Strongly maximal matchings and strongly minimal covers
这是一篇未在期刊上发表的论文，旨在作为参考。它是对标题中出现的主题的主要思想的总结，也是正确陈述该领域主要猜想的机会。
2022-06-03 math.CO
The Maximal Matching Energy of Tricyclic Graphs
Gutman和Wagner提出了匹配能（ME）的概念，并指出ME的化学应用可以追溯到20世纪70年代。设$G$是阶为$n$的简单图，$μ_1,μ_2,\ldots,μ_n$是其匹配多项式的根. $G$的匹配能量定义为$μ_{i}\ (i=1,2,\ldots,n)$的绝对值之和。Gutman和Cvetkoić通过计算机搜索$n$的小值并通过归纳论证确定了具有最大匹配数的$n$顶点上的三环图。基于这一结果，本文刻画了所有三圈图中匹配能量具有最大值的图，完全确定了具有最大匹配能量的三圈图。我们利用匹配能量的Coulson型积分公式证明了我们的结果，这类似于比较两个准序不可比图的能量的方法。
2014-09-06 math.CO
Gallai-Edmonds Structure Theorem for Weighted Matching Polynomial
本文证明了最一般匹配多项式的Gallai-Edmonds结构定理。我们的结果包含了关于图是树的埃尔米特矩阵的主子阵存在性的Parter-Wiener定理及其最近的推广。关键词：
2010-06-05 math.CO
The number of maximal matchings in polygon rings
本文研究多边形环的极大匹配计数问题，证明六边形环的极大匹配数等于由连接模式决定的矩阵乘积之迹，并推广到任意多边形环且给出转移矩阵算法。
2025-06-10 math.CO
On the maximal matchings of trees
本文研究树的极大匹配计数问题，提出计算 $Ψ(T)$ 的算法，证明 $n$ 顶点树满足 $Ψ(T)\geq\lceil n/2\rceil$，并刻画达到该下界的树。
2025-06-10 math.CO
Counting weighted maximal chains in the circular Bruhat order
完全非负格拉斯曼$\mathrm{Gr}(k,n)_{\geq0}$是实格拉斯曼$\mathrm{Gr}(k,n)$的子集，由具有所有非负Plücker坐标的点组成。圆Bruhat序是与A的面偏序集同构的偏序集。Postnikov（2005）$\mathrm{Gr}(k,n)_{\geq0}$的正向胞腔剖分。我们在J.Stembridge（2002）的精神下，给出了其加权链之和的一个闭公式。
2021-08-07 math.CO
Bounding and approximating minimum maximal matchings in regular graphs
图$G$的边控制数$γ_e(G)$是图$G$中最大匹配的最小尺寸。众所周知，这个参数在计算上是非常困难的，并且已经研究了几种近似算法和算法。本文给出了正则图和非正则图$G$的$γ_e(G)$的阶和最大度的最佳可能上界。此外，我们还讨论了我们的结果和他们的建设性证明算法的后果。
2019-05-29 math.CO
A refined Gallai-Edmonds structure theorem for weighted matching polynomials
本文利用匹配多项式与分支连分式的联系，证明了加权匹配多项式 Gallai-Edmonds 结构定理的精细化版本，并揭示其与 Sylvester 修改的 Sturm 定理的关系，同时给出匹配多项式零点的新结果。
2024-01-11 math.CO
Extremal graphs for average size of maximal matchings in bicyclic graphs
School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
本文研究双环图中最大匹配平均大小的极值问题，确定了连通双环图中该参数的最小值，并证明了特定结构的图达到下限。
