arXiv 1503.061642015-03-20math.NT

关于k个原子的乘积II

On products of k atoms II

Alfred Geroldinger, David J. Grynkiewicz, Pingzhi Yuan

摘要：

设$H$是一个Krull幺半群，其类群为$G$，使得每个类都包含一个素因子（例如，代数数域中的整数环或代数函数域中的全纯环）。对于$k \in \mathbb N$，令$\mathcal U_k (H)$表示具有以下性质的所有$m \in \mathbb N$的集合：存在原子$u_1, ..., u_k, v_1, ..., v_m \in H$使得$u_1 \cdot ... \cdot u_k = v_1 \cdot ...\cdot v_m$。此外，设$λ_k (H) = \min \mathcal U_k (H)$和$ρ_k (H) = \sup \mathcal U_k (H)$。集合$\mathcal U_k (H) \subset \mathbb N$是有限的区间当且仅当$G$是有限的。它们的最小值$λ_k (H)$可以用$ρ_k (H)$表示。不变量$ρ_k (H)$只依赖于类群$G$，本文用加法组合学的新方法研究它们。

英文摘要：

Let $H$ be a Krull monoid with class group $G$ such that every class contains a prime divisor (for example, rings of integers in algebraic number fields or holomorphy rings in algebraic function fields). For $k \in \mathbb N$, let $\mathcal U_k (H)$ denote the set of all $m \in \mathbb N$ with the following property: There exist atoms $u_1, ..., u_k, v_1, ..., v_m \in H$ such that $u_1 \cdot ... \cdot u_k = v_1 \cdot ...\cdot v_m$. Furthermore, let $λ_k (H) = \min \mathcal U_k (H)$ and $ρ_k (H) = \sup \mathcal U_k (H)$. The sets $\mathcal U_k (H) \subset \mathbb N$ are intervals which are finite if and only if $G$ is finite. Their minima $λ_k (H)$ can be expressed in terms of $ρ_k (H)$. The invariants $ρ_k (H)$ depend only on the class group $G$, and in the present paper they are studied with new methods from Additive Combinatorics.

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