Non-Additive Prolegomena (to any future Arithmetic that will be able to present itself as a Geometry)
Shai M. J. Haran
我们给出了一种几何语言，它使曲线和数域看起来很像。
We give a language for geometry which makes curves and number fields look alike.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Asymptotics of probability characteristics of additive arithmetic functions
本文研究了可加算术函数的概率特征的渐近性的判定问题，无论其是否具有极限分布。证明了关于强可加算术函数概率特征渐近性的估计的几个断言，以及具有与强可加算术函数相同概率特征渐近性的一类可加函数.
Arithmetic Subderivatives and Leibniz-Additive Functions
我们首先引入了一个正整数关于一个非空素数集的算术次导数.这个概念推广了算术导数和算术偏导数的概念。更一般地，我们定义算术函数$f$是莱布尼兹-可加的，如果存在一个非零值的完全乘性函数$h_f$，对所有正整数$m$和$n$满足$f(mn)=f(m)h_f(n)+f(n)h_f(m)$。我们研究了这类函数的一些基本性质。例如，我们提出的条件时，一个算术函数是莱布尼兹加法和推广众所周知的算术导数的界限，建立界限的莱布尼兹加法函数。
Additive arithmetic functions with limit normal distribution
本文研究了加性算术函数收敛于正态分布的充分条件，证明了Erdos-Kac定理的推广以确定收敛速度，并提供了应用实例。
An approach to determining the existence of a limit distribution of additive arithmetic functions
本文提出一种基于Dirichlet卷积与Möbius反演性质的方法，用于判定加性算术函数极限分布的存在性，并给出求其均值与方差的公式及实例。
The arithmetic derivative and Leibniz-additive functions
算术函数$f$是莱布尼茨加性的，如果存在完全乘性函数$h_f$，即，对于所有正整数$m$和$n$满足$h_f(1)=1$和$h_f(mn)=h_f(m)h_f(n)$，对于所有正整数$m$和$n$满足$$ f(mn)=f(m)h_f(n)+f(n)h_f(m) $$。本研究的动机是这样一个事实，即莱布尼茨加性函数是算术导数$D$的推广，即$D$是莱布尼茨加性与$h_D(n)=n$。本文研究了Leibniz-可加函数的基本性质，证明了Leibniz-可加函数$f$完全由$f$和$h_f$在素数处的值决定.我们还考虑了莱布尼兹可加函数关于算术函数的乘积、复合和狄利克雷卷积的性质。
Additive arithmetic functions meet the inclusion-exclusion principle, II
我们统一在一个大类的添加剂的功能，在第一部分的这项工作中获得的结果。证明依赖于一系列涉及黎曼ζ函数和某些款项的素数可能有自己的利益。
An estimate of asymptotics of the moments of additive arithmetic functions with a limit distribution defined on a subset of the natural series
我们研究的算术函数的时刻，有一个极限分布，不一定是正常的，定义在一个子集的自然系列，满足一定的要求。证明了几个断言的估计渐近的强添加剂的算术函数的时刻，也与添加剂的功能类H，有一个极限分布，并定义在一个子集的自然系列。第一个版本的文章是专门研究的渐近的时刻的算术函数，有一个极限分布的自然系列。第二个版本的文章是专门研究的渐近时刻的算术函数有一个极限分布的等差数列。
Arithmetic harmonic analysis for smooth quartic Weyl sums: three additive equations
本文在秩条件下，利用光滑四次Weyl和的算术调和分析及第十矩新估计，证明了32个以上变量中三个对角四次方程组的非奇异Hasse原理。
A general strong law of large numbers for additive arithmetic functions
设$f(n)$是强可加复值算术函数.在较弱的条件下，证明了如下加权强大数律：如果$ X,X_1,X_2,... $是任意i.i.d.可积序列，则在此条件下，$ X,X_1,X_2,... $是一个强大数律.随机变量，则$$ \lim_{N\to \infty} {\sum_{n=1}^N f(n) X_n \over\sum_{n=1}^N f(n)} \buildrel{a.s.}\over{=} \E X . $$
