Symbolic Powers and Matroids
Matteo Varbaro
证明了Stanley-Reisner理想的所有符号幂都是Cohen-Macaulay的当且仅当其对应的单纯复形是拟阵.
We prove that all the symbolic powers of a Stanley-Reisner ideal are Cohen-Macaulay if and only if the associated simplicial complex is a matroid.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Regularity of symbolic powers and Arboricity of matroids
设$Δ$是拟阵$M$的单纯复形.本文利用拟阵$M$的组合数据，明确地计算了Stanley-Reisner理想$I_Δ$的所有符号幂的正则性.为了做到这一点，我们提供了$M$的荫度和它的对偶$M^*$的周长之间的严格界限。
Ordinary and symbolic powers of matroids via polarization
本文提出统一方法，通过极化等手段，为拟阵的Stanley-Reisner理想的普通幂与符号幂的Cohen-Macaulay性质及Serre条件$(S_2)$提供简短初等证明，并推广了Minh-Trung、Varbaro、Terai-Trung的著名结果。
Generalized Hamming weights and symbolic powers of Stanley-Reisner ideals of matroids
本文研究了matroid的广义Hamming权重与Stanley-Reisner理想符号幂的关系，揭示了其子可加性及在码理论中的应用。
Slightly mixed symbolic powers of matroids are locally glicci
该研究针对拟阵的Stanley–Reisner理想与覆盖理想，证明其轻微混合符号幂恒为Cohen–Macaulay且局部glicci的，进而推出拟阵这两类理想的所有符号幂均为局部glicci的，丰富了交换代数中拟阵理想的同调性质研究。
Matroid configurations and symbolic powers of their ideals
星形构形是射影空间中线性子空间的某些并，已被广泛研究。我们开发了一个框架，研究大量的推广，我们称之为拟阵配置，其理想推广斯坦利Reisner理想的拟阵。这样的拟阵配置是固定余维的完全交的并集。将这些与拟阵的斯坦利-莱斯纳理想联系起来，并使用联络论的方法，特别是允许我们描述希尔伯特函数和我们称之为超曲面配置的理想的最小生成元。我们还建立了任何拟阵配置的理想的符号幂是Cohen-Macaulay。作为应用，我们研究了完全超图的理想和四面体曲线的理想。我们还考虑了Waldscherk常数和复活。特别是，我们确定任何恒星配置和许多超曲面配置的复苏。在此之前，已知的唯一非平凡的情况是某些单项理想和有限点集的理想。最后，我们指出了一个连接到割线品种品种的各种可约形式。
The Structure of Symbolic Powers of Matroids
本研究刻画拟阵的Stanley-Reisner理想与覆盖理想的符号幂结构，证明结构定理、描述符号Rees代数、给出生成元最大次数公式，提供代数应用与快速算法，并得到拟阵的新刻画。
Symbolic powers of polymatroidal ideals
本文研究多拟阵理想形式幂的分量线性性与正则度，提出并部分验证了相关猜想，建立了线性商准则，并证明了拟阵理想的Conforti-Cornuéjols猜想。
Focal matroids of covers and homological properties of matroids
本文证明了 matroid 的 Stanley-Reisner 理想可通过迭代映射锥最小化，并引入焦点 matroid 用于研究。同时，多格雷毕数的单项支持对应于对称幂的平方自由极小生成元，揭示了 matroidal 理想的新型同调特征。
The cleanness of (symbolic) powers of Stanley-Reisner ideals
设$Δ$是多项式环$S$中的纯单纯复形，$I_Δ$是它的Stanley-Reisner理想.我们证明了$Δ$是拟阵（完全交）当且仅当$S/I_Δ^{(m)}$（$S/I_Δ^m$）对所有$m\in\mathbb{N}$是干净的。如果$\dim(Δ)=1$，我们还证明了$S/I_Δ^{(2)}$（$S/I_Δ^2$）是干净的当且仅当$S/I_Δ^{(2)}$（$S/I_Δ^2$）是Cohen-Macaulay。
