具有计算受限的内核和高度异步的通信模式。这些功能的组合使得FMM成为未来架构上稀疏求解器的预处理器的有趣候选者。使用FMM作为预条件允许我们使用比作为求解器所需的更低阶的多极展开，因为单个求解不需要精确。这大大减少了计算量和通信量，并使求解时间与最先进的预处理器相比具有竞争力。此外，FMM的高度可扩展性允许其扩展到比基于因子分解的方法和多层方法大得多的核心计数。我们描述了我们的测试在可重复的细节与免费提供的代码。
2016-08-08 cs.NA math.NA
Fast Multipole Method For 3-D Helmholtz Equation In Layered Media
本文提出了一种快速多极子方法（FMM）来计算三维层状介质中波源的长程相互作用。满足材料界面透射条件的Helmholtz方程的分层介质格林函数被分解为自由空间分量和四种类型的反应场分量，这些反应场分量由波在分层介质中的反射和透射引起。该算法结合了经典的自由空间分量FMM和专门为四种反应分量设计的FMM，通过新的多极展开（ME）和局部展开（LE）以及反应场分量的多极到局部平移（M2 L）算子。此外，可以基于其ME的收敛性分析为每个反应组分定义等效偏振源。用靶粒子和等效偏振源实现的反应组分的FTECH，由于等效偏振源和目标粒子总是被材料分开，因此对于自由空间分量，接口。}因此，为分层介质开发的FMM算法具有与自由空间相似的计算成本。数值结果验证了该方法的快速收敛性和有限矩法在三维层状介质低频波源相互作用下的$O(N)$复杂性。
2019-10-02 cs.NA math.NA
The Inverse Fast Multipole Method
本文介绍了一种新的线性方程组快速直接求解器，它产生于积分方程、多元统计、径向基插值等广泛的应用领域，仅举几例。\emph{The highlight of this new fast direct solver is that the solver scales linearly in the number of unknowns in all dimensions.}该求解器称为逆快速多极方法（缩写为IFMM），其工作原理与快速多极方法（缩写为FMM）相同。更一般地，求解器可以立即扩展到分层矩阵类，表示为具有强容许准则（弱低秩结构）的$\mathcal{H}^2$矩阵，即，\emph{the interaction between neighboring cluster of particles is full-rank whereas the interaction between particles corresponding to well-separated clusters can be efficiently represented as a low-rank matrix}。该算法从现有的方法出发，在整个算法中，对应于相邻集群的相互作用总是被视为满秩相互作用。我们的方法依赖于两个主要思想：（i）由FMM产生的$N \times N$矩阵（从现在起称为FMM矩阵）可以…
2014-07-07 cs.NA math.NA
Fast Multipole Method for 3-D Linearized Poisson-Boltzmann Equation in Layered Media
本文提出了一种求解层状介质中三维线性Poisson-Boltzmann方程的快速多极子方法。该算法的主要框架类似于分层介质中Helmholtz和Laplace方程的FMM [1，2]，使用纯虚波数的Funk-Hecke公式的扩展。此外，一个递推公式提供的运行时计算的Sommerdom型积分中使用的FMM算法。由于Helmholtz方程与线性化PB方程的相似性，该递推公式也可用于文[1]中提到的层状介质中Helmholtz方程的FMM，只需作微小的改变。数值结果验证了分层介质中屏下电荷相互作用的FMM与自由空间中电荷相互作用的经典FMM具有相同的精度和CPU复杂度。
2020-02-03 cs.NA math.NA
Periodic Fast Multipole Method
本文提出了一种新的方法，可以在任意源分布的单胞上施加周期边界条件。我们限制我们的注意力在这里的泊松，修改亥姆霍兹，斯托克斯和修改斯托克斯方程。该方法扩展到振荡方程的数学物理，包括亥姆霍兹和麦克斯韦方程，但我们将解决这些在一个配套文件，因为问题的性质有些不同，包括考虑准周期边界条件和共振。与基于格和的方法不同，该方案对单元格的纵横比不敏感，并且很容易耦合到自适应快速多极方法（FIGH）。我们的分析依赖于经典的“平面波”表示的基本解，并产生一个明确的低秩表示的字段，由于超出第一层相邻单位单元的所有图像源。当单胞的纵横比较大时，我们的方案可以与非均匀快速傅里叶变换（NUFFT）相结合，以加速感应场的计算。通过几个数值例子说明了它的性能。
2021-11-01 cs.NA math.NA
Fast multipole method for 3-D Laplace equation in layered media
