Alternative Tilings for the Fast Multipole Method on the Plane
University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）
研究使用正六边形（七叉树）和三角形（三角形四叉树）作为快速多极子方法的替代空间划分结构，证明其满足分离性质并分析误差界与计算成本。
2012-04-13 cs.CG cs.NA math.NA
A SVD accelerated kernel-independent fast multipole method and its application to BEM
College of Astronautics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学航天学院）
针对核无关快速多极子方法中M2L翻译效率低的问题，提出基于奇异值分解的低秩近似加速所有翻译步骤，并应用于边界元方法，显著减少迭代时间和内存需求。
2013-03-12 cs.NA math.NA
Hierarchical Matrices with Tucker Blocks: Construction and Forward Evaluation
School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）；Shanghai Key Laboratory for Contemporary Applied Mathematics, Fudan University（复旦大学当代应用数学上海市重点实验室）
本文提出分层Tucker低秩矩阵，以线性复杂度逼近非振荡核函数，构造和乘法算法分别达线性和拟线性复杂度，实验验证其内存和运行时间优势，并支持拟均匀网格。
2026-10-30 cs.NA math.NA
Fast Multipole Method with Complex Coordinates
University of Florida（佛罗里达大学）；New York University（纽约大学）；Flatiron Institute（平顿研究所）；University of Chicago（芝加哥大学）；Indian Institute of Technology Bombay（孟买印度理工学院）；Princeton University（普林斯顿大学）
本文提出复坐标快速多极子方法，通过解析延拓和基于实部的层次树，实现线性复杂度，有效求解大规模散射问题。
2026-10-22 cs.NA math.NA
Periodic Fast Multipole Method
本文提出了一种新的方法，可以在任意源分布的单胞上施加周期边界条件。我们限制我们的注意力在这里的泊松，修改亥姆霍兹，斯托克斯和修改斯托克斯方程。该方法扩展到振荡方程的数学物理，包括亥姆霍兹和麦克斯韦方程，但我们将解决这些在一个配套文件，因为问题的性质有些不同，包括考虑准周期边界条件和共振。与基于格和的方法不同，该方案对单元格的纵横比不敏感，并且很容易耦合到自适应快速多极方法（FIGH）。我们的分析依赖于经典的“平面波”表示的基本解，并产生一个明确的低秩表示的字段，由于超出第一层相邻单位单元的所有图像源。当单胞的纵横比较大时，我们的方案可以与非均匀快速傅里叶变换（NUFFT）相结合，以加速感应场的计算。通过几个数值例子说明了它的性能。
2021-11-01 cs.NA math.NA
A low-rank hierarchical framework for the non-Markovian stochastic Schrödinger equation with convergence analysis
National University of Singapore（新加坡国立大学）
针对非马尔可夫随机薛定谔方程，提出基于浴关联函数低秩近似的数值框架，通过分解记忆核导出分层方程组，经收敛性分析证明是HOPS的推广，数值实验验证了该方法的有效性和效能。
2026-07-17 cs.NA math.NA
Hierarchical Block Low-rank Approximation of Cavity Radiation
本文提出结合块低秩近似与分层矩阵处理腔体辐射中的稠密有限元离散化，利用ACA方法提升效率，数值实验显示相比稠密矩阵方法显著加速并降低内存。
2023-05-11 cs.NA math.NA
Solving Linear Systems on a GPU with Hierarchically Off-Diagonal Low-Rank Approximations
我们感兴趣的是解决线性系所产生的三个应用：（1）核方法在机器学习中，（2）离散化的边界积分方程从数学物理，（3）舒尔补形成在许多大型稀疏矩阵的因式分解。系数矩阵通常是数据稀疏的，因为它们的非对角块具有低的数值秩;具体来说，我们专注于“分层非对角低秩（HODLR）”矩阵。我们介绍了因式分解HODLR矩阵和在GPU上应用因式分解的算法。该算法利用了批处理稠密线性代数的效率，并且当数值秩固定时，它们与矩阵大小近似线性地缩放。HODLR矩阵近似的精度是一个可调参数，因此我们可以构造高精度的快速直接求解器或低精度的鲁棒预处理器。数值结果表明，我们可以在一个GPU上在几秒钟内解决数百万个未知数的问题。
