The Cerny conjecture for one-cluster automata with prime length cycle
Benjamin Steinberg
证明了素数长圈单簇自动机的Cerny猜想。给出了有向图中具有素数长的真圈的混合路染色-Cerny猜想的结果。
We prove the Cerny conjecture for one-cluster automata with prime length cycle. Consequences are given for the hybrid Road-coloring-Cerny conjecture for digraphs with a proper cycle of prime length.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The Cerny conjecture and 1-contracting automata
一个确定性有限自动机是同步的，如果存在一个字，发送自动机的所有状态到同一个状态。1964年，切尔内茨提出，一个具有$n$状态的同步自动机，其同步字的长度最多为$(n-1)^2$。我们引入了非周期性的$1-$收缩自动机的概念，并证明了在这些自动机的状态集的所有子集是可达的，特别是它们是同步的。此外，我们还给出了非周期$1-$收缩自动机的Černande猜想成立的一个充分条件。作为特例，我们证明了循环自动机的一些结果。
Cerny type automata and rank conjecture
本文证明了 Černý 类型自动机与变换幺半群的 Černý 猜想和秩猜想，并得出了该类同步幺半群重置阈值的紧致界。
The Černý conjecture for small automata: experimental report
我们提出了一个报告，从一系列的实验，涉及计算最短的复位字的自动机具有少量的状态。我们确认，Čern猜想是真实的所有自动机与最多11个国家的2个字母。同时也得到了一些新的有趣的结果，包括最短复位字分布的第三间隙和新的慢同步自动机类。
The Cerny conjecture for automata respecting intervals of a directed graph
切尔内什猜想指出，对于每一个有n个状态的同步自动机，都存在一个长度不超过（n-11）^2的重置字。我们证明了这一猜想的一类自动机保持一定性质的区间的有向图。我们的结果统一和推广了前人的一些结果。
List of Results on the Černý Conjecture and Reset Thresholds for Synchronizing Automata
本文综述了关于同步自动机的Černý猜想的最新研究成果，包括已验证的类别和未解决的类别，以及重置词长度的上界。
The Černy Conjecture for aperiodic automata
一个字w被称为一个确定性有限自动机（DFA）的同步（循环，复位）字，如果w使自动机的所有状态达到某个状态;一个有同步字的DFA被称为同步。Cerny在1964年提出，每一个n状态同步DFA最多有一个长度为（n-1）<$2的同步字。我们考虑具有非周期转移幺半群的自动机（这样的自动机称为非周期的）。我们证明了每个同步的n状态非周期自动机都有一个长度不超过n（n-2）+1的同步字。因此，对于非周期自动机以及只接受无星语言的自动机，Cerny猜想成立。
The Cerny Conjecture
Čern猜想（Čern，1964）指出每个n态\san \拥有一个长度为$(n-1)^2$的\sw \。从另一方面来看，迄今已知的n态\sa的\rl \的最佳上限等于$\frac{n^3-n}6$（Pin，1983），因此是三次的（Trahtman提出了一个稍微好一点但仍然是三次的上限$\frac{n(7n^2+6n-16)}{48}$，但这个结果的公开证明包含一个不清楚的地方），在$n$。本文将Čern猜想简化为一个更简单的猜想。特别地，我们证明了单簇自动机和二次上界的自动机关闭到单簇自动机的Čern猜想。我们的方法利用马尔可夫链理论和一个简单的事实，从线性规划。
On the interplay between Babai and Cerny's conjectures