本文提出了一种求解层状介质中三维Laplace方程的快速多极子方法。由于嵌入在分层介质中的电荷的电位被分解为自由空间分量和四种类型的反应场分量，并且后者可以与针对每种类型定义的极化源的电位相关联。推导了反应组分的新的多极展开式（ME）和局部展开式（LE），以及多极到局部（M2L）平移算子，并在此基础上提出了反应组分的Functions.所得的FMM电荷相互作用在分层介质中的自由空间分量和新的FMM的反应场分量使用经典的FMM的组合。借助于用于M2L平移算子中的Sommerdom型积分的运行时计算的递推公式，避免了大量表格的预先计算。新的FMM的反应组件被发现是比经典的FMM的自由空间组件，由于分离的等效极化电荷和相关的目标电荷的材料界面要快得多。因此，在分层介质中的潜力的FMM成本几乎相同的自由空间的情况下的经典FMM。数值结果验证了反应分量的ME的快速收敛性，以及三维分层介质中电荷相互作用的FMM在给定截断数p下的O（N）复杂性。
2020-05-23 cs.NA math.NA
Taylor expansion based fast Multipole Methods for 3-D Helmholtz equations in Layered Media
Hunan Normal University（湖南师范大学）；Southern Methodist University（南方卫理公会大学）；University of North Carolina at Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）；Indiana University（印第安纳大学）；University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛厄尔分校）
本文开发了用于层状介质中三维亥姆霍兹核的快速多极方法，提出了两种基于层状介质格林函数不同泰勒展开形式的算法，其中一种算法利用离散复像近似和递推公式高效计算格林函数及其导数，另一种算法利用对称导数减少预计算导数表的大小，数值测试验证了算法的准确性和O(N)复杂度。
2019-02-15 cs.NA math.NA
Automatic Synthesis of Low-Complexity Translation Operators for the Fast Multipole Method
本文提出一种混合符号-数值方法，利用常系数椭圆型PDE自动综合快速多极方法所需的低复杂度平移算子，将运算复杂度从O(p^{2d})降至O(p^d)，并通过数值实验验证了其计算规模与精度。
2026-11-09 cs.NA math.NA
Fast multipole accelerated boundary element methods for room acoustics
本文采用直接和间接边界元方法，在快速多极子方法的加速下，在工作站上对体积为$\sim 150$ $m^{3}$、频率高达5 kHz的大房间进行了数值模拟。由于参数$kD$（波数乘以房间直径）较大，因此需要稳定先前开发的FMM算法以获得准确性。本文的主要贡献之一是提出了一种稳定化方案。使用众所周知的鞋盒形状的房间的图像源解决方案的计算进行验证。L形房间的计算进行说明捕获衍射的能力。还展示了对室内挡板和边界开口（门/窗）进行建模的能力。最大的情况是$kD>1100$，其离散化大小为600万个元素。不同的边界积分公式的性能进行了比较，并使用一个预处理的灵活GMRES的收敛速度被发现有很大的不同。这些有前途的结果表明，通过高性能的边界元方法的室内声学的有效模拟的路径。
2021-03-30 cs.NA math.NA
Modeling Complex Multiphysics Systems with Discrete Element Method Enriched with the Kernel-Independent Fast Multipole Method
本文提出了一种结合离散元方法和核独立快速多极方法的多物理场建模方法，用于处理复杂多尺度问题，包括颗粒间机械相互作用和长程相互作用。
2025-12-10 cond-mat.soft cs.NA math.NA
What Lies Beneath the Surface: Topological-Shape Optimization With the Kernel-Independent Fast Multipole Method
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯科尔科沃科学技术学院）
本文提出了一种基于高效可扩展边界积分公式的新方法，用于弹性体的形状和拓扑优化，通过迭代提取拓扑导数的等值面进行拓扑优化，采用边界元法和核无关快速多极子方法求解弹性边界值问题，展示了出色的单节点性能和可扩展并行化能力，适用于最小合规性优化和金属材料微结构优化。
2016-12-13 cs.NA math.NA math.OC
Fast multipole boundary element method for the acoustic analysis of finite periodic structures
本文提出了有限周期结构线性时谐声学分析的两种快速多极边界元列式。有限周期性结构由在一个或多个周期性方向上的有限数量的单位单元复制组成。这种结构可以被设计成有效地控制和操纵声波，并被称为声学超材料或声波晶体。我们的方法将几何体细分为对应于单位单元的盒子。应用边界元离散化，并通过快速多极展开来近似分离良好的盒子之间的相互作用。由于基本几何的周期性，展开式的某些算子变成块Toeplitz矩阵。这允许将矩阵-向量乘积表示为循环卷积，这显著减少了计算工作量和总体内存需求。所提出的技术的效率示出基于声散射问题。此外，还对声屏障的设计进行了研究，并将壁状声屏障的性能与两种声波晶体声屏障的性能进行了比较。