2026-04-30 math.CO
On Total Domination and Minimum Maximal Matchings in Graphs
图$G$的边的子集$M$是匹配的，如果$M$中没有两条边是关联的。最大匹配是不包含在较大匹配中的匹配。一个没有孤立点的图$G$的顶点子集$S$是$G$的全控制集，如果$G$的每个顶点至少与$S$中的一个顶点相邻。设$μ^*(G)$和$γ_t(G)$分别为$G$中最大匹配集和全控制集的最小基数。令$δ(G)$表示图$G$中的最小度。我们观察到$1\leq δ(G)\leq 2$时的$γ_t(G)\leq 2μ^*(G)$和$δ(G)\geq 3$时的$γ_t(G)\leq 2μ^*(G)-δ(G)+2$。我们证明了对于每个固定的$δ(G)$，全控制数的上界是紧的.我们给出了满足$γ_t(G)= 2μ^*(G)$的图$G$的构造性特征，并给出了一个多项式时间过程来确定$γ_t(G) = 2μ^*(G)$是否为最小度为二的图$G$。
2019-09-06 math.CO
On the maximal $α$-spectral radius of graphs with given matching number
设$\mathscr{G}_{n,β}$是具有给定匹配数$β$的阶为$n$的图的集合。设$D(G)$是图$G$的度的对角矩阵，$A(G)$是图$G$的邻接矩阵。非负矩阵$A_α(G)=αD(G)+A(G)$的最大特征值称为$G$的$α$ -谱半径。本文完全刻划了$\mathscr{G}_{n,β}$中具有最大$α$ -谱半径的图.这样，我们提供了一个通用的框架来解决的问题的极值谱半径在$\mathscr{G}_{n,β}$。更准确地说，我们推广了$\mathscr{G}_{n,β}$中的最大邻接谱半径和无符号拉普拉斯谱半径的已知结果。
2021-08-20 math.CO
The maximal spectral radius of the uniform unicyclic hypergraph with perfect matchings
设$\mathcal{U}(n,k)$和$Γ(n,k)$分别是与$n$顶点具有完美匹配的$k$ -一致线性和非线性单圈超图的集合，其中$n\geq k(k-1)$和$k\geq 3$ .利用变换技巧和构造超图的关联矩阵，得到了三类超图中具有最大谱半径的超图，即具有$n= 2k(k-1)$和$n\geq 9k(k-1)$的$\mathcal{U}(n,k)$，具有$n\geq k(k-1)$的$Γ(n,k)$，以及具有$n\geq 2k(k-1)$的$\mathcal{U}(n,k)\cup Γ(n,k)$，其中$k\geq 3$ .
2022-02-27 math.CO
An algorithm for weighted fractional matroid matching
设M是基集E上的拟阵。E的子集l在其秩等于1或2时称为“线”。给定一个直线集合L，（M，L）中的“分数匹配”是一个由L中的直线索引的非负向量x，它满足一个线性约束系统，M的每个平面都有一个约束。分数匹配由Vande Vate引入，他证明了分数匹配集是拟阵匹配多面体的半整数松弛。Chang等人证明了可以在多项式时间内找到最大尺寸的分数匹配。本文给出了一个多项式时间算法，对任意给定的权，求L中直线上的最大权分式匹配。
2013-06-02 math.CO
Extremal matching energy of complements of trees
匹配能量定义为图的匹配多项式的零点的绝对值之和，这是由Gutman和Wagner首先提出的[The matching energy of a graph，Discrete Appl.Math.160（2012）2177- 2187]。给出了匹配能量的一些性质和渐近结果。本文刻画了具有$n$顶点的树的补图具有最大、次大和最小匹配能量。此外，我们确定了一个完美的匹配，其补充有第二大匹配能量的树。特别地，证明了边独立数为$p$的树，其补集对$p=1,2,\ldots, \lfloor\frac{n}{2}\rfloor$具有最小匹配能量.