受Babai猜想和Cerny猜想的启发，本文研究了状态集的变换幺半群等于变换幺半群的自动机的复位阈值。对于具有$n$状态的自动机，我们证明了重置阈值的上界为$2n^2-6n+5$，并且可以达到值$\tfrac{n(n-1)}{2}$。此外，我们还研究了置换自动机的偶有向图的直径，构造了具有直径$\tfrac{n^2}{4} + o(n^2)$的$n$ -状态置换自动机。
The hereditariness problem for the Černý conjecture
本文探讨了Černý猜想的提升问题，证明只需验证三种特定重置自动机子类（radical, simple, quasi-simple）即可。通过建立同余和转换单oid理想 lattice之间的Galois连接，提供了计算radical理想和结构洞察的系统方法。
The averaging trick and the Cerny conjecture
结果的几个文件有关的Čern猜想推导出的后果，一个简单的想法，我呼吁平均技巧。这个想法是隐含在文献中使用，但没有尝试作出形式化的证明方案公理。相反，作者公理化类的自动机，它适用。
The Černý Conjecture for One-Cluster Automata via Annular Spectral Descent
研究同步单簇自动机的切尔尼猜想，通过特定方法证明对于相关条件下存在特定单词，给出复位单词长度上界，构造示例说明界的紧性，证明借助与OpenAI Codex交互并经作者验证。
Fast Synchronization of Random Automata
一个自动机的同步字是一个使自动机进入同一状态的字，而不管它的起始位置。Cerny在1964年提出，如果一个n态确定性自动机有一个同步字，那么它的同步字的大小最多为（n-1）^2。Berlinkov最近在同步的概率分析方面取得了突破，他证明了自动机有一个同步字的概率很高。在这篇文章中，我们证明了一个自动机以很高的概率允许一个长度小于n^（1+ε）的同步字，因此Cerny猜想以很高的概率成立。
Synchronizing non-deterministic finite automata
在本文中，我们证明了每一个D3定向CNFA可以唯一地映射到一个DFA具有相同的同步字长。这意味着Černe的猜想推广到CNFA和一般的上界的长度最短的D3-定向字是等于Pin-Frankl界的DFA。作为第二个后果，几类CNFAs更清晰的界限建立。最后，我们的研究结果使我们能够检测到最多6个国家的所有关键CNFA。事实证明，只有很少的关键CNFA存在。
On the synchronization of planar automata
平面自动机似乎是确定性有限状态自动机的同步行为的代表。我们猜想Černy猜想成立，当且仅当它对平面自动机成立。在本文中，我们已经收集了一些证据有关这一猜想。这一证据表明，平面自动机类是同步算法难度的代表
Reset thresholds of transformation monoids
受自动机Černý猜想启发，引入幺半群自动机概念并推广该猜想，证明了特定变换幺半群同步阈值的二次上界。
Counting symbol switches in synchronizing automata
我们不像Čern猜想中那样关注同步单词的长度，而是关注这些单词的开关计数，也就是说，我们只计算从一个字母到另一个字母的开关。在Černandian自动机$\mathcal{C}_n$的同步字在$n$中具有线性开关计数的情况下，我们想知道是否存在每个同步字具有二次开关计数的同步自动机。答案是肯定的：我们证明了开关计数与同步字长具有相同的复杂性。我们给出了一系列产生二次开关数的同步自动机，其中最好的一个达到$\frac{2}{3} n^2 + O(n)$作为开关数。我们调查所有的二进制自动机在最多9个国家，并确定最大可能的开关计数。对于所有$3\leq n\leq 9$，通过允许更多的符号可以达到严格更高的开关计数。这种行为与长度不同，对于每个$n$，没有已知的自动机具有比$\mathcal{C}_n$更高的同步长度，它只有两个符号。尚不清楚这种模式是否延伸到更大的$n$。对于$n\geq 12$，我们的最佳构造只有两个符号。
Generating Synchronizing Automata with Large Reset Lengths
我们研究同步自动机与最短的复位字相对较大的长度。首先，我们改进了Frankl-Pin关于秩为$m$的最短字的长度的结果，以及Béal，Berlinkov，Perrin和Steinberg关于单簇自动机中最短重置字的长度的结果。所得到的结果是有用的计算，旨在扩大类的小自动机的Čern猜想验证和发现新的自动机具有特殊性质的同步。
