Site Percolation on a Disordered Triangulation of the Square Lattice
在本文中，我们考虑独立的网站渗透在三角剖分的$\mathbb{R}^2$通过添加$\sqrt{2}$ -长对角线通常的图$\mathbb{Z}^2$。我们猜想对任何这样的图都有$p_c=\frac{1}{2}$，并且对几乎所有这样的图都证明了它.
2017-04-17 math.PR
Strict inequality for bond percolation on a dilute lattice with columnar disorder
我们考虑从通常的$\mathbb{Z}^3$格通过以概率$1-ρ$独立地移除其每一列而得到的稀格。在剩余的稀晶格独立伯努利键渗流参数$p$进行。设$ρ\mapsto p_c(ρ)$为划分亚临界和超临界相的临界曲线。我们研究了这条曲线在断开阈值$ρ_c = p_c^{\text{site}}(\mathbb{Z}^2)$附近的行为，并证明了在$ρ$上，它始终严格低于$1/2$（正方形晶格$\mathbb{Z}^2)$上键渗流的临界点）。
2020-04-30 math.PR
Limit of the Wulff Crystal when approaching criticality for site percolation on the triangular lattice
近十年来，人们对三角晶格上的位渗流的认识有了很大的进展。Smirnov证明了临界渗流的共形不变性，从而为其标度极限的构造铺平了道路。最近，Garban，Pete和Schramm也建立了近临界渗流的标度极限。这一非常有限的贡献的目的是解释如何这些结果意味着收敛，因为p趋于p_c，武尔夫晶体的欧几里德磁盘。证明的主要成分是由这三位数学家证明的近临界渗流标度极限的旋转不变性。
2013-05-26 math.PR
Singularity of Full Scaling Limits of Planar Nearcritical Percolation
我们考虑Schramm和Smirnov提出的四交叉拓扑中平面近临界渗流的满标度极限。我们证明了两个不同参数的近临界标度极限是奇异的。这些结果适用于一般晶格上的渗流模型，包括正方形晶格上的键渗流和三角形晶格上的位渗流。
2014-07-16 math.PR
Covering monotonicity of the limit shapes of first passage percolation on crystal lattices
本文研究了首次通过渗流（FPP）模型：给立方格子中的每个边分配一个随机的通过时间，并考虑了渗流区域$B(t)$的行为，该区域由在一个时间$t > 0$内可以从原点到达的顶点组成. Cox和Durrett证明了渗流区域的形状定理，称归一化区域$B(t)/t$收敛于某个极限形状$\mathcal{B}$。本文介绍了定义在晶格上的一般FPP模型，并证明了覆盖映射下的极限形状的单调性，从而对立方FPP模型的极限形状提供了深入的认识。
2021-08-31 math.PR
Uniqueness of the critical probability for percolation in the two dimensional Sierpinski carpet lattice
我们证明了二维Sierpinski地毯晶格的临界概率是唯一确定的。过渡是尖锐的。这将Kumagai的结果推广到原始的Sierpinski地毯格。
2006-10-20 math.PR
Long-range percolation on the hierarchical lattice
我们研究长程渗流序$N$，其中任何边的长度$k$是目前的概率$p_k=1-\exp(-β^{-k} α)$，独立于所有其他边缘的等级格。对于固定的$β$，我们证明了临界值$α_c(β)$是非平凡的当且仅当$N < β< N^2$。此外，我们证明了无限组件和连续性的渗流概率和$α_c(β)$作为$β$的函数的唯一性。这意味着该模型的相图很好理解。
2010-04-08 math.PR
A simple proof of exponential decay in the two dimensional percolation model
Kesten证明了二维渗流模型在亚临界相的渗流概率呈指数衰减。这一结果暗示了他的著名计算：$p_c=0.5$分别适用于正方形晶格中的键渗流和三角形晶格中的位渗流。本文给出了Kesten定理的一个简单证明。
