Non-abelian Littlewood-Offord inequalities
1943年，Littlewood和Offord证明了独立随机变量和的第一个反集中结果。从那时起，他们的结果得到了几代研究人员的加强和推广，并在数学的几个领域得到了应用。本文给出了Littlewood-Offord结果的第一个非阿贝尔模拟，即独立随机变量乘积的尖锐反集中不等式。
2015-08-06 math.CO math.PR math.RT
Resilience for the Littlewood-Offord Problem
考虑和$X(ξ)=\sum_{i=1}^n a_iξ_i$，其中$a=(a_i)_{i=1}^n$是非零实数序列，$ξ=(ξ_i)_{i=1}^n$是i.i.d.序列。Rademacher随机变量（即$\Pr[ξ_i=1]=\Pr[ξ_i=-1]=1/2$）。经典的Littlewood-Offord问题要求集中概率$\Pr[X=x]$的最佳可能上界。在本文中，我们研究了一个弹性版本的Littlewood-Offord问题：有多少的$ξ_i$是一个对手通常允许改变而不能强制集中在一个特定的值？我们解决这个问题的渐近，并提出了一些有趣的开放问题。
2017-08-02 math.CO math.PR
Inverse Littlewood-Offord problems and The Singularity of Random Symmetric Matrices
令$M_n$用$n$矩阵表示随机对称$n$，其上对角元素是iid Bernoulli随机变量（其以概率1/2取值-1和1）。改进了Costello，Tao和Vu的结果，证明了对于任意正的常数$C$，$M_n$是非奇异的，概率为$1-O(n^{-C})$.证明使用逆Littlewood-Offord结果的二次型，这是它自己的利益。
2012-12-31 math.CO math.PR
A non-uniform Littlewood-Offord inequality
考虑和$S_n=v_i\varepsilon_1+\cdots+v_n\varepsilon_{n}$，其中$(v_i)^{n}_{i=1}$是$\mathbb{R}^{d}$中的非零向量，并且$(\varepsilon_i)^{n}_{i=1}$是独立的Rademacher随机变量（即，$~{\mathbb{P}(\varepsilon_{i}=\pm 1)=1/2}$）。经典的Littlewood-Offord问题要求$~{\sup_{x}\mathbb{P}(S_n = x)}$的最佳可能的上界。在本文中，我们考虑了这个问题的非统一版本。也就是说，我们得到了$\mathbb{P}(S_n = x)$的最佳界限的向量$x\in \mathbb{R}^d$的长度。
2019-10-22 math.CO math.PR
Erdos-Littlewood-Offord problem with arbitrary probabilities
经典的Erdens-Littlewood-Offord问题涉及随机变量$X = a_1 ξ_1 + \dots + a_n ξ_n$，其中$a_i \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$是固定的，而$ξ_i \sim \text{Ber}(1/2)$是独立的。Erdens-Littlewood-Offord定理指出，当$a_i$都是$1$时，最大可能的集中概率$\max_{x \in \mathbb{R}} \Pr(X = x)$是$\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor} / 2^n$。正如Fox、Kwan和Sauermann所提出的，我们研究了用$ξ_i \sim \text{Ber}(p)$代替的一般情况。使用纯粹的组合技术，我们表明，当$a_i \in \{-1, 1\}$为每个$i$的确切的最大浓度概率。然后，使用傅立叶分析技术，我们调查的最佳比例的$1$的$-1$的。令人惊讶的是，我们发现，在某些情况下，$1$和$-1$的数量可以远远不相等。
2019-12-31 math.CO math.PR
Inverse Littlewood-Offord theorems and the condition number of random discrete matrices