2022-01-28 cs.CE cs.NA math.NA
Algebraic Inverse Fast Multipole Method: A fast direct solver that is better than HODLR based fast direct solver
Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）
本文提出了一种代数逆快速多极方法（AIFMM）用于解决N体问题中的线性系统。该方法通过低秩矩阵表示子块、构造扩展稀疏线性系统，并利用低秩矩阵重定向填充以提高效率。
2023-01-30 cs.NA math.NA
Fast Multipole Method with Complex Coordinates
University of Florida（佛罗里达大学）；New York University（纽约大学）；Flatiron Institute（平顿研究所）；University of Chicago（芝加哥大学）；Indian Institute of Technology Bombay（孟买印度理工学院）；Princeton University（普林斯顿大学）
本文提出复坐标快速多极子方法，通过解析延拓和基于实部的层次树，实现线性复杂度，有效求解大规模散射问题。
2026-10-22 cs.NA math.NA
FMM-Net: neural network architecture based on the Fast Multipole Method
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯科尔科沃科技学院）；Marchuk Institute of Numerical Mathematics of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院马尔丘克数值数学研究所）
在本文中，我们提出了一种新的神经网络结构的基础上的H2矩阵。尽管具有H2启发架构的网络已经存在，但我们的方法旨在通过考虑H2矩阵的稀疏模板来降低内存成本并提高性能。在与其他神经网络（包括已知的基于H2的神经网络）的数值比较中，我们的架构在性能、内存和可扩展性方面表现出了优势。
2022-12-25 cs.AI cs.LG cs.NA
On the Approximation of Local Expansions of Laplace Potentials by the Fast Multipole Method
在本文中，我们提出了一个推广的经典误差界的Greengard-Rokhlin的快速多极子方法（FMM）的Laplace势在三维中，扩展到本地扩展（而不是点）的情况下的目标。我们还提出了一个通过逼近论证明的补充的、不太尖锐的误差界，其适用性不限于拉普拉斯势。我们的研究是出于GIGAQBX FMM，一种算法的快速，高阶准确的评价层电位附近和源层。GIGAQBX基于FMM，但与传统的FMM不同，FMM旨在评估点状目标的电位，GIGAQBX评估球形目标的电位局部扩展。虽然精度（或加速度误差，即，由于快速算法对势的近似而引起的误差）是很好理解的，但是应用于局部展开的评估的基于FMM的算法的加速误差还没有得到很好的研究。本文的主要贡献是证明了一组假设，首先证明了数值的文件中“一个快速算法的正交扩展在三维空间，”这涉及到的精度FMM近似的局部扩展的拉普拉斯潜力在三维空间。这些假设也是必不可少的三维误差界GIGAQBX，这是以前有条件地说，他们的真理，现在可以无条件地说。
2020-08-03 cs.NA math.NA
Effect of different clustering approaches on the multilevel fast multipole method for the Helmholtz equation
Austrian Academy of Sciences, Acoustics Research Institute（奥地利科学院声学研究所）
研究不同聚类方法对均匀和非均匀网格上多层级快速多极子方法稳定性和效率的影响，指出不当聚类可能导致数值问题。
2026-07-01 cs.NA math.NA
A faster multipole Legendre-Chebyshev transform
本研究提出一种基于快速多极方法的勒让德-切比雪夫系数快速转换算法，采用模态Galerkin方法与新型传播策略，运算量渐近为O(N)，执行速度较原有方法提升约20%，实现简单且效率优异。
2024-10-29 cs.NA math.NA
Kernel Aggregated Fast Multipole Method: Efficient summation of Laplace and Stokes kernel functions
