Rank Restricted Semidefinite Matrices and Image Closedness
研究秩限制正半定矩阵的（非凸）锥在其元素子集上投影的闭包。这定义了可行集的半定完成问题的限制的行列。应用程序包括使用核范数启发式低秩完成的条件。
2016-10-31 math.OC
Worst-Case Results For Positive Semidefinite Rank
本文主要在多面体的背景下，给出了非负矩阵半正定秩的各种最坏情况结果。本文证明了具有v个顶点的一般n维多胞形的psd秩至少比以前的下界提高了（n）^（1/4）。对于顶点数为v的多边形，我们证明了psd秩不能超过4ceil（v/6），这反过来又证明了秩为3的p × q矩阵的psd秩至多为4ceil（min{p，q}/6）。一般来说，秩为（k+1选2）的非负矩阵的psd秩至少为k，我们提出了一个问题，即psd秩是否正好为k。使用几何和限制量词消除，我们表明，这一决定可以在多项式时间时，k是固定的。
2014-05-30 math.CO math.OC
Efficient Rank Minimization to Tighten Semidefinite Programming for Unconstrained Binary Quadratic Optimization
本文提出了一种低秩半定规划方法，并将其应用于无约束二元二次问题的半定松弛。该方法改进了半定规划松弛问题的现有解，得到了较低秩的解。该方法不需要在正半定矩阵的锥上进行投影，因而计算效率高。它的性能方面的目标改进和降秩测试多个图的大规模Gset图集合和二进制最优化问题从Biq Mac集合。
2017-08-05 cs.CC math.OC
Positive semidefinite rank and nested spectrahedra
给定半正定秩的矩阵的集合是半代数的。在本文中，我们研究这个集合的几何，并在小的情况下，我们描述它的边界。对于一般值的半正定秩，我们提供了一个猜想的描述这个边界。我们的证明技术是几何的性质，并依赖于嵌套多面体之间的光谱。
2017-01-10 math.AG math.OC
This paper considers the interplay between semidefinite programming, matrix rank, and graph coloring. Karger, Motwani, and Sudan \cite{KMS98} give a vector program for which a coloring of the graph can be encoded as a semidefinite matrix of low rank. By complementary slackness conditions of semidefinite programming, if an optimal dual solution has sufficiently high rank, any optimal primal solution must have low rank. We attempt to characterize graphs for which we can show that the corresponding dual optimal solution must have sufficiently high rank. In the case of the original Karger, Motwani…
2022-02-21 cs.DS math.OC
Matrices with high completely positive semidefinite rank
一个实对称矩阵$M$是完全半正定的，如果它允许由任意大小的（厄米特）正半定矩阵$d$的Gram表示。最小的$d$称为$M$的（复）完全半正定秩，并且是否存在作为矩阵大小的函数的这个数的上界是一个开放的问题。对任意正整数$k$，构造了大小为$4k^2+2k+2$且秩为$2^k$的正半定矩阵.这表明，如果存在这样的上限，它必须至少是矩阵大小的指数。为此，我们利用量子信息论的连接，我们构建极端的大秩二分相关阵。我们还展示了一类完全正矩阵的二次（在矩阵大小方面）完全正秩，但与线性完全半正定秩，我们作出连接的存在阿达玛矩阵。
2016-10-26 math.OC
Exploring the bounds on the positive semidefinite rank
非负和半正定（PSD-）秩与多面体的非负和半正定扩展复杂性密切相关，它们是表示该多面体的线性和SDP程序的最小维度。虽然最近已经证明了某些特殊多面体的松弛矩阵的非负秩和PSD秩的指数下界，但这些量仍然没有严格的界。我们探讨了PSD秩的一些现有的界限，并证明了它们不能给出扩展复杂度的指数下界。我们的方法包括在证明现有的界限是上界的多项式的正规秩的矩阵，这是等于维数的多面体（添加剂常数）。作为其中的一个含义，我们还检索上界的联合分布的任意矩阵的互信息，基于其正规秩。
2017-04-21 cs.CC math.CO math.OC
Generalized Cuts and Grothendieck Covers: a Primal-Dual Approximation Framework Extending the Goemans--Williamson Algorithm
提出一个基于半定规划松弛的原始-对偶随机近似框架，将已知 APX 完全问题与新提出的对偶问题配对，通过求解单个 SDP 松弛同时为两者生成互为最优性证书的近似解。
2024-06-26 cs.DM cs.DS math.OC
Generalized low rank approximation to the symmetric positive semidefinite matrix
本文研究对称正半定矩阵在Frobenius范数下的广义低秩逼近：$$\underset{ rank(X)\leq k}{\min} \sum^m_{i=1}\left \Vert A_i - B_i XB_i^T \right \Vert^2_F,$$，其中$X$是未知对称正半定矩阵，$k$是正整数.首先利用正半定矩阵$Y$的性质，将广义低秩逼近问题转化为无约束广义最优化问题.然后应用非线性共轭梯度法求解广义最优化问题。最后给出了数值算例，说明了数值算法的可行性.
