Extensions of truncated discrete valuation rings II
Toshiro Hiranouchi, Yuichiro Taguchi
建立了完备离散赋值域$K$的至多$a$ -分歧有限可分扩张范畴与$K$的整数环的“长度- $a$截断”$\OK/\mK^a$的至多$a$ -分歧有限扩张范畴之间的等价性.
An equivalence is established between the category of at most $a$-ramified finite separable extensions of a complete discrete valuation field $K$ and the category of at most $a$-ramified finite extensions of the "length-$a$ truncation" $\OK/\mK^a$ of the integer ring of $K$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Flat modules and Gröbner bases over truncated discrete valuation rings
给出了分次截断离散赋值环$A$中系数多项式环$R$上有限秩自由模的子模的Gröbner基的基本性质.作为应用，我们给出了一个判别矩阵生成的$R$ -模在$A$上平坦的准则.也给出了它的非等级版本。
Ramification Theory for Artin-Schreier Extensions of Valuation Rings
本文的目的是将完全离散赋值环的经典分歧理论推广和改进到更一般的赋值环，在Artin-Schreier扩张的情况下.定义了经典分歧理论中分歧不变量的精化形式，并对它们进行了比较。此外，我们可以处理缺陷情况。
Ramification theory for degree $p$ extensions of arbitrary valuation rings in mixed characteristic $(0,p)$
我们以前得到的Artin Schreier扩张的离散值域的分歧理论的结果，在特征$p$与完美的剩余域的情况下，更一般的赋值和剩余域的推广和改进。如VT 16所示，“缺陷”病例引起许多有趣的并发症。在本文中，我们提出了类似的结果度$p$扩张的任意赋值环在混合特征$(0,p)$在一个更一般的设置。更具体地说，这里唯一的假设是基字段$K$是亨氏的。特别是，这些结果是真实的缺陷扩展，即使排名的估值是大于$1$。类似的方法也适用于等特性，推广了VT 16的结果。
Conditional expanding bounds for two-variable functions over finite valuation rings
本文利用谱图理论的方法得到了$q^r$阶的有限赋值环$\mathcal{R}$上的和积问题的一些结果，推广了Hegyvári和Hennecart（2013）的结果.更精确地说，我们证明了，对于相关的二元函数$f(x,y)$和$g(x,y)$对，如果$A$和$B$是两个集在$\mathcal{R}^*$与$|A|=|B|=q^α$，那么\[\max\left\lbrace |f(A, B)|, |g(A, B)| \right\rbrace\gtrsim |A|^{1+Δ(α)},\]的一些$Δ(α)>0$。
Some combinatorial number theory problems over finite valuation rings
设$\mathcal{R}$是$q^r$阶的有限赋值环.本文在有限赋值环上推广和改进了有限域$\mathbb{F}_q$和有限循环环$\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}$上的几个著名结果.
Characterizing diophantine henselian valuation rings and valuation ideals
利用剩余域给出了Hensel赋值环和丢番图的Hensel赋值理想的一个刻画。这一刻画是文献中关于丢番图-亨塞尔赋值环和丢番图赋值理想的所有正、负结果的一般推广。我们也对待问题的一致性，我们应用的结果表明，一个给定的领域可以进行最多一个丢番图非平凡的等特征亨氏赋值环或估值理想。
On two theorems for flat, affine group schemes over a discrete valuation ring
我们包括简短和初等证明的两个定理表征还原群计划在离散赋值环，在一个稍微更一般的情况下。
On the existence of a torsor structure for Galois covers over a complete discrete valuation ring
本文研究了（p，p，.）型交换伽罗瓦群在剩余特征为$p>0$的完备离散赋值环上的（形式）格式的伽罗瓦覆盖的torsor结构的存在性问题。p）。
Classification of normal toric varieties over a valuation ring of rank one
域或离散赋值环上的正规复曲面簇用有理多面体扇分类。我们将这一分类推广到秩为1的任意赋值环上的正规环面簇。证明是基于Sumihiro定理的推广到这个非诺特设置。这些环面变种在热带化中起着重要作用。
Eisenstein Deformation Rings
证明了某些可约剩余伽罗瓦表示的R = T定理。我们回答了格罗斯和鲁宾关于某些Hecke代数T是否是离散赋值环的一个问题。为了证明这些结果，我们（利用Breuil模的理论）确定了任意光滑分歧的离散赋值环上的两个p阶有限平坦群格式G和H在什么情况下允许一个不被p杀死的扩张.
A note on sum-product estimates over finite valuation rings
设$\mathcal R$是$q^r$阶有限赋值环，$q$是奇素数的幂，$\mathcal A$是$\mathcal R$中的集合.在本文中，我们改进了Yazici（2018）关于和积型问题的最近结果。更确切地说，我们将证明1。如果$|\mathcal A|\gg q^{r-\frac{1}{3}}$，则$$\max\left\lbrace |\mathcal A+\mathcal A|, |\mathcal A^2+\mathcal A^2|\right\rbrace \gg q^{\frac{r}{2}}|\mathcal A|^{\frac{1}{2}}.$$ 2.如果$q^{r-\frac{3}{8}}\ll |\mathcal A|\ll q^{r-\frac{1}{3}}$，则$$\max\left\lbrace |\mathcal A+\mathcal A|, |\mathcal A^2+\mathcal A^2|\right\rbrace \gg \frac{|\mathcal A|^2}{q^{\frac{2r-1}{2}}}.$$ 3.如果$|\mathcal A+\mathcal A||\mathcal A|^2\gg q^{3r-1}$和$2q^{r-1}\le |\mathcal A|\ll q^{r-\frac{3}{8}}$，则$$\max\left\…
What are discrete valuation rings? What are Dedekind domains?