Stokes流问题的许多不同模拟方法都涉及到一个共同的计算密集型任务--对$O(N^2)$点对的核函数求和。一种流行的技术是核独立快速多极子方法（KIFMM），其为所有点构造空间自适应八叉树，并在每个八叉树框周围放置少量等效多极子和局部等效点，并使用这些等效点以$O(N)$代价完成核和。可以在这些等价点之间使用更简单的内核来提高KIFMM的效率。在这里，我们提出了进一步的扩展和应用这个想法，使有效的总和和灵活的边界条件，各种内核。我们称我们的方法为核聚合快速多极子方法（KAFMM），因为它在八叉树遍历的不同阶段使用不同的核函数。我们已经实现了我们的方法作为一个开源软件库STKFMM的基础上的高性能库PVFMM，支持拉普拉斯内核，Stokeslet，正则化Stokeslet，Rotne-Prager-Yamakawa（RPY）张量，和斯托克斯双层和牵引算子。所有核都支持开边界条件和周期边界条件，Stokeslet和RPY张量都支持无滑移壁边界条件。该包被设计为即用型，并且易于扩展到其他内核。
2021-08-17 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Fast Multipole Method as a Matrix-Free Hierarchical Low-Rank Approximation
Tokyo Institute of Technology（东京工业大学）；King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文综述了分层低秩近似方法的最新进展，并通过简单代表性测试案例比较了两种优化实现的性能差异，探讨了计算与内存的权衡。
2016-02-06 cs.NA math.NA
A SVD accelerated kernel-independent fast multipole method and its application to BEM
College of Astronautics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学航天学院）
针对核无关快速多极子方法中M2L翻译效率低的问题，提出基于奇异值分解的低秩近似加速所有翻译步骤，并应用于边界元方法，显著减少迭代时间和内存需求。
2013-03-12 cs.NA math.NA
A Fast Multipole Method for axisymmetric domains
本文将求解泊松方程的快速多极子方法推广到用柱面坐标描述的轴对称区域内的非轴对称问题。该方法是基于一个傅立叶分解的源到一个模式的扩展和评价的相应模式的字段使用二维树分解在径向和轴向坐标。场系数使用模态格林函数来评估，该格林函数可以使用第二类勒让德函数的公知递归来评估，并且其导数可以使用柱面坐标中的拉普拉斯方程来递归地找到。圆柱形和笛卡尔问题之间的主要区别是缺乏平移不变性的局部相互作用的评价，导致在轴对称域的计算工作量增加。结果的解决方案的精度和收敛性和计算时间相比，直接评估。该方法被发现收敛良好，与十位数的准确度被实现的测试用例。计算时间由初始化和源和场点之间的局部相互作用的评价之间的平衡控制，并且根据展开顺序，比直接评价所需的时间大约少小于两个数量级。
2023-01-03 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Data-Driven Execution of Fast Multipole Methods
KAUST（阿卜杜拉国王科技大学）
针对快速多极方法在非规则粒子分布下的负载均衡难题，提出将最耗时阶段分解为任务，利用QUARK运行时环境异步调度任务，实现数据驱动的无序执行，在四路四核Intel Xeon系统上获得线性加速。
2012-03-05 cs.NA math.NA
An Adaptive Fast-Multipole-Accelerated Hybrid Boundary Integral Equation Method for Accurate Diffusion Curves
本文提出一种结合边界积分方程法与快速多极子法的自适应混合方法，高效求解偏微分方程并渲染，实现了真正可扩展的无限分辨率 diffusion curves。
2023-11-24 cs.GR cs.NA math.NA
Fast multipole method for the Laplace equation in half plane with Robin boundary condition
针对带Robin边界条件的半平面二维拉普拉斯方程，提出基于格林函数反应分量新型展开的快速多极子方法，证明其指数收敛性，数值验证其达O(N)计算复杂度。
2025-07-29 cs.NA math-ph math.MP
Fast Multipole Method for Maxwell's Equations in Layered Media
本文提出三维分层介质中 Maxwell 方程的快速多极子方法，利用并矢 Green 函数、等效极化镜像、有效位置及 Chebyshev 加速 M2L，实现 $\mathcal O(N\log N)$ 复杂度与低频快速收敛。
2025-07-24 cs.NA math.NA
A Simplified Fast Multipole Method Based on Strong Recursive Skeletonization
本文提出一种基于强递归骨架化的简化快速多极子方法，通过仅用近邻列表和新型平移算子简化实现，支持并行与GPU加速，适用于拉普拉斯和低频亥姆霍兹核。
2025-07-10 cs.NA math.NA
Fast multipole methods for evaluation of layer potentials with locally-corrected quadratures
