Inverse Littlewood-Offord theorems and the condition number of random discrete matrices
考虑随机和$η_1 v_1 + ... + η_n v_n$，其中$η_1,...,η_n$是i.i.d.。随机符号和$v_1,...,v_n$是整数。Littlewood-Offord问题要求在$v_1,...,v_n$的各种假设下最大化浓度概率，例如$¶(η_1 v_1 + ... + η_n v_n = 0)$。在本文中，我们开发了一个\emph{inverse} Littlewood-Offord定理（有点精神的Freiman的逆和集定理），它开始的假设，浓度概率是大的，并得出结论，几乎所有的$v_1,...,v_n$有效地包含在一个等差数列。作为应用，我们给出了随机Bernoulli矩阵最小奇异值分布的一些新的界，进而给出了其条件数的上尾估计。
2007-01-28 math.CO math.PR
A new bound in the Littlewood--Offord problem
本文研究了Littlewood-Offord问题与估计某些对称无穷可分分布的浓度函数之间的联系。
2022-11-14 math.PR
On the counting problem in inverse Littlewood--Offord theory
设$ε_1, \dotsc, ε_n$为i.i.d.。Rademacher随机变量取值$\pm 1$，每个概率为$1/2$。给定一个整数向量$\boldsymbol{a} = (a_1, \dotsc, a_n)$，它的集中概率是数量$ρ(\boldsymbol{a}):=\sup_{x\in \mathbb{Z}}\Pr(ε_1 a_1+\dots+ε_n a_n = x)$。Littlewood-Offord问题要求在$\boldsymbol{a}$上的各种假设下对$ρ(\boldsymbol{a})$进行限制，而由Tao和Vu提出的逆Littlewood-Offord问题要求对所有$ρ(\boldsymbol{a})$大的向量$\boldsymbol{a}$进行表征。在本文中，我们研究了相关的计数问题：有多少整数向量$\boldsymbol{a}$属于一个指定的集合有大$ρ(\boldsymbol{a})$？我们研究的动机是，在典型的应用中，逆Littlewood-Offord定理只用于获得这样的计数估计。使用一个更直接的方法，我们获得了显着更好的界限，这个问题比那些使用逆Littlewood-奥福德定理的陶和武和阮和武。此外，我们开发了一个框架，利用我们的计数结果推导出的概率上界的随机离散矩阵的奇异性。为了说明这些方法，我们提出了第一个“指数型”（即，本文讨论了以下两种模型…
2019-04-23 math.CO math.PR
A note on the Littlewood-Offord problem for discrete log-concave distributions
University of Florida（佛罗里达大学）；Centro de Investigaciónes en Matemáticas（数学研究中心）
本文扩展了Littlewood-Offord问题，研究离散对数凹分布下的熵功率不等式，并探讨了算术级数和熵版本的问题。
2026-02-17 math.PR
An algebraic inverse theorem for the quadratic Littlewood-Offord problem, and an application to Ramsey graphs
考虑独立伯努利随机变量的二次多项式$f\left(ξ_{1},\dots,ξ_{n}\right)$。关于任何单个值的$f$浓度，可以说些什么？这概括了经典的Littlewood-奥福德问题，它要求同样的问题线性多项式。在线性情况下，已知$f$的点概率可以大到大约$1/\sqrt{n}$，但仍然很少理解的是表征$f$必须具有的代数和算术特征的“逆”问题，如果它具有与此界限相当的点概率。在本文中，我们证明了一些结果的代数味，表明如果$f$的点概率远远大于$1/n$，那么它必须接近一个二次型低秩。我们也给出了一个应用拉姆齐图，渐近回答一个问题的关，Sudakov和Tran。
2020-08-10 math.CO math.PR
The Littlewood-Offord Problem for Markov Chains
著名的Littlewood-Offord问题要求随机变量$ε_1 v_1 + \cdots + ε_n v_n$位于欧氏单位球中的概率的上界，其中$ε_1, \ldots, ε_n \in \{-1, 1\}$是独立的Rademacher随机变量，$v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^d$是至少单位长度的固定向量.我们将许多已知的结果推广到$ε_i$是由马尔可夫链得到的情况，包括一般边界首先显示的Erdens在标量的情况下和Kleitman在向量的情况下，也限制下，$v_i$是不同的整数由于Sárközy和Szemeredi。在所有扩展中，上界包括取决于频谱间隙的额外因子。我们还构造了一个伪随机发生器的Littlewood-Offord问题使用类似的技术。
2019-04-30 cs.CC math.CO math.PR
On the Littlewood--Offord problem
本文研究了Littlewood-Offord问题与估计某些对称无穷可分分布的浓度函数之间的联系。给出了Arak（1980）结果的多元推广。他们显示了连接的浓度函数的总和与算术结构的支持分布的独立随机向量的任意分布的和。