On the matroidal path ideals
证明了完全多部图中所有定长路的集合是拟阵的基。此外，我们还讨论了完全多部图的$t$ -路理想的Cohen-Macaulay性和幂的深度。
Cohen-Macaulayness of large powers of Stanley-Reisner ideals
证明了当m > 2时，Stanley-Reisner理想的m次符号幂是Cohen-Macaulay当且仅当单纯复形是拟阵.类似地，m次普通幂是Cohen-Macaulay，其中m > 2当且仅当复形是完全交。这些结果解决了Stanley-Reisner理想的普通幂和符号幂的Cohen-Macaulay性的几个公开问题。此外，它们对刻面理想和覆盖理想的象征力量的Cohen-Macaulayness有有趣的影响。
Cohen-Macaulayness of monomial ideals and symbolic powers of Stanley-Reisner ideals
本文给出了单项式理想的Cohen-Macaulay性的判别准则，它是由它的准素分解给出的.这些准则使我们能够利用图论和线性规划的工具来研究作为素理想幂的交集的单项理想的Cohen-Macaulay性。我们可以用单纯复形刻画Stanley-Reisner理想的第二个符号幂或所有符号幂的Cohen-Macaulay性。这些刻画表明，如果某个符号幂是Cohen-Macaulay，则单纯复形一定是非常紧的。特别地，所有的符号幂是Cohen-Macaulay当且仅当单纯复形是拟阵复形。我们还证明了科恩-麦考利性可以通过不同的方式从一种象征性权力传递到另一种象征性权力。
Combinatorial symbolic powers
符号幂是在单项理想的组合背景下研究的。当理想是由二次无平方单项式生成时，符号幂的生成元是关联图的顶点覆盖和爆破的障碍。因此，完美图在理论中起着重要的作用，双重的作用，完美图在单项式理想割线理论中所起的作用。我们使用Gröbner退化作为工具，将有关任意理想的符号幂的问题简化为单项情况。其中的应用程序是一个新的，统一的方法，以Gröbner基地的象征权力的行列式和Pfidian理想。
Hierarchical zonotopal power ideals
Zonotopal代数处理理想和向量空间的多项式，涉及到几个组合和几何结构定义的一个有限序列的向量。给定这样一个序列X、一个整数k>=-1以及由X定义的拟阵的平坦格中的上集，我们定义并研究相关的分层环斑幂理想。这个理想由线性型的幂生成。它的Hilbert级数只依赖于X的拟阵结构。通过Tutte多项式，它与各种其他拟阵不变量相关，例如壳多项式和特征多项式。这项工作统一和推广了Ardila Postnikov关于幂理想和Holtz-Ron和Holtz-Ron-Xu关于（分层）zonotopal代数的结果。我们还推广了Sturmfels-Xu提出的一个关于带斑Cox模的结果。
Ordinary and symbolic powers of edge ideals of weighted oriented graphs
设$\mathcal{D}$是一个加权定向图，$I(\mathcal{D})$是它的边理想.本文证明了当$\mathcal{D}$是一类加权定向树时，$I(\mathcal{D})$的所有符号幂和普通幂都重合.最后给出了自然定向直线的常幂和符号幂相等的充要条件。
An upper bound on stability of powers of matroidal ideals
该研究针对拟阵理想的幂的稳定性问题，证明了相伴素理想稳定数与深度稳定数的上界为次数与解析展宽的最小值，并通过反例否定了Herzog与Qureshi的相关猜想。
Symbolic powers of vertex cover ideals
设$G$是有限单图，$J(G)$表示域$\mathbb{K}$上多项式环中的覆盖理想.本文证明了某些顶点可分解图的覆盖理想的所有符号幂都具有线性幂。利用这些结果，我们给出了$G$的顶点子集$S$上的各种条件，使得通过在$S$中的每个顶点上添加须而从$G$得到的$G \cup W(S)$的顶点覆盖理想的所有符号幂都具有线性幂。例如，如果$S$是$G$的顶点覆盖，则$J(G \cup W(S))$的所有符号幂都具有线性幂。此外，我们还计算了某些覆盖理想的符号幂的Castelnuovo-Mumford正则性。
Regularity of symbolic powers of edge ideals of unicyclic graphs
设$G$是具有边理想$I(G)$的单圈图.对于任何整数$s\geq 1$，我们用$I(G)^{(s)}$表示$I(G)$的$s$次符号幂。证明了对于每个$s\geq 1$，都有${\rm reg}(I(G)^{(s)})={\rm reg}(I(G)^s)$.
