New uniform and asymptotic upper bounds on the tensor rank of multiplication in extensions of finite fields
我们获得了新的统一上界的（不一定对称）张量秩的乘法在有限域$\F_q$的任何素数或素数幂$q\geq2$的扩展，而且这些统一的界限导致新的渐近界以及。此外，我们还给出了纯粹的渐近界，这是更好地使用家庭的Shimura曲线定义在$\F_q$，与最佳比率的$\F_{q^t}$合理的地方，他们的属，其中$q^t$是一个广场。
2013-05-22 math.AG
Examples of $K3$ surfaces with real multiplication
我们构造明确的例子，$K3$表面上的${\mathbb Q}$具有真正的乘法。我们的例子是几何皮卡秩16。计算皮卡秩的标准方法可证明不适用于构造的曲面。
2014-05-21 math.AG
A $2n^2-log(n)-1$ lower bound for the border rank of matrix multiplication
设M_n表示n × n矩阵的矩阵乘法张量。利用边界替换法结合Koszul证明了M_n的边界秩下界为2n^2-log（n）-1。
2016-08-26 cs.CC math.AG
On the geometry of border rank algorithms for matrix multiplication and other tensors with symmetry
我们建立了矩阵乘法张量和其他具有对称性的张量的边界秩算法的基本信息。我们证明了边界秩算法的对称张量（如矩阵乘法和行列式多项式）来在家庭，包括代表与正常形式。这些范式将有助于开发新的有效算法，并证明较低的复杂性界限。我们推导出一个边界秩版本的替代方法用于证明张量秩的下界。我们使用这种边界替换方法和标准形将矩阵乘法的边界秩的下界提高1，达到2n^2- n+1。我们还指出了困难，这将是巨大的障碍，因为“野生”结构的希尔伯特计划点的张量的复杂性较低的界限，未来的进展。
2016-01-29 cs.CC math.AG
The geometry of rank decompositions of matrix multiplication I: 2x2 matrices
这是第一次在一系列文件的秩分解的矩阵乘法张量。在本文中，我们：建立了张量秩分解的一般事实，描述了寻找新的矩阵乘法分解的可能方法，给出了建立Strassen算法对称群的Burichenko定理的几何证明，并给出了Strassen分解族中两个特别好的子族。
2016-10-25 cs.CC math.AG
Real subrank of order-three tensors
University of Bern（伯尔尼大学）；Osnabrück University（奥斯纳布吕克大学）
该论文研究三阶实张量的子秩，利用相关论证证明典型子秩的范围，构造特定张量并确定四元数乘法张量的子秩，还证明复乘法相关张量的实子秩为n及其他实可除代数的对应结果。
2026-08-18 math.AG
Multiplication maps of linear systems on smooth projective toric surfaces
设X是光滑射影复曲面，L和M是X上的两个线丛.若L是充分的，M是由整体瓣生成的，则证明了从H^0（X，L）张量H^0（X，M）到H^0（X，L张量M）的自然映射是满射的.我们还考虑了当M是任意线丛且h^0（X，M）> 0时的推广。
2002-08-23 math.AG
Multiplications of Maximal Rank in the Cohomology of P^1\times P ^1
本文证明了在射影空间中，非奇异二次曲面的第一上同调的两个双阶片与一般双齐次型相乘所定义的线性映射是最大秩的。这是第一个非平凡的情况下，一个更普遍的开放问题的自然线性映射之间的向量空间的张量定义的乘法和压缩。给出了多项式系数双齐次线性微分算子的一个解释。
2010-06-26 math.AC math.AG
Almost Split Morphisms, Preprojective Algebras and Multiplication Maps of Maximal Rank
与第二个命名的作者以前介绍的分级，乘法映射在预投射代数满足的最大秩性质是类似的最大秩性质证明的交换多项式环中的乘法映射的Hochster和Laksov。这个结果来自于一个关于极小几乎分裂态射的最大秩性质的更一般的定理，该定理也产生了一个关于所涉及的不可分解模的维数的二次不等式。
2005-12-30 math.AC math.AG math.RT