2019-12-20 math.OC
Rational and real positive semidefinite rank can be different
给定一个非负矩阵M的有理项，我们考虑两个量：通常的半正定（psd）秩，其中矩阵是通过实对称psd矩阵的锥分解，和有理限制psd秩，其中矩阵因子被要求是有理对称psd矩阵。很明显，有理数限制的psd秩总是通常psd秩的上界。我们表明，这个不等式可能是严格的展示矩阵psd秩4的合理限制psd秩严格大于4。
2014-04-18 math.OC
Polytopes of Minimum Positive Semidefinite Rank
一个多面体的半正定秩是最小的$k$，对于这个最小的$k$，$k \times k$实对称psd矩阵的锥允许一个投影到多面体上的仿射切片。本文证明了多面体的psd秩至少是多面体的维数加1，并刻画了psd秩等于这个下界的多面体。我们给出了几类多面体，实现了最小可能的PSD秩，包括一个完整的特征，在二维和三维。
2013-07-31 math.OC
Forbidden minor characterizations for low-rank optimal solutions to semidefinite programs over the elliptope
本文研究了一个新的几何图形参数$\egd(G)$，定义为最小整数$r\ge 1$，对于这个最小整数，任何可完备为相关矩阵的部分对称矩阵，且其元素指定在$G$的边的位置上，最多可完备为$\rank $的相关矩阵的凸包中的一个矩阵.这个图形参数的动机是它的相关性的问题，找到低秩的解决方案，半定程序的椭圆形，也由其相关性的有界秩Grothendieck常数。事实上，$\egd(G)\le r$当且仅当$G$的秩- $r$ Grothendieck常数等于1.我们证明了参数$\egd(G)$是小单调的，我们确定了$\egd(G)\le r$的几类禁止的未成年人，我们给出了充分的情况下$r=2$的特征。我们还显示了一个上限$\egd(G)$方面的一个新的树宽度一样的参数$\sla(G)$，定义为最小的$r$的$G$是一个未成年人的强产品的树和$K_r$。我们证明了，对任意2-连通图$G\ne K_{3,3}$，至少有6个结点，有$\egd(G)\le 2$当且仅当$\sla(G)\le 2$ .
2014-01-09 cs.DM math.CO math.OC
On the low-rank approach for semidefinite programs arising in synchronization and community detection
为了解决困难的最优化问题，基于半定规划的凸松弛算法在许多领域都很常见。虽然可以在多项式时间内求解，但大型半定程序往往在计算上具有挑战性。十多年前，利用在许多感兴趣的应用中所需的解决方案是低秩的这一事实，Burer和Monteiro提出了一种启发式算法，通过将搜索空间限制在低秩矩阵来解决这种半定规划。伴随的理论并不能解释实证成功的程度。我们专注于同步和社区检测问题，并提供理论保证，揭示这种启发式的显着效率。
2016-05-27 math.OC
A lower bound on the positive semidefinite rank of convex bodies
凸体$C$的半正定秩是其最小半正定公式的大小。证明了任意凸体$C$的半正定秩至少为$\sqrt{\log d}$，其中$d$是在$C$的极边界上为零的多项式的最小次数.这改善了现有的界限，依赖于从量词消除的结果。证明依赖于应用于Karush-Kuhn-Tucker最优性条件的Bézout界。本文讨论了半定规划的代数次数的关系，并证明了对于适当维数的随机谱面，其上界是紧的（直到常数因子）。
2017-12-05 cs.CC cs.SC math.OC
Rank-sensitive vertex bounds for semidefinite lifts
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）
本文研究半定松弛分解中因子秩对分解大小的约束，给出置换多面体和正多边形的渐近最小分解阶，并证明秩至多四的多胞形顶点数上界为十二。
2026-10-22 math.CO math.OC
Complexity of the positive semidefinite matrix completion problem with a rank constraint
本文研究了对角为全一的部分有理对称矩阵能否完备为秩至多为$k$的完全正半定矩阵的判定问题。我们证明了这个问题是$\NP$ -困难的任何固定整数$k\ge 2$。等价地，对于$k\ge 2$，在秩约束椭圆形$\EE_k(G)$中测试隶属度是$\NP$ -困难的，即，在$G$的边上指定了非对角元素的所有部分矩阵的集合，它可以被补充为秩至多为$k$的正半定矩阵。此外，我们表明，决定成员在凸包的$\EE_k(G)$也$\NP$ -硬的任何固定整数$k\ge 2$。
2012-09-18 math.OC
Semidefinite representations of gauge functions for structured low-rank matrix decomposition
本文提出了1-范数最优化问题的半定规划公式的无限字典的复指数，最近提出的超分辨率，无网格压缩传感，和其他应用在信号处理。与线性系理论中的广义Kalman-Yakubovich-Popov引理有关的结果为这些应用中所用的罚函数的半定表示提供了简单的、建设性的证明。连接导致几个扩展到度规函数和原子规范的向量集参数化通过零空间的矩阵束。该技术示出了低秩矩阵逼近问题中出现的频谱估计和阵列处理的例子。
