More integrals of products of Airy functions
Francisco M. Fernández
利用修正的超维里定理，我们导出了Airy函数乘积积分的简单表达式。目前的结果包含以前的特殊情况。
By means of a modified hypervirial theorem we derive simple expressions for the integrals of products of Airy functions. Present results contain earlier ones as particular cases.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the relation between Airy integral and Bessel functions revisited
Airy积分和Bessel函数对于描述相对论带电粒子在同步加速器中运动以及在周期性宏观和微观结构中产生的不同类型辐射的光谱分布具有重要意义。Airy积分与修正Bessel函数之间关系的简单证明对于不精通纯数学的辐射物理学家来说是非常重要的。本文讨论了Nicholson提出的一个古老的证明，并提出了另一个基于复常数Bessel微分方程的Bowman变换的简单证明。
Airy functions over local fields
Airy积分是非常经典的，但近年来，他们已被推广到高维，这些推广已被证明是非常有用的研究拓扑的模空间的曲线。我们研究这些积分的自然推广时，地面领域是一个非阿基米德的局部领域，如领域的p-adic数。我们证明了p-adic艾里积分是局部常数函数的适度增长，并提出证据表明，与紧凑的p-adic李群的艾里积分也有这些属性。
Airy Functions for Compact Lie Groups
经典的Airy函数已经被Kontsevich推广到矩阵辐角的函数，它是酉不变指数核的（斜）厄米矩阵空间上的积分。本文利用群下指数不变核，将Kontsevich积分推广到任意连通紧李群的李代数上的积分。定义这个核的（实）多项式被称为具有艾里性质，如果积分定义了一个适度增长的函数。给出了多项式具有Airy性质的一个一般充分判据。证明了李代数上的不变多项式具有Airy性质，如果它对Cartan子代数的限制具有Airy性质。这个结果是用来评估这些不变积分完全和明确的厄米矩阵，获得的公式，包含那些Kontsevich作为特殊情况。
Integrals containing the logarithm of the Airy Function Ai'(x)
本文用解析表达式给出了包含Airy函数Ai '（x）对数的M-Fermi理论中的积分。
Logarithmic Integrals of Airy Functions
在原子结构的T-F理论中，含有Airy函数的积分用不完全Bell多项式表示。为了与TF理论的精神保持一致，寻求这些积分的封闭形式。
A remark on the matrix Airy function
给出了矩阵Airy函数的积分表示
Mellin transform of quartic products of shifted Airy functions
给出了移位Airy函数的四次乘积的Mellin变换的封闭形式。给出了用对数函数和完全椭圆积分特殊值表示的一些特殊情况。
Asymptotic representations for some functions and integrals connected with the Airy function
得到了函数${\rm Ai}_1(x), {\rm Gi}(x), {\rm Ai}'(x), {\rm Ai}^2(x), {\rm Bi}^ 2(x)$的渐近表示。作为一个副产品，阶乘恒等式（21 '）被发现.导出的渐近表示的积分$\int_v^{\infty}dx{\rm Ai}(x)h(x,v)$的$v\to-\infty$和积分，不同于它的变化${\rm Ai}(x)$由${\rm Ai}'(x)$或${\rm Ai_1(x)}$，提出.以Airy函数${\rm Ai}(z)$为例，将Stokes现象看作是各道次上最陡下降线的不连续行为的结果。当$z$穿过斯托克斯射线时，在较高通路上的最陡下降线突然将其渐近接近在较低通路上的最陡下降线的方向改变为接近该线的相反端的方向。因此，当沿着最陡下降线绘制的积分等值线越过较高的通径时，当$z$穿过斯托克斯射线时，它开始或停止越过较低的通径，结果隐性级数（来自较低通径的贡献）在包含显性级数的函数的渐近表示中不连续地出现或消失。
Higher Derivatives of Airy Functions and of their Products
研究了闭型Airy函数高阶导数的计算问题。一般表达式的多项式已出现在明确的公式，这些衍生物的Gegenbauer多项式的特定值。利用终止超几何级数解决了Airy函数乘积的类似问题。
Algebras of commuting differential operators for integral kernels of Airy type