虽然快速多极子方法（Fast Multipole Method，FMF）广泛用于快速计算由拉普拉斯、亥姆霍兹、麦克斯韦或斯托克斯方程控制的势场，但它们与高阶求积法的耦合用于计算层势仍然是一个活跃的研究领域。在三维空间中，一些问题需要解决，包括规范的表面作为工会的高阶补丁，纳入准确的积分规则整合奇异或弱奇异格林函数的补丁，和他们的耦合到八叉树数据结构上的FMM分离近场和远场相互作用。虽然后者对于点分布是直接的，但是贴片的准域由其物理尺寸确定，而不是表面上离散点的分布。在这里，我们提出了一个一般的框架，有效地耦合局部校正的求积与FFT，主要依赖于所谓的广义高斯求积规则，辅之以自适应积分。然而，该方法是相当普遍的，很容易适用于其他计划，如正交扩展（QBX）。我们还引入了一些加速度，以减少正交生成本身的成本，并提出了几个数值例子的声散射，证明该计划的准确性，鲁棒性和计算效率。在Intel i5 2.3GHz处理器的单核上，该方案的Fortran实现可以产生每秒1000到10，000点的准域正交校正，这取决于精度的量级和所需的精度。在这项工作中描述的算法的Fortran实现可在https://gitlab.com/fastalgorithms/fmm3dbie上获得。
2021-04-23 cs.NA math.NA
A new Directional Algebraic Fast Multipole Method based iterative solver for the Lippmann-Schwinger equation accelerated with HODLR preconditioner
我们提出了一个快速迭代求解散射问题的二维，其中被认为是一个可穿透的目标与紧凑的支持。通过将散射场表示为格林函数的体积势，我们得到积分形式的Lippmann-Schwinger方程，然后使用适当的求积技术将其离散化。离散后的线性系采用方向代数快速多极子方法（DAFMM）加速迭代求解。这里提出的DAFMM依赖于2D Helmholtz核的方向容许性条件。同时，利用新的嵌套交叉近似（NCA）\cite{ arXiv:2203.14832 [math.NA]}构造相应的低秩矩阵子块的低秩分解.我们的新的NCA的优点是，所谓的远场枢轴的搜索空间是小于现有的NCA。这项工作的另一个重要贡献是使用基于HODLR的直接求解器作为预处理器，以进一步加速迭代求解器。在我们的一个数值实验中，迭代求解器没有预处理器就不会收敛。我们表明，HODLR预处理是能够解决的问题，迭代求解器不能。本文的另一个值得注意的贡献是，我们进行了比较研究的HODLR基于快速直接求解器，DAFMM基于快速迭代求解器，HODLR预处理DAFMM基于快速迭代求解器的离散Lippmann-Schwinger问题。据我们所知，这项工作是第一个提供了一个系统的研究和比较这些不同的解决方案的各种问题的大小和对比度的功能。本着可再生计算科学的精神，本文中开发的算法的实现可在\url{https://github.com/vaishna77/L…
2023-03-26 cs.NA math.NA
Optimizing the adaptive fast multipole method for fractal sets
本文提出了一种新的适应性快速多重求解法，用于处理分形集，通过引入分形维度参数优化算法性能，实现了复杂度分析和更高效的子划分方法。
2015-08-11 cs.NA math.NA
Optimized M2L Kernels for the Chebyshev Interpolation based Fast Multipole Method
针对基于切比雪夫插值的快速多极子方法中计算量最大的多极到局部（M2L）算子，提出多种优化策略，将预计算时间降低最多340倍并加速矩阵向量乘积。
2012-11-20 cs.CE cs.MS cs.NA
Spectral Convergence of the Multipole Expansion Method for Acoustic Scattering in Three Dimensions
The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Zhejiang University（浙江大学）
本文针对三维有限间距球体的时谐声学散射，证明多极展开法（MEM）的谱收敛性，构建收敛分析通用框架，数值实验验证相关特性，为多重散射快速算法的收敛分析铺路。
2026-08-28 cs.NA math.NA
Fast Multipole Preconditioners for Sparse Matrices Arising from Elliptic Equations
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；Tokyo Institute of Technology（东京工业大学）；University of Strathclyde（思克莱德大学）
本文提出利用快速多重级数方法作为预处理器，用于求解有限域椭圆边界值问题，通过边界积分和Krylov方法扩展至更一般算子，具有与多网格方法相当的收敛速率和更好的并行扩展性。
2016-01-19 cs.NA math.NA
The inverse fast multipole method: using a fast approximate direct solver as a preconditioner for dense linear systems