Additive Volume of Sets Contained in Few Arithmetic Progressions
Freiman的一个猜想给出了给定基数$k = |A|$和加倍$T = |2A|$的整数的有限集$A$的最大体积的一个精确公式。已知该公式在$T \le 3k-4$，对于$3k-4$上的一些小范围和对于称为链的结构化集合的族时成立。本文将该公式推广到所有维数的集合，并证明了由三段组成的集合，给出了极值情况下的结构结果。一个较弱的扩展到由有限数量的段组成的集合也进行了讨论。
Additive arithmetic functions meet the inclusion-exclusion principle: Asymptotic formulas concerning the GCD and LCM of several integers
我们得到了包含整数$n_1,\ldots,n_k$的gcd和lcm的和$\sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f((n_1,\ldots,n_k))$和$ \sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f([n_1,\ldots,n_k])$的渐近公式，其中$f$属于某些加性算术函数类.特别地，我们考虑了由Duncan（1962）和Hassani（2018）研究的广义Ω函数$Ω_{\ell}(n)= \sum_{p^ν\mid\mid n} ν^{\ell}$，以及由Alladi和Erds（1977）研究的函数$A(n)=\sum_{p^ν\mid\mid n} νp$、$A^*(n)= \sum_{p \mid n} p$、$B(n)=A(n)-A^*(n)$。作为一个关键的辅助结果，我们使用一个包含-排除型恒等式。
On additive convolution sum of arithmetic functions and related questions
本文扩展Ingham的结果，推导出加法卷积和的渐近公式，并研究了具有绝对收敛拉马努金展开的算术函数的卷积和。
On Some Additive Properties of Multiplicative Subsemigroups of Semirings and Arithmetic Applications I
本文研究半环中乘法子半群及其生成子集的保和问题，开发保和收缩的初等坍缩过程，并将其应用于非负整数半环上的加性数论经典问题，以更简明的方式给出新证明。
Arithmetic subsequences in a random ordering of an additive set
对于大小为$n$的有限集合$A$，排序是从$\{1,2,\ldots,n\}$到$A$的注入。给出了加法集$A$的随机序中最长等差子序列的长度$L_n$的渐近性质.在无挠的情况下，$A = [1,n]^d\subseteq {\bf Z}^d$，我们证明了$L_n\sim 2d\log n/\log\log n$。我们证明了$A = {\bf Z}/n{\bf Z}$的情况下的行为渐近像无挠的情况下与$d=1$，然后使用这一事实来计算的期望长度的最长的算术子序列的任意有限阿贝尔群的随机序。我们还证明了当$n\geq 2$是$2$的幂时，没有任何长度为$3$的算术子序列的${\bf Z}/n{\bf Z}$的序数为$2^{n-1}$，否则为零.最后，我们具体应用到小学$p$ -群和讨论可能的非交换概括。
Dynamics on the number of prime divisors for additive arithmetic semigroups
本文在有限域算术半群中推广了Bergelson和Richter的定理，并探讨了整数最大素因子分布的动态性质。
Arithmetic Self-Similarity of Infinite Sequences
定义了单边无穷序列sigma的算术自相似性为通过sigma的等差数列的集合，这些等差数列是sigma的垂直移动。本文研究了几类序列，即完全可加序列、Toeplitz字和Keane广义Morse序列的AS。我们给出了完全加性序列的AS的一个完整的特征，并对产生完全加性Toeplitz词的单间隙Toeplitz模式集进行了分类。我们表明，每一个算术子序列的Toeplitz字所产生的一个缺口模式再次Toeplitz字。最后，我们建立了广义Morse序列是特定的数字和序列，并证明了它们的第一差是Toeplitz字。
Additive functions on shifted primes
给出了移位素数序列上加法算术函数的集中函数的最佳可能界。
On additive complement with special structures
本文研究自然数集加法补集的各种特殊结构，包括不相交、无限等差数列并集及给定密度情形，并应用于等差与等比数列之和集，同时构造满足密度条件的补集。
The additive structure of the squares inside rings
