多分量二维Toda族：广义矩阵正交多项式、多重正交多项式和Riemann-Hilbert问题

多分量mKdV方程在DIII型对称空间上的约化

Reductions of Multicomponent mKdV Equations on Symmetric Spaces of DIII-Type

利用A. V. Mikhailov引入的约化群方法，在{ \bf DIII}型对称空间上导出了多分量修正Korteveg-de Vries（MMKdV）方程的新约化.相关的逆散射问题进行了研究，并减少到一个Riemann-Hilbert问题。定义了散射数据的最小集合$\mathcal{T}_i$、$i=1,2$，它们允许唯一地重建散射矩阵和Lax算子的势。研究了新约化对MMKdV和$\mathcal{T}_i$的哈密顿结构的影响。我们用与代数$\mathfrak{g}\simeq so(8)$相关的MMKdV方程来说明我们的结果，并利用同构于${\mathbb Z}_{2}$，${\mathbb Z}_{3}$，${\mathbb Z}_{4}$的约化群导出了几个新的MMKdV型方程.

广义Riemann方程的矩阵Lax表示及其守恒律

The matrix Lax representation of the generalized Riemann equations and its conservation Laws

证明了广义Riemann方程与多分量广义Hunter-Saxton方程是等价的。新的矩阵和标量的拉克斯表示提出了这种推广。直接从Lax算子得到了一类新的守恒密度，它与时间有明显的依赖关系。给出了一个生成广义Riemann方程的一大类非多项式守恒律的算法。由此得到Hunter-Saxton方程的一系列新的守恒律。

$q$ -Toda族的Sato理论及其推广

Sato theory on the $q$-Toda hierarchy and its extension

本文构造了一个新的$q$ -变形Toda族（QTH）的包含Hirota双线性方程和tau函数的Sato理论.同时给出了该族的Block型附加对称性和双Hamilton结构。从Hamilton τ对称性出发，给出了该族的τ函数的另一种定义.然后，我们将$q$ -Toda族推广到一个扩展的$q$ -Toda族（EQTH），它满足一个广义Hirota二次方程.广田二次方程可能在Gromov-Witten理论中有进一步的应用。并构造了相应的包含多重达布变换的Sato理论。最后，我们构造了$q$ -Toda族的多分量扩张，并证明了它的可积性，包括它的双Hamilton结构、τ对称性和守恒密度.

Toda和Laguerre-Freud方程及超几何离散多重正交多项式的tau函数

Toda and Laguerre-Freud equations and tau functions for hypergeometric discrete multiple orthogonal polynomials

本文研究离散多重正交多项式，通过tau函数和带状矩阵描述其性质，证明其提供Toda方程多分量可积扩展及Nijhoff-Capel方程的解，并探讨Laguerre-Freud方程在多种特例下的应用。

从二维Toda层次到黎曼球面区域的共形映射

From 2D Toda hierarchy to conformal map for domains of Riemann sphere

本文研究二维Toda层次无色散极限弦解泰勒级数的性质，给出了其收敛的充分条件，该弦解用于计算黎曼球面区域的单叶共形映射。

弦方程约束的无色散Toda族的解

Solutions of the Dispersionless Toda Hierarchy Constrained by String Equations

解决方案的Riemann-Hilbert问题实现twistorial结构的色散Toda（dToda）的层次。考虑了两类弦方程，它们刻画了二维量子引力和拉普拉斯增长问题的速端扇区解和可积结构。

周期Toda格的稳定性：高阶渐近性

Stability of the Periodic Toda Lattice: Higher Order Asymptotics

在最近的一篇论文中，我们考虑了周期Toda晶格在短程扰动下的长时间渐近性，并证明了扰动晶格渐近地接近调制晶格。在本文中，我们捕获的高阶渐近，至少远离一些共振区域。特别是我们证明了衰变率是$O(t^{-1/2})$。我们的证明依赖于相关的黎曼-希尔伯特分解问题，这是在这里设置在一个超椭圆曲线的渐近分析。在以前的研究中的自由Toda格，高阶渐近产生的“本地”黎曼-希尔伯特分解问题的小十字中心的固定相点。我们发现，这样一个局部问题的分析，可以在每个固定相点周围的图表，并减少到一个Riemann-Hilbert分解问题的复平面上。然后，这个结果可以被拉回到超椭圆曲线。