2008-12-25 math.PR
Conformal invariance of the exploration path in 2-d critical bond percolation in the square lattice
本文证明了正方形格点上临界键渗流探索过程收敛于SLE $_{6}$的迹。这是数学物理和概率论中的一个重要猜想。在Smirnov的开创性工作中，通过证明Cardy公式，建立了六方晶格上临界点渗流的情况。我们的证明使用了一系列的变换和条件来构造一对路径：$+\partial$ CBP和$-\partial$ CBP。在六方格子上的网站渗流的情况下的收敛性，使我们能够获得一定的估计上的缩放限制的$+\partial$ CBP和$-\partial$ CBP。通过考虑一个路径，这是级联的$+\partial$ CBP和$-\partial$ CBP在交替的方式，我们可以证明的情况下，在正方形晶格上的键渗流的收敛性。
2013-01-10 math.PR
Pinning of interfaces in a random elastic medium and logarithmic lattice embeddings in percolation
对于具有随机障碍物的弹性介质中的驱动界面模型，我们证明了在非零驱动力下存在一个定常正上解。这表明，尽管存在线性（力=速度）微观动力学关系，但通过界面与障碍物的相互作用，出现了与速率无关的滞后。我们还证明了一个渗流结果，即有可能嵌入的图形中的一个唯一的几何增长函数的下一个最近的邻居网站渗流集群在一个非平凡的渗流阈值。
2012-01-23 math.AP math.PR
Bootstrap percolation on the product of the two-dimensional lattice with a Hamming square
图上的自举渗透是一个确定性的过程，它通过邻接至少有$θ$占据的邻居的点来迭代地扩大一组占据的站点。初始占用集是随机的，由具有低密度$p$的均匀积测度给出。我们主要关注的是产品图$\mathbb{Z}^2\times K_n^2$上的这个过程，其中$K_n$是一个完全图。我们调查如何$p$规模与$n$，使一个典型的网站最终被占领。在临界标度下，偶$θ$的动力学表现出尖锐的相变，而奇$θ$产生一个渐进的渗流转变。我们还建立了一个逐步过渡的自举渗流$\mathbb{Z}^2\times K_n$。主要工具是$\mathbb{Z}^2$上的非均质自举渗流。
2018-07-26 math.PR
Is critical 2D percolation universal?
本文的目的是探讨可能的方式扩展斯米尔诺夫的证明卡迪公式的临界网站渗流的三角形晶格的其他情况下（如债券渗流的正方形晶格），我们解决的主要问题是，选择的晶格嵌入到平面，从而产生共形不变性的标度限制。尽管我们无法给出一个完整的证明，但我们相信这里提出的想法是正确的。
2007-08-29 math.PR
Long-range contact process and percolation on a random lattice
本文研究随机格上长程有向渗流与接触过程的相变，通过引入由分布N决定的顶点作用范围，证明了两类模型相变存在性依赖于分布N的条件。
2022-07-20 math.PR
Critical percolation on mesoscopic triangulations
我们扩展Smirnov的证明的存在性和共形不变性的缩放限制的临界站点渗流的三角形晶格的特定序列的周期图具有更任意的大规模结构，通过拼凑三角形区域的三角形晶格。虽然没有正式地说一个标度极限声明（因为图不是彼此的重新标度版本），但结果是临界渗流的普遍性的弱形式。
2014-10-02 math.PR
Percolations on random maps I: half-plane models
本文研究了作为均匀平面三角剖分或四边形剖分的局部极限的半平面随机格上的Bernoulli变换。利用这些随机格点的空间马尔可夫性或剥离过程的特征，我们证明了一个令人惊讶的简单的通用公式，用于计算这些图上键和面的临界阈值。我们的技术还允许我们计算非临界和临界指数相关的渗流集群，如体积和周长。
2013-01-22 math.PR
Incipient infinite cluster in 2D Ising percolation
本文研究了在临界外场或其附近的二维正方晶格上高温伊辛模型的渗流问题。构造了Kesten意义下的初始无限簇测度。由此，我们可以得到IIC的一些几何性质。这个结果也适用于三角晶格。