这是对离散赋值环和戴德金整环的扩展介绍。还（简要）讨论了戴德金整环的一些自然推广，包括“几乎戴德金整环”、Prüfer整环、Krull整环和1维奇异积分整环。
Upper Ramification Groups for Arbitrary Valuation Rings
本文通过将 Hensel 赋值环的整闭包表示为完全交子环的滤过并，把 Saito 分歧理论推广到任意 Hensel 赋值环，并研究了此前未处理的亏差扩张。
Huber rings and valuation spectra
本讲义拓展自2023年海德堡非阿基米德几何春季学校的四小时讲座，面向研究生等学习者，介绍Huber环与赋值理论并附实例与习题，内容整体自足。
A Formalization of Complete Discrete Valuation Rings and Local Fields
本研究在Lean证明助手中形式化了离散赋值域的基础理论、离散赋值环与赋值的对应关系及有限扩张性质，进一步建立了局部域的抽象定义与基本性质，验证了p进数域和有限域上洛朗级数域的有限扩张为局部域，为相关代数数论研究提供了形式化基础。
The classification of $p$-divisible groups over 2-adic discrete valuation rings
设$\mathscr{O}_K$是一个具有完美剩余域$k$的2-adic离散赋值环.利用$\mathfrak{S}:=W(k)[[u]]$上的Frobenius模对$\mathscr{O}_K$上的$p$ -可除群和$p$ -幂阶有限平坦群格式进行了分类.我们还表明与晶体Dieudonne理论和相关的伽罗瓦表示的兼容性。我们的方法不同于刘的推广的显示理论，我们还获得了相关的伽罗瓦表示的兼容性。
Another proof of the almost purity theorem for perfectoid valuation rings
本文通过研究Faltings标准化长度在Frobenius映射下的行为，为完美oid估值环的几乎纯净定理提供了一个新的证明方法。
Cohomological flatness over discrete valuation rings: numerical and logarithmic criteria
本文提出在离散赋值环上实现上同调平坦性的数值和对数准则，应用于曲线和具有良好减少的阿贝尔簇torsors，给出正则模型的对数光滑性条件。
The topology on Berkovich affine lines over complete valuation rings
本文给出了完备赋值环$R$（即在诱导度量下完备的“实值赋值”赋值环）上的一维仿射解析空间$\mathbb{A}_R^1$在其分式域$K$代数闭时的拓扑.特别地，我们证明了$\mathbb{A}_R^1$是连通的和局部路径连通的。此外，$\mathbb{A}_R^1$是$K\times (1,\infty)$在规范一致结构下的完备化。作为应用，我们描述了$p$ -adic整数环$\mathbb{Z}_p$上循环$p$ -群$G$的Banach群环$\mathbb{Z}_p[G]$的Berkovich谱$\mathfrak{M}(\mathbb{Z}_p[G])$.
Models of mu_{p^2,K} over a discrete valuation ring
设R是一个离散赋值环，其剩余域的特征p>0.设K是它的分数域。证明了在一般纤维上同构于μ p^2，K}的有限平坦R-群概型是与Kummer序列一般重合的短正合序列的核.我们将明确地描述和分类这样的模型。在附录X中。Caruso利用Breuil-Kisin理论给出了在特征不相等的情况下，μ_{p^2，K}的模型的分类.
