Construction of a Non-2-colorable k-uniform Hypergraph with Few Edges
Heidi Gebauer
我们证明了如何构造一个具有（2^（1 + o（1）^k条边的非2-可着色k-一致超图。利用超图的对偶性和单调k-CNF公式，给出了一个具有（2^（1 + o（1）^k子句的不可满足单调k-CNF
We show how to construct a non-2-colorable k-uniform hypergraph with (2^(1 + o(1)))^k edges. By the duality of hypergraphs and monotone k-CNF-formulas this gives an unsatisfiable monotone k-CNF with (2^(1 + o(1)))^k clauses
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Simplified inpproximability of hypergraph coloring via t-agreeing families
我们重新证明的硬度上的近似超图着色使用不同的技术的基础上的极端$t$ -同意家庭的$[q]^n$的大小的界限。特别地，利用Frankl-Tokushige [FT 99]，Ahlswede-Khachatrian [AK 98]和Frankl [F 76]关于这类族的大小的定理，我们给出了以下问题的拟NP-困难性的简单而统一的证明：$\bullet$着色一个$3$可着色的$4$ -具有$(\log n)^δ$许多颜色的均匀超图$\bullet$着色一个$3$可着色的$3$ -具有$\tilde{O}(\sqrt{\log \log n})$许多颜色的均匀超图$\bullet$着色$2$可着色$6$ -具有$(\log n)^δ$许多颜色的均匀超图$\bullet$着色$2$可着色$4$ -具有$\tilde{O}(\sqrt{\log \log n})$多种颜色的一致超图，其中$n$是超图的顶点数，$δ>0$是泛常数。
Multipass greedy coloring of simple uniform hypergraphs
设$m^*(n)$是$n$ -一致简单超图中不可二着色的最小边数.我们证明了$m^*(n)=Ω(4^n/\ln^2(n))$ .我们的结果推广到了$b$ -简单一致超图的$r$ -染色.对于固定的$r$和$b$，我们证明了$b$ -简单$n$ -一致超图中的一个最大顶点度一定是$Ω(r^n /\ln(n))$ .通过修剪参数，它意味着每个这样的图都有$Ω((r^n /\ln(n))^{b+1/b})$边。对于任何固定的$r \geq 2$，我们的技术也产生范德瓦尔登数$W(n,r)$的下界$Ω(r^n/\ln(n))$。
A note on random greedy coloring of uniform hypergraphs
构成n-一致超图的最少的不是r-可着色的边数记为m（n，r）。Erdens和Lovász证明了m（n，2）=θ（n2^n）$。最著名的下界m（n，2）=Ω（sqrt（n/log（n））2^n）由Radhakrishnan和Srinivasan在2000年获得。我们给出了一个简单的证明。这个证明是基于对Pluhár在2009年研究的随机贪婪着色算法的分析。证明方法扩展到r-着色的情况，我们证明了对于任何固定的r，我们有m（n，r）=Ω（（n/log（n））^（1-1/r）r^n），改进了Kostochka从2004年开始的界。我们也得到了类似的界限上的最小边度的n-一致超图是不是r-着色。
Improved Inapproximability of Rainbow Coloring
$k$-均匀超图的彩虹$q$-染色是顶点集的$q$-染色，使得每个超边包含所有的$q$颜色.证明了给定一个彩虹$(k - 2\lfloor \sqrt{k}\rfloor)$-可着色的$k$-均匀超图，要找到一个正常的$2$-着色是NP-困难的.在此之前，这只为彩虹$\lfloor k/2 \rfloor$-可着色超图所知（Guruswami and Lee，SODA 2015）。我们还研究了一个推广，我们称之为彩虹$(q, p)$着色，定义为使用$q$颜色的着色，使得每个超边至少包含$p$颜色。证明了给定一个彩虹$(k - \lfloor \sqrt{kc} \rfloor, k- \lfloor3\sqrt{kc} \rfloor)$-可着色的$k$一致超图，对于任何$c = o(k)$，要找到一个正规的$c$-着色是NP-困难的.我们的第二个结果的证明依赖于两个组合定理。其中一个定理由Sarkaria（J. Comb. Theory. 1990年）使用拓扑方法和其他定理，我们证明了使用广义Borsuk-Ulam定理。