2022-08-12 cs.NA math.NA
Hierarchical adaptive low-rank format with applications to discretized PDEs
提出了一种新的压缩矩阵格式，它结合了自适应分层划分的矩阵与低秩近似。一个典型的应用是矩形域上离散函数的近似;格式的灵活性使得可以处理在小的局部区域中具有奇异性的函数。为了处理奇异点的时间演化和重新定位，可以基于底层数据的特征动态地调整分区。我们的格式可以被利用来有效地解决线性系的克罗内克产品结构，因为它们产生于离散的偏微分方程（PDE）。为此，这些线性系被改写为线性矩阵方程，并从这些方程的低秩更新推导出递归求解器。我们证明了我们的框架的稳定性和时间依赖性，线性和非线性偏微分方程，包括伯格斯和艾伦-卡恩方程的有效性。
2021-11-04 cs.NA math.NA
A Direct Elliptic Solver Based on Hierarchically Low-rank Schur Complements
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出一种并行快速直接求解器，针对可压缩块三对角线性系统，通过循环缩减与分层矩阵运算的协同，实现O(N log²N)的计算复杂度和O(N logN)的内存占用，验证了其在Hierarchical Matrices基础上的性能与适用性。
2016-04-03 cs.NA math.NA
A Parallel Hierarchical Blocked Adaptive Cross Approximation Algorithm
本文提出了一种分层低秩分解算法，假设任何矩阵元素都可以在$O(1)$时间内计算。该算法采用分块自适应交叉近似（BACA）算法计算子矩阵的秩揭示分解，然后通过截断奇异值分解（H-BACA）进行分层合并操作。该算法显着提高了基线ACA算法的收敛性，并实现了降低计算复杂性相比，如秩揭示QR分解的充分分解。数值结果表明了该算法的有效性、准确性和并行效率。
2019-09-05 cs.NA math.NA
Hierarchical matrix arithmetic with accumulated updates
分层矩阵可以用来构造有效的预条件的偏微分和积分方程，利用低秩结构的三角分解和逆的相应的刚度矩阵。这些预处理器的设置阶段严重依赖于低秩更新，这些更新占算法总运行时间的很大一部分，特别是对于三维问题产生的矩阵。本文提出了一种新的算法，可以显著减少低秩更新的数量，并可以将设置时间减少50%或更多。
2019-06-12 cs.NA math.NA
Divide and conquer methods for functions of matrices with banded or hierarchical low-rank structure
本文研究带状矩阵、分层半可分矩阵及相关结构的近似矩阵函数。我们开发了一种新的分治方法的基础上（理性）Krylov子空间方法进行低秩更新的矩阵函数。我们的收敛性分析的新提出的方法收益建立关系，最佳多项式和有理逼近。当只有跟踪或矩阵函数的对角线是感兴趣的，我们证明-在实践中和理论上-收敛可以更快。对于带状矩阵的特殊情况下，我们表明，分治法减少到一个更简单的算法，通过计算小的子矩阵的矩阵函数。数值实验证实了新开发的算法计算大规模矩阵函数的各种应用的有效性。
2021-07-09 cs.NA math.NA
Efficient arithmetic operations for rank-structured matrices based on hierarchical low-rank updates
本文提出基于分层低秩更新的算法，实现对H²矩阵的乘积、逆及分解的近线性复杂度运算，通过递归过程和局部低秩更新提升计算效率。
2014-07-03 cs.NA math.NA
Hierarchical low-rank compression exploiting symmetric boundary integral equations in transmission scattering
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）；RIKEN Center for Computational Science（理化学研究所计算科学中心）
本文提出利用矩阵对称性加速波透射散射的分层低秩压缩，通过对称类Müller公式和对称Galerkin边界元法，分别实现亥姆霍兹和弹性散射求解的显著加速。
2026-09-29 cs.NA math.NA
CUR Low Rank Approximation at Deterministic Sublinear Cost