Critical subgraphs and the regularity of symbolic powers of cover ideals of graphs
本文通过t-可接受子图确定图的覆盖理想t次符号幂的正则性，并应用于双部单环图的覆盖理想幂的正则性计算。
Admissible set and squarefree-power-like function with applications to squarefree symbolic powers
本文引入类平方自由幂函数统一平方自由幂序列，借助Tor-消没准则建立正则性下界，并应用于块图及Cohen-Macaulay弦图得到精确公式。
Splittings for symbolic powers of edge ideals of complete graphs
本文研究完全图边理想的符号幂，给出 Eliahou-Kervaire 分裂判据并描述其分次 Betti 数，同时讨论有限简单图平行化的相应结果。
Symbolic Powers of Monomial Ideals
我们研究了单项理想的符号幂和正则幂。对于$k[x_0, \ldots, x_n]$中的无平方单项式理想$I$，我们证明了对于所有正整数$m$，$t$和$r$，$I^{t(m+e-1)-e+r)}$是$M^{(t-1)(e-1)+r-1}(I^{(m)})^t$的子集，其中$e$是$I$和$M = (x_0, \ldots, x_n)$的大高.这捕获了两个拓扑结构（$r=1$和$r=e$）：一个是Harbourne-Huneke，另一个是Bocci-Cooper-Harbourne。我们还介绍了象征多面体的单项理想，并利用这一点来探讨非平方自由单项理想的象征权力。
Componentwise linear symbolic powers of edge ideals and Minh's conjecture
本文研究了边理想符号幂的分量线性性质，提出关于cochordal图边理想符号幂的分量线性猜想，验证了部分图族并证明了Minh猜想，同时证明任意cochordal图的二次符号幂是分量线性的。
Regularity of symbolic powers of cover ideals of graphs
设$G$是一个图，它属于下列任一类：（i）二部图，（ii）纯图，或（iii）无爪图.假设$J(G)$是覆盖理想$G$，而$J(G)^{(k)}$是它的$k$次符号幂。我们证明了$$k{\rm deg}(J(G))\leq {\rm reg}(J(G)^{(k)})\leq (k-1){\rm deg}(J(G))+|V(G)|-1.$$。我们还确定了图族的上述不等式是平等的。
The Golod property for products and high symbolic powers of monomial ideals
证明了对多项式环S = k[x_1，. x_n]环S/IJ是Golod。我们还证明了，如果I是平方自由的，那么对于足够大的k，S与I的k次符号幂的商S/I^{（k）}是Golod。作为应用，我们证明了某些类矩角复形的上同调代数上的乘法是平凡的。
Symbolic powers of cover ideal of very well-covered and bipartite graphs
设$G$是一个具有$n$顶点的图，$S=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$是域$\mathbb{K}$上$n$变量的多项式环.假设$J(G)$是$G$的覆盖理想，$J(G)^{(k)}$是它的$k$次符号幂。我们证明了如果$G$是一个非常好的覆盖图，使得$J(G)$具有线性分辨率，那么对于每个整数$k\geq 1$，$J(G)^{(k)}$具有线性分辨率。我们还证明了对于每一个非常好覆盖的图$G$，$J(G)$的符号幂的深度形成一个非增序列。最后给出了二部图覆盖理想幂正则性的一个线性上界。
Regularity of symbolic powers of edge ideals of Cameron-Walker graphs
Cameron-Walker图是匹配数和导出匹配数相同的图。设$G$是一个Cameron-Walker图，其边理想为$I(G)$，$\ind-match(G)$为$G$的导出匹配数.证明了对每一个整数$s\geq 1$，都有等式${\rm reg}(I(G)^{(s)})=2s+\ind-match(G)-1$，其中$I(G)^{(s)}$表示$I(G)$的$s$次符号幂.
On the depth of symbolic powers of edge ideals of graphs
设$G$是一个具有边理想$I(G)$和星堆积数$α_2(G)$的图.我们用$I(G)^{(s)}$表示$I(G)$的$s$次符号幂。证明了不等式${\rm depth} S/(I(G)^{(s)})\geq α_2(G)-s+1$对于每个弦图$G$和每个整数$s\geq 1$都成立。证明了对任意图$G$，都有${\rm depth} S/(I(G)^{(2)})\geq α_2(G)-1$ .