高阶Mathieu运算、Toda链和解析Langlands对应关系

Higher-Rank Mathieu Opers, Toda Chain, and Analytic Langlands Correspondence

本文研究了在两次 punctured Riemann 球上任意阶运算连接的平坦截面相关的Riemann-Hilbert问题，通过单个非线性积分方程构造解，并证明了Nekrasov, Rosly和Shatashvili的猜想，将Toda链的量子化条件重新表述为连接问题，并解释了结果作为Toda链对应的Hitchin系统实版本的解析Langlands对应关系的变体。

径向 Toda 方程 I 的连接公式

Connection formulae for the radial Toda equations I

本文研究 $A_n$ 型二维周期 Toda 方程径向解的全局渐近行为，通过融合 PDE 分析与 Riemann-Hilbert 非线性最速下降法，在 $n=2$（秩 3）情形下建立了零点和无穷远处渐近参数之间的连接公式。

具有B型约束的Toda晶格

Toda lattice with constraint of type B

本文通过给二维Toda晶格的Lax算子施加B型约束，构造了可视为BKP族离散化的新可积子族，并用Riemann和Prym theta函数给出其代数几何解。

随机分拆和无色散Toda族的热力学极限

Thermodynamic limit of random partitions and dispersionless Toda hierarchy

本文研究了四维和五维超对称U（1）规范理论被某些物理观测量变形的瞬子和的随机配分模型的热力学极限。物理观测量对应于统计模型中的外部势。配分函数是根据Maya图的密度函数重新制定的。热力学极限由与配分函数中的主导项相关联的杨氏图的极限形状决定。极限形状的特点是一个变分问题，这是进一步转化为一个标量值Riemann-Hilbert问题。这个黎曼-希尔伯特问题借助于一条复曲线来解决，这条复曲线可以看作是变形U（1）规范理论的塞伯格-威滕曲线。这个解决方案的黎曼-希尔伯特问题的一个特殊的解决方案的色散户田族满足一对广义弦方程。我们证明了5D规范理论的广义弦方程与统计模型的隐对称性有关。还考虑了预势和Seiberg-Witten微分。

On tau-functions for the Toda lattice hierarchy

We extend a recent result of [13] for the KdV hierarchy to the Toda lattice hierarchy. Namely, for an arbitrary solution to the Toda lattice hierarchy, we define a pair of wave functions, and use them to give explicit formulae for the generating series of $k$-point correlation functions of the solution. Applications to computing GUE correlators and Gromov--Witten invariants of the Riemann sphere are under consideration.

环面网络、几何$R$ -矩阵和广义离散Toda格

Toric networks, geometric $R$-matrices and generalized discrete Toda lattices

我们利用复曲面网络的组合学和双仿射几何$R$ -矩阵来定义离散Toda格的三参数推广族。我们构造了这个系统的运动积分和谱图。由$R$ -矩阵的作用所产生的通勤时间演化族在谱曲线的雅可比矩阵上被明确线性化。利用黎曼θ函数构造了初值问题的解。