Random hypergraphs and property B
1964年Erdens证明了$(1+\oh{1})) \frac{\eul \ln(2)}{4} k^2 2^{k}$边足以构造一个非二可着色的$k$ -图。直到今天，它是不知道是否存在这样的$k$ -图具有较少的边数。Erdés界是一个具有$k^2/2$顶点和$M(k)=(1+\oh{1}) \frac{\eul \ln(2)}{4} k^2 2^{k}$随机选择的边的超图的大小为$k$的事实的结果是渐近几乎必然不是两个可着色的。我们的第一个主要结果意味着对任何$\varepsilon > 0$，任何具有$(1-\varepsilon) M(k)$随机均匀选择边的$k$ -图是a.a.s.两种颜色。所提出的证明是一个适应的二阶矩方法类似的Achlioptas和摩尔的发展，从2002年谁考虑的问题与固定大小的边缘和顶点数趋于无穷大。本文的第二部分研究了随机$k$ -图的算法着色问题。我们展示了一个非常简单，有点贪婪的过程，a.a.s.对随机$k$ -图，在$k^2/2$顶点上找到一个适当的二染色，最多有$\Oh{k\ln k\cdot 2^k}$条边。对于固定$k$的情况，这与Achlioptas和Coja-Oghlan在2008年定义的\emph{algorithmic barrier}的类似物具有相同的渐近阶。
Note on polychromatic coloring of hereditary hypergraph families
本文展示了一个5一致超图反驳了Keszegh和作者关于多色染色的猜想，推进了对遗传超图族多色染色的理解，并指出该方法不适用于任意高一致性超图。
A Note on Polychromatic Colorings of Shift-Chains
该注记推广了大m下m-均匀移位链超图的正常2着色猜想，并证明对任意m都存在无法多色3着色的m-均匀移位链。
Improving Gebauer's construction of 3-chromatic hypergraphs with few edges
在1964年Erdans证明，随机建设，最小数目的边缘在$k$ -图是不是两个着色是$O(k^2\; 2^k)$。直到今天，人们还不知道是否存在这样的$k$ -图具有较少的边数。已知的确定性构造使用大量的边。Gebauer最近的一个要求$2^{k+Θ(k^{2/3})}$边缘。应用去随机化技术，我们将该数量减少到$2^{k+\widetildeΘ(k^{1/2})}$。
Improved bounds for coloring locally sparse hypergraphs
该研究改进了局部稀疏超图着色的界限，提出了高效的列表着色算法，并在随机超图中实现了最优的列表着色方法。
Improved algorithms for colorings of simple hypergraphs and applications
本文研究超图染色的极值问题。本文利用随机赋边算法证明了任意$n$ -一致简单超图$H$是$r$ -可着色的，其中$c>0$是一个绝对常数，且最大边度至多为\[ Δ(H)\leq c\cdot nr^{n-1}, \].我们还证明了对于$b$ -简单超图也有类似的结果.作为我们的证明技术的应用，我们建立了一个新的下界范德瓦尔登数$W(n,r)$，最小$N$，使在任何$r$ -着色的集合$\{1,...,N\}$有一个单色算术级数的长度$n$。我们证明了对于一定的绝对常数$c>0$，\[ W(n,r)>c\cdot r^{n-1}, \]。
A note on two-colorability of nonuniform hypergraphs