Regularity of Symbolic Powers of Co-Chordal Edge Ideals
该研究针对有限简单余弦图的边理想，证明其符号幂的正则性公式为reg I(G)^(s)=2s，还指出这类符号幂未必是分量wise线性的，归约与论证过程结合了Takayama公式、团树等方法。
Symbolic powers of monomial ideals and vertex cover algebras
引入并研究了加权单纯复形的顶点覆盖代数。这些代数是符号Rees代数的特殊类。本文证明了单项式理想的符号Rees代数是非正则生成的，并且证明了如果单项式理想是平方自由的，则这种代数是正规的和Cohen-Macaulay代数.对于一个单图，顶点覆盖代数是由2度元素生成的，它是标准分次的当且仅当该图是二部图。我们还给出了顶点覆盖代数生成元的最大度的一个一般上界。
On the Equality of Symbolic and Ordinary Powers of Binomial Edge Ideals
本文研究二项式边理想的符号幂与普通幂何时相等，证明在相伴素理想个数为2时及毛毛虫树上等式恒成立，并刻画了满足该等式的广义毛毛虫图。
Stability of depth and Stanley depth of symbolic powers of squarefree monomial ideals
设$\mathbb{K}$是一个域，$S=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$是$\mathbb{K}$上$n$变量的多项式环。设$I\subset S$是一个无平方根的单项理想.对于每个整数$k\geq 1$，我们用$I^{(k)}$表示$I$的$k$次符号幂。最近，Montaño和Núñez-Betancourt \cite{mn}证明了对于每一对整数$m, k\geq 1$，$${\rm depth}(S/I^{(m)})\leq {\rm depth}(S/I^{(\lceil\frac{m}{k}\rceil)}).$$，我们为这个不等式提供了另一种证明。此外，我们还重新证明了序列$\{{\rm depth}(S/I^{(k)})\}_{k=1}^{\infty}$是收敛的和序列$$\min_k{\rm depth}(S/I^{(k)})=\lim_{k\rightarrow \infty}{\rm depth}(S/I^{(k)})=n-\ell_s(I),$$的已知结果，其中$\ell_s(I)$表示$I$的符号解析展度.我们还确定了$I$的符号权力的深度稳定性指数的上限。其次，我们考虑了符号幂的Stanley深度，证明了序列$\{{\rm sdepth}(S/I^{(k)})\}_{k=1}^{\infty}$和$\{{\rm sdepth}(I^{…
$k$-clean monomial ideals
本文引入了$k$ -clean单项理想作为clean单项理想的推广，并给出了它们的一些同调和组合性质。利用$k$ -clean理想的层次结构，证明了$(d-1)$ -维单纯复形是$k$ -可分解的当且仅当它的Stanley-Reisner理想是$k$ -clean的，其中$k\leq d-1$ .证明了拟阵复形的单项完全交理想、余维为2的Cohen-Macaulay单项理想和Stanley-Reisner理想的符号幂等单项理想类对所有$k\geq 0$都是$k$ -clean的.
Comparison of symbolic and ordinary powers of parity binomial edge ideals
该研究探讨图的奇偶二项式边理想的符号幂与普通幂不等的条件，证明团数大于3、含net或含PT诱导子图时二者存在不相等的幂次，丰富了交换代数与图论交叉领域的相关结论。
Stanley depth and symbolic powers of monomial ideals
本文研究了无平方根单项理想的符号幂的Stanley深度。证明了对任意的无平方根单项理想$I$和任意的整数对$k, s\geq 1$，不等式${\rm sdepth} (S/I^{(ks)}) \leq {\rm sdepth} (S/I^{(s)})$和${\rm sdepth} (I^{(ks)}) \leq {\rm sdepth} (I^{(s)})$成立.此外，如果$I$是不混合的高度$d$，那么我们表明，对于每个整数$k\geq1$，${\rm sdepth}(I^{(k+d)})\leq {\rm sdepth}(I^{(k)})$和${\rm sdepth}(S/I^{(k+d)})\leq {\rm sdepth}(S/I^{(k)})$。最后，我们考虑了无平方单项式理想的符号幂的Stanley深度的极限行为。我们还介绍了一种比较单项理想的因子的Stanley深度的方法。
On the Regularity of squarefree part of symbolic powers of edge ideals
假设$G$是一个具有边理想$I(G)$的图。对于每一个整数$s\geq 1$，我们用$I(G)^{\{s\}}$表示$I(G)$的$s$次符号幂的无平方部分。当$G$是弦图时，我们确定了$I(G)^{\{s\}}$正则性的一个上界.如果$G$是Cameron-Walker图，我们用$G$的导出匹配数来计算${\rm reg}(I(G)^{\{s\}}$.此外，对于任何图$G$，我们提供了尖锐上界为${\rm reg}(I(G)^{\{2\}})$和${\rm reg}(I(G)^{\{3\}})$。
On the minimal free resolution of symbolic powers of cover ideals of graphs
对于任何图$G$，假设$J(G)$是$G$的覆盖理想。令$J(G)^{(k)}$表示$J(G)$的$k$次符号幂。我们刻画了所有图$G$的性质，即$J(G)^{(k)}$对某些（等价地，对所有）整数$k\geq 2$具有线性分解.此外，它表明，对于任何图$G$，序列$\big({\rm reg}(J(G)^{(k)})\big)_{k=1}^{\infty}$是非减的。此外，当$G$是纯图或无爪图时，我们计算了$J(G)^{(k)}$的最小生成元的最大度.
