Blow-up rate of the mean curvature during the mean curvature flow and a gap theorem for self-shrinkers
在本文中，我们证明了，中曲率爆破在第一奇异时间$T$的任何紧凑的，I型中曲率流的第第二基本型相同的速度。对于曲面的中曲率流，只要高斯密度小于2，我们也得到了类似的结果。我们的证明是基于连续重新标度和分类的自收缩。我们发现，所有的奇异集的概念定义在\cite{St}一致的任何I型中曲率流，从而推广了斯通的结果，建立了任何平均凸I型中曲率流。我们还建立了一个间隙定理的自收缩。
2010-11-23 math.AP math.DG
Gaussian-Weighted Curvature Gaps for Self-Shrinkers
Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；Nanjing University（南京大学）
本文利用法坐标函数和加权Poincaré不等式，证明嵌入自收缩子高斯加权L²曲率积分的下界，并结合熵间隙定理得到非球面闭自收缩子的严格曲率间隙，在二维情形推广到完整嵌入自收缩子。
2026-06-15 math.DG
Gap theorems for complete self-shrinkers of $r$-mean curvature flows
本文通过引入修正第二基本形式和推广漂移拉普拉斯算子的二阶微分算子，证明了 $r$-平均曲率流完备自收缩子的间隙定理，推广了 Cao-Li 与 Cheng-Peng 的结果。
2024-04-01 math.AP math.DG
Geometry of Two-dimensional Self-shrinkers
证明了二维自收缩算子远离原点的一个局部图定理。作为应用，我们研究了有限亏格的非紧自收缩算子的渐近性态。另外，我们还证明了具有有界中曲率和一致局部有限亏格的二维非紧自收缩器的第二基本型的一致有界性。
2015-05-01 math.AP math.DG
A Gap Theorem for Self-shrinkers of the Mean Curvature Flow in Arbitrary Codimension
本文证明了任意余维下具有$|A|^2\le 1$的中曲率流的自收缩子的分类定理。特别是，这意味着一个间隙定理的自收缩在任意余维。
2012-02-02 math.DG
Halfspace type theorems for self-shrinkers in arbitrary codimension
本文将余维为1的自收缩算子的半空间型定理推广到任意余维的情形。
2022-02-22 math.DG
The rigidity theorems of self shrinkers
利用极小子流形理论中的某些思想，研究了自收缩算子的刚性问题。证明了自收缩器的第二基本型的平方范数在逐点条件和积分条件下的刚性结果。
2011-05-25 math.DG
Compactness and finiteness theorems for rotationally symmetric self shrinkers
本文首先证明了熵小于2的旋转对称自收缩器的紧性定理，从而证明了对于旋转对称自收缩器类中的每个$n \geq 2$，都存在与$S^1 \times S^{n-1}$同构的熵最小化自收缩器.假设超对称，即轮廓曲线是凸的，我们去除熵假设。假设轮廓曲线是另外反射对称的，我们表明只有1000多个这样的收缩刚性运动。
2020-06-28 math.DG
Rigidity and ε-regularity theorems of Ricci shrinkers
本文研究Ricci收缩孤子的刚性与ε-正则性，证明渐近体积比和局部体积的刚性，改进局部熵与曲率的ε-正则性定理，并据此刻画无穷远处结构，给出曲率满足自然积分条件时渐近于锥的结论。
2023-08-12 math.DG
On the entropy of closed hypersurfaces and singular self-shrinkers
自收缩子是$\mathbf{R}^{n+1}$中中曲率流的特殊解，它们通过相似收缩而演化，作为流的奇异性模型。超曲面的熵是由Colding-Minicozzi引入的中曲率流的李雅普诺夫泛函，并且是他们的一般中曲率流理论的基础。本文证明了Colding-Ilmanen-Minicozzi-White的一个猜想，即$\mathbf{R}^{n+1}$中的任何闭超曲面的熵至少等于圆球的熵，在任意维数$n$中成立. Bernstein-Wang用一个精心构造的弱流，对$n\leq 6$的情况，以前已经建立了这个结果。本文的主要技术成果是一个扩展的冷Minicozzi的分类熵稳定的自收缩奇异设置。特别是，我们表明，任何熵稳定的自收缩的奇异集满足Wickramasekera的$α$结构假设必须是一个圆形的圆柱$\mathbf{S}^k(\sqrt{2k})\times \mathbf{R}^{n-k}$。
2016-07-26 math.DG
A rigidity theorem on the second fundamental form for self-shrinkers
本文放宽了自收缩子第二基本形式积分条件的界至任意有限常数，推广了先前刚性定理。
2017-01-27 math.DG
A gap theorem of self-shrinkers
本文研究了欧几里得空间中的完备自收缩子，证明了如果第第二基本型的平方范数$S$为常数且满足$S<(10/7)$，则欧几里得空间中具有多项式体积增长的$n$维完备自收缩子$\mathbb{R}^{n+1}$与$\mathbb{R}^{n}$，$S^{n}(\sqrt{n})$或$\mathbb{R}^{n-m}\times S^m (\sqrt{m})$，$1\leq m\leq n-1$等距.
