Riesz-type criteria for the Riemann hypothesis
1916年，Riesz证明了黎曼假设等价于有界$\sum_{n=1}^\infty \frac{μ(n)}{n^2} \exp\left( - \frac{x}{n^2} \right) = O_ε \left( x^{-\frac{3}{4} + ε} \right)$，作为$x \rightarrow\infty$，对任何$ε>0$。大约在同一时间，哈代和利特尔伍德给了另一个等价的标准，黎曼假设，而纠正身份的拉马努金。本文建立了Hardy和Littlewood恒等式的一个单变量推广，并作为应用，给出了黎曼假设的Riesz型判据.特别地，我们得到了Riesz给出的界以及Hardy和Littlewood给出的界。
2022-01-31 math.NT
Escape from a circle and Riemann hypotheses
我们考虑有一个和两个洞的开放圆形台球。得到了包含黎曼ζ函数和Dirichlet L-函数的逃逸的精确公式。结果表明，在这些台球中的一些小孔极限逃逸的确切渐近性的问题是等价的黎曼假设。
2006-03-15 math-ph math.DS math.MP
Hardy-Littlewood-Riesz type equivalent criteria for the Generalized Riemann hypothesis
本文证明了Dirichlet $L$ -函数$L(s,χ)$的广义黎曼假设等价于如下界：设$k \geq 1$和$\ell$为正实数.对于任何$ε>0$，我们有\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{χ(n) μ(n)}{n^{k}} \exp \left(- \frac{ x}{n^{\ell}}\right) = O_{ε,k,\ell} \bigg(x^{-\frac{k}{\ell}+\frac{1}{2 \ell} + ε}\bigg), \quad \mathrm{as}\,\, x \rightarrow \infty, \end{align*}，其中$χ$是模$q$的原始狄利克雷特征标，$μ(n)$表示莫比乌斯函数。这个界推广了Riesz和Hardy-Littlewood给出的上界。
2022-08-16 math.NT
On the Riesz and Baez-Duarte criteria for the Riemann Hypothesis
研究了黎曼假设的Riesz准则与B{á}ez-Duarte准则之间的关系.特别是我们提出的功能之间的关系$R(x)$出现在Riesz准则和序列$c_k$出现在B{á}ez-Duarte制定。它表明，$R(x)$可以表示为$c_k$，反之亦然，序列$c_k$可以得到的值$R(x)$在整数参数。给出了$c_k$与$R(x)$之间的关系以及$c_k$的交错和的值.
2008-07-18 math.NT
Equivalent criteria for the Riemann hypothesis for a general class of $L$-functions
本文解决了一类“良好”L-函数的黎曼假设等价判据猜想，给出尖点形式L-函数的等价判据，并得到ζ(s)黎曼假设的全新等价形式，同时推广了Ramanujan-Hardy-Littlewood恒等式。
2024-09-28 math.NT
Analogues of the Robin-Lagarias Criteria for the Riemann Hypothesis
罗宾准则指出，黎曼假设等价于对所有整数$n \geq 5041$的$σ(n) < e^γn \log\log n$，其中$σ(n)$是$n$的约数之和，$γ$是欧拉-马斯切罗尼常数。证明了黎曼假设等价于$σ(n) < \frac{e^γ}{2} n \log\log n$对所有奇数$n \geq 3^4 \cdot 5^3 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdots 67$成立的命题.黎曼假设的Lagarias准则指出，黎曼假设对于所有整数$n \geq 1$等价于$σ(n) < H_n + \exp{H_n}\log{H_n}$，其中$H_n$是$n$的次谐波数。我们建立了一个类似的Lagarias的标准的黎曼假设通过创建一个新的谐波系列$H^\prime_n = 2H_n - H_{2n}$和证明黎曼假设是等价的$σ(n) \leq \frac{3n}{\log{n}} + \exp{H^\prime_n}\log{H^\prime_n}$为所有奇数$n \geq 3$。我们证明了更强的类似罗宾不等式奇squarefree数。此外，我们还找到了一个研究$n$的素因子分解及其在Robin不等式中的作用的一般公式。
2020-08-11 math.NT
Some Riemann Hypotheses from Random Walks over Primes
这篇文章的目的是研究各种黎曼假设如何只从素数的性质得出。为此，我们考虑两类$L$ -函数，即非主Dirichlet和那些基于尖点形式。后者最简单的例子是基于Ramanujan tau算术函数。对于这两个类，我们证明，如果一个特定的三角级数涉及的乘法字符的总和超过素数是$O(\sqrt{N})$，那么欧拉产品收敛在右半边的临界带。当这个结果与函数方程相结合时，非平凡零点被限制在临界线上。我们认为，这$\sqrt{N}$增长是一个后果的系列表现得像一个一维的随机游走。基于这些结果，我们得到了一个方程，它涉及每个个人的非平凡零的$L$ -函数的总和，包括所有的素数。最后，我们简要地提到重要的差异主要狄利克雷$L$ -函数由于极点的存在，在$s=1$，其中黎曼$ζ$ -函数是一个特殊的情况。