微分算子与积分算子可交换是在C. Tracy和H. Widom [37，38]的方法，并用于推导随机矩阵理论中出现的积分算子的弗雷德霍姆行列式的渐近展开。最近，人们已经证明，所有合理的，对称达布变换的贝塞尔，艾里和指数双谱函数产生交换积分和微分算子[6，7，8]，大大推广了已知的例子在文献中。本文利用作用在（无限维）Airy Adelic Grassmannian的Lagrange轨迹上的微分伽罗瓦群的不动点子流形，对Airy函数的有理对称Darboux变换进行了分类，并开始了与每一个积分算子交换的微分算子的全代数的研究.利用文献[8]的一般理论，我们得到了两个最低阶的微分算子的显式公式，这些微分算子与达布过程中得到的第一级和第二级积分算子中的每一个可交换.证明了每对微分算子都是可交换的。在第一级的情况下，交换算子满足一个代数关系定义的椭圆曲线。
Analysis of Quartic Potential Problems Using Fredholm Integral Operators with Airy Functions
本文提出了一种利用AiryFredholm算子求解量子四次势问题的新方法，该方法在高精度数值分析和多重物理系统描述中具有重要应用价值。
Large gap asymptotics for Airy kernel determinants with discontinuities
我们得到了具有任意数量$m$不连续的Airy核Fredholm行列式的大间隙渐近性。这些$m$点行列式是艾里点过程的生成函数，并编码随机矩阵集合中软边缘附近特征值的概率信息。我们的主要结果是，$m$ -点行列式可以渐近表示为产品的$m$ $1$ -点行列式，乘以一个明确的常数前因子，可以解释的计数函数的协方差的过程。
Airy functions in the thermodynamic Bethe ansatz
热力学Bethe方程是求解可积模型时经常遇到的耦合非线性积分方程。那些与N=2超对称模型相关的模型可以与微分方程相关，其中包括Painleve III和Toda系列。在最简单的情况下，这些非线性积分方程的无质量极限可以用艾里函数来求解。这是唯一已知的封闭形式解决方案的热力学贝特方程，自由或经典模型之外。这就给出了线性势中薛定谔方程的谱行列式。
Higher-order Airy scaling in deformed Dyck paths
我们介绍一个变形版本的戴克路径（DDP），其中除了允许戴克路径的步骤，允许的路径的首选方向正交的“跳跃”。我们考虑DDP的生成函数，加权相对于他们的半长，面积和跳跃数。这代表了第一个例子，一个完全可解的晶格路径模型显示了一个高阶多临界点。应用广义最陡下降法，我们看到，相关的两个变量的标度函数给出了一个广义（高阶）艾里积分的对数导数。
Non-Paraxial Wave Analysis of 3D Airy Beams
从波动理论的角度对三维艾里光束进行了深入的研究。我们利用精确的光谱积分的AiB推导出本地射线为基础的解决方案，不遭受传统的抛物方程（PE）的解决方案的限制，是有效的远远超出近轴区和更长的范围。AiB的主瓣附近的射线拓扑描绘了双曲umilic衍射灾难，由一个尖双层焦散，但这个焦散变形的领域失去了它的光束形状的远距离。在这个焦散附近的字段均匀描述的双曲umilic正则积分的结构明确的局部几何的焦散从初始场分布。为了适应有限能量AiB，我们还修改了正则积分，增加了一个复杂的损失参数。正则积分计算使用一系列的扩展和结果被用来识别的有效区的常规PE解决方案。在非色散AiB的框架内进行分析，其中孔径场随频率缩放，使得射线骨架与频率无关。这种缩放使理论扩展到超宽带（UWB）制度，并确保脉冲场沿弯曲的光束轨迹传播，而没有色散，将在随后的出版物中证明。
Asymptotics of the deformed higher order Airy-kernel determinants and applications
本文利用 Riemann-Hilbert 方法研究了高阶 Airy 核 Fredholm 行列式的渐近性，揭示了不同参数下渐近展开的常数项与奇异行为，并探讨了其在随机点过程统计性质中的应用。
GOE and ${\rm Airy}_{2\to 1}$ marginal distribution via symplectic Schur functions
我们推导出Sasamoto的弗雷德霍姆行列式公式的Tracy-Widom GOE分布，以及一个点的边缘分布的${\rm Airy}_{2\to1}$过程，最初由Borodin-Ferrari-Sasamoto，作为缩放限制的点到线和点到半线的最后一个通道渗滤指数分布的等待时间。渐近分析通过新的表达式的最后通过时间的积分（连续模拟）辛和经典Schur函数，最近在[BZ 19 a]中获得。
On an Airy matrix model with a logarithmic potential
Kontsevich-Penner模型是具有对数势的Airy矩阵模型，可以通过对偶性从简单的高斯双矩阵模型导出。在这个双重版本中，可以以封闭形式计算n点关联函数的傅里叶变换。使用维拉索罗约束，我们发现，除了参数$t_n$，它出现在KdV层次结构中，这里需要引入半整数索引$t_{n/2}$。作为这些参数的函数的自由能可以从这些维拉索罗约束获得。大N极限来自积分方程的解。这导致了一些拓扑不变量的显式计算。