考虑随机和$η_1 v_1 + ... + η_n v_n$，其中$η_1,...,η_n$是i.i.d.。随机符号和$v_1,...,v_n$是整数。Littlewood-Offord问题要求在$v_1,...,v_n$的各种假设下最大化浓度概率，例如$¶(η_1 v_1 + ... + η_n v_n = 0)$。在本文中，我们开发了一个\emph{inverse} Littlewood-Offord定理（有点精神的Freiman的逆和集定理），它开始的假设，浓度概率是大的，并得出结论，几乎所有的$v_1,...,v_n$有效地包含在一个等差数列。作为应用，我们给出了随机Bernoulli矩阵最小奇异值分布的一些新的界，进而给出了其条件数的上尾估计。
2007-01-28 math.CO math.PR
Geometric and o-minimal Littlewood-Offord problems
经典的Erdens-Littlewood-Offord定理说，对于非零向量$a_1,\dots,a_n\in \mathbb{R}^d$，任何$x\in \mathbb{R}^d$和一致随机$(ξ_1,\dots,ξ_n)\in\{-1,1\}^n$，我们有$\Pr(a_1ξ_1+\dots+a_nξ_n=x)=O(n^{-1/2})$。在本文中，我们表明，$\Pr(a_1ξ_1+\dots+a_nξ_n\in S)\le n^{-1/2+o(1)}$每当$S$是可定义的关于一个O-最小结构（例如，这保持当$S$是任何代数超曲面），在必要条件，它不包含一个线段。我们还得到了一个逆定理在此设置。
2022-06-14 math.CO math.LO
The Littlewood-Offord Problem for Markov Chains
著名的Littlewood-Offord问题要求随机变量$ε_1 v_1 + \cdots + ε_n v_n$位于欧氏单位球中的概率的上界，其中$ε_1, \ldots, ε_n \in \{-1, 1\}$是独立的Rademacher随机变量，$v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^d$是至少单位长度的固定向量.我们将许多已知的结果推广到$ε_i$是由马尔可夫链得到的情况，包括一般边界首先显示的Erdens在标量的情况下和Kleitman在向量的情况下，也限制下，$v_i$是不同的整数由于Sárközy和Szemeredi。在所有扩展中，上界包括取决于频谱间隙的额外因子。我们还构造了一个伪随机发生器的Littlewood-Offord问题使用类似的技术。
2019-04-30 cs.CC math.CO math.PR
On the counting problem in inverse Littlewood--Offord theory
设$ε_1, \dotsc, ε_n$为i.i.d.。Rademacher随机变量取值$\pm 1$，每个概率为$1/2$。给定一个整数向量$\boldsymbol{a} = (a_1, \dotsc, a_n)$，它的集中概率是数量$ρ(\boldsymbol{a}):=\sup_{x\in \mathbb{Z}}\Pr(ε_1 a_1+\dots+ε_n a_n = x)$。Littlewood-Offord问题要求在$\boldsymbol{a}$上的各种假设下对$ρ(\boldsymbol{a})$进行限制，而由Tao和Vu提出的逆Littlewood-Offord问题要求对所有$ρ(\boldsymbol{a})$大的向量$\boldsymbol{a}$进行表征。在本文中，我们研究了相关的计数问题：有多少整数向量$\boldsymbol{a}$属于一个指定的集合有大$ρ(\boldsymbol{a})$？我们研究的动机是，在典型的应用中，逆Littlewood-Offord定理只用于获得这样的计数估计。使用一个更直接的方法，我们获得了显着更好的界限，这个问题比那些使用逆Littlewood-奥福德定理的陶和武和阮和武。此外，我们开发了一个框架，利用我们的计数结果推导出的概率上界的随机离散矩阵的奇异性。为了说明这些方法，我们提出了第一个“指数型”（即，本文讨论了以下两种模型…
2019-04-23 math.CO math.PR
An algebraic inverse theorem for the quadratic Littlewood-Offord problem, and an application to Ramsey graphs