周期Toda晶格在短程扰动下的稳定性

Stability of the periodic Toda lattice under short range perturbations

我们考虑的稳定性的周期Toda晶格（略一般的代数几何有限间隙晶格）下的短程扰动。我们证明了扰动晶格渐近地接近调制晶格。更准确地说，让$g$是与未扰动解相关的超椭圆曲线的亏格。我们发现，除了在准周期背景上传播的孤子的现象，$n/t$ -窗格包含$g+2$地区的扰动解决方案是接近于一个有限的间隙解决方案在同一等谱环面。在两者之间有$g+1$区域，其中扰动的解决方案是渐近接近调制的晶格经历了连续的相变（在雅可比品种），并插入这些等谱的解决方案之间。在自由格点（$g=0$）的特殊情况下，等谱环面仅由一个点组成，我们恢复了已知的结果。无论是在等谱环面和相变的解决方案明确的特征在于在基础的超椭圆曲线上的阿贝尔积分。我们的方法依赖于等价的逆谱问题的矩阵Riemann-Hilbert问题上定义的超椭圆曲线和推广所谓的非线性固定相/最速下降法Riemann-Hilbert问题变形黎曼曲面。

无色散二维Toda族的对称解、Hurwitz数和共形动力学

Symmetric solutions to dispersionless 2D Toda hierarchy, Hurwitz numbers and conformal dynamics

我们明确地构建了一个系列的展开的解决方案的2D户田族在零色散极限，我们称之为对称的解决方案。我们通过一些通用的组合常数来表示泰勒系数，并找到它们的递推关系。利用这些结果得到亏格为0的双Hurwitz数的新公式。它们也可以作为一个起点，建设性的方法，黎曼映射问题和反潜在的问题在2D。

双正交Laurent多项式，Toeplitz行列式，极小Toda轨道和等单道τ函数

Biorthogonal Laurent polynomials, Toeplitz determinants, minimal Toda orbits and isomonodromic tau functions

我们考虑一类双正交多项式，用于解决与上三角矩阵的Borel群的初等共伴随轨道相关的逆谱问题;这些轨道是Toda型广义可积格的相空间。这样的多项式自然插值理论之间的正交多项式的线和正交多项式的单位圆和绑在一起的理论户田，相对论户田，Ablowitz-拉迪克和沃尔泰拉晶格。建立了相应的Christoffel-Darboux公式。对于所有这些类的多项式的微分差分变形方程的2x2系统进行了分析，在最一般的设置伪措施与任意有理对数导数。它们提供了黎曼球面上有理联络的特殊类的等单道变形。相应的isomonodromic tau函数是明确相关的移动Toeplitz行列式的时刻的伪措施。特别是，结果意味着任何（移位）Toeplitz（汉克尔）行列式的符号（措施）与任意有理对数导数是一个isomonodromic tau函数。

多维Toda方程的可积族与拓扑-反拓扑融合

Integrable Hierarchy for Multidimensional Toda Equations and Topological-Anti-topological Fusion

将负对称流引入齐次$A_m$ -族及其$\hat{gl} (m+1, C)$扩展的Riemann-Hilbert问题中.一个二阶循环群自同构被用来定义一个只包含奇对称流的$\hat{gl} (m+1, C)$层次的子层次。$\pm 1$品位的正、负流量与多维Toda模型和拓扑-反拓扑融合方程相吻合。

Long-Time Asymptotics for the Toda Shock Problem: Non-Overlapping Spectra

We derive the long-time asymptotics for the Toda shock problem using the nonlinear steepest descent analysis for oscillatory Riemann--Hilbert factorization problems. We show that the half plane of space/time variables splits into five main regions: The two regions far outside where the solution is close to free backgrounds. The middle region, where the solution can be asymptotically described by a two band solution, and two regions separating them, where the solution is asymptotically given by a slowly modulated two band solution. In particular, the form of this solution in the separating regi…

Toda族的hbar-展开：解的递归构造

An hbar-expansion of the Toda hierarchy: a recursive construction of solutions

构造了\hbar依赖的Toda方程族的通解.该构造基于Lax和Orlov-Schulman算子对（L，M）和（\bar L，\bar M）的Riemann-Hilbert问题.这个Riemann-Hilbert问题被翻译成dressing算子W和\bar W的语言。以指数形式设置修饰算子W = e^{X/ \hbar }和\bar W = e^{X/ \hbar }e^{ \bar X/ \hbar }，并且假设辅助算子X、\bar X和函数X具有\hbar -展开式X = X_0 + \hbar X_1 +.，\bar X = \bar X_0 + \hbar \bar X_1 +.并且n = n_0 + \hbar n_1 +.这些展开式的系数满足一组递归关系。X、\bar X和λ由这些关系递归地确定。此外，相关联的波函数被示出具有WKB形式：ε = e^{S/ \hbar }和\bar ε = e^{ \bar S/ \hbar }，这导致τ函数的对数的\hbar -展开。