Elliptic umbilic representations connected with the caustic
本文研究了椭圆脐正则积分的初始分布移到焦散点的级数展开。得到了椭圆脐点的一个绝对收敛的整表示。利用它，我们找到了2F ~ 2超几何函数的椭圆脐特值。我们还得到了积分的高斯和两个艾里函数的乘积的分数阶贝塞尔函数。本文还讨论了3F 2超几何函数的特殊值和Airy多项式关系等其它推论。
Universality of the matrix Airy and Bessel functions at spectral edges of unitary ensembles
本文研究酉系综的平均特征多项式的乘积和比。我们证明了在软边缘的极限本征值的密度的普遍性，并写在Kontsevich矩阵模型（“矩阵艾里函数”，最初命名的Kontsevich）的功能的普遍限制。对于硬边的情况，普遍性是已知的。我们表明，在这种情况下，也可以表示为矩阵积分（“矩阵贝塞尔函数”）在文献中称为广义Kontsevich矩阵模型的普遍限制。
Asymptotics for the Covariance of the Airy_2 process
本文计算了Airy过程两点函数的大t渐近展开中的一些高阶项，推广了Adler和van Moerbeke及Widom的工作.我们证明，它是可能的表示为多项式和积分的Hastings-McLeod Painlevé II函数及其一阶导数的任何阶渐近逼近。进一步地，对于高达十阶，我们给出作为Tracy-Widom GUE密度函数f_2及其导数的线性组合的渐近近似。作为推论，渐近协方差表示为Tracy-Widom GUE分布的矩的十阶。
Airy Point Process via Supersymmetric Lifts
本文研究了粒子系统在边缘的局部渐近性，它产生于：（i）酉不变随机埃尔米特矩阵的特征值和（ii）对应于酉群表示的张量积分解的特征。我们的方法将这两个模型并行，是基于新的公式描述的一个特殊的家庭电梯，我们称之为超对称电梯，舒尔函数和多元贝塞尔函数的可观的。我们得到了明确的表达一类超对称升降机的启发超对称舒尔函数由于\cite{MJ03}的行列式公式。对这些升力的渐近分析使我们能够探测边缘。我们专注于几个设置的Airy点过程出现。
The tacnode kernel: equality of Riemann-Hilbert and Airy resolvent formulas
本文研究了在时空平面的一个交点附近具有两个指定起始和终止位置的不相交布朗运动。在文献中已经得到了几个表达式的临界相关内核$K\tac(x,y)$，描述的微观行为的布朗运动附近的tacnode。一种方法，由于Kuijlaars，张和作者，表示内核（在单时间的情况下）在一个$4\times 4$矩阵值黎曼-希尔伯特问题。另一种方法，由于阿德勒，法拉利，约翰森，范Moerbeke和兽医\H o在一系列文件，表示内核方面的预解式和Fredholm决定因素的艾里积分算子作用于半无限区间$[σ,\infty)$，涉及一些对象介绍了特雷西和Widom。在本文中，我们证明了这两种方法的等价性。我们还获得了秩-2的性质的衍生物的tacnode核。最后，我们找到了一个Riemann-Hilbert表达式的多时间扩展tacnode核。
$ζ$-functions via contour integrals and universal sum rules
本文提出一种基于围道积分的解析框架，在极少假设下研究任意复数序列的ζ函数，导出普适求和规则与亚纯性质，并应用于Airy函数等特殊函数零点及AAA算法。
Simple Lie algebras and topological ODEs
对于单李代数$\mathfrak g$，我们定义了一个系数为多项式的线性常微分方程组，称之为$\mathfrak g$型拓扑方程.无穷远正则解空间的维数等于李代数的秩。对于最简单的例子$\mathfrak g=sl_2(\mathbb C)$，正则解可以通过Airy函数及其导数的乘积来表示;这个矩阵值函数在我们以前的工作中用于计算Witten - Kontsevich τ函数的对数导数。对于任意的单李代数，我们在拓扑方程的正则解空间中构造了一个基，称为广义Airy预解式。我们还概述了应用广义Airy预解式计算Witten和Fan-Jarvis- Ruan不变量的Deligne-Mumford模空间的稳定代数曲线。
Nonlinear PDEs for gap probabilities in random matrices and KP theory
Airy和Pearcey核和随机矩阵理论中的推广表示为指数比的二重积分，可能乘以有理函数。在这项工作中，它表明，这样的内核是密切相关的波函数多项式（凝胶'fand-Dickey减少）或合理的减少KP-层次，其Fredholm行列式也满足线性偏微分方程（维拉索罗约束），产生，在一个系统的方式，非线性偏微分方程的Fredholm行列式的内核。例子包括Fredholm行列式给出了一些无限维扩散的间隙概率，如Airy过程，有或没有异常值，以及Pearcey过程，有或没有内点。