The Scarf complex of squarefree powers, symbolic powers of edge ideals, and cover ideals of graphs
本文研究了图的边理想平方自由幂、符号幂以及覆盖理想的Scarf复形性质，给出了相应条件下的完全刻画和显式描述。
Symbolic powers: Simis and weighted monomial ideals
本文利用交换代数与组合学比较单项式理想的符号幂与普通幂，研究 Simis 理想和加权单项式理想，并给出加权有向图边理想对偶在次数 2 上为 Simis 的组合分类。
Symbolic powers of monomial ideals and Cohen-Macaulay vertex-weighted digraphs
本文研究了单项理想的不可约表示和符号Rees代数。然后，我们研究与顶点加权定向图相关的边理想。这些是有向图，没有长度为2的有向圈，顶点上没有权。对于一个没有嵌入素数的单项理想，我们用它的准素分支对它的符号Rees代数的正规性进行了分类。如果单项式理想的准素连通区是正规的，本文给出了利用Hilbert基计算其符号Rees代数的一个简单方法，并给出了它的正规幂与符号幂相等的充要条件.我们给出了Cohen-Macaulay顶点加权定向森林的有效刻画。对于传递加权定向图的边理想，我们证明了Alexander对偶成立.证明了加权无圈竞赛图的边理想是Cohen-Macaulay的，且满足Alexander对偶
Cohen--Macaulaynees for symbolic power ideals of edge ideals
设$S = K[x_1,..., x_n]$是域$K$上的多项式环.设$I(G) \subseteq S$表示图$G$的边理想.我们证明了$\ell$的th符号幂$I(G)^{(\ell)}$是Cohen-Macaulay理想（即，$S/I(G)^{(\ell)}$是Cohen-Macaulay）当且仅当$\ell \ge 3$是n个完全图的不交并。在这种情况下，所有的符号幂$I(G)^{(\ell)}$都是Cohen-Macaulay理想。类似地，我们描述了$S/I(G)^{(\ell)}$具有（FLC）的图$G$。作为应用，我们证明了边理想$I(G)$是完全交的，只要$S/I(G)^{\ell}$对某个整数$\ell \ge 3$是Cohen-Macaulay.这加强了M.Crupi，G.Rinaldo，N.Terai，and K.Yoshida，Comm. Alg. 38（2010），3347-3357]。
Splittings and symbolic powers of square-free monomial Ideals
利用符号Rees代数和素特征的方法研究了无平方单项式理想的符号幂。特别地，我们证明了符号Rees代数和符号伴随分次代数关于一个类似于Frobenius映射且存在于所有特征中的态射是分裂的.使用这些方法，我们恢复了Hoa和Trung的结果，该结果表明，归一化的$a$ -不变量和符号幂的Castelnuovo-Mumford正则性收敛。此外，我们还给出了这类理想的普通幂和符号幂相等的一个充分条件，并将它与Conforti-Cornuéjols猜想联系起来.最后，我们解释这个条件的上下文中的线性最优化。
Comparisons between ordinary and symbolic powers of edge ideals with respect to regularity and depth
本文研究边理想普通幂与符号幂在正则性和深度上的差异，证明单纯图情形下二者正则性一致，并给出深度不等式成立条件及差异模的Krull维数图论公式。
On the index of depth stability of symbolic powers of cover ideals of graphs
本文研究图覆盖理想符号幂的深度稳定指数，给出组合上界，并据此计算完全团加须图的相关深度，同时刻画一类使商环正则性等于诱导匹配数的图。
Rational symbolic powers of ideals
本文研究了理想有理符号幂的性质，包括其成员标准、二项式展开公式以及单项理想有理符号幂的凸几何描述，并证明了其渐进行为的稳定性。
Regularity of Powers and symbolic powers of edge ideals of cubic circulant graphs
本文计算了所有三次循环图的边理想的幂与符号幂的正则性，并证明了三次循环图情形下的Minh猜想。
On the rigidity of symbolic powers
讨论了正则环上符号幂的刚性猜想。”这是Huneke问的。随着我们的研究，我们证实了一个猜想[7，猜想3.8]。