On the geometry of border rank algorithms for n x 2 by 2 x 2 matrix multiplication
研究n×2与2×2矩阵乘法的边界秩算法几何特性，提出新的分析方法和优化策略。
2015-09-28 cs.NA math.AG math.NA
New lower bounds for the border rank of matrix multiplication
n × n矩阵的矩阵乘法算子的边界秩是其复杂性的标准度量。利用代数几何和表示论的技巧，我们证明了边界秩至少为2n^2-n。我们的界优于之前的下界（由于Lickteig在1985年）3/2 n^2+ n/2 - 1，对所有n>2。通过寻找小边界秩的双线性映射必须满足的新方程，即，新方程的割线品种的三重Segre产品，矩阵乘法无法满足。
2013-06-02 cs.CC math.AG
Neural Learning of Fast Matrix Multiplication Algorithms: A StrassenNet Approach
Italian Institute of Technology, Genoa, Italy（意大利理工学院）
StrassenNet通过神经学习重现Strassen算法，并发现3×3矩阵乘法张量的有效最小秩为23。
2026-02-25 cs.LG math.AG
The border rank of the multiplication of two by two matrices is seven
本文证明，近似计算2x2矩阵乘法至少需要七次乘法，即矩阵乘法算子不在三个P^3的Segre乘积的第六割线簇中。
2006-04-05 cs.NA math.AG math.NA
Chaining Multiplications in Finite Fields with Chudnovsky-type Algorithms and Tensor Rank of the k-multiplication
本文设计了一类 Chudnovsky-type 算法，通过代数曲线插值实现有限域中 k 个元素的乘法，证明了 k-multiplication 的张量秩关于 n 是线性的，并给出了其一致上界。
2024-10-16 math.AG math.NT
Bounds on complexity of matrix multiplication away from CW tensors
我们提出了三个家庭的最小边界秩张量：他们来自最高权向量，光滑代数，或单项式代数。我们用Strassen的激光方法分析了它们，得到了$ω$上的一个上界$2.431$.我们还解释了如何在某些单项的情况下，直接使用激光方法比第一次退化更有利可图。我们的结果形成可能的路径中寻找有价值的张量的激光方法远离Coppersmith-Winograd张量。
2022-04-11 cs.CC math.AC math.AG
Geometric rank of tensors and subrank of matrix multiplication
本文提出几何秩这一新工具，证明其可上界张量子秩与超图独立数，并用于给出矩阵乘法张量（边界）子秩的紧上界。
2023-04-26 cs.CC math.AG math.CO
On the geometry of tensor network states
我们回答了L的一个问题。量子信息论中出现的Grasedyck，表明张量网络状态空间中张量的极限不一定是张量网络状态。我们还给出了对应于树和环的张量网络状态空间的几何描述。Grasedyck的问题与几何复杂性理论领域有着惊人的联系，因为其结果等价于与矩阵乘法相关的Mulmuley-Sohoni型簇的边界严格大于矩阵乘法的投影和重新标记。张量网络状态也与代数统计中的图形模型有关。
2012-01-09 math.AG
Tower of algebraic function fields with maximal Hasse-Witt invariant and tensor rank of multiplication in any extension of $\mathbb{F}_2$ and $\mathbb{F}_3$
到目前为止，人们认识到，大量的2-挠点是一个技术障碍，以改善的对称张量秩的界限，在任何有限域的每一个扩展的乘法。在本文中，我们表明，有两个例外的情况下，即$\mathbb{F}_2$和$\mathbb{F}_3$的扩展。特别地，利用在Drinfel 'd-Vladut意义下渐近最优且具有最大Hasse-Witt不变量的代数函数域的Garcia-Stichtenoth塔的2或3个元素的域上的定义域下降，我们得到了$\mathbb{F}_2$和$\mathbb{F}_3$的任意扩展中乘法的对称张量秩的一致界的显著改进.