当定义集合上的加法结构的数量时，考虑某些和集通常是方便的;计算这些和集的基数可以阐明集合的底层结构。我们开始调查有限集的完满平方和相关的和集。我们揭示了等差数列如何有效地减少和集的基数，并提供估计的最小尺寸，利用添加剂的结构，等差数列提供。然后，我们将问题推广到任意环，并取得满意的估计的情况下，在有限域的素数阶广场。最后，对于足够小的有限域，我们计算所有素数阶的最小值。
Abelian $p$-extensions and additive polynomials
在这项工作中，我们提出了一些算术性质的家庭交换$p$ -扩大的整体功能领域，其中包括他们的发电机和他们的类型的分歧和分解。
Multiplicative Subgroups of $\mathbb{Z}_p^*$ that are Generalized Arithmetic Progressions
本文证明了$\mathbb{Z}_p^*$中乘法子群为广义算术进展的充要条件，并推广了Hanson和Petridis的结果。
Finite field models in arithmetic combinatorics -- twenty years on
本文是为2024年英国组合数学会议报告撰写的综述，梳理了Green首篇有限域加法组合学综述发表二十年来、尤其Wolf后续综述发布后十年间该领域在有限域与整数场景下的核心进展，并指明未来方向。
Arithmetic structures in random sets
我们扩展两个著名的结果在加性数论，Sárközy定理的平方差在稠密集和一个定理的绿色长等差数列的和集，子集的随机集的渐近密度为0。我们的证明依赖于限制型傅立叶分析的绿色和绿色陶参数。
Lattice points on circles, squares in arithmetic progressions and sumsets of squares
鲁丁指出，在长度为N的等差数列中，平方数永远不会超过c N^（1/2）。出于这一令人惊讶的困难问题，我们制定了20多个apturtures在调和分析，解析数论，算术几何，离散几何和添加剂组合（一些旧的和一些新的），其中每一个，如果真的，将阐明鲁丁的猜想。
Discrete spheres and arithmetic progressions in product sets
证明了：如果$B$是一组$N$正整数，使得$B\cdot B$包含一个长度为$M$的等差级数，则对于某个绝对$C > 0$，有$$ π(M) + C \frac {M^{2/3}}{\log^2 M} \leq N, $$，其中$π$是素数计数函数.这改善了以前已知的界限的形式$N = Ω(π(M))$和给出了一个界限，这是尖锐的二阶项，作为Pach和Sándor给出了一个例子，其中$$ N < π(M)+ O\left(\frac {M^{2/3}}{\log^2 M} \right). $$主要的新工具是一个减少原来的问题的问题的近似添加剂分解的$3$ -领域的$\mathbb{F}_3^n$这是一套$\{0,1\}$向量正好有三个非零坐标。也就是说，我们证明了这样的一个集合不能有一个加性基的阶2的大小小于$c n^2$与绝对常数$c > 0$。
Asymptotics of the counting function of $k$-th power-free elements in an arithmetic semigroup
对任意的$k>1$，在抽象素计数函数为指数增长性的加法算术半群中，得到了$k$次幂无元的计数函数的渐近性.本文继续了作者以前的研究，处理的情况下，无限的$k$。
Investigations on the properties of the arithmetic derivative
我们研究算术微分的性质，试图通过保持莱布尼茨规则（ab）' = a'b + ab'来适应微分的概念。这已被证明是一个非常丰富的主题，有许多不同的方面和影响，以其他领域的数学，特别是各种未经证明的理论，在添加剂素数理论。我们的论文包括一个自我contaited介绍的主题，随着一对夫妇的新定理，其中几个有关的算术微分的有理数，一个主题几乎未探索到现在。
Generalized $k$-regular sequences III: Arithmetical properties of generalized $k$-regular series
设$F(z)$是$\mathbb{Z}[[z]]$中的$k$ -正则级数，$b$是具有$b\ge2$的整数.贝尔，Bugeaud和库恩[BelBC]证明，$F(\frac{1}{b})$是理性或超越。在[Mi]中，我们引入了广义$k$ -正则序列，它是$k$ -正则序列、$k$ -加法序列和$k$ -乘性序列的统一.本文推广了Bell，Bugeaud和Coons关于某些广义$k$ -正则级数的结果.特别地，我们证明了某些$k$ -可加序列和某些$k$ -乘性序列的无理生成函数的值是有理的或超越的.此外，我们还部分地推广了Tachiya[Ta]的一个结果.特别地，我们证明了某些$k$ -可加序列和某些$k$ -乘性序列的无理生成函数的值给出超越数.
