Bailey-type factorizations for Horn functions
本文将Bailey恒等式推广到其它经典的超几何函数。Bailey恒等式指出，在适当选择参数的情况下，Appell的$F_4$分解为两个${}_2F_1$的乘积。我们将展示如何贝利型因子分解可以找到霍恩的超几何函数$H_1, H_4$和$H_5$。
2020-10-30 math.AG math.CA
Uniform asymptotic expansions for Laguerre polynomials and related confluent hypergeometric functions
对于Laguerre多项式$L_{n}^{(α)}(x)$，以及互补的汇合型超几何函数，得到了包含指数函数和Airy函数的一致渐近展开式.这些展开式对$n$大和$α$小或大都有效，对$x$的无界实值和复值都一致有效。与以前的扩展相比，新的扩展扩展了$L_n^{(α)}(x)$的可计算性范围，特别是对于$α$的较高项和较大值。数值证据的准确性为实值和复值的$x$。
2017-05-02 math.CA
Uniform asymptotics of a Gauss hypergeometric function with two large parameters, V
当参数$ε>1$和常数$a$，$b$，$c$为有限时，考虑高斯超几何函数\[{}_2F_1(a+ελ,b;c+λ;x),\qquad 0<x<1\]在$εx=1$邻域内的一致渐近展开式为$λ\to+\infty$.使用标准的整表示表明，该问题归结为考虑一个简单的鞍点附近的端点的积分路径。根据Olver的书[{ \it Asymptotics and Special Functions }，p.~ 346]。这第二种形式比Bleistein形式有几个优点。
2021-04-25 math.CA
Hahn polynomials for hypergeometric distribution
在$\RR^d$中定义了多多元超几何分布的正交多项式。通过对含负整数参数的经典Hahn多项式的详细分析，研究了它们的结构.探讨了Hahn多项式的因式分解，并利用因式分解解释了正交多项式的指标集与多面体域上格集之间的关系。在多元的情况下，这些建设导致非平凡家庭的超几何多项式消失的格多面体。讨论了正交多项式的生成函数和双谱性质。
2020-12-22 math.CA
Differential-Difference Properties of Hypergeometric Series
考虑了六类关于变量$x$和任意参数的广义超几何级数.它们中的每一个都由整数$n$索引。$n$中的线性递归关系将这些函数与它们通过变量$x$的乘积联系起来。我们给出这些方程的显式分解作为一阶递归算子的乘积。还导出了关于$x$的导数的相关递归式。这些公式推广了经典正交多项式的一些性质。
2022-10-24 math.CA
Asymptotics of a Gauss hypergeometric function with large parameters, IV: A uniform expansion
当参数$ε>1$和常数$a$、$c$为有限时，考虑高斯超几何函数\[F(a+ελ,m;c+λ;x),\qquad λ\to+\infty\]对$x<1$和正整数$m$的一致渐近展开式.在$m=1$中，我们采用了最速下降法的标准程序，并对鞍点位于简单极点附近的情况进行了修正。它表明，它是可能的，以给出一个封闭形式的表达式的系数在由此产生的均匀展开。当$m\geq 2$通过递归关系得到时的展开式。数值结果表明所产生的扩展的准确性。
2018-10-14 math.CA
Laguerre-Freud Equations for three families of hypergeometrical discrete orthogonal polynomials
本文研究了超几何型离散正交多项式矩矩阵的Cholesky分解。当权的一阶矩由${}_1F_2$、${}_2F_2$和${}_3F_2$广义超几何函数给出时，我们导出了Laguerre-Freud方程.
2022-10-16 math-ph math.CA math.MP
3_F_2(1) hypergeometric function and quadratic R-matrix algebra
本文构造了由带谱参数的反射方程给出的二次R-矩阵代数的一类表示，并给出了它们的一般差分算子。这些算子在3_F_2（1）超几何函数及其极限情形和经典正交多项式上充当参数移位算子。将讨论与因子分解方法的关系。
1994-10-20 hep-th math.CA math.QA
Asymptotic expansions of Kummer hypergeometric functions for large values of the parameters
对于$z$和$a$和$b$的大正值，我们导出了库默尔函数$M(a,b,z)$和$U(a,b+1,z)$的渐近展开式.对于这两个函数，我们考虑$b/a\le 1$和$b/a\ge 1$，特别注意$a\sim b$的情况。我们使用统一的方法来处理这些参数的所有情况。
2021-02-23 math.CA
A new approach to hypergeometric transformation formulas
本文给出了一种新的方法，统一而简便地证明了高斯超几何函数的各种变换公式。关键是超几何微分方程的雅可比标准形。研究了$q$ -超几何函数的类比。
2019-09-17 math.CA math.NT
Bidiagonal Factorization of Banded Recursion Matrices for Mixed-Type Multiple Orthogonal Polynomials
Universidade de Coimbra（科英布拉大学）；Universidade de Aveiro（阿威罗大学）；Universidad Complutense de Madrid（马德里康普顿斯大学）
