Fractional Vector Calculus and Fractional Special Function
Ming-Fan Li, Ji-Rong Ren, Tao Zhu
在球坐标系下讨论分数阶向量微积分。用级数展开法和数值方法求解了勒让德方程和分数阶贝塞尔方程的一种变形。最后，我们推广了超几何函数。
Fractional vector calculus is discussed in the spherical coordinate framework. A variation of the Legendre equation and fractional Bessel equation are solved by series expansion and numerically. Finally, we generalize the hypergeometric functions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Applications of local fractional calculus to engineering in fractal time-space: Local fractional differential equations with local fractional derivative
提出了一种基于局部分数阶微积分的分形时间空间工程问题建模方法。通过实例说明了如何建立含分数阶导数的控制方程。
Fractional Trigonometric Functions in Complex-valued Space: Applications of Complex Number to Local Fractional Calculus of Complex Function
本文介绍了复值空间中的分数阶三角函数，并给出了分形空间中复值函数的局部分数阶微积分的一个概要。
Series expansion in fractional calculus and fractional differential equations
分数阶微积分是非整数阶的微分和积分的微积分。在最近的一篇论文（Annals of Physics 323（2008）2756-2778）中，分数阶微积分的基本定理被强调。基于这一定理，本文将分数阶级数展开法引入分数阶微积分中。定义了一类无穷分数阶可微函数的分数阶泰勒级数。进一步，基于我们的定义，我们推广了超几何函数，并导出了相应的微分方程。对于非无穷分数可微函数，我们发现其非无穷分数可微性是由多个分数阶指数引起的。我们展开函数的两个分数指数，并显示如何这种级数展开可以帮助解决分数阶微分方程。
Fractional Vector Calculus and Fractional Maxwell's Equations
非整数阶导数和积分的理论可以追溯到莱布尼茨、刘维、格伦沃尔德、列特尼科夫和黎曼。分数阶向量微积分（FVC）的发展只有10年的历史。本文简要介绍了近年来在物理学中采用的计算FVC的主要方法。我们利用微积分基本定理的分数阶推广，解决了FVC相容公式的一些问题。我们定义了微分和积分向量运算。给出了分数阶格林定理、斯托克斯定理和高斯定理。这些定理的证明是在最简单的区域上实现的。讨论了微分形式的外微分的分式推广。研究了分数阶非局域麦克斯韦方程组和相应的分数阶波动方程。
Confluent Hypergeometric Equation via Fractional Calculus Approach
本文利用分数阶微积分理论证明了合流超几何方程的解是可能的。我们的方法是比较与标准的（Frobenius），这是基于普通微积分的整数阶。
Stability of a class of entropies based on fractional calculus
在这项工作中，我们讨论了一些系统的Lesche稳定性，这是出于使用分数阶导数。
Integral equations, fractional calculus and shift operator
我们提出了一个以前开发的方法采用的形式主义的分数阶导数来解决新的类积分方程的扩展。这种方法使用不同形式的积分算子，推广了指数移位算子。
Calculus of variations with fractional derivatives and fractional integrals
本文证明了Euler-Lagrange分数阶方程，并证明了泛函同时含有分数阶导数和分数次积分的变分法问题在Riemann-Liouville意义下的最优性充分条件。
Introduction to the techniques of the fractional calculus to investigate some models of the mathematical physics (in Portuguese)
在本文中，我们诉诸拉普拉斯变换方法，以显示其效率时，接近某些类型的分数阶微分方程。特别是，我们提出了一些这样的方法的应用时，适用于某些物理问题的线性粘弹性和谐振子的可能的概括，证明分数微积分是非常适合的建模和解决问题通常由普通整数微积分处理，具有前途的优势，能够提供更准确的理论预测，以适应与实验数据。OBS：葡萄牙文文章，在RBEF（Revista Brasileira de Ensino de Física）上发表。
General fractional calculus and Prabhakar's theory
一般分数阶微积分提供了一个优雅的和自洽的路径走向推广分数阶微积分的一个增强类的内核。Prabhakar的理论在某种程度上可以被认为是将Prabhakar（或三参数Mittag-Leffler）函数与分数阶微积分的标准公式（Riemann-Liouville和Caputo）的一般智慧相结合而实现的。在这里，我讨论了一些影响，出现时，试图框架Prabhakar的理论程序中的一般分数微积分。