虽然一些预条件子可用于求解稠密线性系，但仍有许多矩阵缺少预条件子，特别是在矩阵$N$的大小变得非常大的情况下。因此，仍然非常需要开发其成本与矩阵大小$N$成比例的通用预处理器。本文对稠密矩阵提出了一个具有广泛适用性和代价的预条件子$\mathcal{O}(N)$，当矩阵由光滑核给出时。使用相同的框架将该方法扩展到一般的$\mathcal{H}^2$ -矩阵是相对简单的。这些预处理器具有受控的精度（如果需要，可以实现机器精度），并与$N$成线性比例。它们是基于系统的近似直接解。该算法的线性缩放是通过两个关键思想实现的。首先，利用稠密矩阵的$\mathcal{H}^2$ -结构获得扩展的稀疏方程组。其次，填充时产生的消除被压缩为低秩矩阵，如果它们对应于良好分离的相互作用。这确保了在整个消除过程中保持扩展稀疏矩阵的稀疏模式，因此导致了具有$\mathcal{O}(N \log(1/\varepsilon)^2 )$计算成本和$\mathcal{O}(N \log 1/\varepsilon )$存储器要求的非常有效的算法，用于误差容限$0 < \varepsilon < 1$。解算器是不精确的，尽管误差可以控制并根据需要尽可能小。这些解算器与ILU相关，因为填充是受控的。然而，在ILU中，大部分填充都被简单地丢弃，而在这里，它是使用低秩块来近似的，具有规定的容差。数值例子进行了讨论，以证…
2016-02-04 cs.NA math.NA
A Tuned and Scalable Fast Multipole Method as a Preeminent Algorithm for Exascale Systems
Boston University（波士顿大学）
本文通过多核CPU上的性能调优和可扩展性研究，展示了快速多极方法（FMM）在百亿亿级计算中的潜力，实现了高达32768个进程的弱扩展和2048个进程的强扩展，并讨论了其适用于异构大规模并行架构的特性。
2011-10-16 cs.MS cs.NA math.NA
Inexact Krylov iterations and relaxation strategies with fast-multipole boundary element method
The George Washington University（乔治华盛顿大学）；Boston University（波士顿大学）；Nvidia, Corp.（英伟达公司）
本文提出基于快速多极边界元方法的不精确Krylov迭代与松弛策略，通过降低多项式阶数提升计算效率，对拉普拉斯和斯托克斯问题实现2.1至4.0倍的加速。
2016-10-01 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Petascale turbulence simulation using a highly parallel fast multipole method on GPUs
Boston University（波士顿大学）；University of Electro-Communications（电气通信大学）；Keio University（庆应义塾大学）
本文采用基于快速多极方法的涡粒子法在GPU上实现了1.08 petaflop/s的持续性能，进行了4096^3网格点的均匀各向同性湍流直接数值模拟，与谱方法结果定量吻合，并在并行效率上显著优于FFT方法。
2012-09-03 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Application of the Fast Multipole Fully Coupled Poroelastic Displacement Discontinuity Method to Hydraulic Fracturing Problems
University of Houston（休斯顿大学）；Texas Tech University（德克萨斯理工大学）
本文提出了一种利用快速多重级数方法减少计算时间的完全耦合多孔弹性水力压裂模型，通过可控误差来提高精度，展示了该方法在处理大规模自由度问题时的效率。
2019-03-19 cs.CE cs.NA math.NA
A periodic FM-BEM for solving the acoustic transmission problems in periodic media
本文提出了一种求解二维周期性介质中声传播问题的快速多极边界元法。我们将周期介质划分为许多基本块，然后在基本块中构造边界积分方程。针对正方形和六边形周期系统提出了快速多极子算法，并分析了算法的收敛性。然后，我们将所提出的方法应用到液体声子晶体的声学传输问题，并推导出声子晶体的声学带隙。通过与平面波展开法计算结果的比较，说明本文方法是有效的，也是准确的。
2019-10-24 cs.NA math.NA
Removing the Barrier to Scalability in Parallel FMM
Computation Institute, University of Chicago（计算研究所，芝加哥大学）
针对快速多极方法（FMM）中因高层树节点工作量减少导致的并行瓶颈，提出通过重叠多极和局部展开计算与最细层网格上的直接核评估来消除该瓶颈。
2010-08-14 cs.CE cs.NA math.NA