如果矩阵算法使用的存储单元和算术运算比输入矩阵的条目少得多，则它以{ \em次线性成本}运行。这些算法对于大数据挖掘和分析是不可或缺的。非常典型地，在该区域中，输入矩阵是如此巨大，以至于实际上人们只能访问其所有条目的一小部分，但是可以以次线性代价访问和处理其低秩近似{ \em（LRA）}。然而，我们能以次线性成本计算LRA吗？Advertisement参数表明，任何算法运行在次线性成本是非常远离LRA的最坏情况下的输入矩阵，甚至我们的附录的小家庭的矩阵，但我们证明了一些确定性的次线性成本算法输出合理接近LRA的内存有效形式的CUR LRA，如果输入矩阵承认LRA和对称半正定或非常接近一个低秩矩阵。后一个结果在技术上是简单的，但提供了一些（非常有限的，但早该）支持著名的经验效率的次线性成本LRA通过交叉近似。我们通过将快速多极子方法转化为超快速多极子方法来展示这种LRA的应用能力。我们的算法的设计和分析依赖于广泛的事先研究的链接的LRA的矩阵，以最大化其体积。
2021-03-31 cs.NA math.NA
Hierarchical Low-rank Structure of Parameterized Distributions
本文证明了几个单参数分布族的矩阵形式满足分层低秩结构。这些分布族包括二项分布、泊松分布和$χ^2$分布。证明是基于一个相关的发散函数的一致的相对界。数值结果证实了理论研究结果。
2019-11-29 cs.NA math.NA math.ST
Hierarchical Prior Regularized Matrix Factorization for Image Completion
最近的低秩先验模型有效地解决了张量完成问题。然而，这些模型未能利用张量的局部模式，这损害了张量完成的性能。本文提出了一种新的张量完备化的分层先验正则化矩阵分解模型。该模型将低秩先验、全变差先验和稀疏编码先验分层融合到矩阵分解中，同时刻画了张量的全局低秩性和局部光滑性.对于所提出的模型，我们使用乘子的交替方向法来建立我们的算法。此外，还对算法的复杂度和收敛性进行了分析，进一步验证了算法的有效性.然后通过各种数据集对所提出的方案进行评估。实验结果表明，该方法优于几种现有的方法。
2021-04-10 cs.NA math.NA
A new Directional Algebraic Fast Multipole Method based iterative solver for the Lippmann-Schwinger equation accelerated with HODLR preconditioner
我们提出了一个快速迭代求解散射问题的二维，其中被认为是一个可穿透的目标与紧凑的支持。通过将散射场表示为格林函数的体积势，我们得到积分形式的Lippmann-Schwinger方程，然后使用适当的求积技术将其离散化。离散后的线性系采用方向代数快速多极子方法（DAFMM）加速迭代求解。这里提出的DAFMM依赖于2D Helmholtz核的方向容许性条件。同时，利用新的嵌套交叉近似（NCA）\cite{ arXiv:2203.14832 [math.NA]}构造相应的低秩矩阵子块的低秩分解.我们的新的NCA的优点是，所谓的远场枢轴的搜索空间是小于现有的NCA。这项工作的另一个重要贡献是使用基于HODLR的直接求解器作为预处理器，以进一步加速迭代求解器。在我们的一个数值实验中，迭代求解器没有预处理器就不会收敛。我们表明，HODLR预处理是能够解决的问题，迭代求解器不能。本文的另一个值得注意的贡献是，我们进行了比较研究的HODLR基于快速直接求解器，DAFMM基于快速迭代求解器，HODLR预处理DAFMM基于快速迭代求解器的离散Lippmann-Schwinger问题。据我们所知，这项工作是第一个提供了一个系统的研究和比较这些不同的解决方案的各种问题的大小和对比度的功能。本着可再生计算科学的精神，本文中开发的算法的实现可在\url{https://github.com/vaishna77/L…
2023-03-26 cs.NA math.NA
Hierarchical Low-Rank Approximation of Regularized Wasserstein Distance
Sinkhorn散度是两个概率测度之间相异性的度量。它是通过在Kantorovich的最优输运问题中加入一个熵正则化项而得到的，因此可以看作是一个熵正则化的Wasserstein距离。给定$n$ -单纯形中的两个离散概率向量，并支撑在${\mathbb R}^d$中的两个有界空间上，当代价矩阵可分解为渐近光滑Kronecker乘积因子的$d$ -项和时，我们给出了计算Sinkhorn发散的一个快速方法.该方法结合Sinkhorn的矩阵缩放迭代与低秩层次表示的缩放矩阵，以实现近线性的复杂度${\mathcal O}(n \log^3 n)$。这为计算Sinkhorn散度提供了一种快速且易于实现的算法，使其适用于大规模最优化问题，其中经典Wasserstein度量的计算是不可行的。我们提出了一个与信号处理相关的数值例子，以证明二次Sinkhorn发散的适用性，与二次Wasserstein距离相比，并验证所提出的方法的准确性和效率。