2014-11-27 math.CO
Stability for maximal independent sets
Y. Rabinovich的研究中，我们证明了在各种限制条件下图的极大独立集计数上界的“稳定性”版本。粗略地说，接近最大值意味着存在大的诱导匹配或三角匹配（取决于假设）。
2018-08-20 math.CO
A Note on Matchings Constructed during Edmonds' Weighted Perfect Matching Algorithm
我们重新证明了在Edmonds的加权完美匹配算法中构造的所有匹配都是相同基数的匹配中的最优匹配（只要算法对所做的选择有一定的限制）。我们的结论是，为了解决一个加权匹配问题，它是不需要解决一个加权完美匹配问题的辅助图的两倍大小。这个结果以前是已知的，例如，在Lawler 1976年的书中作为练习提出，但在几本关于组合优化的现代书籍中没有。
2017-03-28 cs.DM math.CO
Minimum maximal matchings in permutahedra
Universität Kassel（卡塞尔大学）；Charles University Prague（布拉格查理大学）
研究排列体中最大匹配的最小规模，通过分析4-循环和Hall定理得出渐近下界和上界，构造出具体上界，并推导了排列体乘积中的最小最大匹配界。
2025-02-14 math.CO
Fractional covers and matchings in families of weighted $d$-intervals
$d$ -{ \em间隔}是固定线上至多$d$不相交闭区间的并集。Tardos [Combinatorica 15（1995），123-134]和第二作者[光盘。Comput. 18（1997），195-203]使用拓扑工具来根据$d$和$H$的匹配数$ν$来限定$d$ -区间的族$H$的横截数$τ$。我们调查了这个问题的加权和分数的版本，并证明了上界是紧的常数因子。我们应用拓扑方法和一种方法的阿隆[光盘。Comput. 19（1998），333-334]。对于后者的使用，我们证明了图兰定理的加权版本。我们还提供了一个证明的第二作者的上界，这是更直接的比原来的证明。
2014-03-02 math.CO
Counting maximal near perfect matchings in quasirandom and dense graphs
最大$\varepsilon$ -接近完美匹配是覆盖至少$(1-\varepsilon)|V(G)|$顶点的最大匹配。本文研究了广义拟随机图和广义稠密图中极大近完美匹配的个数。本文给出了广义拟随机图中$\varepsilon$ -近完美匹配个数的上、下界.此外，基于这些结果，我们提供了一个确定性的多项式时间算法，对于给定的稠密图$G$的顺序$n$和一个实数$\varepsilon>0$，返回的结论，$G$没有$\varepsilon$ -近完美匹配，或一个积极的非平凡数$\ell$，使最大的$\varepsilon$ -近完美匹配的$G$的数量至少是$n^{\ell n}$。我们的算法使用算法版本的Szemerédi正则引理，并具有$O(f(\varepsilon)n^{5/2})$时间复杂度。这里，$f(\cdot)$是一个仅依赖于$\varepsilon$的显式函数。
2019-02-05 cs.DM math.CO
Maximal induced matchings in triangle-free graphs
图的导出匹配是指一组边的端点导出一个$1$ -正则子图。已知任何$n$ -顶点图最多有$10^{n/5} \approx 1.5849^n$最大诱导匹配，并且这个界是最佳可能的.证明了任意$n$ -顶点无三角形图最多有$3^{n/3} \approx 1.4423^n$最大诱导匹配，且此界可由完全二部图$K_{3,3}$的任意不交并得到.我们的结果意味着所有的最大诱导匹配在$n$ -顶点三角形自由图可以列出的时间$O(1.4423^n)$，产生最快的已知算法寻找最大诱导匹配在一个三角形自由图。
2013-12-18 cs.DS math.CO
Minimum maximal matchings in cubic graphs