对于一个超图$H$，令$q(H)$表示当$H$中每个顶点的颜色从大小为2的集合中随机均匀采样时单色边的期望数目。令$s_{\min}(H)$表示$H$中边的最小尺寸。1963年，Erdens提出了一个问题：是否存在一个无界函数$g(k)$，使得任何具有$s_{\min}(H) \geq k$和$q(H) \leq g(k)$的超图$H$是两个可着色的。Beck在1978年对这个问题作了肯定的回答，即函数$g(k) = Θ(\log^* k)$。我们改进了这一结果表明，对于一个绝对常数$δ>0$，一个版本的随机贪婪着色过程是可能找到一个适当的两个着色的任何超图$H$与$s_{\min}(H) \geq k$和$q(H) \leq δ\cdot \log k$。
Note on polychromatic coloring of hereditary hypergraph families II
本文通过构造特定超图，展示了对于h≥3，存在统一性为2h-1的超图，其无多色3-着色但所有h-重限制子超图可2-着色。
Balanced colorings of Erdős-Rényi hypergraphs
本文研究了稀疏 $r$-一致 $r$-部 Erdős-Rényi 超图的平衡着色问题，确定了其平衡色数的渐近行为，并将 Feige 和 Kogan 关于二部图的结果推广到了更一般的超图情形。
Bounding the Number of Minimal Transversals in Tripartite 3-Uniform Hypergraphs
我们绑定的最小超图横截面的数量，出现在三部3-均匀超图，一类常见的应用程序处理数据。设H是一个顶点集V上的超图，我们给出H的一个下界为1.4977| V|上界为1.5012| V| .
On rainbow-free colourings of uniform hypergraphs
我们研究了$k$ -均匀超图的无彩虹着色，即，着色使用$k$颜色，但没有超边达到所有颜色的属性。证明了$p^*=(k-1)(\ln n)/n$是随机$k$ -均匀超图中存在彩虹色的门限函数。
Perfect Matchings in 4-uniform hypergraphs
4-一致超图中的完美匹配是$\lfloor\frac{n}{4}\rfloor$不相交边的子集。证明了如果$H$是$n=4k$顶点上的一个充分大的4-一致超图，使得每个顶点属于多个${n-1\choose 3} - {3n/4 \choose 3}$边，则$H$包含完美匹配.这个界是紧的，并且解决了H{á}n，Person和Schacht的一个猜想.
Vertex-Domatic, Edge-Domatic and Total Domatic Number of Uniform Hypergraphs
E. J. Cockayne和S. T. Hedetniemi引入了图的拓扑数的概念。B. Zelinka将这一概念推广到一致超图。此外，B。Zelinka定义了图的边域数和全边域数的概念。本文研究并证明了关于某些特殊的一致超图的点域数、边域数和全域数的一些命题。
Perfect matching in 3-uniform hypergraphs with large vertex degree
3-一致超图中$n=3k$顶点上的完美匹配是$\frac{n}{3}$不相交边的子集。证明了如果$H$是$n=3k$顶点上的3-一致超图，使得每个顶点至少属于${n-1\choose 2} - {2n/3\choose 2}+1$边，则$H$包含完美匹配.我们给出了一个结构，以表明这一结果是最好的可能。
Approximate Counting of Matchings in Sparse Uniform Hypergraphs
本文给出了交图含爪少的k-一致超图的匹配数的一个全多项式随机逼近方案。我们的方法给出了一个推广的标准路径方法的Jerrum和Sinclair的超图满足局部限制。我们的证明方法依赖于应用欧拉巡回技术的规范路径的基础马尔可夫链。另一方面，我们证明了在没有上述限制的情况下，即使对于k-一致、2-正则和线性超图类，对所有k >= 6，也是NP-难的。
Dense, irregular, yet always graphic $3$-uniform hypergraph degree sequences
本文针对3-均匀超图度序列问题，证明了当所有度落在$\ rac{2n^2}{63}+O(n)$与$\ rac{5n^2}{63}-O(n)$之间、顶点数至少45且度和可被3整除时，度序列必可实现，并首次给出构造高度不规则稠密度序列的多项式时间算法。
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