On Secrecy Capacity of Minimum Storage Regenerating Codes
在本文中，我们重新审视的问题，表征的最小存储再生（MSR）码的保密能力下的被动$(l_1,l_2)$窃听模型，窃听者可以访问存储在$l_1$节点和修复数据的额外的$l_2$节点。我们从信息论的角度来研究它。首先，给出了MSR码的一些一般性质以及一个简单且普遍适用的保密容量上界。其次，引入了\emph{stable} MSR码的概念，证明了其稳定性与保密容量密切相关。最后，给出了线性MSR码的保密容量的一个全面而明确的结果，推广了文献中的所有相关工作，并对一些未知的线性MSR码给出了一定的结果.
2016-08-08 cs.IT math.IT
Multi-Message Private Information Retrieval using Product-Matrix MSR and MBR Codes
多消息私有信息检索（MPIR）是PIR的一个有趣的变体，其允许用户从数据库下载多个消息而不泄露所需消息的身份。显然，用户可以重复使用单消息PIR方案，但我们希望有一种更有效的方法来降低下载成本。在文献[1]中，Banawan和Ukulus研究了具有复制数据库的多消息PIR问题。在本文中，我们考虑多消息PIR计划，其中数据库存储使用最小存储再生（MSR）或最小带宽再生（MBR）代码，这是类最佳再生代码提供有效的修复时，系统中的一个节点发生故障。本文分析了存贮、检索和修理费用之间的关系，并给出了利用文献[2]中的MSR和MBR码的显式方案，它们都能达到最佳的折衷曲线。据我们所知，我们的工作是第一个探索多消息PIR与编码数据库。
2018-08-06 cs.IT math.IT
Beyond the MDS Bound in Distributed Cloud Storage
分布式存储在当前的云计算框架中起着至关重要的作用。在再生码的开创性工作导出了分布式存储的理论界之后，又发展了基于Reed-Solomon码的再生码。基于RS码的最小存储再生码（RS-MSR）和基于最小带宽再生码（RS-MBR）在码再生时分别能达到MSR点和MBR点的理论界。它们还可以在代码重构中维护MDS属性。然而，在恶意网络中，存储节点可能会受到损害，数据包可能会被篡改，网络的存储容量可能会受到显着影响。本文提出了一种基于厄米特码的最小存储再生（H-MSR）码和一种最小带宽再生（H-MBR）码。我们首先证明了我们提出的基于厄米特码的再生码可以分别达到MSR点和MBR点的理论界。然后，我们提出了数据再生和重建算法的H-MSR码和H-MBR码在无错网络和敌对网络。理论分析表明，与相同码率的RS-MSR码和RS-MBR码相比，该方案在恶意网络环境下能够检测出错误的译码，纠正更多的错误。我们的分析还表明，建议的H-MSR和H-MBR码具有较低的计算复杂性比RS-MSR/RS-MBR码在代码再生和代码重构。
2015-10-05 cs.CR cs.IT math.IT
A Sytematic Piggybacking Design for Minimum Storage Regenerating Codes
捎带是降低最大距离可分离码（MDS）或最小存储再生码（MSR）修复带宽的有效方法。为了最小化已知的高码率MSR码的奇偶校验节点的修复带宽，通常是原始数据的全部大小，即，通过对背负式设计的深入分析，提出了一种新的系统背负式设计。结果，新的MSR码得到几乎最佳的修复带宽的奇偶节点，而保持最佳的修复带宽的系统节点。在此基础上，提出了在节点修复过程中均衡下载的MSR码。
2014-08-23 cs.IT math.IT
Explicit Constructions of MBR and MSR Codes for Clustered Distributed Storage
本文考虑容量实现编码的集群形式的分布式存储，反映了实际的存储网络。为了反映具有有限的跨集群通信带宽的集群结构，相同集群中的节点被设置为传送$β_I$符号，而其他集群中的节点可以彼此传送$β_c \leq β_I$符号。我们提出了两种实现集群分布式存储容量的精确再生码：最小带宽再生（MBR）码和最小存储再生（MSR）码。首先，我们构造MBR代码用于集群分布式存储的一般参数设置。建议的MBR代码是Rashmi等人提出的现有代码的概括，对于存储节点分散到L> 1个集群中的情况。与现有的本地MBR代码相比，用于$β_c = 0$情况的建议的MBR代码需要小得多的字段大小。其次，我们设计了MSR码的集群分布式存储。重点是两个重要的情况下：$ε=0$和$ε\in [1/(n-k), 1]$，其中$ε=β_c/β_I$是可用的跨集群内修复带宽的比率，n是分布式节点的总数和k是在数据检索中的接触节点的数量。前者表示不允许跨集群通信的情况，而后者对应于最小节点存储开销的情况。对于$ε=0$，证明了两个现有的局部可修码是聚类模型的MSR码。对于$ε\in [1/(n-k), 1]$，非集群模型的现有MSR代码通过简单修改可适用于集群场景。
2019-08-02 cs.IT math.IT
Bandwidth Adaptive & Error Resilient MBR Exact Repair Regenerating Codes
在存储网络中，节点失效是一种常见的分布式存储问题，再生码是解决这种问题的有效方法。它们通过仅访问网络中任意选择的预定义数量的存储节点来保证低成本的数据重建和修复。在这项工作中，我们考虑了对[1]中引入的原始再生代码框架的两个同时扩展; i）数据重建和修复都对网络中存在一定数量的错误节点具有弹性，ii）每次修复中的帮助节点的数量不是固定的，而是可以在运行时选择的灵活参数。我们研究所需的总修复带宽的基本限制，并提供这些代码的存储容量的上限在这些假设下。然后，我们专注于最小修复带宽（MBR）的情况下，并得出确切的存储容量，提出明确的编码方案与确切的修复，实现了在考虑设置的存储容量的上限。为此，我们首先提供了一个更自然的扩展著名的产品矩阵（PM）MBR代码[2]，修改，以提供灵活的选择在每次修复的帮助者的数量，并同时在网络中的错误节点的鲁棒性。这是通过证明在足够大的有限域上的矩阵族的非奇异性来实现的。接下来，我们提供了另一个扩展的PM代码，基于新的修复方案，使灵活的帮助者的数量和鲁棒性对错误的节点，而没有任何额外的成本字段大小相比，原来的PM代码。
2017-11-07 cs.IT math.IT
Interference Alignment in Regenerating Codes for Distributed Storage: Necessity and Code Constructions