2020-04-30 cs.NA math.NA
A Fast Summation Method for translation invariant kernels
我们推导出一种快速多极子方法（FMM），其中使用经验插值方法（EIM）获得的内核的低秩近似。与经典的基于插值的FMM不同，EIM是一种非线性逼近方法，它构造的插值点和插值基与所考虑的核函数相适应。使用核本身的评估获得基函数。我们将自己限制为双线性不变的内核，其中修改后的版本的EIM近似可以用于在多级FMM的上下文中，我们称所获得的算法经验插值快速多极子方法（EIFMM）。EIFMM的一个重要特征是内核远场行为的低秩近似所产生的插值误差的内置误差估计：该算法选择确保结果的给定精度所需的插值点的最佳数量，从而为非均匀内核带来重要的增益。
2015-08-22 cs.NA math.NA
Flexibly imposing periodicity in kernel independent FMM: A Multipole-To-Local operator approach
Center for Computational Biology, Flatiron Institute（Flatiron研究所计算生物学中心）；Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）
本文提出一种高效方法，通过近远分裂方案正确施加周期边界条件，利用KIFMM计算近场，多极到局部操作符计算远场，保证周期性和兼容性条件的收敛。
2018-09-14 cs.NA math.NA
A faster multipole Legendre-Chebyshev transform
本研究提出一种基于快速多极方法的勒让德-切比雪夫系数快速转换算法，采用模态Galerkin方法与新型传播策略，运算量渐近为O(N)，执行速度较原有方法提升约20%，实现简单且效率优异。
2024-10-29 cs.NA math.NA
A Hierarchical Singular Value Decomposition Algorithm for Low Rank Matrices
Indian Institute of Technology-Madras（印度马德拉斯理工学院）
本文提出了一种基于树结构的合并-截断算法，用于高效计算低秩矩阵的截断奇异值分解，该方法适用于任意大小的矩阵，且在单核运行时能显著提升速度，误差通常低于3%。
2019-05-10 cs.NA math.NA
Superfast direct inversion of the nonuniform discrete Fourier transform via hierarchically semi-separable least squares
针对非均匀离散傅里叶变换矩阵的超定系统，提出利用类 Cauchy 分层低秩结构的分层最小二乘直接求解器，实现近线性复杂度，并在大规模多右端项问题中展现优势。
2025-07-24 cs.NA math.NA
HODLR3D: Hierarchical matrices for $N$-body problems in three dimensions
本文提出 HODLR3D 层次化矩阵，利用三维 $N$ 体问题中非对角子块的低秩特性加速矩阵-向量乘法，实现近线性存储与计算复杂度，适用于大规模系统。
2023-07-30 cs.NA math.NA
A multiscale neural network based on hierarchical nested bases
Stanford University（斯坦福大学）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本文提出一种基于快速多极子方法和H²矩阵中分层嵌套基思想的多尺度人工神经网络，用于高效近似高维非线性映射，该方法在参数空间维度线性增长的情况下减少参数数量，通过非线性薛定谔方程、辐射转移方程和Kohn-Sham映射的求解来验证其性能。
2019-02-25 cs.NA math.NA
A High-Order Rank-Adaptive Implicit Algorithm for Solving High Dimensional Diffusion Equations using the Hierarchical Tucker Decomposition
Swarthmore College（斯沃斯莫尔学院）
本文提出采用分层塔克分解的高阶秩自适应隐式算法，用于求解高维扩散方程，通过数值实验验证其高阶精度及解秩捕获能力。
2026-08-21 cs.NA math.NA
Iterative Methods Based on Soft Thresholding of Hierarchical Tensors
本文提出基于分层张量软阈值操作的迭代方法，用于求解离散的高维椭圆问题，通过自动调整阈值参数实现近优的张量秩。