2012-12-25 math.DG
Rigidity and gap theorems for Ricci shrinkers
本文证明了Ricci收缩体的局部Ricci曲率和ν-熵间隙定理，扩展了Munteanu-Wang和作者与Ma之前的成果，并提供了一种局部去除Ricci流I型奇点的标准。
2026-05-09 math.DG
The Rigidity Theorems of Self Shrinkers via Gauss maps
通过对高斯映射下的象的限制，研究了欧几里得空间中自收缩算子的刚性结果。目标流形的几何性质起作用。在自收缩超曲面情形下，定理3.1和定理3.2不仅改进了已有的结果，而且是最优的。在高余维情况下，利用高斯映射的目标流形（Grassmanian流形）的几何性质，给出了自缩图的刚性定理。
2012-03-06 math.DG
On a classification theorem for self-shrinkers
推广了T。Colding和W. Minicozzi，用关于第二基本型的范数的加权$L^2$条件代替关于多项式体积增长的假设。我们的方法采用加权流形的观点，也允许恢复和扩展一些其他最近的分类和间隙的结果自收缩。
2012-12-17 math.DG
Smooth compactness of self-shrinkers
证明了$\RR^3$中嵌入自收缩空间的光滑紧性定理。由于自收缩器是对中曲率流中的奇点进行建模的，因此该定理可以看作是所有奇点空间的一个紧性结果，它在研究一般的中曲率流中起着重要的作用.
2009-07-15 math.DG
A gap Theorem on closed self-shrinkers of mean curvature flow
本文针对平均曲率流的任意余维数 n 维闭自收缩子建立第二基本形式拼挤条件，证明满足该界时必为标准球面，为相关开放问题提供证据。
2025-03-17 math.DG
A note on the compactness theorem for 4d Ricci shrinkers
在arXiv：1005.3255中，我们证明了完备四维Ricci收缩的轨道折叠Cheeger-Gromov紧性定理，该定理具有熵的下界、Euler特征的上界和大距离势的梯度的下界.在本文中，我们证明了最后两个假设实际上是可以去除的。关键因素是Cheeger-Naber arXiv最近的估计：1406.6534。
2014-07-07 math.DG
Entropy Bounds, Compactness and Finiteness Theorems for Embedded Self-shrinkers with Rotational Symmetry
本文研究了具有旋转对称性的嵌入自收缩超曲面，推导了熵界，并证明了此类收缩器的紧性和有限性定理。
2022-10-28 math.DG
Liouville Theorem on Ricci shrinkers with constant scalar curvature and its application
本文研究了具有常数量曲率的梯度收缩Ricci孤子上的调和函数。在不使用梯度估计的情况下证明了一个Liouville定理：在具有常数量曲率的梯度收缩Ricci孤子上，任何有界调和函数都是常数。作为应用，我们证明了多项式增长的调和函数空间具有有限维。
2022-08-15 math.DG
Halfspace type Theorems for Self-Shrinkers
本文将经典的Hoffman-Meeks半空间定理推广到自收缩空间，即：“设$P $是通过原点的超平面.由$P$确定的封闭半空间之一中包含的唯一适当浸入的自收缩剂$Σ$是$Σ= P$。“我们的证明是几何的，并使用Kleene-Moller发现的悬链型超曲面。此外，使用类似的几何思想，我们得到的唯一完整的自收缩适当地浸入一个封闭的圆柱体$ \overline{B ^{k+1} (R)} \times \mathbb{R}^{n-k}\subset \mathbb R^{n+1}$，对于一些$k\in \{1, \ldots ,n\}$和半径$R$，$R \leq \sqrt{2k}$，是圆柱体$\mathbb S ^k (\sqrt{2k}) \times \mathbb{R}^{n-k}$。对于$λ-$超曲面，我们也推广了上述结果.