2014-11-25 math.PR
The Reverse Littlewood--Offord problem of Erdős
本文解决了 Erdős 在 Littlewood–Offord 问题中遗留的反向猜想，证明二维单位向量随机符号和落在半径√2内的概率至少为 c/n，并给出高维情形的多项式界。
2024-12-30 math.CO math.PR
On Littlewood-Offord theory for arbitrary distributions
设$X_1,\ldots,X_n$是$\mathbb{R}^d$中独立同分布的随机向量。我们考虑上界$\max_x \mathbb{P}(a_1X_1+\cdots+a_nX_n=x)$的各种限制$X_i$和$a_i$。当$\mathbb{P}(X_i=\pm 1) = \frac {1} {2}$时，这对应于经典的Littlewood-Offord问题。我们证明，在一般情况下，相同分布的随机向量和甚至值的$n$的$(a_i)$的最佳选择是$a_i=1$为$i\leq \frac{n}{2}$和$a_i=-1$为$i > \frac {n} 2$，无论$X_1$的分布。应用这些结果的伯努利随机变量回答了最近的问题福克斯，关和Sauermann。最后，我们提供了清晰的边界条件下的随机向量的总和的浓度概率$\sup_{x}\mathbb{P}(X_i=x)\leq α$，事实证明，最坏的情况下提供的分布在某种意义上尽可能接近均匀分布的算术级数。这项工作的一个重要特点是，不像许多文献上的主题，我们既不使用调和分析的方法，也不使用极值组合。
2020-08-03 math.CO math.PR
New applications of Arak's inequalities to the Littlewood-Offord problem
设$X,X_1,\ldots,X_n$为独立同分布随机变量。本文研究了Littlewood-Offord问题中加权和$\sum_{k=1}^{n}X_ka_k $的集中函数关于系数$a_k$的算术结构的行为。在Eliseeva，Götze和Zaitsev最近的论文中，我们讨论了Nguyen，Tao和Vu所述的逆原理与Arak在他的论文中所表述的类似原理之间的关系。在本文中，我们将得到一些更一般和更精确的阿拉克的不等式的后果提供新的结果的上下文中的Littlewood-Offord问题。
2018-01-20 math.PR
Bound for the maximal probability in the Littlewood-Offord problem
本文研究了Littlewood-Offord问题与估计某些对称无穷可分分布的浓度函数之间的联系。结果表明，独立同分布加权和的浓度函数在零点处的值随机变量可以通过对称无穷可分分布的浓度函数在零点处的值来估计，其中Lévy谱测度是构造加权和所涉及的$\pm$权重处的δ测度之和的倍数。
2016-03-24 math.PR
Arak Inequalities for Concentration Functions and the Littlewood-Offord Problem
设$X,X_1,\ldots,X_n$为独立同分布随机变量。本文研究了Littlewood-Offord问题中加权和$\sum_{k=1}^{n}a_k X_k$的集中函数关于系数$a_k$的算术结构的行为。这种类型的浓度结果重新受到关注与随机矩阵的奇异值分布。最近，Tao和Vu在Littlewood-Offord问题中提出了一个逆原理。我们讨论了陶和武的逆原理以及阮和武的逆原理与Arak在20世纪80年代的工作中为任意独立随机变量和所制定的类似原理之间的关系。
2021-12-02 math.PR
Uniform spectral gaps, non-abelian Littlewood-Offord and anti-concentration for random walks
Oren Becker Department of Pure Mathematics；Mathematical Statistics Centre for Mathematical Sciences Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WA, United Kingdom；Emmanuel Breuillard Mathematical Institute Oxford OX1 3LB, United Kingdom
本文研究了随机游走在半单代数群上的反集中问题，通过证明一致谱间隙和非阿贝尔利特伍德-奥弗德不等式，揭示了随机游走的扩张性质。
2025-12-17 math.CO math.GR math.OA
Improved applications of Arak's inequalities to the Littlewood-Offord problem
本文在Littlewood-Offord问题背景下研究加权和集中函数，利用新界限推导出Arak不等式更广泛且精确的改进结论，并改进了Rudelson和Vershynin最小公倍数方法中的估计。
2023-04-05 math.PR
Arak Inequalities for Concentration Functions and the Littlewood--Offord Problem: a shortened version