2015-01-30 cs.NA math.NA
Hierarchical Tensor Ring Completion
张量完备化可以从高阶数据的部分观测项中估计出数据的缺失值。最近的工作表明，低阶张量环逼近是解决张量完备化问题的最有力的工具之一。然而，现有的算法需要预定义的张量环秩，这在实践中可能很难确定。为了解决这个问题，我们提出了一个层次张量环分解更紧凑的表示。我们在第一层使用标准张量环将张量分解为若干个3阶子张量，在第二层对每个子张量进一步进行张量奇异值分解（t-SVD）.在基于该分解的低秩张量完备化中，三阶核张量中的零元在第二层被修剪掉，这有助于自动确定张量环的秩.为了进一步提高恢复性能，我们使用全变差来利用局部分段平滑数据结构。乘子的交替方向法可以将最优化模型分解为若干个子问题，每一个子问题都可以高效求解。彩色图像和高光谱图像的数值实验表明，该算法优于国家的最先进的恢复精度。
2020-04-22 cs.NA math.NA
On the best approximation of the hierarchical matrix product
Technical University of Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；University of Basel（巴塞尔大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出了一种改进的分层矩阵乘法框架，通过降低乘法复杂度，实现对矩阵乘积和的低秩近似，从而获得最佳近似，且计算效率更高。
2018-05-23 cs.NA math.NA
Hierarchical interpolative factorization for elliptic operators: integral equations
Stanford University（斯坦福大学）
本文提出了一种用于二维和三维椭圆问题的分层插值分解积分方程（HIF-IE），通过递归骨架化算法结合新的矩阵分解框架和递归维度减少策略，实现高效离散算子及其逆的应用，具有线性或准线性复杂度。
2015-04-20 cs.NA math.NA
High-order Adaptive Rank Integrators for Multi-scale Linear Kinetic Transport Equations in the Hierarchical Tucker Format
本文提出一种基于宏观-微观分解和分层Tucker分解的自适应秩积分器，结合高阶时间与空间离散及高阶奇异值分解，用于高效求解高维线性动理学输运方程，并在基准问题中验证了其精度与压缩优势。
2025-09-08 cs.NA math.NA physics.comp-ph
The inverse fast multipole method: using a fast approximate direct solver as a preconditioner for dense linear systems
虽然一些预条件子可用于求解稠密线性系，但仍有许多矩阵缺少预条件子，特别是在矩阵$N$的大小变得非常大的情况下。因此，仍然非常需要开发其成本与矩阵大小$N$成比例的通用预处理器。本文对稠密矩阵提出了一个具有广泛适用性和代价的预条件子$\mathcal{O}(N)$，当矩阵由光滑核给出时。使用相同的框架将该方法扩展到一般的$\mathcal{H}^2$ -矩阵是相对简单的。这些预处理器具有受控的精度（如果需要，可以实现机器精度），并与$N$成线性比例。它们是基于系统的近似直接解。该算法的线性缩放是通过两个关键思想实现的。首先，利用稠密矩阵的$\mathcal{H}^2$ -结构获得扩展的稀疏方程组。其次，填充时产生的消除被压缩为低秩矩阵，如果它们对应于良好分离的相互作用。这确保了在整个消除过程中保持扩展稀疏矩阵的稀疏模式，因此导致了具有$\mathcal{O}(N \log(1/\varepsilon)^2 )$计算成本和$\mathcal{O}(N \log 1/\varepsilon )$存储器要求的非常有效的算法，用于误差容限$0 < \varepsilon < 1$。解算器是不精确的，尽管误差可以控制并根据需要尽可能小。这些解算器与ILU相关，因为填充是受控的。然而，在ILU中，大部分填充都被简单地丢弃，而在这里，它是使用低秩块来近似的，具有规定的容差。数值例子进行了讨论，以证…
2016-02-04 cs.NA math.NA
Low-rank updates and divide-and-conquer methods for quadratic matrix equations
在这项工作中，我们考虑了两种类型的大规模二次矩阵方程：连续时间代数Riccati方程，它发挥了核心作用，在最优和鲁棒控制，和单边二次矩阵方程，它产生于随机过程的二维晶格和振动系统。我们提出了一个简单而快速的方法来更新的解决方案，这样的矩阵方程下的系数的低秩修改。基于这个过程，我们开发了一个分而治之的二次矩阵方程的系数，具有特定类型的层次低秩结构，其中包括带状矩阵的方法。这推广了线性矩阵方程的早期工作。数值实验表明，我们新提出的方法的优点相结合的分层低秩算法的迭代格式。