本文通过Christoffel变换构造带状矩阵的双对角分解，用于研究振荡带状矩阵和多正交多项式的谱Favard定理。
2026-03-22 math.CA
Hypergeometric Solutions to the q-Painlevé Equation of Type $(A_1+A_1')^{(1)}$
构造了一类具有超几何函数元素的行列式形式的$(A_1+A_1')^{(1)}$型$q$ -潘勒韦方程（Painlevé II方程的一个$q$ -差分模拟）的经典解.讨论了$q$ -潘勒韦方程对Painlevé II方程的连续极限及其超几何解.这些超几何解的Airy函数的连续极限是通过一个统一的渐近展开的积分表示。
2006-07-28 math.CA nlin.SI
Asymptotics of a Gauss hypergeometric function related to moments of symmetric square L-functions I
本文证明了与 Maass 形式对称平方 L-函数矩相关的高斯超几何函数特殊情形的渐近公式，并给出多变量一致性结果，为证明相关 L-函数的混合次凸性界奠定基础。
2024-08-10 math.CA math.NT
Hypergeometric Mixed-Type Multiple Orthogonal Polynomials
Complutense University of Madrid（马德里康普顿斯大学）
本文在正实轴上为任意秩一权重矩阵构造了类雅可比与类拉盖尔两类超几何混合型多重正交形式，显式给出其分量、递推与分解，并通过合流极限联系相关系统。
2026-09-25 math-ph math.CA math.MP
Hypergeometric Multiple Orthogonal Polynomials and Random Walks
Lima和Loureiro最近发现的阶跃线上的超几何多重正交多项式是随机游动多项式。证明了相应的Jacobi矩阵及其转置可以归一化为两个相互对偶的随机阵，它们是非负矩阵，描述了更高的递推关系。利用阶跃线上的Christoffel-Darboux公式和非齐次递推关系的Poincaré理论，证明了两个随机阵在大$n$极限下通过转置相关.这些随机游动超越了生与死，因为它们描述了一个链，其中允许转移到前两个状态，或在对偶中转移到后两个状态.给出了这些新的马尔可夫链相应的Karlin-McGregor表示公式.给出了马尔可夫链是常返链或瞬态链时超几何参数的区域。本文给出了相应的第Ⅰ型和第Ⅱ型Markov矩阵的纯生因子和纯死因子的随机分解，找到并研究了12个一致Jacobi矩阵和相应的Toeplitz型Jacobi矩阵的随机游动，以及它们的随机或半随机阵（有汇和源），它们描述了出生和死亡之后的马尔可夫链.这些均匀随机的情况下，这是一个经常性的随机游动，是唯一的超几何多重随机游动具有一致的随机因子分解。给出了相应的权值、Jacobi和Markov转移阵以及II型多重正交多项式序列。给出了连接它们之间的随机一致元组和它们之间的半随机一致元组的Christoffel变换链。
2021-07-17 math-ph math.CA math.MP
Pearson Equations for Discrete Orthogonal Polynomials: I. Generalized Hypergeometric Functions and Toda Equations
将矩矩阵的Cholesky分解应用于齐次格上的离散正交多项式。特别地，研究了由离散皮尔逊方程构造的半经典离散正交多项式。引入Laguerre-Freud结构的半无限矩阵，该半无限矩阵对正交多项式集合的自变量进行$\pm 1$移位建模。在半经典的情况下，它被证明是带状的拉盖尔-弗洛伊德矩阵。从半经典权矩是广义超几何函数的对数导数这一众所周知的事实出发，证明了这些超几何函数的邻接关系如何转化为相应矩矩阵的对称性.结果表明，三维Nijhoff-Capel离散Toda格描述了正交多项式的平方范数的连续位移.讨论了这类半经典离散正交多项式的连续Toda，导出了相容性方程。它还表明，Kadomtesev-Petvishvilii方程连接到一个适当的变形半经典离散重量，但在这种情况下，变形不满足皮尔逊方程。
2021-07-14 math-ph math.CA math.MP
Integral representation and sharp asymptotic results for some Heckman-Opdam hypergeometric functions of type BC
BC型Heckman-Opdam超几何函数是经典Jacobi函数的单变量推广，它包含了实数、复数或四元数上的非紧Grassmann流形的球函数.对于这样的超几何函数，存在各种已知的极限转变。本文利用Harish-Chandra积分表示的一种显式形式和一种内插变量，得到了三类连续的BC型超几何函数的极限结果，它们分别具有显式的、尖锐的和一致误差界.第一个极限实现了固定秩的无限维格拉斯曼函数的球面函数的近似;这里A型的超几何函数作为极限出现。第二个极限是对Dunkl型Bessel函数的压缩极限。
2014-02-24 math-ph math.CA math.MP
Densities of short uniform random walks in higher dimensions
我们研究了任意维的短均匀随机游动的算术性质，重点是在最多五步的情况下对矩函数和概率密度的显式（超几何）评价。有些令人惊讶的是，我们能够提供完整的扩展到任意尺寸的大多数已知的中心结果在二维的情况下。
2015-08-19 math.CA math.NT
Numerical algorithms for the real zeros of hypergeometric functions
本文提出基于全局不动点迭代和差分微分方程组合的超几何函数实零点数值算法，通过分析不同DDE组的收敛性，实现了均匀高效的零点计算。
2004-01-12 cs.NA math.CA math.NA