Degree $p$ Extensions of Arbitrary Valuation Rings and "Best $f$"
本文给出了 Henselian 赋值环上 p 次 Artin-Schreier 与 Kummer 扩张中“最佳 f”的显式刻画，并将其推广到更高秩赋值环的缺陷扩张情形，完善了 p 次扩张的基础理论。
Existentially defining valuations in function fields over large fields
本文研究了函数域上大域中赋值环的存在定义问题，并通过环语言参数化技术证明了其存在理论的不可判定性。
Base change of twisted Fontaine-Faltings modules and Twisted Higgs-de Rham flows over very ramified valuation rings
在这个简短的说明中，我们证明了我们以前的论文arXiv：1709.01485中定理0.6的一个更强的版本：给定一个光滑的对数方案$(\mathcal{X} \supset \mathcal{D})_{W(\mathbb{F}_q)}$，每个稳定的扭曲$f$ -周期对数希格斯丛$(E,θ)$在封闭的纤维$(X \supset D)_{\mathbb{F}_q}$将对应于一个$\mathrm{PGL}_r(\mathbb{F}_{p^f})$ -结晶表示的$π_1((\mathcal{X} \setminus \mathcal{D})_{W(\mathbb{F}_q)[\frac{1}{p}]})$，使其限制的几何基本群是绝对不可约的。
On the Spectrum of Nonstandard Dedekind Rings
非标准分析的方法应用于代数和数论。我们研究非标准的Dedekind环，例如一个数域的整数环的超积。这样的环具有丰富的结构，并且与标准的Dedekind环和它们的完备化有着有趣的关系。我们利用格理论对非标准Dedekind环的理想进行了分类。非零素理想只包含在一个极大理想中，可以用赋值论来描述。素理想的局部化给出了一个赋值环，我们确定了值群和剩余域。利用格和值群刻画了非标准Dedekind环的谱。此外，我们还研究了非标准Dedekind环及其商域的Riemann-Zerkki空间和赋值谱。
Effective models and extension of torsors over a discrete valuation ring of unequal characteristic
设R是一个具有不等特征的离散赋值环，其分式域K含有一个本原p^2单位根.设X是一个忠实平坦的R-概型，G是一个有限抽象群.我们考虑一个G-向量Y_K \to X_K，设Y是X_K在Y中的正规化。若G=Z/p^nZ，n<3，在X的某些假设下，我们给Y_K \to X_K附加了一些不变量.当p>2时，通过这些不变量，我们确定了Y \to X何时具有扩张Y_K \to X_K的torsor结构。此外，我们明确地计算了G对Y作用的有效模型（由Romagny定义）。
Integer-valued polynomials on discrete valuation rings of global fields with prescribed lengths of factorizations
该研究针对全局域赋值环上整值多项式的分解问题，证明对指定的分解长度序列，存在对应整值多项式，并将结果推广到满足条件的离散赋值环，解决了相关公开问题。
Schottky Groups over Valuation Rings
给定一个具有值群$Λ$的非平凡完全值域$K$，我们构造了一个与Bruhat-Tits树的$K$类似的$Λ$ -树空间，以及与射影线的紧子集相关联的局部有限树.我们给出了域$K$上双曲矩阵和Schottky群的定义.对于任何这样的肖特基群$Γ$，我们将紧集与$Γ$的作用相关联，使得关联树的商图是有限图，并且$Γ$与其基本群相同。最后说明一种构造这种群的方法。这一结果推广了经典的离散赋值的Mumford和非阿基米德秩1的Gerritzen和Van der Put估值。
Boundedness results for finite flat group schemes over discrete valuation rings of mixed characteristic
设$p$为素数。设$V$是混合特征$(0,p)$和分歧指数$e$的离散赋值环.设$f: G \rightarrow H$是$V$上的有限个$p$幂阶平坦交换群概型的同态，其类素是同构.本文给出了Bondarko和Liu关于$f$特殊纤维的核与上核在$e$意义下的界的一个结果的新证明.对于$e < p-1$，这一结果证明了Raynaud的一个结果.我们的界限是尖锐的刘，几乎一样尖锐的邦达科，并涉及一个非常简单和简短的方法。作为应用，我们得到了截断Barsotti-Tate群同态扩张定理的一个新证明，它加强了Tate关于$p$ -可除群同态的扩张定理.
Tame Covers and Cohomology of Relative Curves over Complete Discrete Valuation Rings, with Applications to the Brauer Group
证明了光滑p-adic曲线函数域上的非交叉积和不可分解除代数的存在性，特别是当曲线不允许Z_p上的光滑模型时，推广了arXiv 0907.0670.为了构造上同调类，我们研究了在任意混合特征的离散赋值环上，上同调类从闭纤维的全分式环到曲线的函数域的提升.
Extension of valuations in characteristic one
本文对幂等半环的适当扩张给出了一个扩张赋值定理。作为应用，我们给出了域的经典情形的一个新的证明。在此过程中，我们发展了赋值环理论中一些中心结果的特征类似物。
Cohomological Hasse principle for schemes over valuation rings of higher dimensional local fields
K.证明了Kato关于正则连通格式$\mathfrak X$的上同调Hasse原理的猜想，该格式在高局部域$F_N$的完全离散赋值环$\mathcal O_N$上是平坦的.这推广了M. Kerz，S. Saito和U.将有限域的Jannsen推广到所有高阶局部域的情形。为此，本文发展了任意有限秩赋值环上格式局部一致化的$p$ -变换定理和相应的Bertini定理，推广了O. Gabber，J. deJong，L. Illusie，M. Temkin，S.斋藤大学詹森到非诺特世界。作为应用，证明了某些高阶局部域上簇的动机上同调群是有限的。这是一个罕见的情况下，这样的结果可以显示的计划，没有有限的或可分离封闭的剩余领域。进一步证明了对于正则$X$，模极大$p'$ -可除子群的互易映射$ρ^X : \text{SK}_N(X) \to π_1^\text{ab}(X)$和范数映射$N_{X|F}: \text{SK}_N(X) \to K_N^M(F_N)$的核是有限的，且正则$X$在具有最终剩余特征$p$的高阶局部域$F_N$上是适当的.这推广了S. Bloch，K. Kato，U. Jannsen，S. Saito从有限域和局部域上的簇到更高的局部域上的簇，两者都是任意维的。
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