2019-03-06 cs.NA math.NA
A Simplified Fast Multipole Method Based on Strong Recursive Skeletonization
本文提出一种基于强递归骨架化的简化快速多极子方法，通过仅用近邻列表和新型平移算子简化实现，支持并行与GPU加速，适用于拉普拉斯和低频亥姆霍兹核。
2025-07-10 cs.NA math.NA
Block-encoding dense and full-rank kernels using hierarchical matrices: applications in quantum numerical linear algebra
数值线性代数的许多量子算法假设黑盒访问感兴趣矩阵的块编码，这在矩阵不稀疏时是一个强假设。核矩阵是核函数$k(x,x')$离散化的结果，在数学和工程中有着广泛的应用。他们通常是密集和全秩。经典的快速多极子方法是利用层次矩阵的线性代数框架，在时间上几乎线性地对$N$维的核矩阵进行矩阵乘法运算，即在$N$维上进行矩阵乘法运算。鉴于这一成功，我们提出了量子计算机上的分层矩阵结构的块编码方案。当应用于多个物理核矩阵时，我们的方法可以将求解$N$维量子线性系统的时间提高到$O(κ\operatorname{polylog}(\frac{N}{\varepsilon}))$维，其中$κ$和$\varepsilon$是矩阵运算的条件数和误差界.这个运行时间是接近最优的，并且在$N$方面，在密集和满秩核矩阵的情况下，指数地改进了先前的量子线性系统算法。我们讨论了我们的方法在求解积分方程和加速计算N体问题的可能应用。
2022-12-07 cs.NA math.NA quant-ph
HODLR2D: A new class of Hierarchical matrices
本文介绍了HODLR 2D，一个新的层次低秩表示的一类稠密矩阵所产生的$N$体问题的二维。使用这个新的分层框架，我们提出了一个新的快速矩阵向量积，规模几乎线性。我们应用这种快速矩阵向量积来加速由径向基函数插值和离散积分方程引起的大型稠密线性系的迭代求解。HODLR 2D矩阵-向量积的空间和计算复杂性按比例缩放为$\mathcal{O}(pN \log(N))$，其中$p$是压缩矩阵子块的最大秩。我们还证明了$p \in \mathcal{O}(\log(N)\log(\log(N)))$，这确保了HODLR 2D矩阵矢量产品的存储和计算复杂性仍然易于处理的大型$N$。此外，作为本文的一部分，我们还介绍了HODLR 2D的并行可伸缩性。
2022-04-12 cs.NA math.NA
Fast Multipole Preconditioners for Sparse Matrices Arising from Elliptic Equations
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；Tokyo Institute of Technology（东京工业大学）；University of Strathclyde（思克莱德大学）
本文提出利用快速多重级数方法作为预处理器，用于求解有限域椭圆边界值问题，通过边界积分和Krylov方法扩展至更一般算子，具有与多网格方法相当的收敛速率和更好的并行扩展性。
2016-01-19 cs.NA math.NA
Fast Kalman Filter using Hierarchical-matrices and low-rank perturbative approach
Tufts University（塔夫茨大学）；Stanford University（斯坦福大学）
本文提出一种快速卡尔曼滤波算法，用于随机游走预测模型。通过高效表示估计协方差矩阵，结合过程噪声协方差矩阵和低秩项，实现O(N log N)的计算复杂度。
2015-05-12 cs.NA math.NA
Estimating Hierarchically Rank Structured Covariance Matrices
Universität Potsdam（波茨坦大学）；Cornell University（康奈尔大学）
本文提出通过施加层级秩结构来正则化小样本协方差矩阵估计，相比稀疏性方法适用更广，并给出高效算法，实验证明其估计误差更小。
2026-09-11 cs.NA math.NA stat.CO
Low-rank Approximation of a Matrix: Novel Insights, New Progress, and Extensions
The Graduate Center of the City University of New York（纽约市立大学研究生中心）；Lehman College of the City University of New York（纽约市立大学雷曼学院）