再生码是最近开发的一类用于分布式存储的码，其像里德-所罗门码一样，允许从n个节点中的任意k个节点恢复数据。然而，再生代码还具有通过连接到任意d节点并下载通常远小于数据文件的大小的数据量来修复故障节点的能力。此下载量称为修复带宽。最小存储再生（MSR）码是再生码的一个子类，需要最少的网络存储量;每个这样的码都是最大距离可分离（MDS）码。此外，当替换节点存储与故障节点中的数据相同的数据时，修复被称为精确的。本文的四个主要结果是：（a）对于d = n-1 >= 2k-1，显式地构造了一类MDS码，称为MISER码，它在系统节点的精确修复中达到了修复带宽的割集界;（b）证明了精确修复MSR码中干扰对齐的必要性;（c）证明了构造线性MSR码的不可能性，在没有符号扩展的情况下，d < 2k-3的精确修复MSR码，以及（d）d = k+1的MSR码的构造，也是显式的。干扰对齐（IA）是贯穿全文的主题：MISER代码构建在IA原则之上，IA也是d < 2k-3不存在证明的关键组成部分。据我们所知，本文提出的结构是第一个，明确的再生码，实现割集界的建设。
2010-09-13 cs.DC cs.IT cs.NI
A Note on Secure Minimum Storage Regenerating Codes
这篇短文重新讨论了为分布式存储系统设计安全最小存储再生（MSR）码的问题。安全的MSR代码确保分布式存储系统不会将存储的信息泄露给被动窃听者。假设窃听者可以访问存储在系统中的$\ell_1$数量的存储节点上的内容以及在额外的$\ell_2$数量的存储节点的带宽有效修复期间下载的数据。本文结合了基于Gabidulin码的预编码[18]和Ye和Barg [27]的MSR码的新构造（没有安全要求），以获得安全的MSR码。这样的最佳安全MSR码先前在窃听者仅被允许观察$k$节点的特定子集中的$\ell_2$节点的修复的设置中是已知的[7，18]。本文提出的安全编码方案允许窃听者观察到系统中$n$节点中任意$\ell_2$的修复，并刻画了线性可修复MSR码的保密能力。
2016-08-05 cs.IT math.IT
Locally Repairable Regenerating Code Constructions
在这项工作中，我们给出了局部可修复再生码（LRRC）[1]-[3]，[5]，[6]的结构，可以保护文件的大小所承诺的图分析的修改家庭助手选择（MFHS）计划[1]在最小带宽再生（MBR）点。
2016-05-04 cs.IT math.IT
On Heterogeneous Regenerating Codes and Capacity of Distributed Storage Systems
异构分布式存储系统（DSS）接近于现实世界中的数据存储应用。互联网缓存系统和对等存储云就是这样的DSS的例子。在这项工作中，我们计算这样的系统，每个节点存储不同数量的数据包，每个具有不同的修复带宽（节点可以通过接触一组特定的节点修复）的容量公式。研究了这种异构DSS的存储和修复带宽之间的权衡曲线。通过对容量公式的分析，在曲线上得到了新的最小带宽再生点和最小存储再生点。结果表明，在某些情况下，这些都优于同质DSS。
2014-02-16 cs.IT math.IT
Quasi-cyclic Flexible Regenerating Codes
在分布式存储环境中，数据被放置在通过网络连接的节点中，这些节点中的一个很可能发生故障。已知的是，纠删编码的使用提高了容错并且最小化了在分布式存储环境中添加的冗余。再生码的使用不仅充分利用了纠删编码的改进，而且还最大限度地减少了再生故障节点所需的数据量。本文提出了一类新的基于准循环码的再生码。构造了准循环柔性最小存储再生码（QCFMSR），并证明了其存在性。还提供了从基QCFMSR码构造的具有最小带宽的准循环灵活再生码。这些代码不仅在存储数据和修复带宽方面实现了最佳MBR参数，而且对于所涉及的参数的特定选择，它们可以在最佳MBR点下降低。准循环柔性再生码由于其简单性和低复杂度而备受关注。它们允许在最小带宽的情况下精确的修复通过传输和在MSR的情况下精确的伪修复通过传输，其中仅当新节点进入系统以替换丢失的节点时才需要操作。
2013-05-16 cs.DC cs.IT math.IT
Decoding and Repair Schemes for Shift-XOR Regenerating Codes
提出了移位异或（shift-exclusive-or，shift-XOR）乘积矩阵（PM）再生码的解码和修复方案，该方案在通信和计算开销方面均优于现有方案.特别是，对于移位XOR最小带宽再生（MBR）码，我们的解码和修复方案具有最佳的传输带宽，可以实现在没有额外的存储空间的中间XOR结果。从技术上讲，我们的方案涉及一个就地算法求解系统的移位异或方程，称为\emph{shift-XOR elimination}，它不具有带宽开销所产生的移位运算在以前的锯齿算法，并具有较低的计算复杂度相比，锯齿算法。移位异或MBR/MSR码的解码和修复被分解为移位异或方程组的序列，因此可以通过对移位异或消除的序列调用来解决。由于解码和修复的分解只依赖于PM结构，而不依赖于特定的移位和XOR操作，因此我们的解码和修复方案可以扩展到使用PM结构的其他MBR/MSR码。由于其基本作用，移位异或消除是独立的利益。
2020-05-04 cs.IT math.IT
Novel Repair-by-Transfer Codes and Systematic Exact-MBR Codes with Lower Complexities and Smaller Field Sizes
$(n,k,d)$再生码是一类具有从其它$d$现有码片段恢复丢失码片段的能力的$(n,k)$纠删码。本文主要研究在最小带宽再生点上的精确再生码的设计。对于$d=n-1$，在先前的工作中已经开发了一类$(n,k,d=n-1)$ Exact-MBR码，称为通过传输修复码，以避免节点修复过程中的算术运算。本文的第一个结果利用同余变换给出了一类新的转移修复码。与已有的工作相比，本文所提出的码的优点包括：（1）有限域的最小值从$n \choose 2$减小到$n$ . ii）编码复杂度从$n^4$降低到$n^3$。仿真结果表明，当$n$大于某一常数时，所提出的转移修复码具有较低的计算开销.本文的第二个结果给出了乘积矩阵Exact-MBR码的一种新的编码矩阵形式。所提出的编码矩阵包括多个优点：有限域大小的最小值从$n-k+d$减小到$n$。（ii）。快速Reed-Solomon纠删编码算法可以应用于Exact-MBR码，以降低时间复杂度。