考虑独立伯努利随机变量的二次多项式$f\left(ξ_{1},\dots,ξ_{n}\right)$。关于任何单个值的$f$浓度，可以说些什么？这概括了经典的Littlewood-奥福德问题，它要求同样的问题线性多项式。在线性情况下，已知$f$的点概率可以大到大约$1/\sqrt{n}$，但仍然很少理解的是表征$f$必须具有的代数和算术特征的“逆”问题，如果它具有与此界限相当的点概率。在本文中，我们证明了一些结果的代数味，表明如果$f$的点概率远远大于$1/n$，那么它必须接近一个二次型低秩。我们也给出了一个应用拉姆齐图，渐近回答一个问题的关，Sudakov和Tran。
2020-08-10 math.CO math.PR
Bilinear and Quadratic Variants on the Littlewood-Offord Problem
如果f（x_1，x_2，...，x_n）是依赖于大量独立伯努利随机变量的多项式，关于f在任何单个值上的最大集中度可以说什么？对于线性多项式，这简化为经典的Littlewood-Offord问题的一个版本：给定非零常数a_1到a_n，形式为+/- a_1 +/- a_2 +/-.的和的最大数目是多少。+/- a_n取任何单个值？这里我们考虑f是双线性型或二次型的情况。对于双线性情形，我们证明了浓度显著大于n^{-1}的唯一形式是那些在某种意义上非常接近简并的形式。对于二次情形，我们证明了没有一个具有许多非零系数的形式具有显著大于n^{-1/2}的浓度。在这两种情况下，结果几乎是紧密的。
2009-02-09 math.CO math.PR
Uniform spectral gaps, non-abelian Littlewood-Offord and anti-concentration for random walks
Oren Becker Department of Pure Mathematics；Mathematical Statistics Centre for Mathematical Sciences Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WA, United Kingdom；Emmanuel Breuillard Mathematical Institute Oxford OX1 3LB, United Kingdom
本文研究了随机游走在半单代数群上的反集中问题，通过证明一致谱间隙和非阿贝尔利特伍德-奥弗德不等式，揭示了随机游走的扩张性质。
2025-12-17 math.CO math.GR math.OA
The Reverse Littlewood--Offord problem of Erdős
本文解决了 Erdős 在 Littlewood–Offord 问题中遗留的反向猜想，证明二维单位向量随机符号和落在半径√2内的概率至少为 c/n，并给出高维情形的多项式界。
2024-12-30 math.CO math.PR
On Littlewood-Offord theory for arbitrary distributions
设$X_1,\ldots,X_n$是$\mathbb{R}^d$中独立同分布的随机向量。我们考虑上界$\max_x \mathbb{P}(a_1X_1+\cdots+a_nX_n=x)$的各种限制$X_i$和$a_i$。当$\mathbb{P}(X_i=\pm 1) = \frac {1} {2}$时，这对应于经典的Littlewood-Offord问题。我们证明，在一般情况下，相同分布的随机向量和甚至值的$n$的$(a_i)$的最佳选择是$a_i=1$为$i\leq \frac{n}{2}$和$a_i=-1$为$i > \frac {n} 2$，无论$X_1$的分布。应用这些结果的伯努利随机变量回答了最近的问题福克斯，关和Sauermann。最后，我们提供了清晰的边界条件下的随机向量的总和的浓度概率$\sup_{x}\mathbb{P}(X_i=x)\leq α$，事实证明，最坏的情况下提供的分布在某种意义上尽可能接近均匀分布的算术级数。这项工作的一个重要特点是，不像许多文献上的主题，我们既不使用调和分析的方法，也不使用极值组合。
2020-08-03 math.CO math.PR
Optimal bound for the polynomial Littlewood-Offord problem
Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所（ISTA））
本文展示GPT-6 Pro发现的论证，给出多项式Littlewood-Offord问题的最优界，改进先前结果并解决相关猜想。
2026-10-08 cs.CC math.CO math.PR
