Resilience for the Littlewood-Offord Problem
考虑和$X(ξ)=\sum_{i=1}^n a_iξ_i$，其中$a=(a_i)_{i=1}^n$是非零实数序列，$ξ=(ξ_i)_{i=1}^n$是i.i.d.序列。Rademacher随机变量（即$\Pr[ξ_i=1]=\Pr[ξ_i=-1]=1/2$）。经典的Littlewood-Offord问题要求集中概率$\Pr[X=x]$的最佳可能上界。在本文中，我们研究了一个弹性版本的Littlewood-Offord问题：有多少的$ξ_i$是一个对手通常允许改变而不能强制集中在一个特定的值？我们解决这个问题的渐近，并提出了一些有趣的开放问题。
2017-08-02 math.CO math.PR
Inverse Littlewood-Offord problems and The Singularity of Random Symmetric Matrices
令$M_n$用$n$矩阵表示随机对称$n$，其上对角元素是iid Bernoulli随机变量（其以概率1/2取值-1和1）。改进了Costello，Tao和Vu的结果，证明了对于任意正的常数$C$，$M_n$是非奇异的，概率为$1-O(n^{-C})$.证明使用逆Littlewood-Offord结果的二次型，这是它自己的利益。
2012-12-31 math.CO math.PR
A non-uniform Littlewood-Offord inequality
考虑和$S_n=v_i\varepsilon_1+\cdots+v_n\varepsilon_{n}$，其中$(v_i)^{n}_{i=1}$是$\mathbb{R}^{d}$中的非零向量，并且$(\varepsilon_i)^{n}_{i=1}$是独立的Rademacher随机变量（即，$~{\mathbb{P}(\varepsilon_{i}=\pm 1)=1/2}$）。经典的Littlewood-Offord问题要求$~{\sup_{x}\mathbb{P}(S_n = x)}$的最佳可能的上界。在本文中，我们考虑了这个问题的非统一版本。也就是说，我们得到了$\mathbb{P}(S_n = x)$的最佳界限的向量$x\in \mathbb{R}^d$的长度。
2019-10-22 math.CO math.PR
A sharp inverse Littlewood-Offord theorem
设$η_i, i=1,..., n$是iid Bernoulli随机变量。给定$n$数$v_1, ..., v_n$的多集$\bv$，$\bv$的\emph{concentration probability} $¶_1(\bv)$定义为$¶_1(\bv) := \sup_{x} ¶(v_1 η_1+ ... v_n η_n=x)$。Littlewood-Offord和Erd \H os在20世纪40年代的一个经典结果断言，如果$v_i $不为零，那么这个概率至多为$O(n^{-1/2})$。此后，许多研究者通过对$\bv$进行各种限制，得到了更好的界。本文给出了所有具有大集中概率的多重集$\bv$的渐近最优刻画。这使我们能够以简单的方式加强或恢复先前的几个结果。
2009-10-20 math.CO
Erdos-Littlewood-Offord problem with arbitrary probabilities
经典的Erdens-Littlewood-Offord问题涉及随机变量$X = a_1 ξ_1 + \dots + a_n ξ_n$，其中$a_i \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$是固定的，而$ξ_i \sim \text{Ber}(1/2)$是独立的。Erdens-Littlewood-Offord定理指出，当$a_i$都是$1$时，最大可能的集中概率$\max_{x \in \mathbb{R}} \Pr(X = x)$是$\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor} / 2^n$。正如Fox、Kwan和Sauermann所提出的，我们研究了用$ξ_i \sim \text{Ber}(p)$代替的一般情况。使用纯粹的组合技术，我们表明，当$a_i \in \{-1, 1\}$为每个$i$的确切的最大浓度概率。然后，使用傅立叶分析技术，我们调查的最佳比例的$1$的$-1$的。令人惊讶的是，我们发现，在某些情况下，$1$和$-1$的数量可以远远不相等。
2019-12-31 math.CO math.PR
Inverse Littlewood-Offord theorems and the condition number of random discrete matrices