2014-12-11 math.DG
A compactness theorem for complete Ricci shrinkers
证明了完备梯度Ricci收缩算子在Cheeger-Gromov轨道意义下的预紧性，并给出了其熵的下界和局部积分Riemann界.我们不需要任何逐点曲率假设，体积或直径界限。在四维中，在一个技术假设下，我们可以用欧拉示性数的上界来代替局部积分黎曼界。证明依赖于一个具有截断变元的Gauss-Bonnet。
2011-08-02 math.DG
The rigidity theorem for complete Lagrangian self-shrinkers
本文研究欧氏空间 $\mathbb{R}^{4}$ 中二维完备 Lagrange 自收缩子，在平均曲率向量平方范数恒定时证明其刚性，并用相同方法得到 Lagrange $ξ$-子流形的类似结论。
2024-12-02 math.DG
A Matsushima theorem, uniqueness and K-polystability for Kähler-Ricci shrinkers
本文针对非紧Kähler-Ricci收缩子证明了Matsushima定理、双全纯唯一性及极化Fano纤维化的K-多重稳定性。
2026-10-05 math.AG math.DG
The rigidity theorems for Lagrangian self shrinkers
利用积分方法证明了具有不定度量$\sum_i dx_idy_i$的$\R^{2n}_{n}$中拉格朗日中曲率流的任何类空整体图自收缩解是平坦的.这一结果改进了\cite{HW}和\cite{CCY}中的结果，去掉了它们结果中的附加假设。以类似的方式，我们重新证明了它的欧几里得对应建立在\cite{CCY}。
2011-12-12 math.DG
Initial Perturbation of the Mean Curvature Flow for closed limit shrinker
这是对Colding和Minicozzi提出的中曲率流动的动力学方法的一个贡献。本文证明了两个主要定理。第一个是局部的，第二个是全局的。在这个第一个结果中，我们追求\cite{CM3}的思想流，并对其结果进行了轻微的改进。我们应用双曲动力系统的不变流形理论来研究非球面闭收缩体附近的动力学。在第二个定理中，我们表明，如果一个超曲面下的重新缩放的中曲率流收敛到一个封闭的收缩，而不是一个球，然后一般的扰动初始数据将使流离开一个小的邻域的收缩，永远不会回来。
2021-07-11 math.AP math.DG math.DS
Rigidity theorems for complete Legendrian self-shrinkers
Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences（上海数学与交叉学科研究院）；School of Mathematics and Statistics Wuhan University（武汉大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences Chongqing University of Technology（重庆理工大学数学科学学院）
本文通过估计加权体积得到Legendrian自收缩子的最优体积增长，进而导出标准接触欧几里得(2n+1)空间中整体光滑Legendrian自收缩子的刚性定理。
2026-09-29 math.DG
A maximum principle for self-shrinkers and some consequences
利用中曲率流的自收缩器的最大值原理，给出了旋转对称紧致自收缩器的刚性定理的新证明和自收缩器渐近性态的一个结果.这种比较论证也暗示了在自然假设下自收缩曲面的第二基本型的线性界。因此，翻译孤子可以与这些自收缩。
2014-12-15 math.DG
Hopf type Theorem for Self-Shrinkers
本文证明了浸入三维欧几里得空间中的与球同胚的二维自收缩球是圆球，只要它的中曲率和位置向量的范数根据它的无迹第二基本型的范数有一个上界. Drugan构造的例子证明了关于第二基本型的假设是必要的。对于Rn中具有径向权的平行加权中曲率向量的曲面，我们也可以证明同样的刚性结果。这些结果是柯西定理在复分析中的一个新推广的应用，该推广的结论是：复函数是同零的或它的零点是孤立的，如果它满足某种弱全纯。
2021-09-11 math.AP math.CV math.DG