2013-07-27 math.PR
Percolation of three fluids on a honeycomb lattice
在本文中，我们考虑一个推广的渗流：三个相关的流体在蜂窝晶格上的渗流。K. Izyurov和A. Magazinov证明了不同的流体之间的交换对边的固定六边形成为相互独立的晶格步骤趋于0。本文揭示了这个证明的细节（与轻微的简化）的非专业人士。此外，我们还根据数值试验给出了一些相关的结论。
2019-12-04 math.CO math.PR
Duality and Outermost Boundaries in Generalized Percolation Lattices
在本文中，我们考虑一个连通的可平面图$G$和施加的条件，导致$G$具有渗流格状细胞结构。假设$G$的每个胞元是被占用的或空的，我们描述了$G$中星连通分支和正连通分支的最外边界。然后，我们考虑的对偶图的$G$和施加的条件下，对偶也是一个渗流格。最后，利用$G$及其对偶，我们构造了围绕被占据组分的空胞环，并研究了矩形中的左右交叉和键渗流。
2021-08-15 math.CO math.PR
Percolation on dual lattices with k-fold symmetry
Zhang发现了一个简单而优雅的论证，从无限开团簇存在时的唯一性的一般结果中推导出在某些晶格渗流模型（例如，正方形晶格上的p=1/2键渗流）中不存在无限开团簇;这个论证需要一些对称性。在这里，我们表明，一个简单的修改张的论点只需要2倍（或3倍）的对称性，证明了临界概率渗流的对偶平面晶格与这种对称性总和为1。像张的论点，我们的扩展适用于许多情况下，特别是，它使我们能够回答一个问题的Grimmett关于各向异性随机簇模型的三角晶格。
2007-02-06 math.CO math.PR
On the upper limit of percolation threshold in square lattice
研究了正方形格点上的渗流问题。有限簇的外部边界的轮廓的数量已估计使用几何考虑。该估计使得可以更精确地确定逾渗阈值的上限。
2002-04-02 math-ph math.MP math.PR
Revision of upper estimate of percolation threshold on square lattice
本文在簇分解的基础上，得到了二次格点${\Bbb Z}^2$上{ \it选址问题}逾渗阈值的更精确的上界估计.它是通过估计有限簇的外边界${\Bbb Z}^2$上的圈数来实现的
2002-04-16 math-ph math.MP math.PR
Adelic Models of Percolation
California Institute of Technology（加州理工学院）
本研究通过基于幂平均函数的单参数形变、函数域阿代尔乘积公式、数域阿代尔乘积公式三种中间几何结构，建立了格点与分级格点上长程渗流模型和阿代尔渗流模型的关联。
2026-04-18 math-ph math.MP math.NT
Positive association and global connectivity in dependent percolation
研究了正相关对d = 2的正方形晶格中的临界位阈和键渗流的影响。我们提出了两个算法，产生依赖格的最小相关长度和非负的n点相关性的临界行为，然后与独立格进行比较。对于站点渗流，我们用数值方法表明，引入这种特定形式的正相关导致较低的渗流阈值，即，更高的连通性。对于键渗流，观察到相反的情况。然而，在这种情况下，我们表明，对偶晶格也是完全正相关的，表明正相关可以导致增加或减少全球连通性。
2014-02-11 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math.PR
Bond percolation on isoradial graphs: criticality and universality
在等径图上的渗流研究中，我们证明了正则键渗流在可平面图的等径嵌入上的临界性，从而推广了较早的关于均匀和非均匀正方形、三角形和其它格点的著名结果。这是通过星三角形变换实现的，通过在等径图族中传输盒交叉属性。因此，我们得到的普遍性，这些模型在临界点，在这个意义上说，单臂和2 j-交替臂临界指数（因此也是连通性和体积指数）是恒定的家庭这样的渗流过程。所讨论的等径图是那些在嵌入和迹系上满足一定弱条件的图。这类图包括，例如，周期图的等距嵌入，以及从菱形彭罗斯镶嵌导出的图。