2013-09-15 cs.IT math.IT
Private Information Retrieval using Product-Matrix Minimum Storage Regenerating Codes
私有信息检索（PIR）方案允许用户从服务器检索记录，而不泄露关于正在下载的记录的任何信息。在本文中，我们认为PIR计划的数据库存储使用最小存储再生（MSR）代码，这是一类最佳的再生代码提供有效的修复时，系统中发生的节点故障。我们分析了隐私、存储和修复成本之间的关系，并构造了一个显式PIR方案，该方案使用[3]中的MSR码来实现权衡的最优曲线。
2018-05-18 cs.IT math.IT
Update-Efficient Regenerating Codes with Minimum Per-Node Storage
代码再生技术为分布式存储系统中故障节点的数据恢复提供了一种有效的方法。已经表明，再生代码可以被设计为最小化每个节点的存储（称为MSR）或最小化再生的通信开销（称为MBR）。在这项工作中，我们提出了一个新的编码方案的[n，d]纠错MSR码，推广了我们的早期工作的纠错再生码。证明了通过选择合适的对角矩阵，任意的RS码的生成矩阵都可以被合并到RS码的编码矩阵中.本文还提出了一种利用[n，α] RS码进行数据重构的高效译码方案。所提出的解码方案具有更好的纠错能力，并招致最少的节点访问时，错误的存在。
2013-01-11 cs.DM cs.IT math.IT
High-Rate Regenerating Codes Through Layering
本文给出了一类具有分层结构的精确修复再生码的显式构造。这些再生码对应于存储-修复-带宽权衡上的内部点，并且与采用MSR和MBR码之间的空间共享的方案相比非常好。对于具有$n < 2k-1$的参数集$(n,k,d=k)$，我们构造了一类具有辅助参数$w$的码，称为规范码。当$w$在$n-k < w < k$范围内时，这些代码在MSR点和MBR点之间的区域中运行，并且性能明显优于空间共享线。它们只需要字段大小大于$w+n-k$。对于$(n,n-1,n-1)$的情况，规范码也可以被示出为在连接MSR点的线段上实现内部点，并且在存储-修复-带宽折衷上实现下一个斜率不连续点。因此，我们建立了一个点上的MSR和MBR点上的存储修复带宽的权衡上的精确修复代码的存在。我们还构造了一般参数集$(n,k<d,k)$的分层再生码，我们称之为非规范码。这些代码的性能也明显优于空间共享线，尽管它们需要更大的字段大小。本文所构造的编码具有修复率高、可修复多个节点故障、不需要辅助节点进行任何计算等优点。我们还构造了具有局部性的最优码，其中局部码是分层再生码。
2013-03-11 cs.IT math.IT
Achieving Secrecy Capacity of Minimum Storage Regenerating Codes for all Feasible $(n, k, d)$ Parameter Values
本文讨论了对所有可行参数值在MSR点构造安全的正修再生码的问题。该设置涉及被动窃听者，该被动窃听者被允许观察分布式存储系统（DSS）的$n$节点的子集$l$的存储内容和下载到该子集中。目标是实现窃听符号和DSS上存储的文件之间的完美保密。以前的安全代码构造（最值得注意的是Rawat等人）仅针对其中帮助恢复故障节点的助手节点的数量$d$等于$n-1$的受限情况来解决该问题。本文在Rawat的工作基础上，通过结合Gabidulin预编码和Ye和Barg的MSR构造，证明了对于$d$的所有允许值，MSR点处的保密容量的可扩展性.
2019-02-26 cs.IT math.IT
On the PIR capacity of MSR codes
我们考虑当底层数据库使用再生码编码时，从多个存储节点的私有信息检索（PIR）问题，即，数据库具有从单个节点故障中恢复的能力。我们寻求最优的下载速率，当用户想要从数据库中检索消息私下（在信息理论的意义上）。我们主要集中在更广泛的探索最小存储再生（MSR）代码和正式的状态，并证明这种代码的PIR能力。我们也给出了一个简单的计划，以实现这种能力，这是基于类似的动机建设MDS码。此外，我们给出了一个PIR计划的一类特定的最小带宽再生（MBR）码，达到相同的速率，其最小存储对应。
2019-02-05 cs.IT math.IT
Universally Weakly Secure Coset Coding Schemes for Minimum Storage Regenerating (MSR) Codes
我们考虑的问题，设计代码的分布式存储，保护用户数据对窃听者，可以访问网络链路以及个人节点。我们的目标是实现弱安全性（也称为块安全性），要求窃听者无法解码单个文件或少量文件的组合。实现块安全性的标准方法是使用由（内部）存储代码和（外部）陪集代码组成的联合设计方案。然而，联合设计的代码要求用户，谁预处理和存储的文件，应该知道底层的存储代码，以设计（外）线性变换实现弱安全性。在许多实际场景中，例如将文件存储在第三方云存储系统上，用户可能无法知道底层存储代码。在这项工作中，我们提出了通用的计划，分离的外码设计的最小存储再生码（MSR）的存储代码设计。我们的方案允许独立设计的存储代码和外部代码。我们的方案使用小的字段大小，可以在广泛的实际设置中使用。
2017-10-18 cs.CR cs.IT math.IT
Update-Efficient Error-Correcting Product-Matrix Codes
代码再生技术为分布式存储系统中故障节点的数据恢复提供了一种有效的方法。已经表明，再生代码可以被设计为最小化每个节点的存储（称为MSR）或最小化再生的通信开销（称为MBR）。在这项工作中，我们提出了新的编码方案的$[n,d]$纠错MSR和MBR码，推广我们以前的工作纠错再生码。我们表明，通过选择一个合适的对角矩阵，任何生成矩阵的$[n,α]$里德所罗门（RS）码可以集成到编码矩阵。利用$[n,k]$码和$[n,d]$ RS码的生成多项式的系数，提出了一种更新复杂度最小的MBR码编码方案。提出了一种利用$[n,α]$ RS码对MSR码进行数据重构的译码方案。所提出的解码方案具有更好的纠错能力，并招致最少的节点访问时，错误的存在。本文还针对MBR码提出了一种新的译码方案，该方案可以纠正更多的错误模式。
2014-06-25 cs.IT math.IT
