On a zero duality gap result in extended monotropic programming
Radu Ioan Bot, Erno Robert Csetnek
本文修正和改进了Bertsekas在[1]中给出的关于广义单调规划的一个零对偶间隙结果。
In this note we correct and improve a zero duality gap result in extended monotropic programming given by Bertsekas in [1].
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Conditions for zero duality gap in convex programming
在非光滑凸优化中，引入并研究了一个新的对偶条件，它刻画了零对偶间隙。我们证明了我们的条件是弱于所有现有的约束规格，包括封闭epigraph条件。我们的对偶条件的启发，是弱于，所谓的Bertsekas的条件monotropic规划问题。我们给出了结果的几个推论和一些特殊情况作为应用。我们特别注意多面体和次线性的情况下，和他们的影响，在凸优化。
On the duality gap and Gale's example in conic linear programming
本文的目的是重新讨论锥线性规划中的一些对偶结果，并以Gale的例子回答一个与对偶间隙函数有关的公开问题。
Generalized Affine Programming & Duality Gap with non-Division Rings
经典的原始-对偶仿射规划发生在有限维实向量空间上。这导致美丽的对偶理论，连接原始最大化问题和对偶最小化问题的最优解。这些结果包括存在对偶定理，保证最优解的任何可行的有界程序;和强对偶定理，这意味着原始和对偶程序的最优解必须有相同的目标值。在经典仿射规划的一个普通推广中，我们看到当标量环是整数时，强对偶不成立。经典的仿射规划的结果，以有序除环的扩展进行了探讨。本文用有序环（不一定是可除的）来描述仿射规划的广义集，并对存在对偶定理或强对偶定理不成立的环进行了分类。
Strong Duality Theorem for Continuous-Time Linear Programming Problems
本文证明了连续时间线性规划问题的强对偶定理，其中系数假定为分段连续函数。前一篇文章证明了分片连续函数的强对偶定理，其中间断点是左连续点。在本文中，我们提出了完全不同类型的离散原始和对偶问题，可以用来证明强对偶定理的一般情况下的不连续。
Strong duality for a problem of linear copositive programming
研究了一类线性余正规划问题的强对偶性。基于最近引入的归一化不动指标集的概念，推导出一个扩展的对偶问题。对偶问题满足强对偶关系，不需要任何额外的正则性假设，如约束规格。与以前得到的结果的主要区别在于，现在的扩展的对偶问题既不使用固定的指数本身，也没有明确的信息，这些指数的凸包。本文给出的强对偶公式与M.拉马纳湖Tuncel和H. Wolkovicz，半定规划，但使用不同的技术。
An exact duality theory for semidefinite programming based on sums of squares
Farkas引理是线性规划的一个基本结果，为线性不等式系统的不可行性提供了线性证明。在半定规划中，这种线性证明只存在于强不可行的线性矩阵不等式中。我们提供了非线性代数证明所有不可行的线性矩阵不等式的精神，真正的代数几何：一个线性矩阵不等式是不可行的，当且仅当-1在于与它相关联的二次模。我们还提出了一个新的精确对偶理论的半定规划，激发实根和平方和证书从真正的代数几何。
Exact duality in semidefinite programming based on elementary reformulations
与线性规划不同，在半定规划中，Farkas引理可能无法证明不可行性。在这里，我们通过一种基本的方法得到了SDP中不可行性的一个精确的、简短的证明：我们重新公式化任何形式为Ai*X = bi（i=1，...，m）（P）X >= 0，仅使用基本行运算和旋转。当（P）不可行时，重构系统是平凡不可行的。当（P）可行时，重构系统对所有目标函数都具有Lagrange对偶，具有强对偶性.作为推论，我们得到的算法，以产生的约束{ \em all}不可行的SDP和约束{ \em all}可行的SDP与一个固定的秩的最大解。
Lagrangian Duality for Mixed-Integer Semidefinite Programming: Theory and Algorithms
本文提出混合整数半定规划的拉格朗日对偶理论，推导对偶问题并证明其对偶界优于连续松弛界，提出三种算法及界层次，数值实验显示在最大k割问题上界更强。
