离散时间临界β分裂树的高度
The height of discrete-time critical beta-splitting trees
- Technion - Israel’s Institute of Technology（以色列理工学院）
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AI总结：
本文确定了离散时间临界β分裂树的高度一阶渐近，证明其与$(\nlog n)^2$之比几乎必然收敛于常数约0.976，并回答了Aldous和Janson的开放问题。
AI中文摘要：
我们确定了离散时间临界β分裂树的一阶渐近高度。若$L_n^*$表示具有$n$片叶子的树的高度（最大根到叶的图距离），则当$n \to \infty$时，$\frac{L_n^*}{(\log n)^2} \longrightarrow C_{\mathrm{ht}}:=\min_{\theta>1} \frac{\theta}{2\{\psi(\theta)+\gamma\}} \approx 0.976$几乎必然成立，且对每个固定的$p>1$在$L^p$中收敛。这里$\psi$是digamma函数，$\gamma$是欧拉常数。这回答了Aldous和Janson的\cite[开放问题4]{AldousJansonII}。
英文摘要：
We determine the asymptotic height of the discrete-time critical beta-splitting tree. Let $L_n^*$ denotes the height of the tree with $n$ leaves, defined as the maximum graph distance from the root to a leaf. Then, \[ \frac{L_n^*}{(\log n)^2} \longrightarrow C_{\mathrm{ht}}:=\min_{θ>1} \fracθ{2\{ψ(θ)+γ\}} \approx 0.976 \] almost surely and in $L^{p}$ for every fixed $p>1$ as $n \to \infty$. Here $ψ$ is the digamma function and $γ$ is Euler's constant. This answers \cite[Open Problem~4]{AldousJansonII} of Aldous and Janson.