考虑随机和$η_1 v_1 + ... + η_n v_n$，其中$η_1,...,η_n$是i.i.d.。随机符号和$v_1,...,v_n$是整数。Littlewood-Offord问题要求在$v_1,...,v_n$的各种假设下最大化浓度概率，例如$¶(η_1 v_1 + ... + η_n v_n = 0)$。在本文中，我们开发了一个\emph{inverse} Littlewood-Offord定理（有点精神的Freiman的逆和集定理），它开始的假设，浓度概率是大的，并得出结论，几乎所有的$v_1,...,v_n$有效地包含在一个等差数列。作为应用，我们给出了随机Bernoulli矩阵最小奇异值分布的一些新的界，进而给出了其条件数的上尾估计。
2007-01-28 math.CO math.PR
The Littlewood-Offord Problem for Markov Chains
著名的Littlewood-Offord问题要求随机变量$ε_1 v_1 + \cdots + ε_n v_n$位于欧氏单位球中的概率的上界，其中$ε_1, \ldots, ε_n \in \{-1, 1\}$是独立的Rademacher随机变量，$v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^d$是至少单位长度的固定向量.我们将许多已知的结果推广到$ε_i$是由马尔可夫链得到的情况，包括一般边界首先显示的Erdens在标量的情况下和Kleitman在向量的情况下，也限制下，$v_i$是不同的整数由于Sárközy和Szemeredi。在所有扩展中，上界包括取决于频谱间隙的额外因子。我们还构造了一个伪随机发生器的Littlewood-Offord问题使用类似的技术。
2019-04-30 cs.CC math.CO math.PR
Optimal Inverse Littlewood-Offord theorems
设eta_i是iid Bernoulli随机变量，取值为-1，1，概率为1/2。给定n个整数v_1，...，v_n，我们将集中概率定义为rho（V）：= sup_{x} Pr（v_1 eta_1+.+ v_n eta_n=x）。Littlewood-Offord和Erdos在20世纪40年代的一个经典结果断言，如果v_i不为零，则rho（V）是O（n^{-1/2}）。从那时起，许多研究人员通过假设V的各种额外限制获得了改进的边界。大约5年前，受随机矩阵问题的启发，Tao和Vu引入了逆Littlewood-Offord问题。在逆问题中，人们希望给出集合V的特征，假设rho（V）相对较大。在本文中，我们介绍了一种新的方法来攻击反问题。作为一个应用，我们加强了以前的结果陶和武，获得V的最佳表征。这立即意味着几个经典定理，如Sarkozy-Szemeredi和Halasz。该方法也适用于连续设置，并导致一个简单的证明β-网定理的陶和Vu，这在他们最近的研究中发挥了关键作用的随机矩阵。当V是阿贝尔无挠群的子集，eta_i是满足某些弱条件的自变量时，所有结果都推广到了一般情况.
2011-01-16 math.CO
On the counting problem in inverse Littlewood--Offord theory
设$ε_1, \dotsc, ε_n$为i.i.d.。Rademacher随机变量取值$\pm 1$，每个概率为$1/2$。给定一个整数向量$\boldsymbol{a} = (a_1, \dotsc, a_n)$，它的集中概率是数量$ρ(\boldsymbol{a}):=\sup_{x\in \mathbb{Z}}\Pr(ε_1 a_1+\dots+ε_n a_n = x)$。Littlewood-Offord问题要求在$\boldsymbol{a}$上的各种假设下对$ρ(\boldsymbol{a})$进行限制，而由Tao和Vu提出的逆Littlewood-Offord问题要求对所有$ρ(\boldsymbol{a})$大的向量$\boldsymbol{a}$进行表征。在本文中，我们研究了相关的计数问题：有多少整数向量$\boldsymbol{a}$属于一个指定的集合有大$ρ(\boldsymbol{a})$？我们研究的动机是，在典型的应用中，逆Littlewood-Offord定理只用于获得这样的计数估计。使用一个更直接的方法，我们获得了显着更好的界限，这个问题比那些使用逆Littlewood-奥福德定理的陶和武和阮和武。此外，我们开发了一个框架，利用我们的计数结果推导出的概率上界的随机离散矩阵的奇异性。为了说明这些方法，我们提出了第一个“指数型”（即，本文讨论了以下两种模型…
2019-04-23 math.CO math.PR
An algebraic inverse theorem for the quadratic Littlewood-Offord problem, and an application to Ramsey graphs