Fermat-Wilson Supercongruences, arithmetic derivatives and strange factorizations
在[Tha 15]中，我们研究了有限域上多项式的费马和威尔逊的著名基本同余的两个（“乘法”和“Carlitz-Drinfeld加法”）类似物。当我们看它们模素数的高次幂时，即在“超同余”上，我们发现有趣的关系将它们联系在一起，以及将它们与算术导数和zeta值联系在一起。在目前的工作中，我们扩大了第一个模拟和算术导数的连接更系统，给出了更多的等价条件连接两者，现在使用“混合导数”也。我们还观察和证明显着的素因子分解，涉及衍生条件的一些基本量的函数域算术。
Diversity, equity, and inclusion for problems in additive number theory
本文探讨加法数论中较少关注的问题，强调其在加法经典成果中的重要性，尤其关注有限整数集的和集大小及和集交集的算术结构问题。
Arithmetic derivatives through geometry of numbers
我们定义某些算术导数$\mathbb{Z}$尊重莱布尼茨规则，添加剂为选定的方程$a+b=c$，并满足一个合适的非退化条件。利用数的几何，我们无条件地证明了它们的存在性与控制的大小。我们证明，我们的大小界限上的任何节能的改进将给出一个版本的$abc$猜想。事实上，我们证明了在我们的意义下存在足够小的算术导数等价于$abc$猜想。我们的结果给出了一个明确的表现形式的类比建议Vojta在八十年代，有关数的几何在算术衍生物的功能领域和Nevanlinna理论。此外，我们的构造形式化了一种普遍的直觉，即$abc$猜想应该与某种算术导数有关。
General Dirichlet series, arithmetic convolution equations and Laplace transforms
在以前的文章中，我们研究了卷积方程a_d*g^{*d}+ a_{d-1} *g^{*（d-1）}+.+ a_1*g+a_0=0，其中a_0，.，a_d是与收敛于某个右半半平面的狄利克雷级数有关的算术函数，g也必须是这样的函数.在这篇文章中，我们将我们以前的结果推广到形式为\sum_{x\in X} f（x）e^{-sx}（s in C^k）的多维一般狄利克雷级数，其中X是[0，\infty）^k的加法子半群。如果X是离散的，并满足一定的可解性标准，我们确定的解决方案由一个小学递归的方法，适应的想法Feckan。一般情形的解将我们引向一个更全面的问题：设X是R^k中的尖闭凸锥C的加法子半群。我们能否找到X上的一个复Radon测度，其拉普拉斯变换满足一个给定的多项式方程，其系数是这种测度的拉普拉斯变换？
Essentialité dans les bases additives
本文研究了加性基的本质子集的概念，即基$A$的极小有限子集$P$使得$A \setminus P$不再是基.一个基的本质子集的存在等价于这个基被包含，对于几乎所有的元素，在算术非平凡级数中。我们证明了对于每个基$A$，存在一个包含$A$的最大公差的等差数列。有了这个公差$a$，我们能够给出$A$的本质子集的数量的上限：这是根的长度$a$（特别是总是有许多有限的本质子集的基础）。在基数为1的本质子集（本质元素）的情况下，我们引入了一种方法来“dessentialize”一个基础。作为应用，我们明确地改进了Deschamps和Grekos给出基的基本元素个数的上界的结果.更精确地说，我们证明了对于所有的$A$阶为$h$，$A$的基本元素个数$s$满足$s\leq c\sqrt{\frac{h}{\log h}}$其中$c=30\sqrt{\frac{\log 1564}{1564}}\simeq 2,05728$，并且我们证明了这个不等式是最好的可能的.