Minimum Storage Regenerating Codes For All Parameters
在过去的十年中，再生代码的分布式存储吸引了很多研究兴趣。这种代码用修复故障节点所需的带宽与存储在网络中的总数据量进行交易。最小存储再生码（MSR）是一类重要的最优再生码，它首先最小化每个节点存储的数据量，然后最小化修复带宽。具体地，如下定义在$\mathbb{F}_q$上的$[n,k,d]$ MSR码$\mathbb{C}$。使用这样的代码$\mathbb{C}$，由$\mathbb{F}_q$上的$αk$符号组成的文件$\cal{F}$可以在$n$节点之间以这样的方式分布，每个节点存储$α$符号：文件$\cal{F}$可以通过下载$n$节点的任何$k$的内容来恢复;并且可以通过访问剩余$n-1$节点中的任何$d$并下载$α/(d-k+1)$符号来重建任何故障节点的内容从这些节点中的每一个。不幸的是，$[n,k,d]$ MSR码的显式构造仅在某些特殊情况下是已知的：低速率，即$k/n<0.5$，或高修复连通性，即$d = n-1$。虽然设置$d = n-1$可最大限度地减少修复带宽，但为了修复单个故障节点而连接到所有剩余节点可能不切实际。本文的主要结果是对参数$n,k,d$的所有可能值，构造了系统修复$[n,k,d]$ MSR码.特别地，我们构造了高速率$k/n>0.5$和低修复连接度$k< d<n-1$的系统修复MSR码。以前不知道有这样的代码存在。为了构建这些代码，我们同时解决…
2016-02-14 cs.IT math.IT
Rack-Aware MSR Codes with Multiple Erasure Tolerance
最小存储机架感知再生（MSRR）代码是再生代码的一种变体，其实现了机架感知模型中单个节点故障的最佳修复带宽。在~ \cite{Chen-Barg2019}和~ \cite{Zhou-Zhang2021}中，作者为修复单个故障节点的所有参数提供了MSRR码的显式构造。本文将\cite{Chen-Barg2019}的结果推广到多节点失效的情况。我们提出了一类MDS阵列码和标量Reed-Solomon（RS）码，并表明这些代码具有最佳的修复带宽和容错能力的多个节点故障的机架感知存储模型。此外，我们的代码保持相同的访问级别的低访问结构在~ \cite{Chen-Barg2019}和~ \cite{Zhou-Zhang2021}。
2021-09-17 cs.IT math.IT
New Repair strategy of Hadamard Minimum Storage Regenerating Code for Distributed Storage System
新提出的$(k+2,k)$ Hadamard最小存储再生（MSR）码是第一类对所有单节点故障具有最佳修复性能的高速存储码。在本文中，我们提出了一种新的简单的修复策略，它可以大大减少计算量的节点修复相比，原来的。
2013-12-18 cs.IT math.IT
Explicit Construction of Minimum Storage Rack-Aware Regenerating Codes for All Parameters
我们考虑机架感知存储系统，其中$n=\bar{n}u$节点被组织在$\bar{n}$机架中，每个机架包含$u$节点，并且任何$k=\bar{k}u+u_0~(0\leq u_0<u)$节点都可以检索原始数据文件。更重要的是，跨机架通信成本比机架内通信成本昂贵得多，以至于后者在系统带宽中通常被忽略。MSRR（minimum storage rack-aware regenerating）码是再生码的一个重要变体，它在rack-aware模型中实现了单节点故障的最优修复带宽。然而，直到Chen\&Barg的工作，才开发出针对所有参数的MSRR代码的显式构造。在本文中，我们提出了另一种显式构造的MSRR码的所有参数，改善陈和巴格的建设在两个方面：（1）的子分组从$(\bar{d}-\bar{k}+1)^{\bar{n}}$减少到$(\bar{d}-\bar{k}+1)^{\lceil\frac{\bar{n}}{u-u_{0}}\rceil}$，其中$\bar{d}$是帮助机架参与修复过程的数量;（2）字段大小减少到$|F|>n$，这几乎是一半的字段中使用的陈和巴格的建设。此外，我们的代码保持了与Chen\&Barg的低访问构造相同的访问级别。
2021-03-29 cs.IT math.IT
Multilevel Diversity Coding with Secure Regeneration: Separate Coding Achieves the MBR Point
研究了具有安全再生的多级分集编码（MDC-SR）问题，其中包括具有再生的多级分集编码（MDC-R）和作为特殊情况的安全再生码（SRC）问题。两个外边界的建立，表明不同的消息使用各自的SRC单独编码可以实现最小带宽再生（MBR）点的可实现的归一化存储容量修复带宽权衡区域的一般MDC-SR问题。新的逆结果的核心是一个交换引理，它可以利用Han的子集不等式建立。
2017-12-09 cs.IT math.IT
Asymptotically Optimal Regenerating Codes Over Any Field
再生码的研究近年来取得了巨大的进展。然而，大多数已知的构造需要大的场尺寸，因此在实践中可能难以实现。利用扩张域理论中的概念，我们得到了再生码的两个显式构造。这些编码随着重构度的增加而接近割集界，并且如果文件大小足够大，则可以在任何给定的域上实现。由于分布式存储系统是重新生成代码的主要目的，因此在大多数可想象的场景中，这种文件大小限制是微不足道的。第一种构造对于所有参数都渐近地在MBR点处达到割集界，而第二种构造对于低速率参数渐近地在MSR点处达到割集界。
2016-09-21 cs.IT math.IT
Exact Regeneration Codes for Distributed Storage Repair Using Interference Alignment
（n，k）最大距离可分离（MDS）纠删码的高修复代价最近促使一类新的码（称为再生码）以最佳方式权衡存储代价和修复带宽。在再生码频谱的一端是最小存储再生（MSR）码，其可以匹配MDS码的最小存储成本，同时还显著降低修复带宽。在本文中，我们描述了精确MSR码，它允许任何失败的节点（无论是系统或奇偶校验节点）被重新生成，而不仅仅是功能或信息等价。我们表明，精确MSR码来没有损失的最优性相对于随机网络编码的MSR码（匹配基于割集的修复带宽的下限）的情况下：（a）k/n <= 1/2;和（b）k <= 3。我们的建设性的方法是基于干扰对齐技术，并且，与前一类的随机网络编码为基础的方法，我们提供明确的和确定性的编码方案，需要一个有限的字段大小最多为2（n-k）。