考虑独立伯努利随机变量的二次多项式$f\left(ξ_{1},\dots,ξ_{n}\right)$。关于任何单个值的$f$浓度，可以说些什么？这概括了经典的Littlewood-奥福德问题，它要求同样的问题线性多项式。在线性情况下，已知$f$的点概率可以大到大约$1/\sqrt{n}$，但仍然很少理解的是表征$f$必须具有的代数和算术特征的“逆”问题，如果它具有与此界限相当的点概率。在本文中，我们证明了一些结果的代数味，表明如果$f$的点概率远远大于$1/n$，那么它必须接近一个二次型低秩。我们也给出了一个应用拉姆齐图，渐近回答一个问题的关，Sudakov和Tran。
2020-08-10 math.CO math.PR
Uniform spectral gaps, non-abelian Littlewood-Offord and anti-concentration for random walks
Oren Becker Department of Pure Mathematics；Mathematical Statistics Centre for Mathematical Sciences Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WA, United Kingdom；Emmanuel Breuillard Mathematical Institute Oxford OX1 3LB, United Kingdom
本文研究了随机游走在半单代数群上的反集中问题，通过证明一致谱间隙和非阿贝尔利特伍德-奥弗德不等式，揭示了随机游走的扩张性质。
2025-12-17 math.CO math.GR math.OA
Bilinear and Quadratic Variants on the Littlewood-Offord Problem
如果f（x_1，x_2，...，x_n）是依赖于大量独立伯努利随机变量的多项式，关于f在任何单个值上的最大集中度可以说什么？对于线性多项式，这简化为经典的Littlewood-Offord问题的一个版本：给定非零常数a_1到a_n，形式为+/- a_1 +/- a_2 +/-.的和的最大数目是多少。+/- a_n取任何单个值？这里我们考虑f是双线性型或二次型的情况。对于双线性情形，我们证明了浓度显著大于n^{-1}的唯一形式是那些在某种意义上非常接近简并的形式。对于二次情形，我们证明了没有一个具有许多非零系数的形式具有显著大于n^{-1/2}的浓度。在这两种情况下，结果几乎是紧密的。
2009-02-09 math.CO math.PR
The Reverse Littlewood--Offord problem of Erdős
本文解决了 Erdős 在 Littlewood–Offord 问题中遗留的反向猜想，证明二维单位向量随机符号和落在半径√2内的概率至少为 c/n，并给出高维情形的多项式界。
2024-12-30 math.CO math.PR
On Littlewood-Offord theory for arbitrary distributions
设$X_1,\ldots,X_n$是$\mathbb{R}^d$中独立同分布的随机向量。我们考虑上界$\max_x \mathbb{P}(a_1X_1+\cdots+a_nX_n=x)$的各种限制$X_i$和$a_i$。当$\mathbb{P}(X_i=\pm 1) = \frac {1} {2}$时，这对应于经典的Littlewood-Offord问题。我们证明，在一般情况下，相同分布的随机向量和甚至值的$n$的$(a_i)$的最佳选择是$a_i=1$为$i\leq \frac{n}{2}$和$a_i=-1$为$i > \frac {n} 2$，无论$X_1$的分布。应用这些结果的伯努利随机变量回答了最近的问题福克斯，关和Sauermann。最后，我们提供了清晰的边界条件下的随机向量的总和的浓度概率$\sup_{x}\mathbb{P}(X_i=x)\leq α$，事实证明，最坏的情况下提供的分布在某种意义上尽可能接近均匀分布的算术级数。这项工作的一个重要特点是，不像许多文献上的主题，我们既不使用调和分析的方法，也不使用极值组合。
2020-08-03 math.CO math.PR
Optimal bound for the polynomial Littlewood-Offord problem
Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所（ISTA））
本文展示GPT-6 Pro发现的论证，给出多项式Littlewood-Offord问题的最优界，改进先前结果并解决相关猜想。
2026-10-08 cs.CC math.CO math.PR
Algebraic aspects of the polynomial Littlewood-Offord problem
本文研究了多项式Littlewood-Offord问题，证明了除非多项式接近具有特殊代数结构的多项式，否则Meka-Nguyen-Vu界可被显著改进，并修正了Costello关于多重线性形式的猜想。