Exact Augmented Lagrangian Duality for Mixed Integer Quadratic Programming
混合整数二次规划（MIQP）是在有理多面体上的混合整数点上最小化凸二次函数的问题。本文主要研究MIQP的增广拉格朗日对偶（ALD）。ALD增加了通常的拉格朗日对偶的加权非线性惩罚的对偶约束。我们首先证明了ALD将达到一个零的对偶间隙渐近的重量的惩罚趋于无穷大的罚函数在一些温和的条件下。我们接下来表明，当我们使用任何范数作为罚函数时，有限的罚权重对于零间隙是足够的。最后，我们证明了一个多项式约束的重量上的惩罚项，以获得零差距。
Algebraic Farkas Lemma and Strong Duality for Perturbed Conic Linear Programming
本文通过代数方法研究了无限维锥线性规划中扰动Farkas引理和强对偶性条件，推导了零对偶间隙的完整特征。
Projection: A Unified Approach to Semi-Infinite Linear Programs and Duality in Convex Programming
Fourier-Motzkin消去法是一种求解有限线性规划的投影算法。本文将Fourier-Motzkin消去法推广到半无限线性规划，即具有无穷多个变量和无穷多个约束的线性规划。应用投影导致新的刻画的重要性质的原始对偶对半无限的程序，如零对偶间隙，可行性，有界性，可解性。将傅立叶-莫茨金消去法推广到半无限线性规划，得到了一种新的变量分类，用于确定对偶间隙的存在性。特别是，作者称之为脏变量的存在可能导致二元差距。我们的方法在有限维凸优化中有有趣的应用。例如，零对偶间隙的充分条件，如斯莱特点的存在，被减少到保证没有脏变量。这导致了零对偶的这种充分条件的全新证明。
SDP Duals without Duality Gaps for a Class of Convex Minimax Programs
本文对一个原凸Minimax规划模型问题引入了一个新的对偶规划，它可表示为一个半定线性规划问题，并证明了当所涉及的函数是SOS-凸多项式时，原规划与对偶规划之间不存在对偶间隙.在适当的约束规格下，我们得到了这类极大极小问题的强对偶结果。因此，我们目前的应用程序，我们的结果强大的SOS凸规划问题的数据不确定性和极大极小分式规划问题的SOS凸多项式。我们得到这些结果，首先建立的平方和多项式表示的非负的凸极大值函数的SOS凸约束系统。SOS-凸多项式是凸多项式的一个重要子类，它包括凸二次函数和可分凸多项式。多项式的SOS-凸性可以通过求解半定规划问题来数值检验，而多项式的凸性的数值检验通常很困难。
Lagrange Multipliers, Duality, and Sensitivity in Set-Valued Convex Programming via Pointed Closed Convex Processes
本文针对预序赋范空间上的集值凸优化问题，引入以尖闭凸过程为变量的新拉格朗日乘子定理与对偶规划，建立强对偶定理并揭示对偶解与原问题灵敏度之间的联系，从而将标量规划方法推广到集值向量情形。
Second-Order Strong Optimality and Second-Order Duality for Nonsmooth Constrained Multiobjective Fractional Programming Problems
本文针对实巴拿赫空间中的非光滑多目标分数规划问题，提出了二阶强最优性条件与对偶性结果，通过广义方向导数建立了蕴含强KKT条件的必要性条件及充分性条件。
Duality for Robust Linear Infinite Programming Problems Revisited
本文考虑由\begin{eqnarray*} ({\rm RLIP}_c)\quad &&\inf\; \langle c,x\rangle \textrm{subject to } &&x\in X,\; \langle x^\ast,x \rangle \le r ,\;\forall (x^\ast,r)\in\mathcal{U}_t,\; \forall t\in T, \end{eqnarray*}定义的鲁棒线性无限规划问题$({\rm RLIP}_c) $，其中$X$是局部凸Hausdorff拓扑向量空间，$T$是任意（可能无限）指标集，$c\in X^*$，$\mathcal{U}_t\subset X^*\times \mathbb{R}$，$t \in T$是不确定集.对凸约束下的鲁棒线性问题$({\rm RP}_c)$提出了一种对偶方法，并建立了相应的鲁棒强对偶和稳定鲁棒强对偶.通过对$({\rm RLIP}_c) $数据的不同处理，可以回到模型$({\rm RP}_c)$，并应用$({\rm RP}_c)$的（稳定）鲁棒强对偶.利用这种方法，提出了$ ({\rm RLIP}_c)$的九种对偶问题.给出了这对原-对偶问题稳定鲁棒强对偶的充要条件，其中一些条件覆盖了文献中的几个已知结果，而另一些条件则是新的.此外，作为副产品，我们从原始-对偶问题的变元对的鲁棒强…
