An Overview on Some Results Concerning the Transport Equation and its Applications to Conservation Laws
Gianluca Crippa, Laura V. Spinolo
我们提供了一个非正式的概述与非光滑速度场的传输方程的理论，并在此理论的一些应用程序的双曲型守恒律系统的适定性。
We provide an informal overview on the theory of transport equations with non smooth velocity fields, and on some applications of this theory to the well-posedness of hyperbolic systems of conservation laws.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Multidimensional Conservation Laws: Overview, Problems, and Perspective
综述了近年来的一些重要进展，讨论了几个长期存在的问题，并展望了多维守恒律的数学理论。揭示了多维双曲守恒律的一些基本特征和现象，给出并分析了一些多维系统/模型的例子和相关的重要问题，重点是已经解决或至少在某些情况下有望得到严格解决的原型。特别是多维定常超音速问题和跨音速问题，激波反射-衍射问题，以及相关的有效的非线性方法进行了分析。讨论了用于熵解分析的发散测度向量场理论和相关的分析框架。
An overview on the local limit of non-local conservation laws, and a new proof of a compactness estimate
本文概述了非局部守恒律向局部守恒律收敛极限的最新进展，重点讨论了在交通模型中极具应用价值的各向异性核情况，并给出了相关紧性估计的新证明。
A tribute to conservation of energy for weak solutions
在这篇文章中，我们把注意力集中在流体动力学系统的范围内的能量守恒原理。我们给出了一个概述的结果有关的决议著名的Onsager猜想-状态的正则性要求的弱解的不可压缩的欧拉系统，以保持能量。此外，我们调查结果提供最佳的充分正则性条件的能量守恒的其他平衡法：可压缩欧拉，Navier-Stokes，磁流体力学和一般守恒定律。
Multi-Time Systems of Conservation Laws
受P.L.工作的激励。狮子队和JC队Rochet [12]，关于多时间Hamilton-Jacobi方程，我们介绍了多时间守恒律系统的理论。研究了一维空间中具有两个独立时间变量的多时间守恒律方程组的Cauchy问题解的存在唯一性。我们的证明依赖于一个适当的推广的Lax-Oleinik公式。
Recent results on the singular local limit for nonlocal conservation laws
我们提供了一个非正式的概述最近的发展有关的奇异局部极限的非局部守恒律。特别是，我们讨论了一些反例收敛，我们强调的作用，数值粘性的数值调查的非本地本地的本地限制。我们还提出了一些悬而未决的问题，并描述了最近的相关进展。
New Conservation Laws and Energy Cascade for 1d Cubic NLS and the Schrödinger map
本文综述了一维三次非线性薛定谔方程（NLS）的初值问题以及与之相关的薛定谔映射系统的最新结果.对于后者，我们证明了级联能量的存在。最后，给出了临界正则性水平上Talbot效应的一些新例子。
On the Extension of Onsager's Conjecture for General Conservation Laws
本文的目的是推广并证明一类具有广义熵的守恒律的Onsager猜想。这项工作的主要发现之一是“普适性”的Onsager指数，$α> 1/3$，有关的规则性的解决方案，说在$C^{0,α}$，这保证了广义熵的守恒，无论结构的真正的非线性在底层系统。
The conservation law approach in geometric PDEs
在这篇综述论文中，我们给出了一个概述的守恒律的方法在研究几何偏微分方程模型，特别是多调和映射。
Some Results on the Boundary Control of Systems of Conservation Laws
本文从控制理论的观点研究守恒律方程组的初边值问题，其中初值是固定的，边界值是控制函数。我们首先考虑在一个固定的时间真正的非线性寺类系统的可控性的问题，并提出了一套可达到的配置相应的解决方案，在适当的Oleinik型估计的描述。接下来我们给出了一般$n\times n$系统在常值附近渐近镇定的结果。最后，我们用一个例子表明，在一般情况下，一个不能实现精确可控性的一个恒定的状态在有限时间。
Recent Results On Nonlinear Elliptic Free Boundary Problems