2014-09-11 cs.IT math.AG math.IT
New lower bounds for the rank of matrix multiplication
nxn矩阵乘法算子的秩是代数复杂性理论中研究最多的量之一。我证明了秩至少是n^2-o（n^2）。更准确地说，对于任何整数p \leq n-1，秩至少为（3- 1/（p+1））n^2-（1+ 2 p \binom{2p}{p-1}）n。由于布拉泽的贡献，先前的下限是5n^2/2- 3 n（p=1的情况）。新的界改进了Blaser的界，对于所有n>84。我还证明了矩形矩阵的下界明显优于以前的界限。
2013-10-29 cs.CC math.AG math.RT
On the rank of $n\times n$ matrix multiplication
对于每一个$p\leq n$正整数，我们得到了$n\times n$矩阵乘法的秩的下界$(3-\frac{1}{p+1})n^2-\big(2\binom{2p}{p+1}-\binom{2p-2}{p-1}+2\big)n$。这个界改进了Landsberg的前一个$(3-\frac{1}{p+1})n^2-\big(1+2p\binom{2p}{p}\big)n$。此外，我们的界限改进了经典的界限$\frac{5}{2}n^2-3n$，由于Bläser，为每个$n\geq 132$。最后，对$p = 2$，采用一种稍有不同的策略，我们得到了一个下界$\frac{8}{3}n^2-7n$，它改进了对任何$n\geq 24$的Bläser界.
2013-11-07 cs.CC math.AG
Subrank and Optimal Reduction of Scalar Multiplications to Generic Tensors
自从Strassen和Valiant的开创性工作以来，理解代数问题的相对复杂性一直是代数复杂性理论的中心主题，也就是说，理解哪些代数问题（无论是Strassen工作中的双线性映射，如矩阵乘法，还是Valiant工作中的行列式和永久多项式）可以相互约简（在适当的约简概念下）。在本文中，我们精确地确定有多少独立的标量乘法可以减少到一个给定的双线性映射（这个数字被称为子秩，并扩展矩阵对角化的概念张量），基本上所有（即通用）双线性映射。也就是说，我们证明了一般的双线性映射$T : V \times V \to V$，其中$\dim(V) = n$，$θ(\sqrt{n})$独立的标量乘法可以减少到$T$。我们的结果显著改进了Strassen（1991）和Bürgisser（1990）工作的上界，即$n^{2/3 + o(1)}$。我们的完整结果是更一般的，不仅适用于双线性映射和3张量，但也$k$张量，我们发现，通用子秩是$θ(n^{1/(k-1)})$。作为应用，证明了子秩在直和下是不可加的。子秩在复杂性理论（矩阵乘法算法，障碍结果）和组合学（例如，帽集问题和向日葵问题）。由于我们的结果，我们得到了几个大的分离之间的子秩和张量的方法，最近收到了很大的兴趣，特别是切片秩（陶，2016），分析秩（高尔斯-沃尔夫，2011年;洛维特，2018年; Bhrushundi-Harsha-Hatami…
2022-06-09 cs.CC math.AG
Secant varieties and the complexity of matrix multiplication
这是一个主要关于确定张量的边界秩的综述，特别是那些与矩阵乘法复杂性研究相关的张量。这是一个一方面在理论计算机科学中具有重要意义的主题，另一方面涉及代数几何中许多美丽的主题，例如关于割线簇方程的经典和最近的结果（例如，通过向量丛和表示论方法）以及零维格式的几何和变形理论。
2022-08-01 math.AG
On the structure tensor of $\mathfrak{sl}_n$
$\mathfrak{sl}_n$的结构张量，记作$T_{\mathfrak{sl}_n}$，是对$\mathbb{C}$上的无迹$n \times n$矩阵集进行李括号双线性运算而产生的张量。这个张量是密切相关的研究矩阵乘法张量。研究$\mathfrak{sl}_n$的结构张量可以进一步深入了解矩阵乘法的复杂性和寻找高秩或边界秩的显式序列张量的“干草堆”问题。我们的目标是找到新的界限上的秩和边界秩的结构张量的情况下，$\mathfrak{sl}_3$和$\mathfrak{sl}_4$。我们还提供了李代数$\mathfrak{so}_4$和$\mathfrak{so}_5$的情况下的界限。边界秩的下界是通过各种最近的技术获得的，即Koszul秩、边界替换和边界非极性。上界的秩$T_{\mathfrak{sl}_3}$通过数值方法，使我们能够找到一个明确的秩分解。