Algebraic aspects of the polynomial Littlewood-Offord problem
本文研究了多项式Littlewood-Offord问题，证明了除非多项式接近具有特殊代数结构的多项式，否则Meka-Nguyen-Vu界可被显著改进，并修正了Costello关于多重线性形式的猜想。
2025-05-29 math.CO math.NT math.PR
Resolution of the quadratic Littlewood--Offord problem
本文解决了二次Littlewood--Offord问题，证明若二次多项式稳健依赖至少m个变量，则其取零概率为O(1/√m)，并应用于解决图可诱导性猜想。
2023-12-21 math.CO math.PR
A Littlewood-Offord kind of problem in $\mathbb{Z}_p$ and $Γ$-sequenceability
本文研究素数阶循环群 Z_p 中给定基数子集的 Littlewood-Offord 型问题，给出独立同分布随机变量之和分布的上界，并由此证明在最大度受限且 p>n^2 时任意 n 元子集都具有 Γ-可序列性。
2023-08-08 math.CO math.NT math.PR
Reverse Littlewood--Offord problems with parity conditions
该研究探讨带奇偶性条件的反向Littlewood--Offord问题，证明高维下随机带符号和落在原点附近的概率下确界对n的奇偶性敏感，并给出二维奇数n时概率指数衰减的构造。
2025-10-06 math.CO
Geometric Littlewood-Offord problems via lattice point counting
本文开发了一个通用框架，将几何 Littlewood-Offord 问题归约为格点计数，并结合丢番图几何证明了随机和落入特定集合的概率上界，解决了多个相关猜想。
2025-05-30 math.CO math.NT math.PR
Double-jump phase transition for the reverse Littlewood--Offord problem
针对反向 Littlewood--Offord 问题，本文通过构造特定向量推翻了关于奇数 n 下随机 Rademacher 和概率的猜想，证明了该最小概率在 r=1 处呈现双重跳跃相变，并给出了近似版本的肯定结论。
2025-03-31 math.CO math.PR
Inverse theorems for sets and measures of polynomial growth
本文给出了任意群$G$的有限子集$A$的结构描述，对于有界的$d$和充分大的$n$，这些子集满足多项式增长条件$|A^n| \leq n^d |A|$，证明了这些子集在一定的精确意义下受陪集零级数（有界平移数）的控制.这种描述恢复了以前的一些结果Breuillard绿色陶和Breuillard Tointon关于多项式增长的集合，我们也能够描述随后的增长$|A^m|$相当明确的$m \geq n$，至少当$A$是一个对称的邻居的身份。我们还得到了对称概率测度$μ$的一个类似的描述，它的$n$ -倍卷积$μ^{*n}$服从条件$\| μ^{*n} \|_{\ell^2}^{-2} \leq n^d \|μ\|_{\ell^2}^{-2}$ .在阿贝尔的情况下，这种描述恢复逆Littlewood-Offord定理的Nguyen-Vu，并给出了一个变种的最近nonabelian逆Littlewood-Offord定理的Tiep-Vu。我们建立这些结果的主要工具是Breuillard，Green和作者描述近似群结构的逆定理。
2015-10-01 math.CO math.PR
The slack data of the recording tableaux in the quantum Littlewood-Richardson map determines its inverse: some applications
University of Coimbra（科英布拉大学）
本文引入量子Littlewood-Richardson映射中记录表形的松弛概念，证明其继承LR-Sundaram表形所需数据以定义量子LR映射的逆，并将松弛数据应用于$\mathfrak{k}$-最高权辛表形。
2026-07-14 math.CO
The inverse reduction map in the quantum Littlewood-Richardson bijection