2010-04-15 cs.IT math.IT
Multilinear Algebra for Minimum Storage Regenerating Codes
$(n, k, d, α)$ -MSR（最小存储再生）代码是一组用于存储文件的$n$节点。对于总大小为$kα$的文件，每个节点存储$α$符号，任何$k$节点恢复该文件，并且任何$d$节点可以通过各自发送出$α/(d-k+1)$符号来修复任何其他节点。在这项工作中，我们探索了使用斜对称矩阵、多项式、对称代数和外代数重新表达臭名昭著的积矩阵构造的各种方法。然后，我们引入了一个多线性代数的基础上产生$\bigl(n, k, \frac{(k-1)t}{t-1}, \binom{k-1}{t-1}\bigr)$ -MSR码一般$t\geq2$。在$t=2$端，它们包括乘积矩阵构造作为特例。在$t=k$端，我们恢复模式$m=k$的行列式代码;对$n=k+1$的进一步限制使其与MSR点处的分层代码相同。我们的编码的子分组级$α$独立于$n$，并且很小。它小于$L^{2.8(d-k+1)}$，其中$L$是Alrabiah-Guruswami关于$α$的下界。此外，它是小于其他MSR码的$α$的一个子集的实际参数。我们提供了代码如何一次修复多个故障的提示。
2020-06-30 cs.IT math.AC math.IT
Practical Functional Regenerating Codes for Broadcast Repair of Multiple Nodes
提出了一种多节点故障的最优功能再生的代码构造和修复方案，该方案基于在线性化多项式上仔细选择的点集上拼接短MDS代码。节点被无线地连接，因此在修复回合期间由帮助节点进行的所有传输可用于所有被修复的节点。该方案具有较低的子包化率、较低的I/O开销和较低的计算开销，因而简单实用。最小带宽再生（MBR）点，以及一个内部的点，在最佳的存储-修复带宽权衡曲线的可扩展性。子空间性质的文件提供洞察功能再生码的一般性质。
2019-04-15 cs.IT math.IT
Rack-aware minimum-storage regenerating codes with optimal access
本文推导了机架感知存储模型中修复单机架内失效节点的访问信息量下界，并构造了达到该下界的机架感知最优访问 MSR 码及低访问复杂度的 RS 码。
2023-04-18 cs.IT math.IT
Optimal repairing schemes for Reed-Solomon codes with alphabet sizes linear in lengths under the rack-aware model
在现代实际数据中心中，存储节点通常被组织成大小相等的组，这被称为机架。跨机架通信的成本比机架内通信的成本昂贵得多。用于该系统的代码被称为机架感知再生代码。与标准的最小存储再生（MSR）码类似，构造满足割集界的最小存储架感知再生（MSRR）码是一个具有挑战性的任务。实现割集界限的MSRR码的已知构造给出了具有字母表大小$q$与码长$n$呈指数关系的码，更准确地说，是$q=Ω(\exp(n^n))$。本文的主要贡献是给出了在$n$中实现割集有界且字母长度线性的MSRR码的显式构造。为了实现这一目标，我们首先提出了一个通用的框架来修复里德所罗门码。结果表明，在我们的一般框架下，可以实现已知的Reed-Solomon码的修复方案。在本文中使用了几种技术。特别地，我们使用度下降的方法来修复失效节点。这种技术使我们能够得到在$n$中字母长度线性的Reed-Solomon码。其他技术包括选择好的多项式。注意，在文献中，好的多项式被用于构造局部可修码。据我们所知，这是第一次在本文中使用好的多项式的再生码的建设。
2019-11-19 cs.IT math.IT
Efficient distribution and improved security for reliable cloud storage system
分布式数据存储系统是由大量的节点通过网络互连而构成的。这种对等网络中的每个节点都是脆弱的，并且存在潜在的攻击风险。攻击者可以窃听节点并可能修改其数据。因此，分布式存储系统应该是安全的，除了满足重建和修复的要求。我们构造了一个比基于再生码的存储系统效率更高的分布式存储系统--Twin MDS码框架。我们证明了这种Twin MDS码框架在分发过程中的性能优于MBR码，与MSR码相当，并与MBR和MSR码的安全性能进行了比较。这种双MDS代码框架在窃听者模型中进行检查，其中被动攻击者可以在修复过程中访问存储的数据或/和下载的数据。我们证明了双MDS代码框架管理更好的结果比MBR和MSR代码在系统中的安全性。
2016-02-05 cs.IT math.IT
Product Matrix MSR Codes with Bandwidth Adaptive Exact Repair
在具有$k$系统节点的分布式存储系统（DSS）中，通常通过在多个其他节点中存储冗余并执行修复机制以再现故障节点的内容来提供对节点故障的鲁棒性。然后，通过最小化存储开销和数据重建和修复所需的数据传输量来实现效率，这些数据传输量由编码解决方案（如重新生成代码[1]）提供。常见的显式再生代码构造通过访问预定义数量$d$的任意选择的可用节点（即帮助器）来实现有效的修复。然而，在实践中，系统的状态基于请求负载、链路流量等动态地改变，并且优化系统性能的参数相应地变化。因此，期望具有能够同时在不同参数范围下最佳地操作的编码方案。具体而言，自适应的帮助节点的数量进行修复的兴趣。虽然鲁棒性要求能够用少量的助手来执行修复，但是希望使用尽可能多的助手来减少传输延迟和总的修复流量。在这项工作中，我们专注于最小存储再生（MSR）代码，其中每个节点都应该存储$α$信息单元，和大小为$kα$的源数据可以从任意一组$k$节点恢复。我们引入了一类MSR码，它可以同时实现最佳修复带宽，并对帮助器的数量进行一组不同的选择，即$D=\{d_{1}, \cdots, d_δ\}$。我们的编码方案遵循[2]中介绍的乘积矩阵（PM）框架，并且可以被认为是[2]中提出的PM MSR代码的推广，使得任何$d_{i} = (i+1)(k-1)$助手都可以执行最佳修复。...