Relaxations and Duality for Multiobjective Integer Programming
本文研究多目标整数规划的松弛与对偶理论，提出连续、凸包和拉格朗日松弛并分析其关系，构造了在支撑解处具有强对偶性的拉格朗日对偶和集值超加性对偶，并通过数值实验验证拉格朗日对偶可获得更紧的界。
A penalization approach to linear programming duality with application to capacity constrained transport
本文提出了一种新的求解线性规划对偶问题的方法，它依赖于二次惩罚，使得被惩罚的原问题和对偶问题的解之间的关系成为仿射的。这产生了一个新的证明莱文的对偶定理容量约束最优输运作为一个无限维的应用。
On the sufficiency of finite support duals in semi-infinite linear programming
我们考虑具有可数个自然数索引约束的半无限线性规划。当约束空间是所有实值序列的向量空间时，我们证明了线性规划的有限支撑（Haar）对偶等价于线性规划的代数拉格朗日对偶。这解决了Anderson和Nash [无限维空间中的线性规划：理论与应用，Wiley 1987]留下的一个问题。这个结果意味着，如果有一个对偶间隙之间的原始线性规划和它的有限支持对偶，那么这个对偶间隙不能通过考虑更大的空间的对偶变量，定义代数拉格朗日对偶关闭。然而，如果约束空间对应于所有实值序列的某些子空间，则可能存在与有限支撑对偶的严格正对偶间隙，但与代数拉格朗日对偶的零对偶间隙。
Applications of gauge duality in robust principal component analysis and semidefinite programming
规范对偶理论由Freund [Math.Programming，38（1）：47 - 67，1987]提出，最近由Friedlander，Mac {ê} do和Pong [SIAM J.Optm.，24（4）：1999 - 2022，2014]。在求解矩阵最优化问题时，通常可以避免全矩阵分解，如奇异值和/或特征值分解。在这种方法中，在第一阶段中解决规范对偶问题，然后可以从第一阶段中获得的对偶最优解恢复原始问题的最优解。最近，该理论已被应用于一类\emph{semidefinite programming}（SDP）问题，并得到了有希望的数值结果[Friedlander和Mac {ê} do，SIAM J. Sci.比较器，出现，2016年）。本文将规范对偶理论应用于鲁棒\emph{principal component analysis}（PCA）和一般SDP，建立了一些理论结果。对于每个问题，我们提出了其规范对偶问题，刻画了原始-对偶规范对的最优性条件，并验证了从对偶规范对恢复原始最优解的方法。这些结果是[Friedlander and Mac {ê} do，SIAM J. Sci.比较器，出现，2016]从核范数正则化到鲁棒PCA，以及从要求线性目标中的系数矩阵为正定的一类特殊SDP到没有此限制的SDP问题。我们的结果提供了进一步的理解规范对偶理论的潜在的优点和缺点。
A Framework for Eliminating Paradoxical Orders in European Day-Ahead Electricity Markets through Mixed-Integer Linear Programming Strong Duality
本文提出基于Augmented Lagrangian对偶性框架的新型定价机制，通过强对偶性消除悖论订单，确保市场透明和财务一致性，同时改进计算方法以提高可行性。
Semidefinite Programming Duality in Infinite-Horizon Linear Quadratic Differential Games
本文将半定规划的分析应用扩展至连续时间无限时间线性二次微分博弈，利用Gramian表示技术提出新的原对偶方法建立鞍点，并首次将其用于LQ博弈和$\mathcal{H}_\infty$控制的原对偶分析。
Real ideal and the duality of semidefinite programming for polynomial optimization
研究了半代数集上多项式消失生成的理想，提出了一种基于柱面代数分解技巧的生成元计算算法。应用这些方法，可以等价地修改带有多项式等式约束的多项式最优化问题，使得相应的半定规划松弛问题没有对偶间隙.给出了理想实性的一些判别准则的初等证明。
Convex duality in stochastic programming and mathematical finance