2025-05-29 math.CO math.NT math.PR
Resolution of the quadratic Littlewood--Offord problem
本文解决了二次Littlewood--Offord问题，证明若二次多项式稳健依赖至少m个变量，则其取零概率为O(1/√m)，并应用于解决图可诱导性猜想。
2023-12-21 math.CO math.PR
A Littlewood-Offord kind of problem in $\mathbb{Z}_p$ and $Γ$-sequenceability
本文研究素数阶循环群 Z_p 中给定基数子集的 Littlewood-Offord 型问题，给出独立同分布随机变量之和分布的上界，并由此证明在最大度受限且 p>n^2 时任意 n 元子集都具有 Γ-可序列性。
2023-08-08 math.CO math.NT math.PR
Geometric Littlewood-Offord problems via lattice point counting
本文开发了一个通用框架，将几何 Littlewood-Offord 问题归约为格点计数，并结合丢番图几何证明了随机和落入特定集合的概率上界，解决了多个相关猜想。
2025-05-30 math.CO math.NT math.PR
Reverse Littlewood--Offord problems with parity conditions
University of Cambridge（剑桥大学）；The London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）
该研究探讨带奇偶性条件的反向Littlewood--Offord问题，证明高维下随机带符号和落在原点附近的概率下确界对n的奇偶性敏感，并给出二维奇数n时概率指数衰减的构造。
2025-10-06 math.CO
Double-jump phase transition for the reverse Littlewood--Offord problem
针对反向 Littlewood--Offord 问题，本文通过构造特定向量推翻了关于奇数 n 下随机 Rademacher 和概率的猜想，证明了该最小概率在 r=1 处呈现双重跳跃相变，并给出了近似版本的肯定结论。
2025-03-31 math.CO math.PR
Distinct permutation dot products
该研究证明了不同排列下点积的值具有Ω(n³)的多样性，并引入了一个支持性Halász反集中定理的版本。
2026-01-18 math.CO
Small ball probability, Inverse theorems, and applications
设$ξ$是均值为零、方差为1的实随机变量，$A={a_1,...,a_n}$是$\R^d$中的多重集.随机和$$S_A := a_1 ξ_1 + ... + a_n ξ_n $$（其中$ξ_i$是$ξ$的iid拷贝）在概率论及其应用中具有重要意义。我们讨论了小球问题，其目的是估计的最大概率，$S_A$属于一个球与给定的小半径，以下的发现Littlewood-Offord和鄂尔多斯近70年前。我们将主要集中在最近的发展，这些集$A$的结构特征的小球概率是相对较大的。这些结果的应用包括在不同领域的许多开放问题的完整解决方案或重大进展。
2012-12-31 math.CO math.PR
Optimal Probability Inequalities for Random Walks related to Problems in Extremal Combinatorics
设S_n=X_1+…+ X_n是独立对称随机变量之和，使得|X_{i}| \leq 1.记为W_n=ε_{1}+.+ε_{n}是满足\prob{\eps_i = \pm 1} = 1/2的独立随机变量之和。我们证明了\mathbb{P}{S_{n} \in A} \leq \mathbb{P}{cW_k \in A}，其中A是一个区间的形式[x，\infty）或只是一个单一的点。该不等式是精确的，并明确给出了c和k的最优值。在Rademacher级数的情况下，它改进了Kwapiestan不等式。我们还提供了一个新的和非常短的证明Littlewood-Offord问题，而不使用Sperner定理。最后，给出了奇Lipschitz函数的一个推广.
2012-01-04 math.CO math.PR
An asymptotically optimal bound for the concentration function of a sum of independent integer random variables
Vilnius University（维尔纽斯大学）
本文证明了独立整数随机变量和的浓度函数的渐近最优界，并推导了在可分希尔伯特空间中在一点处的渐近最优不等式。
2026-03-11 math.CO math.PR