本文提出矩阵低秩近似的理论支持，改进算法效率，并扩展至回归、快速多极子和共轭梯度方法。
2016-06-05 cs.NA math.NA
Fast hierarchical solvers for sparse matrices using extended sparsification and low-rank approximation
用标准的直接求解方案求稀疏矩阵的逆是鲁棒的，但是计算昂贵。另一方面，迭代求解器表现出更好的可扩展性;但是，需要与适当的预处理器一起使用（例如，ILU、AMG、Gauss-Seidel等）为了正确的收敛。有效预条件子的选择是高度依赖于问题的。提出了一种新的全代数稀疏矩阵求解算法，该算法的复杂度与问题规模成线性关系。我们的方案是基于高斯消元法。对于一个给定的矩阵，我们近似的LU分解与先验确定的可调精度。该方法可以作为一个独立的直接求解器，具有线性复杂度和可调精度，或者它可以作为一个黑盒预处理器与迭代法，如GMRES。建议的求解器是基于低秩近似的消除过程中产生的填充。类似于H矩阵，对应于邻接图中良好分离的块的填充通过分层结构来表示。算法的线性复杂度是有保证的，如果块对应于良好分离的变量集群是数值低秩。
2016-12-15 cs.DS cs.NA math.NA
H2-MG: A multigrid method for hierarchical rank structured matrices
本文提出H2-MG算法，将H2矩阵逼近与多重网格方法结合，用于高效求解含核矩阵的大型系统，兼具时间和内存效率及快速收敛性，并验证了其线性复杂度和有效性。
2025-09-11 cs.NA math.NA
Multilevel Adaptive-Rank Methods for Linear and Nonlinear Systems in the Hierarchical Tucker Format
Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
针对高维偏微分方程，提出多水平自适应秩迭代方法，通过扩展投影法实现灵活预条件、构建多水平预条件策略并集成到非精确牛顿框架中，实验表明该方法鲁棒且可扩展。
2026-06-23 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Hierarchical Matrix Approximations of Hessians Arising in Inverse Problems Governed by PDEs
在由偏微分方程（PDE）控制的反问题中，Hessian算子在确定性反问题的牛顿解和贝叶斯环境下后验的马尔可夫链Monte Carlo采样的高效、维数无关的收敛中起着关键作用。这些方法需要能够重复执行海森函数的运算，如与任意向量相乘、求解线性系、求逆和（求逆）平方根。不幸的是，Hessian是一个（形式上）稠密的，隐式定义的算子，对于实际的逆问题，它很难显式地形成，需要尽可能多的PDE解作为反演参数。当数据包含关于参数的有限信息时，低秩近似是有效的，但是当数据变得更加信息化时，低秩近似变得令人望而却步。然而，实际应用中出现的许多逆问题的海森函数可以很好地用具有分层低秩结构的矩阵来逼近。分层矩阵表示有望克服密集表示的高复杂性，并提供有效的数据结构和矩阵运算，只有对数线性复杂度。在这项工作中，我们描述的算法，用于构建和更新层次矩阵近似的Hessians，并说明他们的一些代表性的逆问题，涉及时间相关的扩散，对流为主的运输，频域声波传播，和低频麦克斯韦方程组，演示了一个数量级的速度比全球低秩近似。
2020-03-23 cs.NA math.NA
GP-HMAT: Scalable, ${O}(n\log(n))$ Gaussian Process Regression with Hierarchical Low-Rank Matrices
高斯过程（GP）是一种功能强大且广泛使用的回归技术。GP回归的主要构建块是协方差核，它表征了随机场中对之间的关系。然而，找到最佳核的优化需要几个大规模且通常非结构化的矩阵求逆。我们通过引入一种分层矩阵方法（称为HMAT）来解决这一挑战，该方法可以有效地将矩阵结构以递归方式分解为显着较小的矩阵，其中可以使用直接方法进行求逆。我们的矩阵划分使用一个特定的聚合策略的数据点，这促进了低秩结构的非对角块的分层核矩阵。我们采用了一种随机线性代数方法，在不分解大矩阵的情况下，对低秩非对角块进行矩阵约简。我们提供了分析误差和成本估计的矩阵求逆，调查他们的经验与数值计算，并展示了我们的方法的应用程序的三个数值例子涉及GP回归工程问题和大规模的真实数据集。我们提供了GP-HMAT的计算机实现，适用于GP似然和导数计算的HMAT，以及最后一个数值例子在真实数据集上的实现。我们展示了优越的可扩展性的HMAT方法相比，内置的$\backslash$运营商在MATLAB中的大规模线性解决$\bf{A}\bf{x} = \bf{y}$通过可重复和可验证的实证研究。作为未来的研究，层次半可分（HSS）矩阵的扩展进行了讨论。
2021-12-17 cs.CE cs.NA math.NA