2021-05-17 math.AG
The moment polytope of matrix multiplication is not maximal
本文证明矩阵乘法张量的矩多胞形严格包含于克罗内克多胞形，即非极大，并推广至迭代情形，同时给出渐近限制下包含关系的不可行性结果，并利用新证明方法得到矩阵乘法最优边界子秩界。
2025-03-28 cs.CC math.AG math.RT
Subtracting a best rank-1 approximation may increase tensor rank
已经证明，当R>1和k>2时，k阶张量的最佳秩R近似可能不存在。这给使用张量分解的数据分析师带来了严重的问题。已经在数值上观察到，通常，这个问题不能通过连续计算和减去最佳秩-1近似来解决。这样做的原因是减去最佳秩-1近似通常不会降低张量秩。在本文中，我们提供了一个数学处理这一性质的实值2x2 x2张量，对称张量作为一个特殊情况。无论对称性如何，我们证明了对于一般的2x2 x2张量（秩为2或3），减去最佳秩1近似会导致秩为3的张量，并且位于秩2和秩3集之间的边界上。因此，对于秩为2的典型张量，减去最佳秩1近似会增加张量秩。
2009-06-02 math.AG
Gaps in the pairs (border rank,symmetric rank) for symmetric tensors
固定整数$m \ge 2$、$s\ge 5$和$d\ge 2s+2$。在这里，我们描述了可能的对称张量秩$\le 2d+s-7$的所有对称张量（或齐次$d$多项式）在$m+1$变量与边界秩$s$。
2013-04-21 math.AG
Equations for lower bounds on border rank
本文给出了确定边界秩至多为r的双线性映射簇的理想中多项式的新方法。我们将这些方法应用于几种情况，包括双线性映射空间C^4 x C^4 -> C^4中r = 6的情况。这个双线性映射空间包括2 × 2矩阵的矩阵乘法算子M_2。我们证明了这些新得到的多项式在矩阵乘法算子M_2上不为零，从而给出了2 × 2矩阵乘法的边秩为7的新证明.其他的例子被认为是与如何实现的方法的解释。
2013-07-09 cs.CC math.AG
Disjoint and nearly disjoint sums of matrix multiplication tensors and their centroids
Cornell University（康奈尔大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Sidney Sussex College, Cambridge（剑桥大学西丁尼思学院）
本文构造了具有大质心的矩阵乘法张量等，开发了利用质心的几何技术，证明相关张量的最小边界秩，为矩阵乘法指数上界及Strassen激光方法提供了新进展。
2026-08-28 cs.CC math.AC math.AG
Tensor Rank and Complexity
这些课堂讲稿旨在介绍张量秩的几个概念，以及它们与矩阵乘法的渐近复杂性的关系。后者是用矩阵乘法的指数来研究的，它将用张量的（边）秩、（边）对称秩和某些张量的渐近秩来表示。引入了张量的多线性秩，讨论了张量等价的概念，并利用Castling变换研究了准齐次向量空间。此外，我们还讨论了无极性理论，并用它来确定某些对称张量的对称秩（Waring秩）。
2022-07-29 cs.CC math.AG
Border rank non-additivity for higher order tensors
尽管矩阵秩在直和下是可加的，但Schönhage在1981年证明了它对张量设置的推广之一，张量边界秩，对于三阶张量可以是严格次可加的。对于高阶张量，边界秩是否是可加的仍然是开放的。在这项工作中，我们解决了这个问题，提供类似的Schönhage的建设张量的四阶和更高。Schönhage的工作是出于对矩阵乘法的计算复杂性的研究，我们讨论了我们的结果的影响，高阶广义的矩阵乘法张量的渐近秩。
2021-04-09 cs.CC math.AG
Matrix multiplication algorithms from group orbits