Symbolic Powers and Symbolic Rees Algebras of Binomial Edge Ideals of Some Classes of Block Graphs
本文研究几类块图的二项边理想的符号幂与符号Rees代数性质，证明垂悬团图的符号幂与普通幂一致，两类图的相关理想具符号$F$-分裂性，其符号Rees代数为强$F$-正则。
Symbolic powers, set-theoretic complete intersection and certain invariants
在这篇综述文章中，我们给出了一个简短的历史象征权力和它的连接与有趣的问题集理论完全相交。并提出了一些问题和建议。最近，与象征性权力有关的是遏制问题。我们列出了一些有趣的结果和有关的问题的复苏，Waldschleman常数和Castelnuovo-Mumford正则性。
Binomial expansion for saturated and symbolic powers of sums of ideals
在文献中存在两种不同的理想的符号幂的概念，一种是用相伴素数定义的，另一种是用极小素数定义的。在阐述艾森巴德、赫尔佐格、希比和忠的一个想法时，我们将象征性权力的两个概念解释为普通权力的适当饱和。证明了理想和的饱和幂的一个二项式展开式。这给出了一个统一的治疗一系列现有的和新的结果上的两个概念的符号权力等款项：二项式展开公式，计算的深度和规律性，以及标准的平等的普通和象征性的权力。
Regularity of Symbolic Powers of Edge Ideals
本文证明了几类图的边理想的符号幂的Castelnuovo-Mumford正则性与它们的普通幂的Castelnuovo-Mumford正则性是一致的。
Links of symbolic powers of prime ideals
本文对Polini和Ulrich提出的一个猜想给出了肯定的回答。
On the ordinary and symbolic powers of fiber products
本文研究了不相交变量集中两个齐次理想的纤维积，在已知各因子符号幂的前提下完全确定了其符号幂的深度与正则度，并推广先前工作为普通幂提供了精确且与特征无关的公式。
Differences in regularities of a power and its integral closure and symbolic power
本文证明无平方单项式理想的符号二次幂和二次幂整闭包的正则性可与普通二次幂相差任意大整数。
Symbolic powers of certain cover ideals of graphs
本文计算了图$G$的覆盖理想的正则性和符号幂的Hilbert级数，当$G$是一个冠图或一个完全多部图时.我们还计算了覆盖理想的符号幂的多重性。
Symbolic powers of multipartite hypergraphs and Waldschmidt constant
本文给出了三部超图的边理想的第二符号幂和第二普通幂相等的判定准则。同时，给出了计算环的路理想的Waldschlord常数的公式.
Symbolic Powers of Derksen Ideals
假设一个理想的符号幂和普通幂并不总是一致的，我们寻找理想的条件，使得对每个自然数都成立。研究了多项式环上线性作用的有限群所定义的Derksen理想的等价性。
On the Equality of Ordinary and Symbolic Powers of Ideals
我们考虑以下关于理想的普通和象征力量的平等的问题。在一个正则局部环中，如果一个一维素理想的普通幂和符号幂直到它的高度都是相同的，那么它们对所有的幂都是相同的吗？我们提供了支持的证据，一个积极的答案类的素理想定义单项曲线或环的低多重性。
Invariants of the symbolic powers of edge ideals
设$G$是一个图，$I=I(G)$是它的边理想.当$G$是两个不同长度的奇圈在单点相连的团和时，我们给出了$I$的符号幂的一个显式描述，并计算了Waldschleman常数.当$G$是完全图时，我们刻画了$I$的符号幂的生成元，并计算了$I$的Waldschleman常数和复活.对于完全图，证明了边理想的符号幂和普通幂的Castelnuvo-Mumford正则性是一致的.
On the symbolic powers of binomial edge ideals
证明了在一定条件下，若多项式环中理想$I$的$_<(I)$中的初始理想具有其符号幂和普通幂重合的性质，则理想$I$也具有相同的性质.我们应用这个结果证明了二次Gröbner基的二项式边理想的符号幂和普通幂之间的相等性。
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