Improved applications of Arak's inequalities to the Littlewood-Offord problem
本文在Littlewood-Offord问题背景下研究加权和集中函数，利用新界限推导出Arak不等式更广泛且精确的改进结论，并改进了Rudelson和Vershynin最小公倍数方法中的估计。
2023-04-05 math.PR
Arak Inequalities for Concentration Functions and the Littlewood--Offord Problem: a shortened version
设$X,X_1,\ldots,X_n$为独立同分布随机变量。本文研究了Littlewood-Offord问题中加权和$\sum_{k=1}^{n} X_k a_k$的集中函数关于系数$a_k$的算术结构的性质.这种类型的集中结果与随机矩阵的奇异值分布有关，引起了人们的新兴趣。最近，Tao和Vu在Littlewood-Offord问题中提出了一个逆原理。我们讨论了陶和武的逆原理以及阮和武的逆原理与Arak在20世纪80年代的工作中为任意独立随机变量和所制定的类似原理之间的关系。本文是预印本arXiv：1506.09034的缩短和编辑版本。在这里，我们提出的结果没有证据。
2015-12-09 math.PR
From the Littlewood-Offord problem to the Circular Law: universality of the spectral distribution of random matrices
著名的\emph{circular law}断言，如果$M_n$是一个$n \times n$矩阵，且具有i id个均值为零且方差为单位的复数元素，则归一化矩阵$\frac{1}{\sqrt{n}} M_n$的经验谱分布（ESD）几乎必然收敛于单位圆盘$\{z \in \C: |z| \leq 1 \}$上的均匀分布.经过一长串的部分结果，验证了这一法律的附加假设下的分布的条目，最近成立的全循环法在\cite{TVcir2}。在这次调查中，我们描述了一些关键成分中使用的循环法的建立，特别是最近的进展，在理解的Littlewood-Offord问题及其逆。
2009-01-01 math.PR
Inverse Littlewood-Offord problems for Quasi-Norms
给定星形域$K\subseteq \mathbb R^d$、$n$向量$v_1,\dots,v_n \in \mathbb R^d$、数字$R>0$和i.i.d.随机变量$η_1,\dots,η_n$，在小球概率\[\sup_{x\in \mathbb R^d}~\mathbb P\Bigg(\sum_{j=1}^nη_jv_j\in x+RK\Bigg)\]不像$n\to \infty$那样衰减得太快的假设下，研究了向量集$V = \{v_1,\dots,v_n\}$的几何和算术结构.这概括了$K$是欧几里得球的情况，这是以前研究的恩武和陶武。
2015-10-14 math.PR
Optimal Littlewood-Offord inequalities in groups
证明了任意群的几个Littlewood-Offord型不等式。在具有有穷级元素的群中，最坏的情形由某个循环子群上的简单随机游动提供。如果基群中含有一定阶的元素，则所得不等式是最优的。事实证明，对于无挠群，Erdos的界仍然成立。我们的结果加强和推广了Tiep和Vu最近的一些结果。
2018-04-02 math.CO math.PR
Estimates for the concentration functions in the Littlewood--Offord problem
设$X,X_1,...,X_n$为独立同分布随机变量。本文研究了加权和$\sum\limits_{k=1}^{n}a_k X_k$的集中函数关于系数$a_k$的算术结构的性质。这种浓度的结果最近成为重要的调查有关的奇异值的随机矩阵。本文给出并证明了Vershynin（R. Vershynin，对称随机矩阵的可逆性，arXiv：1102.0300。（2011年）。发表于Random Structures and Algorithms，v.44，no.2，135- 182（2014））。
2014-11-26 math.PR
Non-abelian Littlewood-Offord inequalities
1943年，Littlewood和Offord证明了独立随机变量和的第一个反集中结果。从那时起，他们的结果得到了几代研究人员的加强和推广，并在数学的几个领域得到了应用。本文给出了Littlewood-Offord结果的第一个非阿贝尔模拟，即独立随机变量乘积的尖锐反集中不等式。