On the Synchronizing Probability Function and the Triple Rendezvous Time for Synchronizing Automata
Cerny猜想是自动机理论中一个长期存在的公开问题。我们研究两个不同的概念，这使得它从一个新的角度来处理。第一个是三重会合时间，即，将三个状态映射到一个状态的最短字的长度。第二个是同步概率函数的自动机，最近推出的工具，重新解释的同步现象作为一个两个玩家的游戏，并允许通过线性规划获得最佳策略。我们的贡献是双重的。首先，基于同步概率函数和线性规划的性质，通过耦合两种不同的新方法，我们获得了三重会合时间的新上界。其次，通过展示一个家庭的反例，我们反驳了一个猜想的增长的同步概率函数。然后，我们建议自然的后续行动Cernys猜想。
Experiments with Synchronizing Automata
本文改进了一种产生具有大长度最短复位字的同步自动机的算法。这已经通过改进一些已知的结果，关于复位长度的界限。我们的改进使得有可能考虑一些acquitures和开放的问题，同步自动机，检查它们的自动机与少量的状态和讨论的结果。特别是，我们已经验证了Čern猜想的所有二元自动机与最多12个状态，和所有三进制自动机与最多8个状态。
Synchronizing Automata on Quasi Eulerian Digraph
在1964年，Černetzen证明了每个$n$状态同步自动机都有一个长度最多为$(n-1)^2$的复位字。另一方面，复位长度（复位字的最小长度）的最佳已知上限在$n$中是立方的。因此，这里的主要问题是证明二次（在$n$中）上界。自1964年以来，这个问题已经解决了\sa的几个特殊类。这个结果之一是由于卡里\cite{Ka03}自动机与欧拉有向图。在本文中，我们介绍了一种新的方法来证明二次上界，并解释它的马尔可夫链和Perron-Frobenius理论。使用这种方法，我们得到一个推广的欧拉自动机的二次上界。
A quadratic upper bound on the reset thresholds of synchronizing automata containing a transitive permutation group
针对Černý猜想相关的同步自动机重置阈值问题，本文证明含传递置换群且每字母作用像至少含n-1个状态的n状态同步确定型自动机，存在长度不超过2n²-7n+7的同步字，给出了这类自动机重置阈值的二次上界。
On Carpi and Alessandro conjecture
著名的公开的Černandi猜想指出，每个具有$n$态的\san都有一个长度至多为$(n-1)^2$的\sw。另一方面，最著名的上限是$n$的三次。最近，在Alessandro和Carpi的论文\cite{CARPI1}中，作者引入了自动机强传递性的新概念，并证明了借助于\emph{Extension}方法，这个性质允许得到最短\sws长度的二次上界.他们也证实了循环自动机的这个猜想。我们证明了这个猜想和长期存在的\emph{Extension}猜想。我们还考虑了广泛使用的扩展方法及其观点。
Prime Accessible Deterministic Automata
本文对有限字母表上的素可达确定性自动机分类，补充了单字母表及多字母表下的素自动机判定条件，给出有限情形的简短证明，还刻画了状态为有限输入字的自动机的分解。
Connected reversible Mealy automata of prime size cannot generate infinite Burnside groups
无限伯恩赛德群最简单的例子出现在自动机群类中。然而，没有已知的例子，这样的一个组产生的可逆Mealy自动机。证明了对于一个连通自动机，如果它的大小不超过~3，或者它不是双可逆的，那么它的生成群就不可能是Burnside无穷的。在本文中，我们将这些结果推广到具有更大状态集的自动机，证明了，如果一个连接的可逆自动机有一个素数的状态，它不能生成一个无限Burnside群。
A Game of Primes