2017-12-28 cs.IT math.IT
Private Information Retrieval Schemes with Regenerating Codes
私有信息检索（PIR）方案允许用户从数据库中检索文件，而不泄露关于所请求的文件的任何信息。到目前为止，PIR方案已经提出了几种类型的存储系统，包括复制和MDS编码的数据。本文研究了再生码的PIR格式的构造问题。再生码是其码字分布在$n$节点之间的存储码，从而实现文件的高效存储以及文件的低带宽检索和节点的修复。在这项工作中，再生码的PIR计划的构造，使用的产品矩阵（PM）的框架Rashmi，沙阿和Kumar。同时考虑了最小带宽（MBR）和最小存储（MSR）设置，并使用PM框架给出的结构，以降低我们方案的下载通信复杂性。
2018-12-06 cs.IT math.IT
Non-homogeneous Two-Rack Model for Distributed Storage Systems
在传统的两机架分布式存储系统（DSS）模型中，由于假设每个节点的存储容量相同，因此最小带宽再生（MBR）点变得不可行。在本文中，我们设计了一个新的非齐次两机架模型，提出了一个推广的阈值函数用于计算的权衡曲线。我们证明，通过具有更高的再生带宽的机架中的节点存储更多的信息，所有的点上的权衡曲线，包括MBR点，成为可行的。最后，我们展示了非均匀的两个机架模型优于传统的模型，在每个节点的存储和修复带宽之间的权衡曲线。
2013-07-31 cs.IT math.IT
New Minimum Storage Regenerating Codes With Small Sub-packetization Levels for All Admissible Repair Degrees
City University of Hong Kong（香港城市大学）；Southwest Jiaotong University（西南交通大学）
针对分布式存储系统，提出一类支持任意修复度、子分组级更小的新MSR码，通过放宽Ye-Barg码的交换性条件实现，提升了编解码效率，丰富了MSR码家族。
2026-10-14 cs.IT math.IT
Small-d MSR Codes with Optimal Access, Optimal Sub-Packetization and Linear Field Size
本文给出了一类最优存取、最小存储再生（MSR）码的显式构造方法，该码的辅助节点数$d$较小。该构造对于具有$d \in \{k+1, k+2, k+3\}$的任何参数集$(n,k,d)$都是有效的，并且采用大小为$q=O(n)$的有限域$\mathbb{F}_q$。我们将所构造的码称为Small-d MSR码。子分组化级别$α$由$α= s^{{\lceil\frac{n}{s}\rceil}}$给出，其中$s=d-k+1$。根据最优接入MSR码的子分组化级别的早期结果，这是可能的最小值。
2021-09-22 cs.IT math.IT
Codes with Combined Locality and Regeneration Having Optimal Rate, $d_{\text{min}}$ and Linear Field Size
本文研究了具有全符号局部性的矢量码，其中局部码是最小带宽再生码（MBR）或最小存储再生码（MSR）。在第一部分中，我们提出了矢量码与全符号MBR局部性，对于所有参数，具有最佳的最小距离和最佳速率。这些代码结合了分布式存储文献中两种流行代码的思想，即乘积矩阵代码和Tamo-Barg代码。在第二部分中，处理具有全符号MSR局部性的代码，我们遵循基于成对耦合变换的方法来获得最佳的最小距离和最佳速率，对于一系列参数。本文提出的所有码构造都具有随码长$n$线性增长的低字段大小。
2018-04-02 cs.IT math.IT
Convertible Codes: MSR-to-MSR Conversion with Optimal Access and Bandwidth
Southwest Jiaotong University（西南交通大学）；Information Coding and Transmission Key Laboratory of Sichuan Province（四川省信息编码与传输重点实验室）
本文研究合并机制下的可转换码，聚焦最小存储再生（MSR）设置，提出显式MSR到MSR转换方案，实现最优访问成本和转换带宽。
2026-06-27 cs.IT math.IT
Optimal Construction of Regenerating Code through Rate-matching in Hostile Networks
再生码是一类非常适合分布式存储系统的代码，它可以保持最优的带宽和存储空间。构造了两种重要的再生码：最小存储再生（MSR）码和最小带宽再生（MBR）码。然而，在敌对网络中，对手可以危害存储节点，网络的存储容量可能会受到显着影响。本文提出了两种能在敌对网络中对抗此类攻击的速率匹配再生码的优化构造：2层速率匹配再生码和$m$层速率匹配再生码。对于2层代码，我们可以实现给定系统要求的最佳存储效率。我们的综合分析表明，我们的代码可以检测和纠正恶意节点具有更高的存储效率相比，普遍弹性再生代码，这是一个简单的扩展，再生代码的错误检测和纠正能力。在此基础上，通过对二层码的扩展，提出了$m$层码，并通过匹配各层再生码的码率来达到最佳的纠错效率。我们还证明了优化后的参数可以达到最大的存储容量在相同的约束条件下。与通用的弹性再生码相比，我们的代码可以实现更高的纠错效率。
2015-11-07 cs.CR cs.IT math.IT
Improved Upper Bounds on Systematic-Length for Linear Minimum Storage Regenerating Codes
在本文中，我们重新寻找最长的系统长度$k$的线性最小存储再生（MSR）码的最佳修复只有系统的一部分，对于一个给定的每个节点的存储容量$l$和任意数量的奇偶校验节点$r$。我们研究问题的线性子空间和运营商的几何分析。首先，给出了一个简单的二次界，这意味着$k=r+2$是\emph{scalar}场景中系统节点数量最多的。其次，推导了基于$r$的对数上界，该上界优于基于$2$的对数上界。最后，给出了一个依赖于$\frac{r^2}{l}$值的显式上界，进一步推广了文献中的相应结果.
