Aldous [(2007) Preprint] defined a gossip process in which space is a discrete $N\times N$ torus, and the state of the process at time $t$ is the set of individuals who know the information. Information spreads from a site to its nearest neighbors at rate 1/4 each and at rate $N^{-α}$ to a site chosen at random from the torus. We will be interested in the case in which $α<3$, where the long range transmission significantly accelerates the time at which everyone knows the information. We prove three results that precisely describe the spread of information in a slightly simplified model on the real torus. The time until everyone knows the information is asymptotically $T=(2-2α/3)N^{α/3}\log N$. If $ρ_s$ is the fraction of the population who know the information at time $s$ and $\varepsilon$ is small then, for large $N$, the time until $ρ_s$ reaches $\varepsilon$ is $T(\varepsilon)\approx T+N^{α/3}\log (3\varepsilon /M)$, where $M$ is a random variable determined by the early spread of the information. The value of $ρ_s$ at time $s=T(1/3)+tN^{α/3}$ is almost a deterministic function $h(t)$ which satisfies an odd looking integro-differential equation. The last result confirms a heuristic calculation of Aldous.
Asymptotics for Beta-Splitting Trees via Homogeneous Fragmentations and Meromorphic Potential Theory
Faculty of Mathematics and Informatics, Sofia University “St. Kliment Ohridski”, Bulgaria（索非亚大学“圣克利门特奥赫里德斯基”数学与信息学院）；Institute of Mathematics, University of Zurich, Switzerland（苏黎世大学数学研究所）；Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences, Bulgaria（保加利亚科学院数学与信息研究所）
Exact simulation of the genealogical tree for a stationary branching population and application to the asymptotics of its total length
本文考虑一类具有二次分枝机制的带移民的连续状态分支过程的随机平稳种群模型。我们给出了在给定时间从现存种群中随机选择的$n$个体的系谱树的精确初等模拟过程。然后，我们证明了当$n$趋于无穷大时，这个谱系树的重正化总长度的收敛性，参见Pfaffelhuber，Wakolbinger和Weisshaupt（2011）在恒定大小的人口背景下。这个极限已经出现在Bi and Delmas（2016）中，但完整谱系树的近似值不同。该证明基于Aldous和Popovic（2005）在临界情况下定义的现存种群在固定时间的祖先过程。
The densest subgraph problem in sparse random graphs
研究了具有给定度序列的大型随机图的最大子图密度的渐近性质。结果特别适用于Erdens-Rényi模型，在那里它解决了Hajek的猜想[IEEE Trans. Inform. Theory 36（1990）1398-1414]。我们的证明包括从有限图的平衡负载的概念扩展到其局部弱极限，使用单模性。这是Aldous和Steele [In Probability on Discrete Structures（2004）1-72 Springer]描述的客观方法的新例证。
A new encoding of coalescent processes. Applications to the additive and multiplicative cases
我们重新审视离散的加法和乘法聚结，从单位质量的$n$粒子开始。已知这些情况与一些“组合合并过程”有关：在加法情况下，凯莱树的碎片或停车方案的时间反转，以及乘法情况下的随机图过程$(G(n,p))_p$。在时间固定的情况下，将这些组合对象编码到由直线索引的实值过程中，是将质量的渐近行为描述为$n\to +\infty$的关键。我们建议在顶点上使用Prim顺序而不是经典的宽度优先（或深度优先）遍历来编码组合合并过程。在加法的情况下，这在过程的不同表示之间产生了有趣的联系。在乘法的情况下，它允许一个回答一个更强的版本的一个开放的问题奥尔德斯[安。第25卷，第100页。812- 854，1997年]：我们证明，不仅序列的（重标度）质量，被看作是一个由时间$λ$索引的过程，在分布上收敛到具有抛物线漂移$(B_t+λt - t^2/2, t\geq 0)$的布朗运动的当前最小值以上的偏移长度的重新排序序列，但我们也构建了Bhamidi的标准增广乘法合并的版本，Budhiraja and Wang [Probab.理论关系，出现]使用附加的泊松点过程。