Fast hierarchical low-rank view factor matrices for thermal irradiance on planetary surfaces
针对行星表面时变热建模中角系数矩阵的二次复杂度瓶颈，提出基于四叉树/八叉树与稀疏SVD的分层低秩压缩算法，实现线性存储与矩阵向量乘并带来数量级提升。
2023-07-17 cs.NA math.NA
Structured matrix recovery from matrix-vector products
本文研究仅用少量矩阵-向量乘积恢复结构化矩阵的问题，提出基于递归投影的随机化算法，以近对数复杂度高概率恢复分层低秩矩阵。
2023-05-29 cs.NA math.NA
Second Order Accurate Hierarchical Approximate Factorization of Sparse SPD Matrices
我们描述了一个二阶精确的方法来稀疏对称正定矩阵的分层近似分解的非对角块稀疏化。新方法所产生的误差的范数依赖于给定块的低秩近似中的误差的平方，而不是线性。对所得到的两电平预条件子的分析表明，该预条件子也具有二阶精度。我们将新的方法到最近的稀疏嵌套解剖算法[SIAM J.矩阵分析。应用程序、41（2020），pp. 715-746]，并在广泛的问题上进行测试。新方法将收敛所需的共轭梯度迭代次数减半，具有几乎相同的因式分解复杂度，提高了算法的总运行时间。我们的方法可以结合到其他的秩结构的方法来解决稀疏线性系。
2020-08-04 cs.NA math.NA
A hierarchical dynamical low-rank algorithm for the stochastic description of large reaction networks
本文提出基于二叉树张量网络的动态低秩算法，通过分层划分反应网络降低动力学化学主方程的维度灾难，在lambda噬菌体模型和反应级联算例中相比蒙特卡洛方法显著减少内存并提升精度与计算性能。
2024-08-01 cs.NA math.NA physics.bio-ph
Hierarchical rank-evolving representation for physics-informed neural networks
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Southwestern University of Finance and Economics（西南财经大学）
针对现有T-PINNs需手动调整秩的缺陷，提出分层秩演化（HRE）表示并构建HRE-PINNs，经多类方程数值实验验证，其精度优于现有最先进方法。
2026-08-11 cs.LG cs.NA math.NA
Updating Singular Value Decomposition for Rank One Matrix Perturbation
School of Engineering \& Applied Science, Ahmedabad University, Ahmedabad-380009, India
本文提出一种高效算法，用于在O(n² log(1/ε))时间内更新秩一扰动矩阵的奇异值分解，利用快速多极子方法在O(n log(1/ε))时间内更新奇异向量。
2017-07-26 cs.LG cs.NA math.NA
Low-rank representation of tensor network operators with long-range pairwise interactions
张量网络算子，如矩阵乘积算子（MPO）和投影纠缠对算子（PEPO），可以提供高维空间中某些线性算子的有效表示。本文主要研究具有长程成对相互作用（如库仑相互作用）的张量网络算子的有效表示。对于MPO，我们发现所有现有的有效方法都利用了一个独特的“上三角低秩”（UTLR）属性，即矩阵的上三角部分可以很好地近似为低秩矩阵，而矩阵本身可以是满秩的。这使我们能够将找到有效的MPO表示的问题转换为矩阵完成问题。我们提出了一种改进的增量奇异值分解方法（ISVD）来解决这个病态矩阵完备化问题。该算法产生与[Stoudenmire和White，Phys. Rev. Lett. 2017年]。为了有效地处理更一般的张量网络算子，我们开发了另一种策略，用于基于分层低秩矩阵格式压缩张量网络算子，例如分层非对角低秩（HODLR）格式和$\mathcal{H}$ -矩阵格式。虽然复杂度中的前常数较大，但使用分层低秩矩阵格式的优点在于其适用于MPO和PEO两者。对于库仑相互作用，算子可以由$\mathcal{O}(\log(N)\log(N/ε))$ MPO/PEO的线性组合表示，每个MPO/PEO具有恒定的键尺寸，其中$N$是系统尺寸，$ε$是低秩截断的准确度。无论是修改后的ISVD，也不是分层低秩算法假设的长程相互作用采取的抑制不变的形式。
2019-09-05 cs.NA math.NA physics.comp-ph