Moments of the SHE under delta initial measure
给出了随机热方程（SHE）从原点δ初始测度出发的矩的围道积分公式的严格证明。这些公式在[BC14]中进行了说明（另见[CDR10，Dot10]）。我们的证明是基于SHE和Airy点过程之间的对应关系，该对应关系在[BG 16，定理1]中使用[ACQ 11，定理1.1]的公式证明。
Asymptotics for products of characteristic polynomials in classical $β$-Ensembles
研究了$N\times N$随机矩阵的Hermite（Gaussian）、Laguerre（Chiral）和Jacobi $β$ -系综特征值的局部性质.更具体地，我们计算特征多项式的乘积的期望值的缩放极限为$N\to\infty$。在每个$β$系综的大部分频谱中，发现相同的缩放极限是$e^{p_{1}}{}_1F_{1}$，其在杰克多项式方面的精确扩展是众所周知的。Hermite和Laguerre $β$ -系综的软边缘处的标度极限被证明是一个多元Airy函数，它被定义为一个广义Kontsevich积分。作为推论，当$β$是偶数时，得到了三个系综的$k$点关联函数的标度极限。本文还给出了多变量Airy函数在大小变元下的渐近性。所有的渐近结果依赖于推广的沃森引理和Selberg型积分的最速下降法。
An integral containing the product of four Bessel functions
Mellin变换用于计算涉及四个贝塞尔函数和一个幂的乘积的积分。利用这种方法，得到了用广义超几何函数$_{6}F_{5}$表示的结果.
An example of path integral reduction for a simple symmetric mechanical system on a product manifold
该研究将基于arXiv:1912.13124的维纳型路径积分约化过程应用于具SO(2)群自由真等距作用的乘积流形简单不变力学系统，得到约化雅可比行列式及初始与约化流形抛物方程基本解路径积分的积分关系。
n-ary star product: construction and integral representation
本文讨论了一个n元星积的构造。给出了相关标识。此外，通过计算n维相空间中耦合振子物理系统的本征值和本征函数，说明了这种形式。
A product formula for the eigenfunctions of a quartic oscillator
我们考虑具有偶四次势的实直线上的薛定谔算子。我们的主要结果是$ψ_k(x)ψ_k(y) = \int_{\mathbb{R}} ψ_k(z)\mathcal{K}(x,y,z)dz$型的本征函数$ψ_k$的乘积公式。核函数$\mathcal{K}$根据Airy函数$\mathrm{Ai}(x)$明确给出，并且对于适当的参数值是正的。作为应用，我们得到了特征函数$ψ_k$的一个特殊的渐近展开式。
Integrals of products of Hermite functions
利用生成函数计算Hermite函数乘积的积分。下面给出了4个Hermite函数的精确渐近性。这个估计是相关的相应的三次非线性方程。
Star product representation of coherent state path integrals
本文确定了相干路径积分的星积表示。利用复变元广义δ函数的性质，得到了非对角密度算子对应的Glauber-Sudarshan P-函数.然后，我们计算的Husimi-Kano Q-表示的时间演化算子的正规星积。最后，光学等效定理允许我们将相干态的路径积分表示为正规乘积的哈密顿函数的星指数。
The Lyapunov exponent of products of random $2\times2$ matrices close to the identity
我们研究了任意随机实$2 \times 2$矩阵的乘积，这些矩阵与单位矩阵非常接近。使用岩泽分解的$\text{SL}(2,{\mathbb R})$，我们确定了一个连续制度的平均值和协方差的三个岩泽参数同时小。在此制度下，产品的李雅普诺夫指数所示，采取缩放形式。在一般情况下，相应的尺度函数表示为高斯超几何函数。一些特殊的情况下，也被认为是，其中的尺度函数的李雅普诺夫指数涉及其他特殊功能（艾里，贝塞尔，惠特克，椭圆）。这样得到的一般解使我们能够在一个统一的框架中恢复以前从一维无序系统的精确可解模型中得到的许多结果。
Integrals related with Rogers Ramanujan continued fraction and q-products
本文提出了一种计算一类与拉马努扬连分数和q-积有关的积分的方法。为此，我们简要地探讨了一个微分方程，它将这两个函数联系起来
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