Finite field models in additive combinatorics
研究加法组合学中的许多问题，如Szemerédi关于等差数列的定理，可以通过首先研究F_p^n中对于某些固定的小素数p的问题的模型来变得容易。我们给出了这种类型的有限域模型的一些例子，这使我们能够相对干净地介绍加法组合学中的一些中心思想。我们也给出了一个指示如何从有限域模型的研究中获得的直觉可以帮助解决原来的问题。
Additive functionals of Harmonic samples: the conditioned Dickman regime
研究调和分布下可加算术函数的分布行为，发现其经适当标准化后收敛到条件Dick曼型泊松积分，与均匀采样下的高斯极限形成对比。
Counting the number of inequivalent arithmetic expressions on $n$ variables
本文提出了一种时间复杂度为Θ(n²)的算法，用于计算n个不同变量上不等价的算术表达式的数量。
Additive structure of non-monogenic simplest cubic fields
本文研究指数为3的非单基因 Shanks 最简三次域，完整刻画其加性不可分解元，并由此给出泛二次型秩的良好上界，证明其整数环的 Pythagoras 数为6。
On the Weakly Prime-Additive Numbers with Length 4
本文在广义黎曼假设下证明了对任意正整数m，存在无穷多个能被m整除的长度为4的弱素数可加数，并给出了一个与长度为3情形类似的相关结果。
Arithmetic of cubic number fields: Jacobi-Perron, Pythagoras, and indecomposables
本文建立 Jacobi–Perron 等多维连分数与全实三次数域加法不可分解整数的联系，刻画 Ennola 族不可分解元与 Pythagoras 数，并计算比较 Shanks 族中的周期 JPA 展开。
Additive Rigidity for $x$-Coordinates of Rational Points on Elliptic Curves
研究椭圆曲线群律与有理点x坐标加法结构的相互作用，证明了若一个d维的适当广义算术进展包含椭圆曲线上有理点的x坐标且比例为ρ，则这些点的数量被限制为A(E,d,ρ)^r，结合提取引理、间隙原理和球面码界，应用该结果得到关于有理点x坐标小和集或大加法能量集合的限制。
Cayley Digraphs Associated to Arithmetic Groups
我们探索一种范式，它将数论，加法组合学和几何组合学中看似不同的领域联系在一起，包括经典的Waring问题，Furstenberg-Sárközy正密度整数集合中的平方定理，以及有限域中三角形（也称为$2$ -单纯形）的研究。在其他结果中，我们表明，如果$\mathbb{F}_q$是奇数阶$q$的有限域，那么$Mat_d(\mathbb{F}_q), d \geq 2$中的每个矩阵是一定（有限）数量的正交矩阵的总和，这个数量只取决于$d$，矩阵的大小，以及是否$q$是全等$1$或$3$（mod $4$），但独立于$q$，否则。
On effective mean-values of arithmetic functions
本文研究了算术函数的有效均值，推导了均值比较定理，并提供了加法函数加权矩和筛除均值的有效估计。
Comparing local constants of elliptic curves in dihedral extensions
本文研究了椭圆曲线的解析局部常数理论和算术局部常数理论，前者以Rohrlich的工作为基础，后者以Mazur和Rubin的工作为基础。以宇称猜想为动机，人们期望算术局部常数是局部解析根数之比的代数加法对应。我们计算在各种情况下，双方的常数，建立这种连接的一个实质性的类椭圆曲线。通过计算一些新情形下的算术常数，我们还推广了可确定数域二面扩张中p-Selmer秩增长的下界的椭圆曲线类.
Remarks on additive representations of natural numbers
本文研究互素无平方因子整数下形如 $a p+b P_{2}$ 的自然数表示，给出表示个数的新下界，并推广和改进了短区间、算术级数及哥德巴赫型上界等特殊情形中的已有结果。
On numbers not representable as $n + w(n)$
设$w(n)$是一个可加的非负整数值算术函数，它在素数上等于$1$.研究了$n + w(n)$ $\pmod p$的分布，给出了不能表示为$n + w(n)$的数的密度的一个下界.