本文提出了一个一般的对偶框架的问题，最小化凸积分泛函在一个空间的随机过程适应于一个给定的过滤。该框架统一了运筹学和金融数学中许多著名的对偶框架。统一允许一些有用的技术从这两个领域的扩展到更广泛的一类问题。特别是，结合某些有限维技术从凸分析与测量理论技术从金融数学，我们能够关闭的对偶差距在某些情况下，传统的拓扑参数失败。
Geometric Duality for Convex Vector Optimization Problems
多目标线性规划问题的几何对偶理论被证明是非常有用的有效算法的发展，以产生或近似整个结局空间中的非受控点的集合。本文将几何对偶理论推广到凸向量最优化问题。
On Positive Duality Gaps in Semidefinite Programming
我们提出了一种新的具有正对偶间隙的半定规划（SDP）分析，即原始问题和对偶问题中不同的最优值。这些SDP是极端病态的，通常是不可解的，也可以作为更一般的病态凸规划的模型。然而，尽管它们很有吸引力，但即使只有两个变量，它们也没有得到很好的理解。我们首先完全描述两个变量的SDP与积极的差距，特别是，我们把它们转换成一个标准式，使积极的差距微不足道的认识。转换非常简单，因为它主要使用来自高斯消去法的基本行运算。接下来，我们表明，两个变量的情况下，揭示了更大的SDPs与积极的差距：我们提出的SDPs在任何维度中，其中的积极差距是由相同的结构，在两个变量的情况下。我们分析了一个基本的参数，{ \em奇异度}的双光子带隙，并表明它是最大的，可以导致一个积极的差距。最后，我们生成了一个库的困难的SDPs与积极的差距（其中一些SDPs只有两个变量），并提出了一个计算研究。
On Generalized Surrogate Duality in Mixed-Integer Nonlinear Programming
求解具有空间分支定界的混合整数非线性规划（MINLP）的全局ε-最优性的最重要的因素是一个紧的，计算上易于处理的松弛。由于理论和实际的考虑，MINLP的松弛通常被要求是凸的。尽管如此，当前的优化求解器通常可以成功地处理适度存在的非凸性，这为使用潜在的更紧密的非凸松弛打开了大门。在这项工作中，我们利用这一事实，并利用非凸松弛通过聚合的约束：代理松弛。这些松弛在70年代和80年代被积极地研究线性整数规划，但从那以后很少被考虑。我们重新审视这些松弛在MINLP设置，并显示计算的好处和挑战，他们可以有。此外，我们研究了这样的放松，允许同时进行多个聚合的推广，并提出了第一个算法，能够计算出最好的聚合。我们提出了大量的计算增强，以提高其实际性能，并评估算法的能力，通过广泛的计算实验产生强大的对偶界限。
Strong duality in conic linear programming: facial reduction and extended duals
Borwein和Wolkowicz的面约简算法和Ramana的扩展对偶在没有任何约束规格的情况下为圆锥线性规划$$ (P) \sup {<c, x> | Ax \leq_K b} $$提供了强对偶。面部缩小算法解决一系列辅助最优化问题以获得这样的对偶。Ramana的对偶适用于（P）是半定规划（SDP）并且本身是显式SDP的情况。Ramana，Tuncel和Wolkowicz证明了这些方法是密切相关的;特别是，他们使用来自面部简化算法的证书证明了Ramana的对偶的正确性。在这里，我们给出了一个明确的和自我包含的论述面减少，扩展的dummy，并推广Ramana的双：-我们国家一个简单的面部减少算法，并证明其正确性;和-建立在这个算法上，我们构建一个家庭的扩展dummy时，$K$是一个{ \em尼斯}锥。这类锥包括半定锥和其他重要的锥。
Zero-Sum Games and Linear Programming Duality
本文针对零和博弈极小极大定理与线性规划强对偶定理的互推问题，修正了 Dantzig 的不完整证明，并扩展其博弈构造以判定最优解的存在性。
Optimal insurance demand under marked point processes shocks: a dynamic programming duality approach
研究了在非破产约束下，使终端财富的期望效用最大化的随机控制问题。财富过程受一般标值点过程产生的冲击的影响。代理人的问题是得到最优的保险策略，允许“降低”的冲击水平。这个最优化问题涉及到一个合适的对偶随机控制问题，其中微妙的边界约束消失。我们将对偶值函数刻画为相应的Hamilton Jacobi Bellman变分不等式（简称HJBVI）的唯一黏性解。
On Tropical Linear and Integer Programs
本文给出了热带线性规划强对偶定理和弱对偶定理的简洁紧凑的证明。因此，对于一对热带原始-对偶问题，不存在对偶间隙。这一结果与已知的性质subeigenvectors一起，使我们能够直接解决一个特殊的热带双边约束的线性规划。我们还研究了热带整数线性规划的对偶间隙。原问题有一个直接的解。对于对偶问题，给出了一个二次复杂度的算法。只要目标函数的系数都是整数，就可以直接求解。该解决方案在一般情况下产生最优目标函数值的良好估计。