本文中提到的大多数想法的基础是元胞自动机理论。细胞自动机包含一个规则的细胞网格，每个细胞都有一组预定义的有限状态。在时间/状态零处确定初态。在这一点上，所有的细胞被分配各自的起始状态。自动机是由一组简单的规则来定义的，这些规则决定了细胞的后续状态。我们的目标是创建一个素数的细胞自动机，并提出一些公理，定理和图解相同。
Lower Bounds for Synchronizing Word Lengths in Partial Automata
1964年，Černelo提出，$n$态上的同步DFA总是有一个长度最多为$(n-1)^2$的同步字，他给出了一个达到这个界限的DFA序列。到目前为止，只有$n \leq 5$给出了达到此界限的所有DFA的完整分析，并且$n \leq 12$给出了符号数量的界限。在这里，我们给$n \leq 7$的全面分析，没有限制的符号数量。对于PFAs（部分自动机）的$\leq 7$状态，我们做了类似的分析DFAs和找到最大的最短同步字长，超过$(n-1)^2$为$n \geq 4$。在具有长同步的DFA通常具有非常少的符号的情况下，对于PFA，我们观察到更多的符号可以增加同步字长度。对于PFAs的$\leq 10$状态和两个符号，我们调查所有发生的同步字长。我们给出了一系列的PFAs上的两个和三个符号，达到最大可能的长度为一些小值的$n$。对于$n=6,7,8,9$，在两个符号上的构造是达到最大长度的唯一构造。对于这两个系列，增长都快于$(n-1)^2$，尽管仍然是二次增长。基于字符串重写，对于任意大小，我们构建了一个PFA的三个符号的指数最短的同步字长度，给显着更好的界限比以前的指数建设。我们给出了一个变换的PFA的PFA的两个符号保持指数最短的同步字的长度，产生一个更好的约束比应用类似的已知的变换。两个PFA都是可传递的。最后，我们表明，指数长度甚至是可能的，只有一个单一的未定义的过渡，…
Automata Cascades: Expressivity and Sample Complexity
每一个自动机都可以被分解成一个基本素自动机的级联。这是Krohn和Rhodes的素数分解定理。在这一理论的指导下，我们提出自动机级联作为一种结构化的，模块化的方式来描述自动机作为复杂的系统，由许多组件，每个实现一个特定的功能。任何自动机都可以作为一个组件;使用特定的组件允许对自动机类的表达性进行细粒度的控制;使用素自动机作为组件意味着特定的表达性保证。此外，将自动机指定为级联允许根据其组件来描述自动机的样本复杂性。我们表明，样本的复杂性是线性的组件的数量和一个单一的组件，模对数因子的最大复杂性。这为学习自动机提供了可能性，自动机代表由许多相互作用的部分组成的大型动力系统。这与对自动机样本复杂性的既定理解形成鲜明对比，根据状态和输入字母的总数来描述，这意味着只有在状态数量与可用数据量成线性关系的情况下才有可能学习自动机。相反，我们的研究结果表明，人们可以学习自动机的状态数是指数的数据量。
On the Synchronization of Circular Semi-Flower Automata
Pin证明了每个状态数为素数且包含非置换的循环自动机都是同步的。本文研究了循环半花自动机的同步问题。我们首先证明了每一个半花自动机是一个单簇自动机。随后，我们证明了每一个包含1-圈的半花自动机是同步的。进一步，我们证明了每一个状态数为奇数的循环半花自动机都是同步的。
Reset thresholds of automata with two cycle lengths
我们提出了几个系列的具有多个参数的同步自动机，推广了以前已知的结果。设p和q是任意互质的正整数，q > p，我们给出了恰有一个圈长为p和一个圈长为q的本原有向图的着色的重置阈值.此外，我们还研究了恰有一个圈长为q和两个圈长为p的本原有向图的着色的重置阈值。
Lower bounds for the state complexity of probabilistic languages and the language of prime numbers
本文用自动机理论研究了有限词语言的复杂性。为了超越类的正则语言，我们考虑无限自动机和状态复杂性的概念定义的卡普。受Rabin在1963年的开创性论文中引入概率自动机的启发，我们研究了概率语言的（确定性）状态复杂度，并证明了概率语言可以具有任意高的确定性状态复杂度。然后，我们看看交替自动机介绍了钱德拉，Kozen和Stockmeyer：这样的机器运行独立的计算的话，并收集他们的答案通过布尔组合。我们设计了一个下界技术依赖于有界生成的语言格，并给出了这种技术的两个应用。第一个是层次定理，说明存在任意高多项式交替状态复杂度的语言，第二个是二进制素数交替状态复杂度的线性下界。第二个结果加强了Hartmanis和Shank在1968年的结果，这意味着同一模型的指数更差的下界。