2015-08-06 math.CO math.PR math.RT
Resilience for the Littlewood-Offord Problem
考虑和$X(ξ)=\sum_{i=1}^n a_iξ_i$，其中$a=(a_i)_{i=1}^n$是非零实数序列，$ξ=(ξ_i)_{i=1}^n$是i.i.d.序列。Rademacher随机变量（即$\Pr[ξ_i=1]=\Pr[ξ_i=-1]=1/2$）。经典的Littlewood-Offord问题要求集中概率$\Pr[X=x]$的最佳可能上界。在本文中，我们研究了一个弹性版本的Littlewood-Offord问题：有多少的$ξ_i$是一个对手通常允许改变而不能强制集中在一个特定的值？我们解决这个问题的渐近，并提出了一些有趣的开放问题。
2017-08-02 math.CO math.PR
Inverse Littlewood-Offord problems and The Singularity of Random Symmetric Matrices
令$M_n$用$n$矩阵表示随机对称$n$，其上对角元素是iid Bernoulli随机变量（其以概率1/2取值-1和1）。改进了Costello，Tao和Vu的结果，证明了对于任意正的常数$C$，$M_n$是非奇异的，概率为$1-O(n^{-C})$.证明使用逆Littlewood-Offord结果的二次型，这是它自己的利益。
2012-12-31 math.CO math.PR
A non-uniform Littlewood-Offord inequality
考虑和$S_n=v_i\varepsilon_1+\cdots+v_n\varepsilon_{n}$，其中$(v_i)^{n}_{i=1}$是$\mathbb{R}^{d}$中的非零向量，并且$(\varepsilon_i)^{n}_{i=1}$是独立的Rademacher随机变量（即，$~{\mathbb{P}(\varepsilon_{i}=\pm 1)=1/2}$）。经典的Littlewood-Offord问题要求$~{\sup_{x}\mathbb{P}(S_n = x)}$的最佳可能的上界。在本文中，我们考虑了这个问题的非统一版本。也就是说，我们得到了$\mathbb{P}(S_n = x)$的最佳界限的向量$x\in \mathbb{R}^d$的长度。
2019-10-22 math.CO math.PR
Erdos-Littlewood-Offord problem with arbitrary probabilities
经典的Erdens-Littlewood-Offord问题涉及随机变量$X = a_1 ξ_1 + \dots + a_n ξ_n$，其中$a_i \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$是固定的，而$ξ_i \sim \text{Ber}(1/2)$是独立的。Erdens-Littlewood-Offord定理指出，当$a_i$都是$1$时，最大可能的集中概率$\max_{x \in \mathbb{R}} \Pr(X = x)$是$\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor} / 2^n$。正如Fox、Kwan和Sauermann所提出的，我们研究了用$ξ_i \sim \text{Ber}(p)$代替的一般情况。使用纯粹的组合技术，我们表明，当$a_i \in \{-1, 1\}$为每个$i$的确切的最大浓度概率。然后，使用傅立叶分析技术，我们调查的最佳比例的$1$的$-1$的。令人惊讶的是，我们发现，在某些情况下，$1$和$-1$的数量可以远远不相等。
2019-12-31 math.CO math.PR
Inverse Littlewood-Offord theorems and the condition number of random discrete matrices
考虑随机和$η_1 v_1 + ... + η_n v_n$，其中$η_1,...,η_n$是i.i.d.。随机符号和$v_1,...,v_n$是整数。Littlewood-Offord问题要求在$v_1,...,v_n$的各种假设下最大化浓度概率，例如$¶(η_1 v_1 + ... + η_n v_n = 0)$。在本文中，我们开发了一个\emph{inverse} Littlewood-Offord定理（有点精神的Freiman的逆和集定理），它开始的假设，浓度概率是大的，并得出结论，几乎所有的$v_1,...,v_n$有效地包含在一个等差数列。作为应用，我们给出了随机Bernoulli矩阵最小奇异值分布的一些新的界，进而给出了其条件数的上尾估计。
2007-01-28 math.CO math.PR