A Simpler Approach to Linear Programming
Dantzig和Eaves声称，线性规划的基本对偶定理是傅立叶消去法的一个微不足道的结果。另一个性质的傅立叶消除被认为是在这里，关于存在的隐式等式，而不是可解性。这导致了对偶理论的不同解释，允许我们使用高斯消元法来确定有界系统的线性不等式系统的可解性。
Duality Gap in Interval Linear Programming
本文讨论了用实封闭的区间表示不精确数据的线性规划问题。区间数据的最优化问题在实际计算中经常出现，四十多年来一直是理论界关注的问题。本文将对偶间隙（DG）的概念推广到区间线性规划中。我们考虑两种情况：首先，DG是零的区间参数的每个实现（所谓的强零DG），第二，DG是零的区间参数的至少一个实现（所谓的弱零DG）。我们刻画了强零DG和弱零DG及其系数系数矩阵为实数的特殊情形。本文讨论了用实系数矩阵检验常用类型的区间线性规划及其变型的弱零DG和强零DG的计算复杂性。我们区分NP难的情况下，是有效的判决的情况下。基于DG条件，我们推广了Rohn给出的关于最优值集的界的结果.我们提供了等价的声明的界限
On modeling and global solutions for d.c. optimization problems by canonical duality theory
本文提出了一个正则d.c.（正则与凸函数之差）规划问题，它可以用来模拟复杂系统中的一般全局最优化问题。结果表明，利用正则对偶理论，可以将一类非凸极小化问题等价地转化为凸区域上的统一凹极大化问题，并在一定条件下易于求解.此外，还对试探性理论进行了详细的证明，证明了试探性理论可用于识别局部极值解。应用举例说明和开放的问题。
Strong duality and sensitivity analysis in semi-infinite linear programming
一维线性规划满足强对偶性（SD），并具有“对偶定价”（DP）性质。（DP）性质确保，给定右侧向量的足够小的扰动，存在通过计算最优目标函数值的精确变化来正确地“定价”扰动的对偶解。这些性质在约束向量空间为无穷维的半无限线性规划中可能失效。与有限维情况不同，在半无限线性规划中，约束向量空间是建模的选择。我们表明，对于一个充分限制的向量空间，（SD）和（DP）始终保持，在限制该空间的扰动的成本。本文的主要目标是将这个有限空间扩展到最大可能的约束空间，其中（SD）和（DP）保持。一旦（SD）或（DP）对于给定的约束空间失效，则这些条件对于所有更大的约束空间失效。本文给出了（SD）和（DP）在扩展约束空间中成立的充分条件。我们的结果需要使用的线性泛函是奇异的或纯粹的可加性，因此不能表示为有限的支持向量。理解这些线性泛函的关键是将Fourier-Motzkin消去法推广到半无限线性规划。
Relaxation in infinite convex programming under Slater-type regularity conditions
本文研究了在Slater型正则条件下，无限凸规划与二共轭松弛之间的零对偶间隙问题，并将其应用于对偶理论。
Property {A} and duality in linear programming
性质A是群和度量空间的弱顺从性的一种形式，作为著名的诺维科夫高等签名猜想的一种方法而引入，诺维科夫高等签名猜想是拓扑学中最重要的未解决问题之一。我们证明了性质A可以归结为有限图上的一系列线性规划最优化问题。我们探讨的双重问题，这原来有有趣的解释组合问题的最大总供应流量的网络。利用等周不等式，将对偶问题与图的Cheeger常数联系起来，并探讨了图的对称性所起的作用，从而得到了扩张图与无性质A的图之间区别的一个显著特征.性质A是一种新的与图论相关的图的连通性度量。对偶线性问题可以使用多种方法来解决，我们在几个启发性的例子中证明了这一点。作为演示的权力，这种线性规划的方法，我们给优雅的证明，Nowak和Willett定理的图没有属性A。
Dualities in Convex Algebraic Geometry
凸代数几何关注最优化理论和实代数几何之间的相互作用。它的研究对象包括凸半代数集，出现在半定规划和平方和。本文比较了三个概念的对偶性是相关的，在这些情况下：对偶性的凸体，对偶性的投射品种，和Karush-Kuhn-Tucker条件来自拉格朗日对偶。证明了多项式规划的最优值是一个代数函数，其极小多项式由与约束集投影对偶的超曲面表示。我们给出了一个阐述最近的结果上的边界结构的凸包的一个紧凑的品种，我们对比这拉塞尔的表示作为一个spectrahedral阴影，我们探索的几何基础的半定规划对偶。
On the lower semicontinuity and subdifferentiability of the value function for conic linear programming problems