2017-11-15 math-ph math.MP math.NT
Criteria equivalent to the Riemann Hypothesis
我们给出了几个等价于黎曼假设的准则的简要概述。接下来我们集中讨论Riesz和B{á}ez-Duarte准则。我们证明了它们是等价的，并提供了一些计算机数据来支持它们。它不是由M. W. 2008年6月28日至7月6日在波兰比亚沃维耶举行的第二十七届物理学几何方法讲习班期间。
2008-08-13 math.GM math.NT
The criteria of Riesz, Hardy-Littlewood et al. for the Riemann Hypothesis revisited using similar functions
根据Maslanka和Baez-Duarte关于黎曼ζ函数表示的最新公式和结果，重新讨论了Riesz和Hardy-Littlewood关于黎曼假设（RH）真值的原始准则，并作了进一步的研究。然后，我们引入了一组类似的功能出现的泊松分布，我们提出了一些数值实验表明，RH可能几乎是真的。
2006-01-07 math-ph math.MP math.NT
A few equalities involving integrals of the logarithm of the Riemann zeta-function and equivalent to the Riemann hypothesis II
本文是我们最近的论文相同的标题，arXiv：0806.1596v1 [math.NT]，其中一些积分等式涉及积分的对数的黎曼ζ函数的介绍，它表明，其中一些是等价的黎曼假设。建立了一些新的这种类型的等式;与前面的论文相反，现在的重点是积分涉及的参数的黎曼ζ函数（虚部的对数），而不是对数的模块（实部的对数）。使用这些等式进行数值研究，以测试黎曼假设的初步结果。我们的积分等式，连同在以前的文件中给出的等式，包括所有早期已知的这种标准，即王，Volchkov和Balazard-Saias-Yor标准，这是某些特殊情况下的一般方法提出。
2009-04-08 math.NT
The Riemann Hypothesis for period polynomials of Hilbert modular forms
最近有一些关于周期多项式及其零点的理论的著作。特别是，零的周期多项式已被证明满足“黎曼假设“在经典的设置和上同调的版本扩展的情况下，更高的衍生物的$L$ -功能的经典设置。因此，在这些现象的背后似乎有一个普遍的现象。在本文中，我们探索进一步的推广，通过定义一个自然的模拟希尔伯特模形式。然后，我们证明，类似的黎曼假设，以及在这种情况下举行。
2020-05-21 math.NT
The generalized Bernoulli numbers and its relation with the Riemann zeta function at odd-integer arguments
本研究借助广义伯努利数推导正奇数自变量处黎曼ζ函数的新积分表示，进而得到相关有理数域上向量空间维数的判定准则。
2023-08-24 math.NT
Siegel zeros and small gaps between zeros of the Riemann zeta function
Norwegian University of Science and Technology (NTNU)（挪威科技大学）
该研究在假设黎曼假设成立时，通过将长狄利克雷多项式纳入Montgomery–Odlyzko方法，证明西格尔零点意味着黎曼ζ函数零点间存在小于归一化长度1/2的间隙，且反驳了相关强替代假设的存在。
2026-08-10 math.NT
Moebius-convolutions and the Riemann hypothesis
给出了M. Riesz和Hardy-Littlewood基于某些整函数沿正实轴在无穷远处的增长顺序，在这里嵌入了一类整函数的一般定理，而这又被看作是一个相当透明的卷积准则的结果。卷积的某些性质涉及锐化迄今已知的Riesz函数。
2005-04-20 math.NT
Beyond the Riemann Hypothesis bounds: A pair-correlation approach to the least prime in arithmetic progression and the smallest quadratic non-residue
Università di Padova（帕多瓦大学）；Max-Planck-Institut für Mathematik（马克斯·普朗克数学研究所）
研究算术级数中最小素数与最小二次非剩余问题，结合广义黎曼假设中零点水平位置与对关联视角，在相关假设下建立更精确估计，为狄利克雷L函数对关联现象与经典问题提供新联系。
2026-07-17 math.NT
Riesz type criteria for $L$-functions in the Selberg class