本文综述了椭圆算子控制的自由边界问题的一些新的和旧的结果。
An overview of unconstrained free boundary problems
本文综述了$$ \left\{ \begin{array}{ll} F_1(D^2u,\nabla u,u,x)=0 & \text{in }B_1 \cap Ω,\\ F_2 (D^2 u,\nabla u,u,x)=0 & \text{in }B_1\setminusΩ,\\ u \in \mathbb{S}(B_1), \end{array} \right. $$型无约束自由边界问题，其中$B_1$是单位球，$Ω$是未知开集，$F_1, F_2$是椭圆算子（允许正则解），$\mathbb{S}$是在每种情况下指定的函数空间.我们的主要目标是讨论一个统一的方法，上述匹配问题的解决方案的最佳正则性，并列出了几个开放的问题，在这个方向。
Dissipative measure valued solutions for general conservation laws
在过去的几年里，测度值解开始被认为是一个相关的概念的解决方案，如果他们满足所谓的测度值-强唯一性原则。这意味着，如果这个强解存在，则它们与源自相同初始数据的强解重合。这一性质在许多数学物理系统中得到了验证，包括不可压和可压Euler系统，可压Navier-Stokes系统等，也有一些关于一般双曲系统的结果。我们的目标是为一般系统提供一个统一的框架，这将涵盖系统中最有趣的情况，最重要的是，我们给出了方程的例子，其中的测度值-强唯一性方面还没有被考虑过，如不可压缩magentohydrodynamics和浅水磁流体力学。
An informal account of recent results on initial-boundary value problems for systems of conservation laws
本文以非正式方式概述了文献[4]中关于带边界区域上非线性守恒律方程组可容许解全局存在性的新结果，重点介绍其基于粘性机制构造解的核心方法，并与已有文献进行比较。
Evolution equations: Frobenius integrability, conservation laws and travelling waves
本文给出了关于允许行波解的发展方程的Frobenius可积性及其解的新结果。特别是，我们给出了一个强大的结果，解释了这些方程的非凡的可积性。我们还讨论了一般发展方程的“局部”守恒律，并证明了Korteweg de Vries方程的所有结果。
Metastability for nonlinear parabolic equations with application to scalar viscous conservation laws
本文的目的是有助于定义一个多功能的语言亚稳定性的背景下，偏微分方程的发展型。本文提出了一个适用于一维有界区域上抛物型方程的一般框架，该框架基于选择一族近似定态，以及线性化算子在这类定态下的谱性质。的慢运动的解决方案属于一个圆柱附近的家庭的近似稳定状态的分析通过一个系统的常微分方程的参数$ξ$，描述家庭，再加上一个PDE描述的扰动$v$的演变。本文给出并证明了一个关于耦合$(ξ,v)$的约化系统的一般结果，即通过忽略$v$中的非线性项而得到的拟线性化系统，并说明了这种方法如何适用于具有凸通量的有界一维区间中Dirichlet边界条件的标量粘性守恒律的典型例子.
Relative entropy method for measure-valued solutions in natural sciences
在这篇文章中，我们描述了相对熵框架的应用。特别地，利用测度值熵解的概念，证明了标量守恒律的熵解的唯一性。此外，我们调查最近的结果有关测度值强唯一性的一些物理系统-不可压缩和可压缩的欧拉方程，可压缩的Navier-Stokes，多凸弹性动力学和一般双曲守恒律，以及长时间渐近的McKendrick-Von Foerster方程。
Spectral stability of Prandtl boundary layers: an overview
在本文中，我们显示如何普朗特边界层的稳定性是联系在一起的不可压缩的Navier斯托克斯方程的剪切流的稳定性。然后，我们回顾经典的物理不稳定性的结果，并给出了一个简短的教育介绍的建设不稳定模式的奥尔索末菲方程。最后，我们提出了一个关于普朗特边界层渐近展开有效性的猜想。
Reachable set for Hamilton-Jacobi equations with non-smooth Hamiltonian and scalar conservation laws
给出了具有凸Hamilton算子的Hamilton-Jacobi方程在时间$T$上的黏性解与任意初始条件相关联的算子的值域的充分刻画.我们的主要动机是能够处理的情况下，凸哈密顿没有进一步的正则性假设。我们给予特别注意的情况下，$H(p) = |p|$，我们提供了一个相当几何描述的粘性算子的范围内的一个内部球条件的子水平集。从我们的可达集的特征，我们能够推导出进一步的结果，例如，尖锐的正则性估计的可达功能，以及结构特性的可达集。最后将所得结果推广到一维标量守恒律的情形。
