Let $H$ be a Krull monoid with finite class group $G$ such that every class contains a prime divisor (for example, a ring of integers in an algebraic number field or a holomorphy ring in an algebraic function field). The catenary degree $\mathsf c (H)$ of $H$ is the smallest integer $N$ with the following property: for each $a \in H$ and each two factorizations $z, z'$ of $a$, there exist factorizations $z = z_0, ..., z_k = z'$ of $a$ such that, for each $i \in [1, k]$, $z_i$ arises from $z_{i-1}$ by replacing at most $N$ atoms from $z_{i-1}$ by at most $N$ new atoms. Under a very mild condition on the Davenport constant of $G$, we establish a new and simple characterization of the catenary degree. This characterization gives a new structural understanding of the catenary degree. In particular, it clarifies the relationship between $\mathsf c (H)$ and the set of distances of $H$ and opens the way towards obtaining more detailed results on the catenary degree. As first applications, we give a new upper bound on $\mathsf c(H)$ and characterize when $\mathsf c(H)\leq 4$.
设$H$是一个Krull幺半群，其有限类群$G$使得每个类都包含一个素因子（例如，代数数域上的整数环或代数函数域上的全纯环）。$H$的悬链线度$\mathsf c (H)$是具有以下性质的最小整数$N$：对于$a$的每个$a \in H$和每两个因子分解$z, z'$，存在$a$的因子分解$z = z_0, ..., z_k = z'$，使得对于每个$i \in [1, k]$，通过用至多$N$新原子替换来自$z_{i-1}$的至多$N$原子，$z_i$从$z_{i-1}$产生。为了排除不重要的情况，假设$|G| \ge 3$。那么悬链线度只依赖于类群$G$，我们有$\mathsf c (H) \in [3, \mathsf D (G)]$，其中$\mathsf D (G)$表示$G$的达文波特常数。当$\mathsf c (H) \in \{3,4, \mathsf D (G)\}$成立时，这是众所周知的。基于第一篇论文（Krull幺半群的悬链线度I）中确定的悬链线度的一个特征，我们确定了满足$\mathsf c (H)= \mathsf D (G)-1$的类群.除了上述的极端情况下的精确值$\mathsf c (H)$是已知的没有进一步的类组。
A characterization of finite abelian groups via sets of lengths in transfer Krull monoids
设$H$是有限Ablian群$G$（例如整数环、代数函数域中的全纯环和这些域中的正则同余幺半群）上的转移Krull幺半群。那么每个非单位$a \in H$可以写成不可约元素的乘积，比如说$a = u_1 \ldots u_k$，因子$k$的个数称为因子分解的长度。所有可能的因式分解长度的集合$\mathsf L (a)$是$a$的长度的集合。经典的是，所有长度集的系统$\mathcal L (H) = \{ \mathsf L (a) \mid a \in H \}$仅取决于群$G$，并且一个长期存在的猜测指出，相反，系统$\mathcal L (H)$是群$G$的特征。设$H'$是有限Ablian群$G'$上的又一个转移Krull幺半群，并假定$\mathcal L (H)= \mathcal L (H')$ .我们证明了，如果$G\cong C_n^r$与$r\le n-3$或（$r\ge n-1\ge 2$和$n$是素数幂），则$G$和$G'$是同构的.
On the incomparability of systems of sets of lengths
设$H$是一个Krull幺半群，其有限类群$G$使得每个类都包含一个素因子.本文研究了$H$的所有长度集的系统$\mathcal L (H)$，并研究了当$\mathcal L (H)$包含或包含在具有有限类群$G'$、所有类中的素因子和Davenport常数$\mathsf D (G')=\mathsf D (G)$的Krull幺半群$H'$的系统$\mathcal L (H')$中时，系统$\mathcal L (H)$的性质.其中，我们表明，如果$G$是循环的顺序$m \ge 7$或一个小学$2$ -组秩$m-1 \ge 6$，和$G'$是任何一个组，这是不同构的$G$，但达文波特常数$\mathsf D (G')=\mathsf D (G)$，那么系统$\mathcal L (H)$和$\mathcal L (H')$是不可比的。
A Characterization of class groups via sets of lengths {II}
设$H$是一个Krull幺半群，其类群$G$是有限的，且每个类都含有一个素因子.如果一个元素$a \in H$有一个分解$a=u_1 \cdot \ldots \cdot u_k$为不可约元素$u_1, \ldots, u_k \in H$，那么$k$称为分解的长度，所有可能的分解长度的集合$\mathsf L (a)$是$a$的长度的集合。这是经典的系统$\mathcal L (H) = \{ \mathsf L (a) \mid a \in H \}$的所有集的长度只取决于类组$G$，和一个常设猜想国家相反，系统$\mathcal L (H)$是典型的类组。我们证明了猜想，如果类群同构于$C_n^r$与$r,n \ge 2$和$r \le \max \{2, (n+2)/6\}$。事实上，让$H'$是一个进一步的Krull幺半群与类群$G'$，使得每个类包含一个素因子，并假设$\mathcal L (H)= \mathcal L (H')$。我们证明，如果一个组$G$和$G'$是同构的$C_n^r$与$r,n$如上所述，那么$G$和$G'$是同构的（除了两个众所周知的配对）。
A characterization of class groups via sets of lengths
设$H$是一个Krull幺半群，其类群为$G$，使得每个类都包含一个素因子.那么每个非单位元$a \in H$都可以写成不可约元的有限积。如果$a=u\_1 \cdot \ldots \cdot u\_k$，不可约数为$u\_1, \ldots u\_k \in H$，则$k$称为因式分解的长度，所有可能的$k$的集合$\mathsf L (a)$称为$a$的长度集合。众所周知，系统$\mathcal L (H) = \{\mathsf L (a) \mid a \in H \}$仅依赖于类组$G$。在本文中，我们研究的反问题，问系统$\mathcal L (H)$是否是典型的类群。考虑一类群为$G'$的Krull幺半群$H'$，使得每个类都包含一个素因子，并假设$\mathcal L (H) = \mathcal L (H')$ .我们证明了，如果群$G$和$G'$之一是有限的，且秩至多为2，则$G$和$G'$是同构的（除了两个著名的配对）.