我们制定了一个推广的Riesz型标准设置的$L$ -功能属于Selberg类。我们得到了一个标准，这是充分的大黎曼假设（GRH）的$L$ -功能满足公理的Selberg类，而不强加Ramanujan假设的系数。我们还构造了Selberg类的一个子类，并证明了在这个子类中$L$ -函数的GRH的一个必要准则。身份的Ramanujan-Hardy-Littlewood型也建立在此设置中，具体情况下，其中产生新的转换公式，涉及特殊值的梅耶尔$G$ -功能的类型$G^{n \ 0}_{0 \ n}$。
2022-11-05 math.NT
Jensen polynomials are not a plausible route to proving the Riemann Hypothesis
最近的工作对詹森多项式的黎曼xi函数及其衍生物发现了连接到厄米多项式。这些结果被认为是黎曼假设的证据，而且这些结果还被认为是zeta函数零点的随机矩阵统计的一个重要结果。我们把这项工作的背景下，以前的结果，并解释为什么厄米多项式的外观是有趣的和令人惊讶的，并可能代表一种新的类型的普遍规律，细化M。贝瑞的“余弦是一个普遍吸引子”原理。然而，我们发现没有理由建议连接到黎曼假设，也没有建议连接到约束随机矩阵统计的L-函数的零点。这些考虑表明，詹森多项式，以及一大类相关的多项式，是没有用的攻击黎曼假设。我们提出了一般的标准，以确定是否等价的黎曼假设可能是有用的。
2022-11-09 math.NT
RH-Dependent Estimates of Remainder in Modified Mertens Formula
在黎曼假设（RH）成立的条件下，得到了素数倒数和的修正Mertens渐近公式中余项的双边估计（窄通道）.这些结果是可逆的，从而产生了一些新的标准RH。
2022-05-12 math.NT
The Hilbert-Polya strategy and height pairings
以前，我们给出了一个理论上的上同调参数的有效性的黎曼假设的Hasse-Weil zeta函数。在本说明中，我们勾勒出同样的上同调形式主义将如何暗示同调平凡圈的高度配对的固定正性性质。
2010-01-11 math.AG math.NT
From Veneziano to Riemann: A String Theory Statement of the Riemann Hypothesis
我们讨论了弦论的Veneziano振幅（用黎曼zeta函数的比值改写）与黎曼假设的两个基本判据（用对数的积分和zeta函数的幅角表示）之间的精确关系。我们还讨论了积分准则的基础上的论点的黎曼zeta函数涉及到李准则的黎曼假设。我们提供了一个新的推广这个积分准则。最后，我们评论的物理解释，我们重铸的黎曼假设的Veneziano振幅。
2015-03-15 hep-th math-ph math.MP
Constructing a Proof of the Riemann Hypothesis
本文比较了黎曼ζ函数$ζ(s)$的零点分布与对称zeta函数组合的零点分布，记为${\cal T}_+(s)$，已知其所有零点都位于临界线$\Re(s)=1/2$上。标准被描述为构建一个合适的商函数的这些，与属性有利于建立一个访问的证明，$ζ(s)$也必须有其所有的零上的临界线：著名的黎曼假设。虽然所提出的论点没有达到构成黎曼假设的充分证明所需的严格程度，但它应该使非专业人士相信它一定成立。
2013-08-30 math-ph math.MP math.NT
On probabilistic generalizations of the Nyman-Beurling criterion for the zeta function
Nyman-Beurling准则是$(0,\infty)$上平方可积函数空间中的一个逼近问题，它等价于Riemann假设.这涉及通过因子$θ_k\in(0,1)$、$k\ge1$对分数部分函数的扩张。我们开发的概率扩展的尼曼Beurling标准考虑这些$θ_k$随机：这产生了新的结构和标准，其中之一具有显着的重叠与一般的强Báez-Duarte标准。我们在这里开始研究这些标准，特别关注指数和Γ分布。本文的主要目标是研究这些概率Nyman-Beurling准则和黎曼假设之间的相互作用。我们能够得到等价的两个主要类别的例子：扩张结构的指数$\cal E(k)$分布，和随机变量$Z_{k,n}$，$1\le k\le n$，集中在$1/k$周围的$n$的增长。通过我们的概率观点，我们回答了Báez-Duarte在2005年提出的一个问题：考虑非紧支撑核的代价是对所涉及的近似系数的控制条件。
2021-06-03 math.NT math.PR
A canonical system of differential equations arising from the Riemann zeta-function
本文有两个主要结果，它们涉及到通过函数族$Θ_ω(z)=ξ(1/2-ω-iz)/ξ(1/2+ω-iz)$的Riemann假设的一个准则，其中$ω>0$是实参数，$ξ(s)$是Riemann xi-函数.第一个主要结果是$Θ_ω$是上半平面内的亚纯内函数的充要条件。$Θ_ω$是否是亚纯内函数直接关系到Riemann假设。与此相比，黎曼假设与第二个主要结果的关系是间接的。它涉及到德布朗日的理论，它将一个亚纯内函数和一个正则线性微分方程组线性微分方程组（在德布朗日的意义上）联系起来。作为第二个主要结果，在参数$Θ_ω$的约束下，应用J. - F.伯诺尔在他最近的工作伽玛函数的黎曼xi-功能。如果将这种构造无条件地推广到所有的$ω> 0$，我们得到了一个关于由$ω>0$参数化的正则系统族的Riemann假设的判据，从而解释了Riemann假设作为相应的Hamilton矩阵族的半正定性的有效性.
2016-09-23 math.FA math.NT