证明了每一个顶点为$n$的连通三次图的最大匹配至多为$\frac{5}{12} n+ \frac{1}{2}$。这证实了Baste，Fürst，Henning，Mohr和Rautenbach（2019）关于正则图的猜想的立方情况。更一般地，我们证明了每个图的$n$顶点和$m$边和最大程度最多$3$有一个最大匹配的大小最多$\frac{4n-m}{6}+ \frac{1}{2}$。这些界限是通过图$K_{3,3}$获得的，但渐近地仍有改进的余地。此外，可以有效地找到所要求的最大匹配。作为推论，我们得到了连通三次图中最小最大匹配的一个$\left(\frac{25}{18} + O \left( \frac{1}{n}\right)\right) $ -近似算法。
2021-08-08 cs.DM math.CO
Large Matchings in Maximal 1-planar graphs
众所周知，如果$n\geq 14$，则每个极大可平面图都有至少$\tfrac{n+8}{3}$的大小匹配。本文研究了极大\emph{1-planar}图的相似匹配界，即，可以画出每条边最多有一个交叉的图。特别是，我们证明了每一个3-连通的简单极大1-可平面图有一个匹配的大小至少$\tfrac{2n+6}{5}$ ;界减少到$\tfrac{3n+14}{10}$，如果图不需要3-连通。我们也给（较弱）的界限时，图带有固定的1-平面图或不简单。我们所有的边界都是紧的，在这个意义上，一些满足限制的图没有更大的匹配。
2023-01-04 cs.CG math.CO
On Maximal and Minimal Linear Matching Property
域扩张中的匹配基是由S. Eliahou和C. Lecouvey在[2]中。本文定义了域扩张的最小和最大线性匹配性质，证明了若K不是代数闭的，则K具有最小线性匹配性质。本文证明了代数数域具有极大线性匹配性质。文[6]中关于代数代数基本定理的一个结果也给出了一个较短的证明。
2015-08-04 math.AC math.CO math.GR
On maximal green sequence for quivers arising from weighted projective lines
本文研究了源自加权射影线的箭图的最大绿色序列存在性，证明了其变等价类中必存在允许最大绿色序列的箭图，且存在不允许该序列的箭图当且仅当该射影线为野型。
2021-08-10 math.CO math.RT
Approximation by Lexicographically Maximal Solutions in Matching and Matroid Intersection Problems
我们研究了加权匹配和拟阵交问题中字典序极大解的优劣。如果一个解采用尽可能多的最重元素，并且在此条件下，它采用尽可能多的次重元素，以此类推，则该解是字典序最大的。两个不同权值的最小比值至少是基集大小，则字典序极大性和通常的加权最优性是等价的。我们表明，阈值的比率为这个等价举行正是$2$。此外，我们证明了，如果比率小于$2$，说$α$，那么字典最大的解决方案实现$(α/2)$ -近似，这个界是紧的。
2022-01-24 cs.DM math.CO
Weighted Triangle-free 2-matching Problem with Edge-disjoint Forbidden Triangles
加权无$\mathcal{T}$的$2$ -匹配问题是：给定无向图$G$，其边集上的权函数，以及$G$中的三角形集合$\mathcal{T}$，求出$\mathcal{T}$中不含三角形的最大权$2$ -匹配.当$\mathcal{T}$是$G$中所有三角形的集合时，该问题被称为加权无三角形$2$匹配问题，这是一个长期存在的公开问题。本文的一个主要贡献是在假设$\mathcal{T}$是一组边不相交的三角形的情况下，给出了加权无$\mathcal{T}$的$2$匹配问题的第一个多项式时间算法.在我们的算法中，一个关键的成分是给一个扩展的公式表示的解决方案，即我们引入新的变量和表示的凸包的可行解作为一个投影的另一个多面体在高维空间。虽然我们的扩展配方有指数许多不等式，我们表明，分离问题可以在多项式时间内解决，这导致了加权$\mathcal{T}$ -免费$2$ -匹配问题的多项式时间算法。
2019-11-15 cs.DS math.CO
The average size of maximal matchings in graphs