The Littlewood-Offord Problem for Markov Chains
著名的Littlewood-Offord问题要求随机变量$ε_1 v_1 + \cdots + ε_n v_n$位于欧氏单位球中的概率的上界，其中$ε_1, \ldots, ε_n \in \{-1, 1\}$是独立的Rademacher随机变量，$v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^d$是至少单位长度的固定向量.我们将许多已知的结果推广到$ε_i$是由马尔可夫链得到的情况，包括一般边界首先显示的Erdens在标量的情况下和Kleitman在向量的情况下，也限制下，$v_i$是不同的整数由于Sárközy和Szemeredi。在所有扩展中，上界包括取决于频谱间隙的额外因子。我们还构造了一个伪随机发生器的Littlewood-Offord问题使用类似的技术。
2019-04-30 cs.CC math.CO math.PR
The Littlewood-Offord Problem and invertibility of random matrices
本文证明了具有独立元素的随机n × n矩阵的最小奇异值分布的两个基本定理。在最小矩的假设下，我们证明了最小的奇异值是n^{-1/2}阶的，这是高斯矩阵的最佳。此外，我们给出了尾概率的最优估计。这是Littlewood-Offord问题中一个新的和本质上尖锐的估计的结果：对于i.i.d.随机变量X_k和实数a_k，决定了a_k X_k之和位于某个数v附近的概率P.对于相同数量级的任意系数a_k，我们证明了它们本质上位于长度为1/p的等差数列中.
2008-01-31 math.FA math.PR
Littlewood-Offord problems for the Curie-Weiss models
本文研究一维Curie-Weiss模型的Littlewood-Offord问题，计算了相关概率上确界的渐近性质与相变现象，并将其从Rademacher随机变量推广至可能相依的随机变量。
2024-11-15 math.PR
On the counting problem in inverse Littlewood--Offord theory
设$ε_1, \dotsc, ε_n$为i.i.d.。Rademacher随机变量取值$\pm 1$，每个概率为$1/2$。给定一个整数向量$\boldsymbol{a} = (a_1, \dotsc, a_n)$，它的集中概率是数量$ρ(\boldsymbol{a}):=\sup_{x\in \mathbb{Z}}\Pr(ε_1 a_1+\dots+ε_n a_n = x)$。Littlewood-Offord问题要求在$\boldsymbol{a}$上的各种假设下对$ρ(\boldsymbol{a})$进行限制，而由Tao和Vu提出的逆Littlewood-Offord问题要求对所有$ρ(\boldsymbol{a})$大的向量$\boldsymbol{a}$进行表征。在本文中，我们研究了相关的计数问题：有多少整数向量$\boldsymbol{a}$属于一个指定的集合有大$ρ(\boldsymbol{a})$？我们研究的动机是，在典型的应用中，逆Littlewood-Offord定理只用于获得这样的计数估计。使用一个更直接的方法，我们获得了显着更好的界限，这个问题比那些使用逆Littlewood-奥福德定理的陶和武和阮和武。此外，我们开发了一个框架，利用我们的计数结果推导出的概率上界的随机离散矩阵的奇异性。为了说明这些方法，我们提出了第一个“指数型”（即，本文讨论了以下两种模型…
2019-04-23 math.CO math.PR
An algebraic inverse theorem for the quadratic Littlewood-Offord problem, and an application to Ramsey graphs
考虑独立伯努利随机变量的二次多项式$f\left(ξ_{1},\dots,ξ_{n}\right)$。关于任何单个值的$f$浓度，可以说些什么？这概括了经典的Littlewood-奥福德问题，它要求同样的问题线性多项式。在线性情况下，已知$f$的点概率可以大到大约$1/\sqrt{n}$，但仍然很少理解的是表征$f$必须具有的代数和算术特征的“逆”问题，如果它具有与此界限相当的点概率。在本文中，我们证明了一些结果的代数味，表明如果$f$的点概率远远大于$1/n$，那么它必须接近一个二次型低秩。我们也给出了一个应用拉姆齐图，渐近回答一个问题的关，Sudakov和Tran。
2020-08-10 math.CO math.PR
Bilinear and Quadratic Variants on the Littlewood-Offord Problem