Conservation laws and exact solutions of a nonlinear acoustics equation by classical symmetry reduction
本文研究了广义韦斯特维尔特方程的对称性和保量律，通过约简发现点对称性和局部保量律，推导出潜在系统和非局部保量律，并研究了行波解导致的激波现象。
On the equivalence of Euler-Lagrange and Noether equations
证明了在非平凡解的条件下，Euler-Lagrange方程和Noether方程对于非线性泊松方程的变分问题和一类更一般的Lagrange算子（包括位置无关的p-Laplacian型）是等价的.作为应用，我们证明了关于非线性泊松方程及其推广的某些命题，容许变分和内变分的等价性，并讨论了由守恒律或对称律确定拉格朗日量的反问题。
Singular limit for a class of nonlocal conservation laws via compensated compactness
针对一类建模交通流的非局部守恒律，在核集中为狄拉克δ分布时，不依赖全变差界等传统条件，通过补偿紧性理论证明弱解强收敛到对应局部熵容许解，解决了非凸核相关的长期开放问题。
Well-posedness of a highly nonlinear shallow water equation on the circle
我们提出了一个全面的介绍和概述，最近推导出的模型方程的大振幅波的背景下，浅水波，并提供了文献综述所有可用的研究这个方程。此外，我们还建立了一个新的结果，即当初值来自圆上的索伯列夫空间$H^s$时，$s>3/2$的相应Cauchy问题的空间周期解的局部适定性.
Dirac-Fock models for atoms and molecules and related topics
综述了Dirac-Fock模型的各种结果，其解的各种变分特征及其非相对论极限。还定义了这种完全无界的基态的概念。
Shock Formation in Small-Data Solutions to $3D$ Quasilinear Wave Equations: An Overview
在他2007年的专著中，D. Christodoulou证明了一个显着的结果，详细描述了冲击波的形成，小$H^s$ -初始条件（$s$足够大），在解决方案的相对论欧拉方程在三维空间。他的工作提供了一个显着的进步，在一个大机构的先前工作有关的长期行为的解决方案，以高维准线性波动方程，由F。约翰在20世纪70年代中期，并继续由S。Klainerman，T.锡代里斯湖Hörmander，H. Lindblad，S. Alinhac和其他人。我们在本文中的目标是给出一个概述他的结果，概述其主要的新思想，并将其放在上述早期工作的背景下。我们还介绍了最近的工作J. Speck，扩展Christodoulou的结果表明，在三个空间维度的两个重要类的准线性波动方程，小数据冲击形成时，二次非线性项失败的经典零条件。
On rays of minimal growth for elliptic cone operators
我们提出了一个概述，我们最近的一些结果的存在射线的椭圆锥运营商和两个新的结果有关的某些条件的必要性，这种射线的存在。
Second-order accurate TVD numerical methods for nonlocal nonlinear conservation laws
本文对杜、黄和LeFloch最近提出的一类非局部非线性守恒律--“非局部相互作用模型”，给出了一种二阶精度的数值方法.我们的数值方法使用二阶精确的重建为基础的计划，结合适当的数值积分的局部守恒律。我们证明了所得到的方法是全变差递减（TVD）的，并收敛到一个弱解。事实上，与局部守恒律相反，我们的基于二阶重建的方法收敛到唯一的熵解，只要非局部相互作用核满足一定的增长条件接近零。此外，由于我们的方法中的非局部视界参数接近零，我们恢复了一个众所周知的二阶局部守恒律方法。此外，我们回答了几个问题，从杜，黄，和LeFloch关于正则性的解决方案。特别地，我们证明了弱解中存在的任何间断必须是平稳的，并且如果相互作用核满足一定的增长条件，则弱解是唯一的。我们提出了一系列的数值实验中，我们调查我们的二阶计划的准确性，证明冲击形成的非局部对相互作用模型，并检查如何的规则性的解决方案取决于通量函数的选择。
$q$-Moment Estimates for the Singular $p$-Laplace Equation and Applications
本文给出了奇异$p$ -Laplace方程弱解在环上的$q$矩估计，其中$p$和$q$是共轭的.我们得到了某些临界参数范围的$q$ -一致可积性。作为应用，我们得到了一个质量守恒，以及一个弱收敛结果的一个更大的临界参数范围。关于后一点，我们进一步提供了在$q$ -Wasserstein距离中解的$t^{q-1}$阶收敛速率。
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