Classification and rigidity of self-shrinkers in the Mean curvature flow
本文首先用Colding和Minicozzi [5]的方法证明了K。Smoczyk的分类定理[16]在更弱的条件下也成立。作为应用，我们给出了任意余维自收缩算子的刚性结果。
2012-09-28 math.DG
A new pinching theorem for complete self-shrinkers and its generalization
本文首先证明了：如果$M$是$\mathbb{R}^{n+1}$中具有多项式体积增长的完全自收缩器，且$M$的第二基本形式的平方范数满足$0\leq|A|^2-1\leq\frac{1}{18}$，则$|A|^2\equiv1$和$M$是圆球或圆柱.更一般地，令$M$是在具有$λ\neq0$的$\mathbb{R}^{n+1}$中具有多项式体积增长的完全$λ$ -超曲面。证明了存在正的常数$γ$，使得若$|λ|\leqγ$和$M$的第二基本形式的平方范数满足$0\leq|A|^2-β_λ\leq\frac{1}{18}$，则$|A|^2\equiv β_λ$，$λ>0$和$M$是圆柱.这里是$β_λ=\frac{1}{2}(2+λ^2+|λ|\sqrt{λ^2+4})$。
2017-12-05 math.DG
Volume growth, eigenvalue and compactness for self-shrinkers
本文受Yau \cite{SY}关于单位球面上极小超曲面的第一特征值猜想的启发，给出了自收缩体的最优体积增长，并估计了自收缩体上$\mathcal{L}$算子的第一特征值的一个下界.利用特征值估计，在较弱的条件下证明了Colding-Minicozzi关于$\ir{3}$中一类紧自收缩算子的紧性定理.
2013-10-18 math.DG
Remarks on Bernstein theorems for translating solitons
本文研究了平移孤子$M$在$R^{n+1}$中的势函数性质以及欧氏球与$M$相交时的体积增长。给出了平移孤子的Bernstein定理成立的条件。我们还给出了一个简单的证明的伯恩斯坦定理由于Bjueri-De Giorgi-Miranda的大纲。
2016-12-12 math.AP math.DG
Self-Shrinkers With Second Fundamental Form of Constant Length
本文对{ \cite{DX1} }中的一个结果给出了一个新的简单的证明：对于某些$\mathbb{R}^3$中任何具有等长第二基本型的光滑完全自收缩器必是广义柱$\mathbb{S}^k \times \mathbb{R}^{2-k}$.此外，我们证明了一个间隙定理光滑自收缩在所有维度。
2014-05-16 math.DG
2-dimensional complete self-shrinkers in $\mathbf{R}^3$
研究欧几里得空间中的完备自收缩子是本文的目的。首先，我们展示了一些没有多项式体积增长的完全自收缩的例子。利用$\mathcal{L}$ -算子的广义最大值原理，给出了$\mathbb R^3$中第第二基本型具有常平方范数的二维完全自收缩算子的完全分类.在\cite{DX2}中，Ding和Xin在多项式体积增长的假设下证明了这一结果，这在我们的定理中被删除了。
2015-04-09 math.DG
Bernstein Type Theorems For Minimal Lagrangian Graphs of Quaternion Euclidean space
本文证明了四元数欧几里得空间$H^n\cong R^{4n}$中$n$维最小Lagrange图的Bernstein型结果.特别地，我们还得到了$C^n$中特殊Lagrange图的一个新的Bernstein定理
2006-07-07 math.AP math.DG
Complete self-shrinkers of the mean curvature flow
研究欧几里得空间中的完备自收缩子是本文的目的。通过引入$\mathcal{L}$ -算子的一个广义最大值原理，在不对\emph{polynomial volume growth}作任何假设的情况下，给出了自收缩算子的第第二基本型的平方范数的上确界和下确界的估计.这样，我们就可以在不对\emph{polynomial volume growth}作任何假设的情况下得到完备自收缩算子的刚性定理.对于2维和3维的完全真自收缩子，在第二基本型的常平方范数的假设下，给出了它们的一个分类.