University of Coimbra（科英布拉大学）
本文显式计算了量子Littlewood-Richardson双射中逆约化映射在辛列上的具体形式，并利用这些模式组合Watanabe的分解方法处理大型辛列。
2026-07-07 math.CO
Combinatorial anti-concentration inequalities, with applications
本文证明了独立伯努利随机变量函数的多种反集中不等式，包括泊松型定理和非负系数多项式的不等式，推广了经典定理，并应用于随机图子图计数。
2020-11-18 math.CO
An inverse Grassmannian Littlewood-Richardson rule and extensions
本文通过引入 backstable clans 并建立新的结构常数线性关系，将 Littlewood-Richardson 规则推广到逆格拉斯曼置换及其弱 Bruhat 覆盖情形，给出 Schubert 闭链乘积的正组合公式。
2024-11-25 math.CO
On the singularity of random symmetric matrices
一个著名的猜想指出，一个随机对称的$n \times n$矩阵的元素在$\{-1,1\}$是奇异的概率为$Θ\big( n^2 2^{-n} \big)$。本文证明了该事件的概率至多为$\exp\big( - Ω( \sqrt{n} ) \big)$，改进了Ferber和Jain最近得到的$\exp\big( - Ω( n^{1/4} \sqrt{\log n} ) \big)$的最佳已知界.主要的新成分是一个逆Littlewood-Offord定理在$\mathbb{Z}_p^n$，适用于非常温和的条件下，其声明的灵感来自超图容器的方法。
2020-10-16 math.CO math.PR
The strong circular law: a combinatorial view
令$N_n$是$n\times n$复随机矩阵，其每个条目是具有有限非零方差$σ^{2}$的中心复随机变量$z$的独立副本。由Tao和Vu证明的强圆律指出，几乎可以肯定，作为$n\to \infty$，$N_n/(σ\sqrt{n})$的经验谱分布收敛于$\mathbb{C}$中单位圆盘上的均匀分布。在Tao和Vu的证明中，一个关键的组成部分，它使用了加法组合学的深刻思想，是控制随机矩阵$xI - N_{n}/(σ\sqrt{n})$（其中$x\in \mathbb{C}$是固定的）的最小奇异值的下尾，其失效概率是逆多项式。在本文中，使用一种简单而新颖的方法（特别是，不使用工具从添加剂组合或任何净参数），我们表明，对于任何固定矩阵$M$的运营商范数最多$n^{0.51}$和所有$η\geq 0$，$$\Pr\left(s_n(M+N_n) \leq η\right) \lesssim n^{C}η+ \exp(-n^{c}),$$其中$s_n(M+N_n)$是最小奇异值的$M+N_n$和$C,c$是绝对常数。我们的结果是最佳的常数$C,c$和逆指数型错误率提高后，由于陶和Vu的逆多项式错误率。在我们的证明过程中，我们延长的解决方案的计数问题的逆Littlewood-Offord理论，最近隔离的作者与Ferber，Luh，和Samotij，从Rademacher变量一般复杂的随机变量…
2020-06-01 math.CO math.PR
Small ball probability, Inverse theorems, and applications
设$ξ$是均值为零、方差为1的实随机变量，$A={a_1,...,a_n}$是$\R^d$中的多重集.随机和$$S_A := a_1 ξ_1 + ... + a_n ξ_n $$（其中$ξ_i$是$ξ$的iid拷贝）在概率论及其应用中具有重要意义。我们讨论了小球问题，其目的是估计的最大概率，$S_A$属于一个球与给定的小半径，以下的发现Littlewood-Offord和鄂尔多斯近70年前。我们将主要集中在最近的发展，这些集$A$的结构特征的小球概率是相对较大的。这些结果的应用包括在不同领域的许多开放问题的完整解决方案或重大进展。
2012-12-31 math.CO math.PR
Anti-concentration of random variables from zero-free regions