2013-03-07 math-ph math.MP math.PR
Explosive appearance of cores and bootstrap percolation on lattices
Universite Claude Bernard Lyon 1, CNRS, Centrale Lyon, INSA Lyon, Université Jean Monnet（里昂第一大学、法国国家科学研究中心、中央里昂学院、里昂国立应用科学学院、让·莫内大学）
研究了二维格子上自激发渗透现象中核心大小的突然跃变及多种感染规则下的击中时间结果。
2026-01-22 math.CO math.PR
Linear Lower Bounds for $δ_c(p)$ for a Class of 2D Self-Destructive Percolation Models
自破坏渗流模型定义如下：考虑参数为$p > p_c$的渗流。移除无限占用群集。最后，给每个顶点（或者，对于键渗透，每个边）一个额外的机会，使其在这个阶段是空的，$δ$被占据。令$δ_c(p)$为$δ$的极小值，需要在最终配置中获得无限占用的簇。这个模型是几年前由van den Berg和Brouwer提出的。他们表明，对于正方形网格（以及其他一些满足特殊技术条件的二维网格）上的站点模型，$δ_c(p)\geq\frac{(p-p_c)}{p}$。特别地，$δ_c(p)$在$p-p_c$中至少是线性的。虽然范登伯格和布劳威尔使用的参数看起来相当严格，我们表明，他们可以适当修改，以获得类似的线性下界$δ_c(p)$（与$p$附近$p_c$）的一个更大的类的二维晶格，包括键渗流的正方形和三角形晶格，和网站渗流的星形晶格（或匹配晶格）的正方形晶格。
2007-11-22 math-ph math.MP math.PR
$SLE_6$ and 2-d critical bond percolation on the square lattice
利用旋转不变性将 Smirnov 边 parafermionic 可观测量分解为两个新边可观测量，结合离散调和分析与共形映射，证明方格上二维临界键渗流探索路径在网格尺寸趋于零时收敛到 $SLE_6$ 的迹。
2026-11-04 math-ph math.CV math.MP
Percolation and lattice animals: exponent relations, and conditions for $θ(p_c)=0$
我们研究的渗流模型在$\mathbb{Z}^d$的方法涉及晶格动物，其中它们的相关特征是表面积体积比。引入了两个临界指数。第一个是与晶格动物的数量的大小的增长率，直到平移，其表面积与体积比略大于$1/p_c -1$。第二个描述了如何不寻常的大集群形式在渗流模型中的参数值略低于$p_c$。指数对上的某些不等式不能满足，而另一些不等式则意味着渗流概率的连续性。第一个指数与一个更传统的性质有关，即相关性大小。在本文中，该方法的中心方面进行了描述，并提出的主要结果的证明。该报告位于math.PR/0402026，为所有断言提供了完整的证明。
2004-02-04 math-ph math.MP math.PR
Spatial moments for high-dimensional critical contact process, oriented percolation and lattice trees
最近，Holmes和Perkins确定了保证一类临界格点模型的标度极限是超布朗运动范围的条件。他们的条件之一是估计空间阶数高于4的矩，他们验证了$d>8$维中展开格树的六阶矩。Chen和Sakai证明了在$d+1>4+1$维中展开临界定向渗流所需的矩估计。我们证明了在尺寸$d>4$，特别是满足Holmes和Perkins的空间矩条件的所有时刻的传播的临界接触过程的估计。我们的证明方法是相对简单的，而且，正如我们所展示的，它也适用于定向渗流和格树。利用Holmes和Perkins的收敛性结果，空间矩的上界实际上可以推广为具有显式常数的渐近公式。
2019-05-26 math-ph math.MP math.PR
Percolation Thresholds in Hyperbolic Lattices
我们使用入侵渗透来计算双曲平面的细分$\{P,Q\}$的键渗透阈值和位点渗透阈值$p_c$（无限簇的存在性）和$p_u$（无限簇的唯一性）的数值，其中$Q$面在每个顶点处相交，并且每个面都是一个$P$ -gon。我们的值精确到小数点后六位或七位，使我们能够探索它们对$P$和$Q$的函数依赖性，并数值计算临界指数。我们还证明了严格的上限和下限为$p_c$和$p_u$，可以用来找到作为$P$和$Q$的函数的两个阈值的缩放。