2012-02-08 math.DG
Comparison Theorems for the Profile Curve Equation of Rotationally Symmetric Self-Shrinkers
School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）
通过分析旋转对称自收缩子的轮廓曲线，利用Sturm型比较定理证明水平点轨迹的单调性，为Angenent环面的唯一性问题提供新方法。
2026-09-04 math.CA math.DG
An unknottedness result for noncompact self shrinkers
该研究将平均曲率流紧自收缩子的非打结定理推广至具一个渐近锥端的非紧自收缩子，论证运用平均曲率流，为相关拓扑分类研究提供支撑。
2024-03-11 math.DG math.GT
A remark on a Bernstein type theorem for entire Willmore graphs in R^3
本文证明了$R^3$中具有平方可积〔的〕中曲率的二维整Willmore图是平面。
2012-04-18 math.AP math.DG
A rigid theorem for deformed Hermitian-Yang-Mills equation
本文研究了具有非负正交对分曲率的紧致Kähler流形上的变形Hermitian-Yang-Mills方程.证明了如果存在正的常数$C$使得$-\frac{1}{C}ω<\sqrt{-1}F<Cω$ .我们还研究了$\mathbb{C}^n$上的自收缩函数到相应的抛物流的自收缩函数。证明了$\mathbb{C}^n$上的自收缩函数是一个二次多项式函数。我们还证明了J-方程和$\mathbb{C}^n$上的自收缩算子与J-流的刚性定理。
2019-09-19 math.DG
The stable Bernstein theorem in $\mathbb{R}^{7}$
Beijing Jiaotong University（北京交通大学）；Tsinghua University（清华大学）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）
本文通过 Green 函数方法证明了 $\mathbb{R}^{7}$ 中稳定极小超曲面的 Bernstein 定理，解决了该问题的最后情形。
2026-09-15 math.AP math.DG
Bernstein theorem for translating solitons of hypersurfaces
本文证明了$\re^{n+1}$中超曲面平移孤子的单调性公式和Bernstein型结果，给出了平移孤子是超平面的条件.我们还证明了$R^{n+k}$中超曲面平移孤立子的间隙定理，即如果孤立子的第二基本型的$L^n$范数足够小，则它是一个超平面。
2016-11-02 math.AP math.DG
A Bernstein Type Theorem for Minimal Graphs over Convex Domains
给出了任意$n \geq 2$，证明了如果$Ω\subsetneq \mathbb{R}^n$是开凸区域（例如半空间），且$u : Ω\to \mathbb{R}$是满足$\partial Ω$上线性函数的极小曲面方程的解，则$u$本身必须是线性的.