设$X,X_1,\ldots,X_n$为独立同分布随机变量。本文研究了Littlewood-Offord问题中加权和$\sum_{k=1}^{n} X_k a_k$的集中函数关于系数$a_k$的算术结构的性质.这种类型的集中结果与随机矩阵的奇异值分布有关，引起了人们的新兴趣。最近，Tao和Vu在Littlewood-Offord问题中提出了一个逆原理。我们讨论了陶和武的逆原理以及阮和武的逆原理与Arak在20世纪80年代的工作中为任意独立随机变量和所制定的类似原理之间的关系。本文是预印本arXiv：1506.09034的缩短和编辑版本。在这里，我们提出的结果没有证据。
2015-12-09 math.PR
From the Littlewood-Offord problem to the Circular Law: universality of the spectral distribution of random matrices
著名的\emph{circular law}断言，如果$M_n$是一个$n \times n$矩阵，且具有i id个均值为零且方差为单位的复数元素，则归一化矩阵$\frac{1}{\sqrt{n}} M_n$的经验谱分布（ESD）几乎必然收敛于单位圆盘$\{z \in \C: |z| \leq 1 \}$上的均匀分布.经过一长串的部分结果，验证了这一法律的附加假设下的分布的条目，最近成立的全循环法在\cite{TVcir2}。在这次调查中，我们描述了一些关键成分中使用的循环法的建立，特别是最近的进展，在理解的Littlewood-Offord问题及其逆。
2009-01-01 math.PR
Inverse Littlewood-Offord problems for Quasi-Norms
给定星形域$K\subseteq \mathbb R^d$、$n$向量$v_1,\dots,v_n \in \mathbb R^d$、数字$R>0$和i.i.d.随机变量$η_1,\dots,η_n$，在小球概率\[\sup_{x\in \mathbb R^d}~\mathbb P\Bigg(\sum_{j=1}^nη_jv_j\in x+RK\Bigg)\]不像$n\to \infty$那样衰减得太快的假设下，研究了向量集$V = \{v_1,\dots,v_n\}$的几何和算术结构.这概括了$K$是欧几里得球的情况，这是以前研究的恩武和陶武。
2015-10-14 math.PR
Optimal bound for the polynomial Littlewood-Offord problem
Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所（ISTA））
本文展示GPT-6 Pro发现的论证，给出多项式Littlewood-Offord问题的最优界，改进先前结果并解决相关猜想。
2026-10-08 cs.CC math.CO math.PR
The Littlewood-Offord Problem and invertibility of random matrices
本文证明了具有独立元素的随机n × n矩阵的最小奇异值分布的两个基本定理。在最小矩的假设下，我们证明了最小的奇异值是n^{-1/2}阶的，这是高斯矩阵的最佳。此外，我们给出了尾概率的最优估计。这是Littlewood-Offord问题中一个新的和本质上尖锐的估计的结果：对于i.i.d.随机变量X_k和实数a_k，决定了a_k X_k之和位于某个数v附近的概率P.对于相同数量级的任意系数a_k，我们证明了它们本质上位于长度为1/p的等差数列中.
2008-01-31 math.FA math.PR
Resolution of the quadratic Littlewood--Offord problem
本文解决了二次Littlewood--Offord问题，证明若二次多项式稳健依赖至少m个变量，则其取零概率为O(1/√m)，并应用于解决图可诱导性猜想。
2023-12-21 math.CO math.PR
Estimates for the concentration functions in the Littlewood--Offord problem
设$X,X_1,...,X_n$为独立同分布随机变量。本文研究了加权和$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k X_k$的集中函数关于系数$a_k$的算术结构的性质。这种浓度的结果最近成为重要的调查有关的奇异值的随机矩阵。本文给出并证明了Vershynin（R. Vershynin，对称随机矩阵的可逆性，arXiv：1102.0300。（2011年）。发表于Random Structures and Algorithms，v.44，no.2，135- 182（2014））。
2014-11-26 math.PR
Algebraic aspects of the polynomial Littlewood-Offord problem
本文研究了多项式Littlewood-Offord问题，证明了除非多项式接近具有特殊代数结构的多项式，否则Meka-Nguyen-Vu界可被显著改进，并修正了Costello关于多重线性形式的猜想。
2025-05-29 math.CO math.NT math.PR
A Littlewood-Offord kind of problem in $\mathbb{Z}_p$ and $Γ$-sequenceability
本文研究素数阶循环群 Z_p 中给定基数子集的 Littlewood-Offord 型问题，给出独立同分布随机变量之和分布的上界，并由此证明在最大度受限且 p>n^2 时任意 n 元子集都具有 Γ-可序列性。