Fractional Calculus for Continuum Mechanics - anisotropic non-locality
本文将分数阶连续介质力学公式推广至各向异性非局部性情形，基于非局部的分数阶变形梯度构建理论，其优势在于结构与经典连续介质力学框架类似，便于赋予物理与几何意义。
Analytical solution of local fractional Klein-Gordon equation for the generalized Hulthen potential
在一维标量势即广义Hulthen势的保形分数阶微积分域中研究了一维Klein-Gordon（KG）方程.一致分数阶微积分是基于一致分数阶导数的，它是非整数阶微积分中最自然的定义。分数阶微分方程可以通过这种导数算子解析求解。我们得到了分数阶KG方程的本征值和本征函数的精确解，研究了分数阶KG方程中相对论效应的演化。
A Stochastic Fractional Calculus with Applications to Variational Principles
我们介绍一个随机分数阶微积分。作为应用，我们提出了一个随机分数阶变分法，它将分数阶变分法推广到随机过程。一个随机分数欧拉-拉格朗日方程得到，扩展了经典的，分数的，和随机变分法的文献中提供的。为了说明我们的主要理论结果，我们讨论了两个例子：一个来自量子力学，第二个验证了充分的数值模拟。
A Fractional Calculus of Variations for Multiple Integrals with Application to Vibrating String
介绍了多重积分变分法的一种分式理论。我们的方法使用了最近的概念黎曼刘维分数导数和积分的意义上的Jumarie。主要结果提供分数版本的格林和高斯定理，分数欧拉-拉格朗日方程，分数自然边界条件。作为应用，我们讨论了分数阶弦振动方程。
Fractional Calculus in Wave Propagation Problems
分数阶微积分，允许任何正阶的积分和导数（术语“分数”仅因历史原因而保留），可以被认为是数学物理的一个分支，主要处理积分微分方程，其中积分是具有幂律类型的弱奇异核的卷积形式。近几十年来，分数阶微积分在应用科学的各个领域中得到了越来越多的应用。在这堂课中，我们将专注于线性粘弹性介质中的波传播问题。我们的目的是概述分数阶微积分的作用，在提供最简单的演化过程是扩散和波传播之间的中间。本文主要反映了作者近几十年来在相关科学领域的研究活动和风格。
A Formulation of Noether's Theorem for Fractional Problems of the Calculus of Variations
分数阶（或非整数阶）微分是一个重要的理论和应用概念。分数阶导数变分问题的研究是一个比较新的课题，主要成果是2002年得到的Euler-Lagrange分数阶最优性条件。在这里，我们使用欧拉-拉格朗日分数极值的概念来证明诺特型定理。为此，我们提出了一个推广的经典概念的守恒律，引入一个适当的分数算子。
Fractional Calculus in C and linear ODE's with Analytic Coefficients, Part 1
在复平面上的分数阶微积分理论并不是建立在一个特定的应用上的。应用的主要障碍是难以获得分数阶导数和积分的解析延拓。众所周知，如果一个函数在单连通区域上解析，那么它的分数阶导数和积分在这个区域上也是解析的。在多连通域中，一般情况下，此属性不成立。然而，对于超几何函数集$_{p+1}F_{p},p\geq 2$，该性质被保留。我们提出了一个新版本的分数阶微积分，这使我们能够揭示这种保存的原因，并介绍了广泛的功能类，可以构建一个适当的理论。这使我们能够找到一个有意义的应用，我们的微积分中的渐近理论的线性常微分方程的解析系数。
Local Fractional Calculus: a Review
本文的目的是回顾与1996年引入的局部分数阶导数概念相关的发展。我们认为它的定义，性质，影响和可能的应用。这涉及到局部分数泰勒展开，莱布尼茨规则，链规则等应用程序中，我们考虑的分形时间过程的局部分数扩散方程和分形介质的应力和应变之间的关系。最后，我们指出了局部分数阶微分方程的一个随机形式。
Deriving friction force using fractional calculus
本文利用分数阶微积分，通过考虑耗散过程中时间的不均匀流动来推导摩擦力，所得拉格朗日量中的分数阶项给出正确的欧拉-拉格朗日及哈密顿方程，并在能量测量中消失。
Fractional Ito Calculus for Randomly Scaled Fractional Brownian Motion and its Applications to Evolution Equations
本文提出了一种针对随机缩放分数布朗运动的分数Ito calculus，并将其应用于广义时间分数演化方程的研究。
Necessary Optimality Conditions for Fractional Action-Like Integrals of Variational Calculus with Riemann-Liouville Derivatives of Order $(α,β)$
本文导出了由J.Cresson和S. M.达斯得到并讨论了一些有趣的结果。
A Generalized Fractional Calculus of Variations
研究了广义分数次变分问题，其Lagrange函数依赖于经典导数和广义分数次积分及导数.我们得到了基本问题和等周问题的最最优性条件，自由边界值问题的横截性条件，以及一个推广的Noether型定理.