SDiff（2）Toda方程--族、$τ$函数和对称性

SDiff(2) Toda equation -- hierarchy, $τ$ function, and symmetries

Toda格点场论的一个连续极限，称为SDiff（2）Toda方程，被证明具有Lax形式和无限高阶流.拉克斯形式与自对偶真空爱因斯坦方程及其超凯勒形式非常相似，但现在基于辛结构和圆柱$S^1 \times \R$上的保面积同态群SDiff（2）。引入了Toda晶格tau函数的类似物。从SDiff（2）群中的Riemann-Hilbert问题导出了隐藏SDiff（2）对称的存在性. tau函数的对称性具有交换子反常，从而给出SDiff（2）代数的中心扩张的表示。

Toda晶格的数值反散射

Numerical Inverse Scattering for the Toda Lattice

本文提出一种数值求解Toda晶格反散射变换的方法，通过求解相关的Riemann-Hilbert问题，在任意(n,t)域内以O(1)运算计算反散射变换，无需时间步进。

单位圆上的矩阵双正交多项式与非阿贝尔Ablowitz-Ladik族

Matrix biorthogonal polynomials on the unit circle and non-Abelian Ablowitz-Ladik hierarchy

Adler和van Moerbeke \cite{AVM}描述了称为Toeplitz格的2D-Toda层次的约化。这个层次原来是等效的Ablowitz和Ladik \cite{AL}使用半离散零曲率方程最初描述的。在本文中，我们得到了原来的半离散零曲率方程直接从Toeplitz格，我们推广这些计算矩阵的情况下。这种推广使我们的半离散零曲率方程的非阿贝尔（或多分量）版本的Ablowitz-Ladik方程\cite{GI}。这样，我们将单位圆上的双正交多项式与Ablowitz-Ladik族之间的联系推广到矩阵情形。

广义正交多项式、离散KP和Riemann-Hilbert问题

Generalized orthogonal polynomials, discrete KP and Riemann-Hilbert problems

传统上，一个单一的重量上的一个区间的实数线导致的时刻，正交多项式和三对角矩阵。随着时间t=（t_1，t_2，.）适当地变形该权重，导出了标准的Toda格和τ函数，表示为厄米矩阵积分。本文讨论的是t-扰动权序列，而不是单个权。这个序列导致矩，多项式和（更充分的）矩阵演变根据离散KP-层次。相关的τ函数有积分和顶点算子表示。在考虑的例子中，我们提到：嵌套的Calogero-Moser系统，级联孤子和m-周期序列的权重。后者导致2 m +1带矩阵和广义正交多项式，也出现在黎曼-希尔伯特问题的背景下。我们证明了Riemann-Hilbert分解等价于矩矩阵分解为一个低次上三角矩阵的乘积。

无色散Toda族的对称解及其共形动力学

Symmetric solutions of the dispersionless Toda hierarchy and associated conformal dynamics

在一定的实际条件下，无色散Toda格族的一般解描述了具有光滑边界的简单连通平面区域的变形。该解决方案取决于一个任意的（真正的积极）功能的两个变量，发挥作用的密度或共形度量在平面上。我们详细考虑了一类重要的对称解，其特征在于密度函数，只依赖于从原点的距离，是积极的，经常在一个环$r_0< |z|<r_1$。我们构造了无色散的τ函数，它给出了反势问题和Riemann映射问题的形式局部解，并讨论了Hele-Shaw单元中粘性流动的共形动力学。