2018-07-05 cs.IT math.IT
Progress on High-rate MSR Codes: Enabling Arbitrary Number of Helper Nodes
本文提出了一种高速率MDS码，使带宽有效的修复一个节点的建设。这种MDS码在分布式存储文献中也被称为最小存储再生（MSR）码。由于$d$是构造中的设计参数，因此本文提出的构造为所有可能数目的帮助节点$d$生成MSR码。此外，所获得的MSR码具有多项式子分组化（a.k.a.节点大小）$α$。该结构建立在Saharan等人[1]提出的最新代码上，该代码仅适用于$d = n-1$，即，其中所有剩余的节点用作单个节点的带宽有效修复的帮助节点。本文的结果拓宽了MSR码的构造的参数集是已知的。
2016-01-24 cs.IT math.IT
On MBR codes with replication
Rashmi et.等人提出了$(n,k,d=n-1)$ MBR再生码的构造，其特征在于所有码符号的固有双重复制和传送修复（RBT），这两者在实践中都是重要的。我们首先表明，没有MBR代码可以包含一个代码符号，复制两次以上。然后，我们继续介绍两个新的家庭的MBR代码，其功能双重复制的所有系统的消息符号。代码还拥有一组$d$节点，其内容包括消息符号，并且可以通过传输帮助（HBT）来修复。作为一个推论，我们获得系统的RBT码的情况下，$d=(n-1)$具有固有的双重复制的所有代码符号，并具有一个字段大小的$O(n)$与一般相比，$O(n^2)$字段大小的要求，早期建设的Rashmi等。对于$(k=d=n-2)$或$(k+1=d=n-2)$的情况，字段大小可以减少到$q=2$，因此代码可以是二进制的。我们还给出了MBR码存在的一个充分必要条件，所有的代码符号的双重复制，并提出了技术，这将使任意MBR码转换为一个双重复制的所有的代码符号。
2016-01-29 cs.IT math.IT
Architecture-aware Coding for Distributed Storage: Repairable Block Failure Resilient Codes
在部署在云计算中的大规模分布式存储系统（DSS）中，导致节点块同时失效（或不可用）的相关故障是常见的。在这种情况下，故障节点的存储数据或内容只能从属于可用块的可用活动节点中重建。为了分析系统对这种块故障的弹性，这项工作引入了块故障弹性（BFR）码的框架，其中数据（例如，DSS中的文件）可以通过从基础码字的可用块的子集中读出相同数量的码字符号（节点）来解码。此外，引入了可修复的BFR码，其中故障块中的任何码字符号可以通过接触系统中剩余块的子集来修复。导出了可修复BFR码的文件大小界，分析了每节点存储量与修复带宽之间的权衡关系，并导出了相应的最小存储再生点（BFR-MSR）和最小带宽再生点（BFR-MBR）.构造针对参数的特殊情况实现两个操作点的显式代码，其中根据组合设计将底层再生码字分布到BFR码字符号。最后，BFR局部可修码（BFR-LRC）的介绍，上界的弹性推导和最佳的代码结构提供了一个级联的Gabidulin和MDS码。通过使用BFR-MSR/MBR程序作为局部程序，进一步研究了BFR-LRC的修复效率。代码建设实现最佳弹性BFR-MSR/MBR-LRC提供某些参数制度。总体而言，这项工作介绍了块故障的框架，以及最佳的代码结构，并研究分布式存储系统的体系结构感知编码。
2017-02-21 cs.IT math.IT
A Class of MSR Codes for Clustered Distributed Storage
集群分布式存储对集群内和跨集群修复带宽不同的真实数据中心进行建模。本文设计了一种可实现分簇分布式存储容量的精确修复最小存储再生（MSR）码。重点是两种情况下：$ε=0$和$ε=1/(n-k)$，其中$ε$是可用的跨集群和集群内修复带宽的比率，$n$是分布式节点的总数和$k$是数据检索中接触节点的数量。前者表示不允许跨集群通信的情况，而后者对应于在最小存储开销约束下可能的最小跨集群带宽的情况。对于$ε=0$情形，证明了两种局部可修码能达到MSR点。对于$ε=1/(n-k)$，在$n = 2k$的特定条件下，针对两簇的情况，提出了一种显式的MSR编码方案。
2018-01-06 cs.IT math.IT
Exact-MSR Codes for Distributed Storage with Low Repair Complexity
本文提出了两种新的精确修复最小存储再生码。对于这两种构造，通过将GF（q）上的消息向量处理为线性化多项式并在扩展域GF（q^m）上对其求值来获得编码符号。对于我们的精确MSR码，数据修复不需要矩阵求逆，并且可以通过GF $(q)$上的加法和乘法以及使用正常基时的循环移位来实现。这两种构造分别假设基域为GF（q）（q>2）和GF（2）。与现有的精确MSR码的构造相比，只要$q$足够大，前一构造对任意码参数都有效。据我们所知，这是第一次构造具有任意码参数的精确MSR码。与现有的精确MSR码相比，虽然我们的精确MSR码的数据构造具有更高的复杂度，但数据修复的复杂度较低。因此，它们对于需要少量数据重建以及大量数据修复的应用程序很有吸引力。
2013-01-21 cs.IT math.IT
Distributed Data Storage with Minimum Storage Regenerating Codes - Exact and Functional Repair are Asymptotically Equally Efficient
我们考虑一种设置，其中使用（n，k）最小存储再生（MSR）码，将大小为M的文件存储在n个分布式存储节点中，即，最大距离可分离（MDS）码，其还允许任何故障节点的有效精确修复。本文中感兴趣的问题是最小化修复带宽B以精确再生单个故障节点，即，新节点要下载的最小数据，以用其精确副本替换故障节点。以前的工作已经表明，带宽B =[M（n-1）]/[k（n-k）]是必要的和足够的功能（不精确）再生。也已经表明，如果k <= max（n/2，3），则精确再生比功能再生没有额外的成本。低冗余的实际相关设置，即，对于k> 3，k/n> 1/2保持开放，并且已经表明，在这种情况下，精确修复比功能修复有额外的带宽成本。在这项工作中，我们采用到分布式存储上下文中的渐近最优的干扰对齐方案以前提出的Cadambe和Jafar大型无线干扰网络。利用该方案，我们解决了（n，k）个正态MSR码的修复带宽最小化问题，其中包括k> \max（n/2，3）的开放情形。我们的主要结果是，对于任何（n，k），和足够大的文件大小，有没有额外的成本，确切的再生功能再生的修复带宽再生数据的每一位。更精确地说，我们证明了当M趋于无穷大时，B/M =（n-1）/（k（n-k））。
2010-04-24 cs.IT math.IT
Improving the Secrecy of Distributed Storage Systems using Interference Alignment