本文给出了随机变量的集中度与其概率母函数的根的分布之间的联系。令$X$是在$\{0,\ldots,n\}$中取值的随机变量，其中$X$具有$\mathbb{P}(X = 0)\mathbb{P}(X = n) > 0$和概率生成函数$f_X$。我们证明了如果$f_X$的所有零$ζ$满足$|\arg(ζ)| \geq δ$和$R^{-1} \leq |ζ| \leq R$，则\[ \operatorname{Var}(X) \geq c R^{-2π/δ}n, \]，其中$c > 0$是一个绝对常数。我们表明，这一结果是尖锐的，高达$R$的指数中的因子$2$。因此，我们能够推导出不一定是独立同分布和的随机变量的Littlewood-Offord型定理。随机变量。
2022-10-07 math.CO math.PR
Optimal Probability Inequalities for Random Walks related to Problems in Extremal Combinatorics
设S_n=X_1+…+ X_n是独立对称随机变量之和，使得|X_{i}| \leq 1.记为W_n=ε_{1}+.+ε_{n}是满足\prob{\eps_i = \pm 1} = 1/2的独立随机变量之和。我们证明了\mathbb{P}{S_{n} \in A} \leq \mathbb{P}{cW_k \in A}，其中A是一个区间的形式[x，\infty）或只是一个单一的点。该不等式是精确的，并明确给出了c和k的最优值。在Rademacher级数的情况下，它改进了Kwapiestan不等式。我们还提供了一个新的和非常短的证明Littlewood-Offord问题，而不使用Sperner定理。最后，给出了奇Lipschitz函数的一个推广.
2012-01-04 math.CO math.PR
Remarks on the inverse Littlewood conjecture
University of Manchester（曼彻斯特大学）
研究在逆Littlewood猜想条件下，集合A的结构特征，证明了A中存在子集具有特定加法性质，并推导出任意k≥3时A中存在长度为k的等差数列。
2026-04-18 math.CA math.CO math.NT
Adjacency matrices of random digraphs: singularity and anti-concentration
设${\mathcal D}_{n,d}$是所有$d$ -正则有向图在$n$顶点上的集合.设$G$是从${\mathcal D}_{n,d}$中均匀随机选取的图，$M$是它的邻接矩阵.我们证明了$M$是可逆的概率至少$1-C\ln^{3} d/\sqrt{d}$为$C\leq d\leq cn/\ln^2 n$，其中$c, C$是正的绝对常数。为此，我们建立了PDMATHAMN-正则有向图的一些性质。其中之一，Littlewood-Offord型抗浓度特性，具有独立利益。令$J$是具有$|J|\approx n/d$的$G$的顶点的子集。令$δ_i$为顶点$i$连接到$J$的事件的指示符，并定义$δ= (δ_1, δ_2, ..., δ_n)\in \{0, 1\}^n$。则对于每个$v\in\{0,1\}^n$，$δ=v$的概率是指数小的。即使图的一部分被“冻结”，此属性也有效。
2016-10-18 math.CO math.PR
Complex Random Matrices have no Real Eigenvalues
设$ζ= ξ+ iξ'$，其中$ξ, ξ'$是均值为零、方差为1的亚高斯随机变量的iid拷贝。令$N_n$是一个$n \times n$随机矩阵，其条目是$ζ$的iid副本。我们证明了存在一个$c \in (0,1)$，使得$N_n$具有任何实特征值的概率小于$c^n$，其中$c$仅取决于$ξ$的亚高斯矩。该界限在常数$c$的范围内是最优的。证明的主要组成部分是一个最佳的尾部边界上的最小奇异值的矩阵的形式$M_n := M + N_n$，其中$M$是一个确定性的复杂矩阵的条件，$\|M\| \leq K n^{1/2}$为一些常数$K$取决于次高斯矩的$ξ$。对于这类随机变量，这个结果改进了Pan-Zhou和Rudelson-Vershynin的结果.在尾界的证明中，我们为复随机变量开发了一个最优小球概率界，推广了Tao-Vu和Rudelson-Vershynin开发的Littlewood-Offord理论。
2017-10-08 math.CO math.PR
Real roots of random polynomials: expectation and repulsion