2021-07-16 math.AP math.DG
Three Bernstein type theorems for hypersurfaces with zero Gaussian curvature
本文研究了具有零高斯曲率的凸超曲面在欧几里得和闵氏背景下，证明了在特定条件下这些超曲面必须为超平面，并通过例子说明了额外条件的重要性。
2026-01-13 math.AP math.DG
Bernstein theorems for nonlinear geometric PDEs
本文围绕极小曲面、Monge–Ampère、特殊 Lagrangian 方程及极小曲面系统，综述几何偏微分方程中的 Bernstein 问题，内容源自 2024 年欧洲微分几何博士学校讲座。
2024-08-07 math.AP math.DG
A half-space Bernstein theorem for anisotropic minimal graphs
该研究证明半空间上带平坦边界的各向异性极小图必为平坦的，将Edelen-Wang的结果推广至各向异性情形，采用最大值原理与完全非线性PDE理论思想完成证明。
2023-12-12 math.AP math.DG
Hamiltonian F-stability of complete Lagrangian self-shrinkers
本文研究了Lagrange自收缩算子的Lagrange F-稳定性和Hamilton F-稳定性。本文证明了$n$维完全Lagrange无边界自收缩体的Hamilton F稳定性的一个特征定理，该自收缩体具有多项式体积增长，第二基本形式满足存在常数$C_0>0$和$\varepsilon<\frac{1}{16n}$使得$|A|^2\leq C_0+\varepsilon |x|^2$.我们用漂移拉普拉斯算子的特征值和特征空间刻画了哈密顿函数的F-稳定性。
2014-03-14 math.DG
On the rigidity of mean convex self-shrinkers
自收缩模型的奇异性的中曲率流，他们被定义为特殊的解决方案，合同下的流动相似。Colding-Ilmanen-Minicozzi证明了圆柱形的自收缩体在很强的意义上是刚性的--也就是说，任何自收缩体都是凸的，在一个大的但紧凑的集合上具有一致的有界曲率，它必须是一个圆柱体。利用这个结果，Colding和Minicozzi能够建立在圆柱奇点处爆破的唯一性，并提供了一般中曲率流的奇异集的详细描述。在本文中，我们表明，有界曲率假设是不必要的圆柱的刚度，如果n是最多6，或如果中曲率是有界以下由一个正常数。这些结果遵循曲率估计，我们证明严格平均凸自收缩。我们还得到了一个刚性定理在所有尺寸的图形自收缩，和曲率估计的翻译的中曲率流。
2016-03-31 math.DG
A Bernstein theorem for two-valued minimal graphs in dimension four
本文证明了四维欧几里得空间$\mathbf{R}^4$中二值极小图的一个Bernstein型定理。这说明定义在整个$\mathbf{R}^3$上的二值函数，其图是一个极小曲面，必须是线性的。这是经典伯恩斯坦定理的一个二值类似物，该定理断言在直到$n+1 \leq 8$的维度中，整个单值极小图是线性的。与单值理论的主要区别在于二值函数的图中存在大量奇点。事实上，二值极小图既不是面积最小化，也不是椭圆PDE的正则性理论直接在此设置。我们得到的结构结果的吹倒锥的二值极小图，有效的尺寸$n+1 \leq 7$，证明特别是，他们顺利浸入远离$(n-2)$ -可求长集，包括其分支点。在第四维中，我们更进一步，并使用组合论证对可能的泄压锥进行完全分类。我们证明它们一定是两个三维平面的并集：这是证明伯恩斯坦定理的关键。
2020-11-27 math.AP math.DG
A Bernstein-type theorem for capillary graphs in a half-space
University of Notre Dame（圣母大学）；New York University（纽约大学）；University of Washington（华盛顿大学）
证明低维或无穷远切锥不分裂垂直线的条件下，半空间中整体毛细极小图必为线性，并证明整体毛细极小超曲面的正则集连通，讨论与单相Bernoulli问题的联系。
2026-06-01 math.AP math.DG
The Rigidity Theorems for Self-Shrinkers in the Mean Curvature Flow
Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；Nanjing University（南京大学）
证明欧氏空间中自收缩超曲面的一个挤压定理，通过加权庞加莱不等式及相关条件得出\(S\equiv1\)等结论，推广并改进前人成果。
2026-08-04 math.DG
A one-sentence proof of the Bernstein type theorem for special Lagrangian equation in two dimensions
本文旨在揭示二维单模Hessian方程的Jörgens定理与二维特殊Lagrange方程的Fu定理的等价性。
2017-12-03 math.AP math.DG math.SG
A survey on Bernstein-type theorems for entire graphical surfaces
本文综述欧几里得与Lorentz-Minkowski空间中图曲面的Bernstein型定理，涵盖极小图、Heinz型平均曲率估计、常平均曲率图及Calabi-Bernstein定理。
2025-08-07 math.AP math.CV math.DG