Silverman's conjecture for additive polynomial mappings
设$F : \mathrm{End}_{\mathbb{F_p}}(\mathbb{G}_{a/K}^d)$是全局函数域$K/\mathbb{F}_q$上的加法多项式映射，设$P \in \mathbb{G}_a^d(K)$。根据Silverman，将$δ:= \lim_{n \in \mathbb{N}} (°{F^{n}})^{1/n}$视为$F$的动态度，将$α(P) := \limsup_{n \in \mathbb{N}} h_K(F^{n}P)^{1/n}$视为$P$上$F$的算术度。我们得到了$α(P) \leq δ$，并从数域的情形推广了Silverman的一个猜想，如果$P$的轨道是Zakirki稠密的，则等式成立.我们证明了这个猜想的一个较弱的形式：如果$δ> 1$和$P$的轨道是Zurkiki稠密的，那么也是$α(P) > 1$。我们进一步获得了关于各个坐标高度沿着$P$轨道增长的更精确的结果，并提出了一些由我们的结果激发的相关开放问题，包括法尔廷斯定理的“移动目标”推广回到数域情况。
Roth's theorem for four variables and additive structures in sums of sparse sets
我们证明，如果{1，.，N}不包含方程x+y+z= 3 w的任何解，其中变量不都相等，则A的大小至多为exp（-c（log N）^{1/7}）N，其中c > 0是某个绝对常数。根据贝伦德的构造，这个界限是正确的：指数1/7不能被任何大于1/2的常数所取代。我们还建立了一个相关的结果，即如果A是{1，..的子集，则和集A+A+A包含长等差数列，N}，或者如果A是有限域上的向量空间的子集，则是高维子空间，即使A具有上述形状的密度。
Central values of additive twists of Maaß forms $L$-functions
本文研究了Maass形式L函数加法twists的中心值，结合动力学方法和量子模形式性质，证明了其渐近正态分布并拓展了相关算术应用。
Ergodic Methods in Additive Combinatorics
不久后Szemerédi的证明，一组积极的上密度包含任意长的等差数列，Furstenberg了一个新的证明这一定理使用遍历论。这就产生了遍历拉姆齐理论，其中的问题动机添加剂组合证明使用遍历论。遍历拉姆齐理论从此产生了组合的结果，其中一些还没有得到其他手段，也给了更深入的了解结构的措施保持系统。我们概述的遍历论背景需要了解这些结果，强调最近的发展，遍历论和最近的发展在添加剂组合学的关系。这些笔记是基于2006年4月在蒙特利尔数学研究中心加法组合学学院的四次演讲。这些演讲的对象是没有遍历论背景的听众。没有试图包括所有声明的完整证明，读者往往是指原始来源。许多证据包括是经典的，包括作为一个指示哪些成分发挥作用，在过去十年的发展。
Ideal-Smooth Sets and an Explicit Upper Bound for the Real Sum-Product Exponent
本文构造任意大的实数代数整数集，使和集与积集均不超过$|A|^{1.95835}$，通过理想光滑$S$-单位与互素因子结合，并利用张量积秩和区间算术给出显式上界。
Faster Multiplication for Long Binary Polynomials
我们为特征为2的有限域上的长多项式相乘创造了新的速度记录。我们的乘法算法基于Lin，Chung和Huang在2014年提出的加法FFT（快速傅立叶变换），与之前基于乘法FFT的最佳结果相比。这两种方法对于基础有限域上的算术运算具有相似的复杂度;然而，我们的实现表明，加性FFT具有更少的开销。为了进一步优化，我们采用了塔场结构，因为加法FFT中的乘法器自然会落入较小的子场中，这导致在现代CPU中使用查表指令来加速。基准测试表明，我们的方法节省了约$40 \%$计算时间时，乘多项式的$2^{28}$和$2^{29}$比特相比，以前的乘法FFT实现。
Permanents, Determinants, Weighted Isobaric Polynomials and Integer Sequences
本文构造了两类Hessenberg矩阵，它们的性质是：每个加权等压多项式都是其中一类矩阵的行列式，而另一类矩阵的积和式.每个线性常返的整数序列都可以用一类线性常返的WIPs序列表示。WIP是在基本对称多项式基础上写出的对称多项式。其中有广义Fibonacci多项式和广义Lucas多项式，它们已经具有这些广泛的表示性质。讨论的整数序列包括第二类切比雪夫多项式、第一类和第二类斯特林数、卡塔兰数和三角数，以及所有乘法算术函数或加法算术函数的序列。
On Ramanujan-type Congruences for Multiplicative Functions
对加性数论中特定函数的Ramanujan型同余的研究有着悠久而丰富的历史。最近的联系之间的除数和和过划分通过同余等差数列的动机，我们调查的存在性和分类的Ramanujan型同余函数在乘性数论。