Dirac factorization and fractional calculus
我们表明，狄拉克因子分解方法可以成功地用于处理涉及运营商提出的分数幂的问题。我们采用的技术是基于扩展的泡利矩阵和单位根的属性。我们还评论的可能性，使用该方法线性化的发展方程包含微分算子的$n$次根，并与其他技术进行比较，涉及适当的变换。
Connecting the grain-shearing mechanism of wave propagation in marine sediments to fractional calculus
在从分数Kelvin-Voigt模型导出的扩散-波动方程式与从Buckingham的颗粒剪切（GS）模型[J. Acoust. Soc. Am. 108，2796-2815（2000）]中的波传播。GS模型的材料脉冲响应函数被发现是类似的幂律记忆内核，这是固有的分数阶微积分的框架。由GS模型导出的纵波波动方程式和横波波动方程式分别为Kelvin-Voigt分数阶导数波动方程式和分数阶扩散波动方程式。此外，Kelvin-Voigt分数阶导数波动方程式和时间分数阶扩散波动方程式中存在的特征分数阶的物理解释推断从GS模型。GS模型的剪切波动方程式预测了分数框架中的扩散和波传播。总体目标是表明分数阶微积分不仅仅是一个数学框架，可以用来曲线拟合材料的复杂行为，但它也可以从真实的物理过程中得到证明。
Variational Calculus with Conformable Fractional Derivatives
研究了动力学中有外力作用时变分法的共形分式问题的不变条件。根据所考虑的变换类型，得到了不同的不变性必要条件。作为特殊情况，我们证明了分数版本的诺特对称性定理。分数阶最优控制问题的不变量条件，利用哈密顿形式，也进行了研究。作为物理学中潜在应用的一个例子，我们表明，与保形导数，它是可能的，制定一个作用原理的摩擦力下的粒子，这是远远简单的比一个经典的分数阶导数。
Fractional Calculus of Variations of Several Independent Variables
证明了多维分部积分的广义分数阶导数和积分公式。新的结果使我们能够获得最优性条件的多维分数变分问题的拉格朗日依赖于广义偏积分和导数。给出了广义分数阶Noether定理、Dirichlet原理的一个表述和唯一性结果。
Fractional Calculus: Integral and Differential Equations of Fractional Order
在Riemann-Liouville分数阶微积分的框架下，引入了分数阶积分和分数阶微分的线性算子。特别注意的是专门用于处理这些运营商的拉普拉斯变换的技术，以方便应用科学家，避免非生产性的泛泛而谈和过度的数学严谨。应用这一技巧，我们将导出最简单的分数阶线性积分和微分方程的解析解。我们显示的基本作用的Mittag-Leffler函数，其属性报告在一个特设附录。讨论的题目是：（a）Riemann-Liouville分数阶微积分的基本原理和Laplace变换的基本公式，（b）Abel型第一类和第二类积分方程，（c）松弛型和振动型分数阶微分方程。
From constructive field theory to fractional stochastic calculus. (II) Constructive proof of convergence for the Lévy area of fractional Brownian motion with Hurst index $α\in(1/8,1/4)$
{Let $B=(B_1(t),...,B_d(t))$是具有赫斯特指数$α<1/4$的$d$维分数布朗运动，或者更一般地是其路径具有相同局部正则性的高斯过程。定义正确的迭代积分的$B$是一个困难的任务，因为它的路径的低Hölder正则性指数。而粗糙路径理论表明它是构造关于$B$的随机分析或求解由$B$驱动的微分方程的关键。我们打算在一系列的文件中展示如何desingularize迭代积分的弱，奇异的非高斯扰动的高斯测量定义的法律程序中的限制。收敛性证明使用“标准”工具建设性域论，特别是集群扩展和重整化。这些强大的工具允许最佳估计，并要求扩展高斯工具，例如Malliavin演算。在第一篇介绍性论文\cite{MagUnt1}之后，这篇论文集中于二阶迭代积分（也称为Lévy面积）收敛性的构造性证明的细节。