如果f（x_1，x_2，...，x_n）是依赖于大量独立伯努利随机变量的多项式，关于f在任何单个值上的最大集中度可以说什么？对于线性多项式，这简化为经典的Littlewood-Offord问题的一个版本：给定非零常数a_1到a_n，形式为+/- a_1 +/- a_2 +/-.的和的最大数目是多少。+/- a_n取任何单个值？这里我们考虑f是双线性型或二次型的情况。对于双线性情形，我们证明了浓度显著大于n^{-1}的唯一形式是那些在某种意义上非常接近简并的形式。对于二次情形，我们证明了没有一个具有许多非零系数的形式具有显著大于n^{-1/2}的浓度。在这两种情况下，结果几乎是紧密的。
2009-02-09 math.CO math.PR
Uniform spectral gaps, non-abelian Littlewood-Offord and anti-concentration for random walks
Oren Becker Department of Pure Mathematics；Mathematical Statistics Centre for Mathematical Sciences Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WA, United Kingdom；Emmanuel Breuillard Mathematical Institute Oxford OX1 3LB, United Kingdom
本文研究了随机游走在半单代数群上的反集中问题，通过证明一致谱间隙和非阿贝尔利特伍德-奥弗德不等式，揭示了随机游走的扩张性质。
2025-12-17 math.CO math.GR math.OA
The Reverse Littlewood--Offord problem of Erdős
本文解决了 Erdős 在 Littlewood–Offord 问题中遗留的反向猜想，证明二维单位向量随机符号和落在半径√2内的概率至少为 c/n，并给出高维情形的多项式界。
2024-12-30 math.CO math.PR
On Littlewood-Offord theory for arbitrary distributions
设$X_1,\ldots,X_n$是$\mathbb{R}^d$中独立同分布的随机向量。我们考虑上界$\max_x \mathbb{P}(a_1X_1+\cdots+a_nX_n=x)$的各种限制$X_i$和$a_i$。当$\mathbb{P}(X_i=\pm 1) = \frac {1} {2}$时，这对应于经典的Littlewood-Offord问题。我们证明，在一般情况下，相同分布的随机向量和甚至值的$n$的$(a_i)$的最佳选择是$a_i=1$为$i\leq \frac{n}{2}$和$a_i=-1$为$i > \frac {n} 2$，无论$X_1$的分布。应用这些结果的伯努利随机变量回答了最近的问题福克斯，关和Sauermann。最后，我们提供了清晰的边界条件下的随机向量的总和的浓度概率$\sup_{x}\mathbb{P}(X_i=x)\leq α$，事实证明，最坏的情况下提供的分布在某种意义上尽可能接近均匀分布的算术级数。这项工作的一个重要特点是，不像许多文献上的主题，我们既不使用调和分析的方法，也不使用极值组合。
2020-08-03 math.CO math.PR
Optimal bound for the polynomial Littlewood-Offord problem
Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所（ISTA））
本文展示GPT-6 Pro发现的论证，给出多项式Littlewood-Offord问题的最优界，改进先前结果并解决相关猜想。
2026-10-08 cs.CC math.CO math.PR
Algebraic aspects of the polynomial Littlewood-Offord problem
本文研究了多项式Littlewood-Offord问题，证明了除非多项式接近具有特殊代数结构的多项式，否则Meka-Nguyen-Vu界可被显著改进，并修正了Costello关于多重线性形式的猜想。
2025-05-29 math.CO math.NT math.PR
Resolution of the quadratic Littlewood--Offord problem
本文解决了二次Littlewood--Offord问题，证明若二次多项式稳健依赖至少m个变量，则其取零概率为O(1/√m)，并应用于解决图可诱导性猜想。
2023-12-21 math.CO math.PR
A Littlewood-Offord kind of problem in $\mathbb{Z}_p$ and $Γ$-sequenceability