A Direct Ultrametric Approach to Additive Complexity and the Shub-Smale Tau Conjecture
Shub-Smale Tau猜想（英语：Shub-Smale Tau Conjecture）是一个关于多项式f在一个变量中的整根个数和f的直线程序（Straight-Line Program，SLP）复杂度的假设。这个猜想的真实性的一个推论是，对于复数上的Blum-Shub-Smale模型，P不同于NP。我们证明了两个弱版本的Tau猜想，并在这样做表明，Tau猜想遵循一个更合理的假设。我们的研究结果如下从一个新的p-adic模拟早期的工作有关真正的代数几何添加剂的复杂性。例如，我们可以证明一个非零的一元多项式的加法复杂度s不能超过15+s^3（s+1）（7.5）^s！=O（e^{s \log s}）在2-adic有理数Q_2中的根，从而极大地改进了作者早先的一个结果.这直接意味着普通有理根的个数有相同的界，而通过实代数几何的早期技术得到的最佳前上界是Ω（（22.6）^{s^2}）中的一个量。本文介绍了作者的程序中的另一个步骤，即建立一个算法的算术形式的多项式理论。
Some multiplicative equations in finite fields
本文研究了当变量通过具有高可加结构的集合时，有限域上乘法方程解的个数估计问题。特别是，我们考虑估计乘法能量的广义等差数列在素域和盒在任意有限域，并获得更一般的情况下比以前已知的尖锐的界限。我们的论点扩展了Konyagin和Bourgain和张的一些想法到新的设置。
Additive Complexity and the Roots of Polynomials Over Number Fields and p-adic Fields
考虑任何具有有理系数的非零一元多项式，以基本代数式表示（仅使用整数指数）。设sigma（f）表示f的加法复杂度，证明了f的有理根的个数不超过15 + sigma（f）^2（24.01）^{sigma（f）} sigma（f）！这为迪马·格里戈里耶夫和让-雅克·里斯勒的早期结果提供了一个更精确的算术模拟，他们给出了f的实根个数的界C^{sigma（f）^2}，其中C是常数，1<C<32。我们扩展我们的新的限制，以任意有限扩张普通或p-adic有理数，有界度的根在数域上，和几何孤立根的多元多项式系统。因此我们推广了Hendrik W.小伦斯特拉和作者的编码更有效的比单项扩展。我们还提到了与复杂性理论的联系，并注意到我们的界限适用于更广泛的领域。
Power monoids: A bridge between Factorization Theory and Arithmetic Combinatorics
我们将Geroldinger和Halter-Koch在2006年关于这个主题的专著中提出的非唯一因子分解的经典理论的一些基本方面扩展到非交换和非可消的设置，与Baeth和Smertnig关于非交换但可消幺半群的因子分解理论的工作相同[J. Algebra 441（2015），475-551]。然后，我们引入幂幺半群，并应用第一部分中开发的抽象机器，我们对它们的算术进行了研究。更具体地说，设$H$是一个乘法写幺半群。$H$的所有非空有限子集的集合$\mathcal P_{\rm fin}(H)$通过赋予其运算$(X,Y) \mapsto \{xy: (x,y) \in X \times Y\}$而自然地成为幺半群，我们称之为$H$的幂幺半群，并且除非$H$是平凡的，否则它是非可消的。幂幺半群是算术组合学中感兴趣的主要对象之一，在这里，我们第一次从因子分解理论的角度来处理它们。证明导致考虑各种性质的有限子集的$\mathbf N$，可以或不能被分割成一个和集在一个非平凡的方式，这引起了丰富的相互作用与加性数论。
Eulerian series, zeta functions and the arithmetic of partitions
在这个博士论文（2018年，埃默里大学）我们证明了数论的加法和乘法分支的交叉点定理，汇集了划分理论，$q$ -系列，代数，模形式和解析数论的思想。我们提出了一个自然的乘法理论的整数分区（通常被认为是在此外），并探讨新的类的分区理论zeta函数和狄利克雷级数-以及“欧拉”$q$ -超几何级数-享受许多有趣的关系。我们发现经典数论和分析中的一些定理是作为极其一般的组合结构律的特殊情况而出现的。在我们的应用中，我们证明了Bloch-Okounkov的$q$ -括号系数的显式公式，这是一个与拟模形式相关的统计物理学中的划分理论算子，我们证明了整数的某些子集的算术密度的划分公式，给出了计算黎曼ζ函数的$q$ -级数公式;研究了与量子模形式有关的$q$ -超几何级数和Kontsevich的“奇异”函数;我们展示了Ramanujan的奇数阶模拟θ函数（以及更一般地，Gordon-McIntosh的通用模拟θ函数$g_3$）经由$q$ -括号算子从Jacobi三重积的倒数产生，也与组合学中的单峰序列和类似量子模的现象有关。
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