An Improved Lower Bound for Separating Words by Permutation Automata
该研究改进了置换自动机分离二元单词的状态数下界，通过构造对称群恒等式的正单词对，将原下界提升至Ω(log n log log n)，并补充了更精确的常数与低阶项。
Spectral and combinatorial methods for efficiently computing the rank of unambiguous finite automata
研究计算由有限零一矩阵集生成的幺半群中矩阵最小秩的计算复杂度，利用线性代数和组合算法，分别在\(\mathcal{O}(mn^4)\)时间内解决，还给出特殊情况算法及切尔尼猜想相关副产品。
On Practical Regular Expressions
我们报告的模拟，层次结构和可判定性结果的实用正则表达式（PRE），其中可能包括反向引用，除了标准的操作联盟，串联，和明星。结果表明：PRE可以用具有单向传感头的非确定有限自动机的经典模型来模拟。头的数量取决于表达式中不同变量的数量。一个空间限制O（n log m），用于匹配长度为m的文本和基于先前模拟的具有n个变量的PRE。这改进了来自（Câmpeanu和Santean 2009）的结合O（nm）。PRE不能被最多具有三个感知单向头的确定性有限自动机或具有任意数量的非感知单向头的确定性有限自动机模拟。任意匹配中变量出现次数有界的PRE可以用单向头的非确定有限自动机来模拟。PRE有一个紧密的层次结构，在一个固定的字母表上有越来越多的非嵌套变量。以前已知的层次结构是基于嵌套变量和不断增长的字母表（Larsen 1998）。在单字母表上不带星号的PRE匹配是NP完全的。这加强了对较大字母表和带有星号的表达式的相应结果（Aho 1990）。不带闭包算子的PRE不等式是Sigma^P_2-完全的。PRE在单个字母表上的普适性的可判定性与费马素数的存在有关。格雷巴赫定理适用于以PRE为特征的语言。
Cost-efficient QFA Algorithm for Quantum Computers
量子有限自动机（QFAs）的研究是探索有限存储量子计算机的可能途径之一。尽管Moore-Crutchfield量子有限自动机（MCQFA）是最受限制的模型之一，但在识别某些语言（如$\mathtt{MOD}_p = \{ a^{j} \mid j \equiv 0 \mod p\}$，其中$p$是素数）时，MCQFA被证明比经典的有限自动机模型具有指数级的简洁性。在本文中，我们提出了一个修改的MCQFA算法的语言$\mathtt{MOD}_p$，它的运营商选择的基础上，在现有的实际量子计算机的基础门。因此，我们得到更短的量子程序使用更少的基础门相比，在文献中给出的原始算法的实施。
Solenoid Maps, Automatic Sequences, Van Der Put Series, and Mealy-Moore Automata
$d$ -进整数的环$\mathbb Z_d$具有作为有根$d$ -进树$T_d$的边界的自然解释。该树的自同态（即螺线管映射）与$\mathbb Z_d$到其自身的1-Lipschitz映射一一对应，并且$T_d$的自同构构成群$\mathrm{Isom}(\mathbb Z_d)$。在$d=p$是素数的情况下，Anashin证明了$f\in\mathrm{Lip}^1(\mathbb Z_p)$是由有限Mealy自动机定义的当且仅当其van der Put级数的约化系数在$\mathbb Z_p\cap\mathbb Q$的有限子集上构成$p$ -自动序列.我们将这个结果推广到任意整数$d\geq 2$，描述了产生这种序列的Moore自动机与诱导相应自同态的Mealy自动机之间的显式联系.沿着这个过程中，我们产生了两个算法，允许转换的Mealy自动机的自同态相应的Moore自动机生成的序列减少范德普特系数的诱导映射$\mathbb Z_d$，反之亦然。我们演示的情况下，这些算法的应用程序的例子时，系数序列是Thue-莫尔斯序列，也为一个发电机的标准自动机表示的点灯组。
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