令$P_{n}(x)= \sum_{i=0}^n ξ_i x^i$是Kac随机多项式，其中系数$ξ_i$是给定随机变量$ξ$的iid副本。我们的主要结果是关于实根排斥的一个最佳数量界。这导致存在二重根的概率的最佳界限。作为一个应用程序，我们考虑的问题，估计的实根的$P_n$，这有着悠久的历史，特别是一个著名的系列文件的主要课题Littlewood和Offord从20世纪40年代。我们表明，对于一个大的和自然的家庭的原子变量$ξ$，$P_n(x)$的实根的预期数量正是$\frac{2}π \log n +C +o(1)$，其中$C$是一个绝对常数取决于原子变量$ξ$。在此之前，这样的结果是已知的情况下，只有当$ξ$是高斯。
2014-09-15 math-ph math.CO math.MP
Kronecker coefficients for (dual) symmetric inverse semigroups
本文研究了对称逆半群、对偶对称逆半群及有限集子商间双射逆半群的 Kronecker 系数类似物，将其确定问题归约为群论与组合问题，并为对称逆半群给出了基于经典 Kronecker 与 Littlewood--Richardson 系数的显式公式。
2023-10-24 math.CO math.RT
Hall polynomials, inverse Kostka polynomials and puzzles
本文研究了Littlewood-Richardson系数的两种不同的单参数推广形式，即Hall多项式和广义逆Kostka多项式，并推导了它们的新的组合公式。我们的组合表达式是密切相关的难题，最初介绍了克努森和陶在他们的工作的等变上同调的格拉斯曼。
2016-03-06 math-ph math.CO math.MP
An inverse theorem for the Gowers U^{s+1}[N]-norm
Centre for Mathematical Sciences（数学科学中心）；Department of Mathematics UCLA（加州大学洛杉矶分校数学系）；Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文证明了Gowers U^{s+1}[N]-范数的反向猜想，针对s≥3的情况，提出了一种具有有限复杂度的s步nil序列与函数f的相关性，从而推导出Hardy-Littlewood素数元猜想。
2026-04-23 math.CO math.DS
An asymptotically optimal bound for the concentration function of a sum of independent integer random variables
Vilnius University（维尔纽斯大学）
本文证明了独立整数随机变量和的浓度函数的渐近最优界，并推导了在可分希尔伯特空间中在一点处的渐近最优不等式。
2026-03-11 math.CO math.PR
Quantitative invertibility of random matrices: a combinatorial perspective
本文研究了$n\times n$随机矩阵$M_n := M+N_n$的最小奇异值的下尾行为，其中$M$是一个算子范数至多为$\exp(n^{c})$的固定复矩阵，而$N_n$是一个随机矩阵，它的每一个元素是一个复随机变量的独立拷贝，其均值为$0$，方差为$1$ .出于应用的动机，我们的重点是获得具有极高概率的界限，而不是在一个典型的这样的矩阵的最小奇异值。这种设置以前被认为是在一系列有影响力的作品陶和武，最显着的是在连接强循环法，和平滑分析的条件数，我们的结果改善后，他们在两个方面：（一）我们能够处理$\|M\| = O(\exp(n^{c}))$，而陶和武的结果只适用于$M = O(\text{poly(n)})$。(ii)即使对于$M = O(\text{poly(n)})$，我们也能够提取更精确的信息--例如，我们的结果表明，对于这样的$M$，$M_n$是奇异的概率是$O(\exp(-n^{c}))$，而即使在$ξ$是伯努利随机变量的情况下，Tao和Vu的结果也只给出了对于任何常数$C>0$的$O_{C}(n^{-C})$形式的界。相对于所有以前的作品获得这样的界限，错误率优于$n^{-1}$，我们的证明不使用逆Littlewood-奥福德定理，或任何复杂的网络建设。相反，我们展示了如何减少问题的（复杂）球（高斯）整数向量，它是直接解决利用和扩展的组合方法的奇异性问题的随机离…
2021-09-03 cs.NA math.CO math.NA