Laguerre-Freud Equations for the Generalized Charlier, Generalized Meixner and Gauss Hypergeometric Orthogonal Polynomials
本文通过矩矩阵 Cholesky 分解研究三类离散正交多项式的 Laguerre-Freud 关系，并推导、比较相关非线性递推方程及其与 Painlevé 方程的联系。
2023-07-13 math-ph math.CA math.MP
Densities of short uniform random walks
研究了平面上均匀随机游动的密度。一个特别的重点是短步行的情况下，三个或四个步骤和不完全的那些五个步骤。作为主要结果之一，我们得到了四阶密度的超几何表示，它补充了经典的三阶椭圆表示。期望超过五个步骤的类似结果似乎是不现实的。新的结果也提出了关于均匀随机游动的时刻，特别是它们的衍生物。与马勒措施的关系进行了讨论。
2011-08-11 math.CA math.NT
From hyperbolic to complex Euler integrals
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）；Laboratory of Theoretical Physics, JINR（约飞联合核子研究所理论物理实验室）；Yerevan Physics Institute（埃里安物理研究所）；National Research University Higher School of Economics（国立研究大学高等经济大学）
研究双曲超几何积分退化为复超几何函数的过程，通过积分核一致有界性证明单变量双曲beta积分和锥函数退化为复平面上的二维积分。
2026-06-25 math-ph math.CA math.MP
Another Type of Forward and Backward Shift Relations for Orthogonal Polynomials in the Askey Scheme
本研究针对Askey方案中超几何正交多项式的移位关系，基于不同于传统的算子因式分解方式，推导出仅作用于参数的另一类前向与后向移位关系，丰富了正交多项式的性质研究。
2024-06-06 hep-th math-ph math.CA
Bessel Multiple Orthogonal Polynomials of Mixed Type
Complutense University of Madrid（马德里康普顿斯大学）
本文针对单位圆上的$q\times p$矩阵权构造混合型类贝塞尔多重正交多项式，推导其公式、正交性、表示式与递推关系，明确$q=1$时的分解特性。
2026-09-28 math-ph math.CA math.MP
Semi-classical Orthogonal Polynomial Systems on Non-uniform Lattices, Deformations of the Askey Table and Analogs of Isomonodromy
一个$\mathbb{D}$ -半经典权是一个满足一个特殊的线性，一阶齐次方程在一个分差算子$\mathbb{D}$。已知多项式系统，关于该权重正交，以及相关联的函数满足在被称为谱方程的分差算子中的线性一阶齐次矩阵方程。附在谱方程上的是一个结构，它构成了许多关系，例如那些由与三项递归关系的相容性引起的关系。在这里，这种结构是阐明在一般情况下的二次格。$\mathbb{D}$ -半经典正交多项式系统的最简单的例子正是超几何和基本超几何正交多项式的Askey表中的那些。然而，在$\mathbb{D}$ -半经典类中，定义Askey表权重的泛化是完全自然的，其涉及相对于新的变形变量的变形。我们完全构造了由这种变形产生的类似结构及其与理论其他要素的关系。作为一个例子，我们处理了由$q$ -二次差分算子Askey-Wilson算子定义的Askey-Wilson正交多项式系统的第一非平凡变形，并导出了描述其在变形变量中演化的耦合一阶差分方程.我们证明了该系统是$ E^{(1)}_7 $ $q$ -Painlevé系统的经典解序列的一员。
2012-04-11 math-ph math.CA math.MP
Uniform Asymptotic Expansions for the Discrete Chebyshev Polynomials
离散切比雪夫多项式$t_n(x,N)$关于分布函数正交，分布函数是在点$x=0,1,..., N-1$处跳跃一个单位的阶跃函数，N是固定的正整数。利用二重积分表示，得到了$t_{n}(aN,N+1)$在二重标度极限下的两个渐近展开式，即$N\rightarrow\infty$和$n/N\rightarrow b$，其中$b\in(0,1)$和$a\in(-\infty,\infty)$ .一个扩展涉及合流超几何函数，并保持一致的$a\in[0,1/2]$，另一个涉及伽玛函数，并保持一致的$a\in(-\infty, 0)$。这两个扩展的有效性区间都可以稍微扩展到包括原点的邻域。$a\geq1/2$的渐近展开可以通过$t_{n}(aN,N+1)$关于$a=1/2$的对称关系获得。还给出了$t_{n}(x,N+1)$的小零点和大零点的渐近公式。
2011-10-13 math.CA math.CV
Series solutions of linear ODEs by Newton-Raphson method on quotient $D$-modules
我们开发了一种$D-$模块方法，通过对不同的微分算子进行长除法来求解几类重要的微分方程的各种解。这种长除法的剩余映射的零处理的类似Hensel引理最近建立的赋值论。特别地，这解释了Heun方程的某些经典已知的特殊函数级数解与通常的Frobenius级数解的共同起源。此外，这些剩余映射也产生本征值问题，导致某些广义超几何算子的非平凡分解。
2021-11-17 math-ph math.CA math.MP