无色散二维Toda方程：Dressing，Cauchy问题，长时间行为，隐式解和波破碎

The dispersionless 2D Toda equation: dressing, Cauchy problem, longtime behavior, implicit solutions and wave breaking

最近我们解决了单参数向量场族的逆谱问题，并利用这个结果构造了一类多维可积非线性偏微分方程的Cauchy问题的形式解，这类方程包括Plebanski第二天堂方程和无色散的Kadomtsev - Petviashvili（dKP）方程，它们是由向量场的对易引起的.本文利用上述理论构造了二维无色散Toda方程$(exp(ϕ))_{tt}=ϕ_{ζ_1ζ_2}$的非线性Riemann-Hilbert dressing，阐明了波破碎的谱机制，给出了其波型的Cauchy问题的形式解：$(exp(ϕ))_{tt}=ϕ_{xx}+ϕ_{yy}$ ; iii）我们得到了这样一个Cauchy问题解的长时间行为，表明它本质上是由dKP解的长时间破缺公式描述的，证实了dKP方程作为描述二维波浪梯度突变的原型模型所具有的普遍性; iv）我们最终描述了一类谱数据，允许将RH问题线性化，对应于偏微分方程的一类隐式解。

Kulish-Sklyanin型非局部模型与广义Fourier变换

On nonlocal models of Kulish-Sklyanin type and generalized Fourier transforms

利用逆散射方法（ISM）证明了一类特殊的多分量NLS方程是可积的，它是向量NLS的推广，与{ \bf BD.I}型对称性有关.构造了相应的基本解析解，从而将逆散射问题转化为Riemann-Hilbert问题。我们引入了散射数据的最小集合$\mathfrak{T}$，它唯一地确定了散射矩阵和Lax算子的势$Q$。$\mathfrak{T}$的元素可以看作是$Q$在“平方解”上的展开系数，这些平方解是标准指数的自然推广。因此，我们证明了映射$\mathfrak{T} \to Q$是一个广义傅里叶变换。特别注意的是，这个MNLS的两个特殊的代表与三个组件和五个组件描述旋量（$F=1$和$F=2$，分别）玻色-爱因斯坦凝聚体。

可解向量非线性Riemann问题、无色散偏微分方程的精确隐式解和波浪破碎

Solvable vector nonlinear Riemann problems, exact implicit solutions of dispersionless PDEs and wave breaking

我们最近解决了可积偏微分方程的逆谱问题，在任意维度所产生的交换的多维向量场依赖于一个谱参数$λ$。特别地，相关的逆问题可以被公式化为在复$λ$平面的给定轮廓上的非线性Riemann Hilbert（NRH）问题。这种类型的可积偏微分方程最突出的例子，如无色散的Kadomtsev-Petviashivili（dKP），天堂和2维无色散的户田方程，是与哈密顿向量场相关的实偏微分方程。相应的NRH数据满足适当的现实和辛约束。本文推广了\cite{MS4,MS5,MS6}中可解NRH问题的例子，给出了构造与Hamilton向量场相关的可积实偏微分方程的可解NRH问题的一般步骤，允许构造由任意数量的单变量实函数参数化的此类偏微分方程的隐式解.然后，我们说明这个理论上的几个杰出的例子dKP和天体方程。对于dKP的情况下，我们刻画了一类相似的解决方案，一类解决方案常数在其抛物波阵面上，并打破同时在它，一类本地化的解决方案，打破在一个点的$(x,y)$平面。对于天球方程，我们刻画了两类对称约化。

泛Whitham族的非退化解

Non-degenerate solutions of universal Whitham hierarchy

将无色散Toda方程族的非退化解的概念推广到亏格为零的泛Whitham方程族的$M+1$标记点.这些解的特征在于关于二维正则变换的Riemann-Hilbert问题（广义弦方程），并且可以被认为是该族的一种通解。Riemann-Hilbert问题包含$M$任意函数$H_a(z_0,z_a)$，$a = 1,...,M$，它们起着二维正则变换的生成函数的作用。Riemann-Hilbert问题的解是由黎曼球面的$M$圆及其补球面的共形映射的$(M+1)$ -元组$(z_α(p) : α= 0,1,...,M)$空间上的周期映射描述的。周期映射是由无穷多个围道积分定义的，这些围道积分推广了调和矩的概念。这些解决方案的$F$ -功能（自由能）也示出具有轮廓积分表示。