本文研究素数阶循环群 Z_p 中给定基数子集的 Littlewood-Offord 型问题，给出独立同分布随机变量之和分布的上界，并由此证明在最大度受限且 p>n^2 时任意 n 元子集都具有 Γ-可序列性。
2023-08-08 math.CO math.NT math.PR
Geometric Littlewood-Offord problems via lattice point counting
本文开发了一个通用框架，将几何 Littlewood-Offord 问题归约为格点计数，并结合丢番图几何证明了随机和落入特定集合的概率上界，解决了多个相关猜想。
2025-05-30 math.CO math.NT math.PR
Double-jump phase transition for the reverse Littlewood--Offord problem
针对反向 Littlewood--Offord 问题，本文通过构造特定向量推翻了关于奇数 n 下随机 Rademacher 和概率的猜想，证明了该最小概率在 r=1 处呈现双重跳跃相变，并给出了近似版本的肯定结论。
2025-03-31 math.CO math.PR
Anti-concentration of random variables from zero-free regions
本文给出了随机变量的集中度与其概率母函数的根的分布之间的联系。令$X$是在$\{0,\ldots,n\}$中取值的随机变量，其中$X$具有$\mathbb{P}(X = 0)\mathbb{P}(X = n) > 0$和概率生成函数$f_X$。我们证明了如果$f_X$的所有零$ζ$满足$|\arg(ζ)| \geq δ$和$R^{-1} \leq |ζ| \leq R$，则\[ \operatorname{Var}(X) \geq c R^{-2π/δ}n, \]，其中$c > 0$是一个绝对常数。我们表明，这一结果是尖锐的，高达$R$的指数中的因子$2$。因此，我们能够推导出不一定是独立同分布和的随机变量的Littlewood-Offord型定理。随机变量。
2022-10-07 math.CO math.PR
Optimal Probability Inequalities for Random Walks related to Problems in Extremal Combinatorics
设S_n=X_1+…+ X_n是独立对称随机变量之和，使得|X_{i}| \leq 1.记为W_n=ε_{1}+.+ε_{n}是满足\prob{\eps_i = \pm 1} = 1/2的独立随机变量之和。我们证明了\mathbb{P}{S_{n} \in A} \leq \mathbb{P}{cW_k \in A}，其中A是一个区间的形式[x，\infty）或只是一个单一的点。该不等式是精确的，并明确给出了c和k的最优值。在Rademacher级数的情况下，它改进了Kwapiestan不等式。我们还提供了一个新的和非常短的证明Littlewood-Offord问题，而不使用Sperner定理。最后，给出了奇Lipschitz函数的一个推广.
2012-01-04 math.CO math.PR
The smallest singular value of inhomogeneous square random matrices
本文证明了对于具有独立一致反集中元素的$n\times n$随机矩阵$A$，使得$\mathbb{E} ||A||^2_{HS}\leq K n^2$，$A$的最小奇异值$σ_n(A)$满足$$ P\left( σ_n(A)\leq \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}} \right) \leq C\varepsilon+2e^{-cn},\quad \varepsilon \ge 0. $$。这推广了Rudelson和Vershynin，Rebrova和Tikhomirov的早期结果，去掉了平均值为零和元素在矩阵上同分布的假设，以及Livshyts的最近结果。其中要求基质具有I.I.D.行。我们的模型涵盖了“inclusive”矩阵，允许不同的条目的方差，只要二阶矩的总和是$O(n^2)$。在过去的发展中，i.i.d.的假设。行是必需的，由于缺乏Littlewood-Offord-型不等式的加权和非独立同分布。随机变量。在这里，我们克服了这个问题，通过引入随机最小公分母（RLCD），它允许研究独立的，但不相同分布的变量的加权和的反集中特性。我们在具有格结构的球面上构造了有效网，并证明了格点通常具有大的RLCD。这使我们能够获得强大的反浓度属性之间的距离固定列的$A$和线性跨度的其余列，并证明了主要结果。
2020-10-27 math.CA math.MG math.PR