该研究提出一种通用技术，用于确定各类图的极大匹配平均规模与最大匹配规模比值的渐近行为，既验证了已有结果，也求出了新图族的该不变量渐近值，明确了其取值范围。
2024-03-08 cs.DM math.CO
Revisiting the Auction Algorithm for Weighted Bipartite Perfect Matchings
我们研究经典的二分图的加权完美匹配问题，有时也称为分配问题，即，给定具有权重$w : E \rightarrow \mathcal{R}$的加权二分图$G = (U\cup V,E)$，我们感兴趣的是找到具有最小/最大权重的$G$中的最大匹配。在这项工作中，我们提出了一个新的，可以说是更简单的分析最早的技术之一，解决分配问题，即拍卖算法。使用我们的分析技术，我们提出了更严格的和改进的运行时复杂性的界限上找到一个近似的最小重量完美匹配$k$ -左定期稀疏二分图。
2021-01-18 cs.DM cs.DS math.CO
Reducing Maximum Weighted Matching to the Largest Cardinality Matching in CONGEST
本文将最大加权匹配问题归结为{ \bf CONGEST}中的最大基数匹配问题。本文提出了两项技术贡献。第一个是一个简单的$poly(\log n, \frac{1}{\varepsilon}, t, \ln w_t)$轮{ \bf CONGEST}算法，用于减少最大加权匹配问题的最大基数匹配问题。这是在假设所有顶点都知道所有边权重$\{w_1,....,w_t\}$（具体地，它们知道$t$，不同边权重的数量）的情况下实现的，尽管特定顶点可能不知道特定边的权重。我们的第二个成分是一个简单的舍入算法（类似于装箱问题的近似算法），允许减少一般情况下的最大加权匹配问题的第一个成分，其中$t\leq poly'(\log n, \frac{1}{\varepsilon})$的假设满足。最后，我们简要讨论了实现我们的算法在{ \bf CONGEST}的文件。我们的主要结论是，我们只需要常数轮的减少。
2023-01-03 cs.DC cs.DS math.CO
Limiting distribution of maximal crossing and nesting of Poissonized random matchings
Chen等人[Trans.Amer.Math.Soc.359（2007）1555-1575]引入了完全匹配的$r$ -交叉和$r$ -嵌套的概念，并证明了对称性。我们考虑随机匹配的大尺寸和研究他们的最大交叉和最大嵌套。已知它们中的每一个的边缘分布收敛于GOE Tracy-Widom分布。我们表明，最大交叉和最大嵌套成为独立的渐近，我们评估的联合分布的泊松随机匹配明确的第一个修正项。这导致了协方差的渐近评估。此外，我们计算的分布函数中的两个对象的显式第二个校正项：（a）的泊松随机置换的最长增加子序列的长度和（b）的最大交叉，因此也是最大嵌套，泊松随机匹配。
2013-12-16 math-ph math.CO math.MP
Optimal matching under size priority
本文研究了在优先考虑规模的情况下最优匹配的性质，证明了其在单模 Bienaymé-Galton-Watson 树中的存在性和唯一性，并探讨了其收敛性和相关性衰减特性。
2026-01-28 math.CO math.PR
On vertex covers, matchings and random trees
我们研究了树上的最小顶点覆盖和最大匹配。我们特别注意相应的骨干，即在每个最小顶点覆盖中被占用的顶点和空的顶点（分别为）。在每个最大匹配中被占用的这些egde和空的那些egde）。在我们的方法的关键结果是，对于树，骨干可以从一个特定的三色，具有简单的表征。我们给应用程序的一些平均数的计算有关的最小顶点覆盖和最大匹配的随机标记树系综，无论是有限的大小和渐近制度。
2004-07-27 cond-mat.dis-nn math.CO
Polyhedral approach to weighted connected matchings in general graphs
本文针对一般图中加权连通匹配的NP困难问题，提出两种混合整数规划公式和分支切割方案，利用匹配多面体与连通子图多面体的强有效不等式逼近凸包，并在DIMACS基准实例上取得良好计算效果。
2023-10-09 cs.DM cs.DS math.CO