Fractional calculus and generalized Mittag-Leffler type functions
研究了两个广义Mittag-Leffler型函数的广义分数次积分算子.我们感兴趣的特殊情况包括广义Fox-Wright函数和广义M-级数与K-函数。在下一节中，我们首先回顾了在分数阶微积分中最广泛使用的几种广义分数次积分算子。第三节给出了M-级数和K-函数的定义及其与特殊函数的关系。第四节和第五节给出了广义M-级数和K-函数的有效分数阶微积分。最后一节简要总结并开辟了新的视角。本文所建立的结果推广了广义Mittag-Leffler型函数利用左右边广义分数次微分积分算子的近期性质。该说明的结果也在物理学和数学工程的重要应用。
The DuBois-Reymond Fundamental Lemma of the Fractional Calculus of Variations and an Euler-Lagrange Equation Involving only Derivatives of Caputo
非整数阶导数和积分在三个多世纪前就被引入，但直到最近才因其在非局部现象上的应用而受到更多的关注。在这种情况下，Caputo导数是物理学家中最流行的分数阶微积分方法，因为涉及Caputo导数的微分方程需要正则边界条件。受物理学和其他科学中的一些应用的启发，分数阶变分法目前正在快速发展。然而，目前所有的分数阶变分公式都不能给出一个只有Caputo导数的Euler-Lagrange方程。在这项工作中，我们提出了一种新的方法，通过推广的杜波依斯-雷蒙德引理，并显示如何欧拉-拉格朗日方程只涉及Caputo衍生物可以得到的分数变分法。
Limiting Approach to Generalized Gamma Bessel Model via Fractional Calculus and its Applications in Various Disciplines
根据不同的方法，可以为我们的应用程序中的概率论和随机过程的分数微积分的要点建立。除此之外，从这个分数积分中可以列出几乎所有的路径参数$q < 1$和$q \rightarrow 1$的扩展密度。在这里，我们提出了与伽马型分布相关的厚尾或薄尾模型作为路径算子的限制情况的想法。建立了该模型在统计力学、输入输出模型、太阳光谱辐照度建模等方面的应用。
Matrix approach to discrete fractional calculus II: partial fractional differential equations
提出了一种新的离散化方法，该方法能方便地离散具有任意实阶导数（所谓分数阶导数）和时滞的偏微分方程，并以各种类型的分数阶扩散方程的数值解为例加以说明.所建议的方法是Podlubny矩阵方法的发展（Fractional Calculus and Applied Analysis，vol.3，no.4，2000，359- 386）。四个例子的数值解的分数扩散方程的各种组合的时间/空间分数导数（整数/整数，分数/整数，整数/分数，分数/分数）相对于时间和空间变量，以说明如何简单和一般的建议的方法。第五个例子说明了该方法同样可以简单地用于含时滞的分数阶微分方程。一组MATLAB例程的方法，以及用于解决的例子的示例代码的实施已经开发。
Jacobi convolution series for Petrov-Galerkin scheme and general fractional calculus of arbitrary order over finite interval
本研究将有限区间上的一般分数阶微积分扩展至任意阶，并引入Jacobi卷积级数作为基函数开发高效Petrov-Galerkin格式，利用其导数为移位Jacobi多项式的特性实现对角刚度矩阵，适用于任意核。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。