引理1来自论文[N.E. Gretsky，J.M.奥斯特鲁瓦Zame，Subdividability and the duality gap，Positivity 6：261- 274，2002]断言，标准式的无限维线性规划问题的值函数$v$是下连续的，只要$v$是适当的，并且所涉及的空间是赋范向量空间.本文证明了这种说法在有限维空间中也是错误的，并给出了希尔伯特空间中（真）值函数不是下连续的线性规划问题的一个例子（因此它不是次可微的）在其域中的任何点，其中一个表明，在Kretschmer间隙例子中，值函数对其定义域的限制在该定义域的任何点的任何邻域上都没有界。域，并讨论在同一篇论文中完成的其他断言。
Lack of Equality between Abel and Cesaro Limits in Discrete Optimal Control and the Implied Duality Gap
在最近的一篇文章中，我们证明了如果某个离散时间最优控制问题的Cesaro和Abel极限不相等，那么在某个无穷维线性规划问题和它的对偶问题之间存在一个对偶间隙.在本文中，我们构造了一个问题的例子，满足上述文件的假设，其中Cesaro和阿贝尔极限是不同的。
Constrained optimization as ecological dynamics with applications to random quadratic programming in high dimensions
二次规划是一种常见而重要的约束优化问题。在这里，我们得到了一个令人惊讶的二元约束优化不等式约束-QP是一个特例-和消费者资源模型描述生态动态。结合这种对偶性与最近的“腔解决方案”，我们分析高维，随机QP的优化功能和约束随机绘制。我们的理论显示出与数值计算的惊人一致性，并指出了优化、动力系统和生态学之间的深刻联系。
Learning to Optimize by Differentiable Programming
本教程介绍利用可微编程学习设计一阶优化算法，通过端到端训练提升收敛性和解质量，并基于Fenchel-Rockafellar对偶性展示ADMM和PDHG等算法的学习与适应。
Strong Duality in Risk-Constrained Nonconvex Functional Programming
本文证明一类广泛的风险约束非凸函数优化问题具有强对偶性，涵盖可分解与结构化不可分解策略，并应用于无线资源分配与监督约束学习。
An SDP dual relaxation for the Robust Shortest Path Problem with ellipsoidal uncertainty: Pierra's decomposition method and a new primal Frank-Wolfe-type heuristics for duality gap evaluation
这项工作解决了鲁棒对应的最短路问题（RSPP）与相关的不确定性集。由于这个问题是困难的，启发式方法，基于Frank-Wolfe的算法命名为离散Frank-Wolf（DFW），最近被提出。本文的目的是提出一个半定规划松弛的RSPP，提供了一个下界，以验证方法，如DFW算法。放松的问题的结果，从一个二元化，这是{通过}一个重新制定的RSPP到一个二次问题。然后松弛的问题是解决使用稀疏版本的Pierra的分解在积空间的方法。这种验证方法适用于大规模的问题。数值实验表明，放松和启发式方法得到的解决方案之间的差距是相对较小的。
Closing the gap around the essential minimum of height functions with linear programming
本文通过线性规划对偶性理论，证明高度函数本质最小值的上下界可通过强对偶性闭合，同时证明该最小值可由代数整数序列实现且在Green函数可计算时为可计算实数。
A Note on Cores and Quasi Relative Interiors in Partially Finite Convex Programming
最小化受线性约束的熵泛函问题是部分有限凸规划的一个有用的例子。在20世纪90年代，Borwein和Lewis提供了广泛且易于验证的条件，保证了此类问题的强对偶性。他们的方法是在相关的无限维集合的拟相对内部构造一个函数，这确保了相关的有限维集合的核心中存在一个点。我们重新审视这个问题，并提供了一个替代的证明，直接呼吁的核心的定义，而不是依靠任何性质的准相对内部。我们的方法承认一个轻微的放松的线性独立性的要求，在Borwein和Lewis的框架，这使我们能够与某些分段定义的时刻功能排除他们的条件。我们提供了这样一个计算的例子，说明了如何松弛可以用来驯服观察到的吉布斯现象时，基础数据是不连续的。这种放松说明了我们可以从有限维和无限维两个方面处理部分有限问题所获得的理解。这两种方法的比较是有益的，因为这两种证明都是建设性的。
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