2023-08-08 math.CO math.NT math.PR
Littlewood-Offord problems for Ising models
College of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文研究了一维伊辛模型中的利特伍德-奥弗德问题，推导了浓度函数的上下界，并应用该方法给出了伊辛模型截断相关矩阵最小特征值的下界。
2026-01-15 math.PR
Littlewood-Offord problems for the Curie-Weiss models
本文研究一维Curie-Weiss模型的Littlewood-Offord问题，计算了相关概率上确界的渐近性质与相变现象，并将其从Rademacher随机变量推广至可能相依的随机变量。
2024-11-15 math.PR
Geometric Littlewood-Offord problems via lattice point counting
本文开发了一个通用框架，将几何 Littlewood-Offord 问题归约为格点计数，并结合丢番图几何证明了随机和落入特定集合的概率上界，解决了多个相关猜想。
2025-05-30 math.CO math.NT math.PR
Double-jump phase transition for the reverse Littlewood--Offord problem
针对反向 Littlewood--Offord 问题，本文通过构造特定向量推翻了关于奇数 n 下随机 Rademacher 和概率的猜想，证明了该最小概率在 r=1 处呈现双重跳跃相变，并给出了近似版本的肯定结论。
2025-03-31 math.CO math.PR
Bounds on the number of integer points in a polytope via concentration estimates
Barvinok和Hartigan已经通过信息论的方式处理了这个问题，展示了如何有效地计算一个随机向量，该向量对P的整数点进行采样，（可计算的）恒定质量，但也可能落在P之外。因此，为了计算P的整数点，它足以确定的频率与该随机向量落在P。我们证明了一个有效的计算上界在这个频率上的集合。我们还证明了，如果P是由n个线性不等式和m个线性方程（m固定）适当表示的，则在将上述随机向量的期望值与原点分离的温和条件下，当n ->无穷大时，它落在P中的频率为O（n^{-m/2}）.在经典的Littlewood-Offord问题中，本文中的所有结果都是通过限制独立随机变量的总和的点浓度来获得的;我们勾画了与以前关于这个问题的工作的连接。
2010-11-29 math.CO math.PR
Random polynomials: central limit theorems for the real roots
实根的个数一直是随机多项式和随机函数理论中的一个中心课题，因为Littlewood-Offord和Kac在20世纪40年代的基本论文。这里的主要任务是确定这个随机变量的极限分布。1974年，Maslova证明了一个关于Kac多项式的实根个数的中心极限定理（CLT）。四十多年来，它一直是实根个数的唯一极限定理。本文用一种新的方法，导出了一类系数按多项式增长的随机多项式的实根个数的一般CLT。我们的结果推广并加强了Maslova定理。
2020-12-20 math.PR
Anti-concentration for polynomials of independent random variables
证明了任意次数独立随机变量多项式的反集中结果。我们的结果推广了经典的线性多项式的Littlewood-Offord结果，改进了几个较早的估计。我们讨论两个不同领域的应用。在复杂性理论中，我们证明了计算奇偶校验的接近最优的下界，解决了复杂性理论中由Razborov和Viola提出的挑战，也解决了关于OR函数的问题。在随机图论中，我们得到了关于随机图中固定图的拷贝数的一般反集中结果。
2015-08-07 cs.CC math.PR
Spectrum and pseudospectrum for quadratic polynomials in Ginibre matrices
对于一个固定的二次多项式$\mathfrak{p}$在$n$非交换变量，和$n$独立的$N\times N$复杂的Ginibre矩阵$X_1^N,\dots, X_n^N$，我们建立了收敛的经验谱分布的$P^N =\mathfrak{p}(X_1^N,\dots, X_n^N)$ $\mathfrak{p}$的布朗测度评估在$n$自由独立的圆形元素$c_1,\dots, c_n$在一个非交换的概率空间。证明的主要步骤是对$P^N$的伪谱进行定量控制。通过众所周知的线性化技巧，这取决于反浓度特性的某些矩阵值的随机游动，我们发现可以失败的结构原因的不同性质的算术障碍，照亮了工程上的利特尔伍德-奥福德问题的离散标量随机游动。
2020-08-20 math.OA math.PR
Solving systems of Random Equations via First and Second-Order Optimization Algorithms
Stanford University（斯坦福大学）；Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
该研究将随机方程组求解转化为非凸优化问题，利用自旋玻璃理论分析一阶、二阶算法的相变特性，通过数值模拟验证预测，揭示算法在临界值α_alg处的敏感性交叉现象。
2026-07-30 math.PR