双微分学中的“黎曼方程”

'Riemann Equations' in Bidifferential Calculus

我们考虑方程，形式上类似于矩阵黎曼（或霍普夫）方程的框架内的双微分。随着一阶双微分的不同选择，我们得到了各种方程，包括半离散和完全离散版本的矩阵黎曼方程。相应的通用解生成方法要么产生（连续或离散）科尔-霍普夫变换，要么留给我们求解黎曼方程的问题（因此是速端图方法的应用）。如果双微分扩展到二阶，一个“黎曼方程”系统的解也是一个方程的解，这个方程在双微分的普遍水平上作为一个可积性条件出现。根据双微分的选择，后者可以表示一些突出的可积方程，如自对偶杨-米尔斯，以及二维Toda格的矩阵版本，Hirota的双线性差分方程，（2+1）维NLS，KP和Davey-Stewartson方程。对于所有这些，最近（非等谱）二进制达布变换的结果在双微分适用，它可以专门产生相关的“黎曼方程”的解决方案。对于后者，我们澄清了这些专门的二元达布变换和上述的解决方案生成方法之间的关系。从（任意大小）矩阵版本的“黎曼方程”与一个可积方程，拥有一个双微分公式，后者的多孤子型解决方案可以产生。这包括“打破”多孤子型解决方案的自对偶杨米尔斯和（2+1）维NLS方程，这是参数化的解决方案的黎曼方程。

二维Toda晶格中的楔问题与色散激波

Wedge problems and dispersive shock waves in the two-dimensional Toda lattice

该研究针对受楔型初始条件约束的二维Toda晶格，分析色散激波的形成与相互作用，揭示压缩楔和膨胀楔下的两种状态及临界斜率，通过数值模拟验证解析结果，并与Kadomtsev-Petviashvili方程理论对比完成独立验证。

Plateau问题、Fuchsiennes方程和Riemann-Hilbert问题

Problème de Plateau, équations fuchsiennes et problème de Riemann-Hilbert

本文研究三维欧几里得空间中多边形边界曲线的Plateau问题。它依赖于勒内·卡尼尔开发的方法，并于1928年发表在一篇今天似乎完全被遗忘的论文中。Garnier的方法比变分方法更具有几何性和构造性，并且它提供了没有分支点的最小圆盘。然而，它有时真的很复杂，甚至模糊或不完整。遵循卡尼尔最初的想法，我们提出了一个新的证明，该证明不仅要完整，而且比他的证明更简单、更现代。这项工作主要依赖于Fuchsian系统的系统使用，以及我们在这些系统的现实和它们的单值性之间建立的关系。Garnier的方法是基于以下事实：使用极小曲面的旋量Weierstrass表示，我们可以将定义在黎曼球面上的实Fuchsian二阶方程与具有多边形边界曲线的每个极小圆盘相关联。方程的单值性由边界边的定向方向决定。为了解决高原问题，我们因此被引导来解决一个黎曼-希尔伯特问题。然后，我们进行了两个步骤：首先，通过isomonodromic变形，我们构造和描述的家庭的所有最小的磁盘与多边形边界曲线的给定方向。然后利用这一描述研究了它们的边界曲线的边长，证明了每一个多边形都是极小圆盘的边界。

非线性可积方程族拟周期解与双线性关系

Quasi-periodic solutions to hierarchies of nonlinear integrable equations and bilinear relations

本文综述了在 Kyoto 学派框架下构造非线性可积方程族拟周期解的方法，并通过 KP 族、2D Toda 族及 BKP 族三个代表性例子详细说明了该理论的应用。