我们展示了如何构造高度对称的矩阵乘法算法。特别是，我们考虑的算法，矩阵乘法张量分解成一个和秩1张量，分解本身由轨道下的一些有限群作用。我们展示了如何使用相应的组的表示理论，以获得简单的约束的分解，我们解决了手为n= 2，3，4，5，恢复斯特拉森的算法（在一个特别对称的形式）和新的算法更大的n。虽然这些新的算法不提高已知的上界张量秩或矩阵乘法指数，他们是美丽的，在自己的权利，我们指出修改这个想法，可能会导致进一步的改进。我们的构造还提出了可以为新算法挖掘的进一步模式，包括与格的诱人联系。特别是，使用格，我们给最透明的证明日期Strassen的算法;相同的证明工程的所有n，产生一个分解与$n^3 - n + 1$条款。
2016-12-12 cs.CC cs.DS math.AG
On degeneration of tensors and algebras
在所有目前的渐近快速算法矩阵乘法的一个重要的构建块是张量与低边界秩，即张量的边界秩是相等或非常接近其大小。为了找到新的渐近快速矩阵乘法算法，理解那些边界秩尽可能小的张量，即所谓的最小边界秩张量，似乎很重要。研究了结合代数的退化与其结构张量在Strassen意义下的退化之间的联系。它使我们能够描述一个开放的子集的$n \times n \times n$张量的最小边界秩的光滑交换代数。我们描述了与Coppersmith-Winograd张量相关的可平滑代数，并证明了Coppersmith和Winograd的“简单构造”中使用的张量的边界秩的下界。
2016-06-14 cs.CC math.AG
New lower bounds for matrix multiplication and the 3x3 determinant
令$M_{\langle u,v,w\rangle}\in C^{uv}\otimes C^{vw}\otimes C^{wu}$表示矩阵乘法张量（并写作$M_n=M_{\langle n,n,n\rangle}$），令$det_3\in ( C^9)^{\otimes 3}$表示被视为张量的行列式多项式。对于张量$T$，令$\underline R(T)$表示其边界秩。我们（i）给出了$\underline R(M_2)=7$的第一个可手工检验的代数证明，（ii）证明了$\underline R(M_{\langle 223\rangle})=10$和$\underline R(M_{\langle 233\rangle})=14$，其中以前唯一的边界秩已被确定的非平凡矩阵乘法张量是$M_2$，（iii）证明了$\underline R( M_3)\geq 17$，（iv）证明了$\underline R( det_3)=17$，改进了以前的$12$的下界，（v）证明所有$n\geq 25$的$\underline R(M_{\langle 2nn\rangle})\geq n^2+1.32n$（以前只有$\underline R(M_{\langle 2nn\rangle})\geq n^2+1$是已知的）以及$4\leq n\leq 25$的下界，和（vi）证明所有$ n\g…
2019-11-18 cs.CC math.AG math.RT
Border rank=rank for Kruskal tensors and a Kruskal's theorem for skew decompositions
University of Copenhagen（哥本哈根大学）；Concordia University, Montréal（蒙特利尔康科迪亚大学）
该研究证明Kruskal张量的边界秩等于秩，给出交替张量的Kruskal条件以证明斜秩分解唯一性，还证明交替Kruskal张量的边界斜秩等于斜秩并给出最小斜秩分解算法。
2026-08-25 cs.DS math.AG
Asymptotic tensor rank is characterized by polynomials
University of Copenhagen（哥本哈根大学）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
本文证明渐近张量秩是“从上可计算的”，即存在算法通过有限多项式列表判断其是否不超过给定值，并揭示其子水平集为Zariski闭集，从而推出渐近张量秩取值构成良序集。
2026-06-07 cs.CC math.AG quant-ph
Computing moment polytopes -- with a focus on tensors, entanglement and matrix multiplication
本文提出一种基于Franz数学描述的新算法，用于计算张量矩多面体，首次确定性地算出C^3⊗C^3⊗C^3及高概率算出C^4⊗C^4⊗C^4中的全部矩多面体，推动量子纠缠与代数复杂度研究。
2025-10-09 cs.CC cs.SC math.AG