2017-10-10 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math.PR
Randomized algorithms for statistical image analysis and site percolation on square lattices
我们提出了一种新的概率噪声图像中的目标检测方法。该方法使用从渗流和随机图论的结果。我们提出了一种算法，可以在存在随机噪声的情况下检测未知形状的物体。该算法具有线性复杂度和指数精度，适用于实时系统。我们证明我们的程序的一致性和算法复杂性的结果。
2011-02-24 math.PR math.ST stat.ME
The high temperature Ising model on the triangular lattice is a critical percolation model
利用具有$q=2$和开边密度$p=1-e^{-β}$的Fortuin-Kasteleyn（FK）随机团簇模型，通过对每个顶点赋予自旋+1或-1，使得（1）同一FK团簇中的所有顶点得到相同的自旋，（2）+1和-1具有相等的概率，可以得到逆温度$β$和零外场下的伊辛模型.我们通过将自旋+1的概率分配为$r$，将自旋-1的概率分配为$1-r$，将自旋-1的概率分配为$r \in [0,1]$，同时保持条件（1），来推广上述过程。对于固定的$β$，这生成具有参数$r$的相关（自旋）渗流模型。我们发现，在三角晶格上，对于$β<β_c$，该模型在$r=1/2$处有一个渗流相变，对应于Ising模型。这揭示了一些光的猜想，即高温伊辛模型的三角形格子是在渗流普适类，其标度极限可以描述的SLE $_6$。我们还证明了唯一性的无限+1集群的$r>1/2$，清晰的渗流相变（通过显示指数衰减的集群大小分布的$r<1/2$），和连续性的渗流函数的所有$r \in [0,1]$。
2008-06-18 math-ph math.MP math.PR
The critical two-point function for long-range percolation on the hierarchical lattice
我们证明了两个点函数上的常数界（即，点到点连接概率）的临界长程渗流的$d$维层次晶格。更准确地说，我们证明，如果我们连接每对点$x$和$y$的边缘概率$1-\exp(-β\|x-y\|^{-d-α})$，其中$0<α<d$是固定的，$β\geq 0$是一个参数，那么临界两个点函数满足\[ \mathbb{P}_{β_c}(x\leftrightarrow y) \asymp \|x-y\|^{-d+α} \]的每对不同的点$x$和$y$。我们推导出特别是该模型具有平均场临界行为时，$α<d/3$和不具有平均场临界行为时，$α>d/3$。
2021-03-31 math-ph math.MP math.PR
Iterated Graph Systems (II): Bernoulli percolation and critical-exponent universality classes on hierarchical lattices
Imperial College London（帝国理工学院）
研究层级晶格上的伯努利渗流，证明有限维数族不能决定普适类，并否证普适性需可公度重整化尺度的猜想。
2026-10-08 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Convergence of uniform triangulations under the Cardy embedding
本文考虑平面映射到等边三角形$Δ$的一种嵌入，我们称之为Cardy嵌入。嵌入是一个共形映射的离散逼近，基于斯米尔诺夫的卡迪公式证明中使用的渗透观测值。在Cardy嵌入下，平面映射导出了$Δ$上的度量和面积测度以及$\partial Δ$上的边界测度.我们证明了对于均匀采样三角剖分，度量和测度在尺度极限内联合收敛到共形嵌入$Δ$的布朗圆盘（即，到$\sqrt{8/3}$ -Liouville量子引力盘）。作为我们的证明的一部分，我们证明了尺度极限结果临界点渗流的均匀三角剖分，在淬火的意义。特别地，我们建立了四个边界标记点的均匀采样三角剖分的逾渗穿越概率的标度极限。
2021-06-02 math-ph math.CV math.MP