针对无线干扰信道，采用干扰对齐的方法生成再生码，实现了分布式存储系统的割集界。这些代码提供了数据的可靠性，并执行有效的精确的节点修复时，一些节点失败。干扰对齐作为一个概念，对于提高最小存储再生（MSR）码中失效节点的修复效率尤为重要。此外，它可以提高存储的数据在被动入侵者存在的安全性。在本文中，我们构建了一个新的代码弹性的威胁模型，一个被动的窃听者可以访问存储在一个子集的节点和下载的数据在修复过程中的一个子集的故障节点的数据。我们实现了一个最佳的保密容量的新显式构造的MSR干扰对齐码。因此，我们表明，窃听者获得零信息从存储在分布式存储的原始消息，我们实现了完美的保密。
2018-01-05 cs.IT math.IT
Codes with Local Regeneration
再生码和局部码是最近提出的两种方案，以确保分布式存储网络中的数据汇集和可靠性。在试图修复故障节点的情况下，重新生成代码试图最小化为节点修复下载的数据量，而具有局部性的代码试图最小化访问的帮助节点的数量。本文给出了一类局部码是再生码的具有局部性的向量码的几种构造方法，它们具有这两种优点。我们推导出这类代码的最小距离上界，并表明，建议的建设实现这一界限。该构造包括本地再生码对应于MSR的情况以及再生码的存储-修复-带宽折衷曲线上的MBR点。还包括固定块长度和最小距离的各种代码结构的性能比较。
2013-02-04 cs.IT math.IT
Near-optimal Repair of Reed-Solomon Codes with Low Sub-packetization
最小存储再生（MSR）码是MDS码，它允许根据从每个其他符号下载的内容的最小可能部分，以最佳修复带宽恢复任何单个被擦除符号。最近，一些里德-所罗门码被构造为MSR。然而，这些代码的子分组化是指数级大的，在恒定速率状态下像$n^{Ω(n)}$一样增长。在这项工作中，我们研究了宽松的概念$ε$ -MSR码，这导致$(1+ε)$的因素高于最佳修复带宽，在里德-所罗门码的上下文中。我们给出了$n^{O(1/ε)}$的多项式子分组的恒定速率$ε$ -MSR Reed-Solomon码的构造，从而给出了修复带宽和子分组之间的显式折衷。
2019-07-09 cs.DS cs.IT math.IT
Outer Bounds on the Storage-Repair Bandwidth Tradeoff of Exact-Repair Regenerating Codes
本文给出了在精确修复（ER）条件下，参数集为$\{(n,k,d),(α,β)\}$的再生码的归一化存储修复带宽（S-RB）折衷的三个外界.第一外边界适用于每个参数集$(n,k,d)$，并且结合称为{ \em改进的分层码}的码构造，它表征了$(n,k=3,d=n-1)$情况下的归一化ER折衷。它为每个$(n,k,d)$建立了ER和功能修复（FR）权衡之间的非零差距。第二个边界是对Mohajer等人的现有边界的改进，并且在远离最小存储再生（MSR）点的区域中比第一个边界更紧。第三个界限是针对线性设置下的$k=d$的情况。该外边界与{ \em分层码}的可实现区域匹配，从而表征当$k=d=n-1$时线性ER码的归一化ER折衷。
2016-06-14 cs.IT math.IT
Rack-Aware Regenerating Codes with Fewer Helper Racks
我们考虑机架感知存储系统，其中\(n\)节点被组织在\(\bar{n}\)机架中，每个机架包含\(u\)节点，并且任何\(k\)节点都可以检索存储的文件。此外，通过从\(\bar{d}\)辅助机架以及同一机架中的其余\(u\!-\!1\)节点下载数据，可以恢复任何单个节点擦除。以前的工作主要集中在最小化跨机架修复带宽的条件下\(\bar{d}\geq \bar{k}\)，其中\(\bar{k}=\lfloor\frac{k}{u}\rfloor\)。但是，\(\bar{d}\geq \bar{k}\)不是机架感知存储模型的固有条件。在本文中，我们建立了一个折衷的存储开销和跨机架修复带宽的特别有趣的情况下\(\bar{d}\!<\!\bar{k}\)。此外，我们提出了明确的结构的代码的参数躺在权衡曲线分别在最小存储点和最小带宽点。代码是标量的或具有子分组化\(\bar{d}\)，并且在大小与\(n\)相当的有限域上操作。以\(\bar{d}\)为修复度，结合了再生码在最小化修复带宽方面的优势和局部可修复码在降低修复度方面的优势.此外，它们还放弃了MBR码具有不小于\(2\times\)的存储开销的限制和具有指数子分组化水平的高速率MSR码的限制。
2021-01-21 cs.IT math.IT
Security Concerns in Minimum Storage Cooperative Regenerating Codes
在这里，我们重新审视的问题，探索的保密能力的最小存储合作再生（MSCR）代码下的$\{l_1,l_2\}$窃听模型，窃听者可以观察到的数据存储在$l_1$节点和修复下载的一个额外的$l_2$节点。与仅支持单个节点修复的最小存储再生（MSR）码相比，MSCR码允许多个故障节点的高效同时修复，称为\emph{repair group}。然而，从一个辅助节点发送到另一个故障节点的修复数据可能会随着不同的修复组或辅助节点的集合而变化，这将不可避免地泄漏更多的数据信息给窃听者，甚至使存储系统无法保持任何数据保密性。在本文中，我们介绍和研究一类特殊的MSCR码，称为“\emph{stable}“MSCR码，从任何一个帮助节点到任何一个故障节点的修复数据被要求是独立的修复组或帮助节点的集合。我们的主要贡献包括：1.证明了现有的两种MSCR码本质上是不稳定的，因此具有较差的保密能力，2。将一个现有的MSCR码转换为一个稳定的MSCR码，与原始MSCR码相比，该MSCR码提供了更好的保密能力。利用信息论分析方法研究了稳定MSCR码在特定情况下的保密能力。
2016-08-17 cs.IT math.IT
An Exponential Lower Bound on the Sub-Packetization of MSR Codes
$(n,k,\ell)$ -矢量MDS码是维度为$k\ell$的$(\mathbb{F}^\ell)^n$（对于某个字段$\mathbb{F}$）的$\mathbb{F}$ -线性子空间，使得码字的任何$k$（矢量）符号足以确定剩余的$r=n-k$（矢量）符号.每个码字符号的长度$\ell$被称为代码的子分组化。如果码字的任何单个符号可以通过从每个其它符号下载$\ell/r$字段元素（已知是最小可能的）来恢复，则这种代码被称为最小存储再生（MSR）。MSR码在分布式存储系统中的应用是很有吸引力的，到目前为止，已经有各种巧妙的MSR码结构。然而，它们都遭受指数大的子分组化$\ell \gtrsim r^{k/r}$。我们的主要结果是一个几乎紧的下界表明，对于一个MSR码，必须有$\ell \ge \exp(Ω(k/r))$。这解决了一个中心的开放问题，有关MSR码，已受到广泛关注。以前，已知$\approx \exp(\sqrt{k/r})$的下限和“最优访问”MSR码的受限类的紧下限。
2021-09-28 cs.CC cs.IT math.CO