2016-04-08 math.OC
Chordal Decomposition in Rank Minimized Semidefinite Programs with Applications to Subspace Clustering
半定规划（SDP）经常出现在一些NP难问题的松弛中，如果SDP的解服从一定的秩约束，则松弛将是紧的。基于弦稀疏性的分解方法已经被应用于加速稀疏SDP的求解，但是处理秩约束的方法还不发达。本文利用最小秩完备化结果将单个大矩阵上的秩约束分解为一组较小矩阵上的多个秩约束。重新加权的启发式算法被用作排名的代理，并且启发式算法的特定形式保留了迭代之间的稀疏模式。讨论了秩最小化SDP的邻域点算法和一阶算法的实现。子空间聚类的问题被用来证明所提出的方法的计算改进。
2019-11-12 math.OC
Correlation matrices, Clifford algebras, and completely positive semidefinite rank
我们引入了相关阵的矩阵值Gram分解的概念，其研究的动机是量子信息论。我们表明，对于极值相关性，在这样的分解矩阵生成Clifford代数，因此，它们的大小是指数的秩的相关阵。利用这一点，我们给出了最近在文献中推导出的具有亚指数cpsd秩的完全正半定矩阵存在性的独立且简洁的证明。这一事实也支持和推广了Tsirelson关于产生极端量子关联所必需的量子系统的局部维度的开创性下界。
2018-09-28 math.OC
Semidefinite Relaxations for Best Rank-1 Tensor Approximations
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文研究对称和非对称张量的最佳秩-1近似问题，提出基于平方和表示的半正定松弛方法，通过数值实验验证其在获取最佳秩-1近似中的实用性。
2014-05-28 cs.NA math.NA math.OC
Barrier and penalty methods for low-rank semidefinite programming with application to truss topology design
本文的目的是解决大型稀疏线性半定规划（SDP）的低秩解。我们提出了在二阶SDP算法中使用预条件共轭梯度法，并引入了一种新的有效的预条件充分利用低秩信息。我们证明了预条件是通用的，在这个意义上，它可以有效地使用在一个标准的邻域点算法，以及一个新开发的原始-对偶惩罚方法。数值实验证明了该方法的有效性，并给出了变维桁架拓扑最优化问题的算例。
2021-05-18 cs.NA math.NA math.OC
Rank-one Solutions for Homogeneous Linear Matrix Equations over the Positive Semidefinite Cone
University of Birmingham（伯明翰大学）；Kyoto University（京都大学）
针对正半定锥上齐次线性矩阵方程系统，利用同伦不变性和二次变换的P_∅性质，提出秩一解存在的充分条件，并通过半定规划高效求解解的上界。
2012-11-09 cs.NA math.NA math.OC
We present new constraint qualification conditions for nonlinear semidefinite programming that extend some of the constant rank-type conditions from nonlinear programming. As an application of these conditions, we provide a unified global convergence proof of a class of algorithms to stationary points without assuming neither uniqueness of the Lagrange multiplier nor boundedness of the Lagrange multipliers set. This class of algorithm includes, for instance, general forms of augmented Lagrangian, sequential quadratic programming, and interior point methods. We also compare these new conditions…
2021-06-07 math.OC
Elementary polytopes with high lift-and-project ranks for strong positive semidefinite operators
我们考虑作用在单位超立方体的凸子集上的算子。这些算子用于构造组合最优化问题的凸松弛，这些问题被表示为0，1整数规划问题或0，1多项式最优化问题。我们的重点主要是运营商，表示为提升和项目运营商，涉及使用半定约束的提升空间，包括运营商由于拉萨尔和变体的Sherali-亚当斯和Bienstock-扎克伯格运营商。我们研究了这些基于半定优化的提升和投影算子在一些基本多面体上的性能-超立方体，这些超立方体被切掉（超立方体的至少一个顶点通过与封闭半空间相交而被移除）或裁剪（超立方体的所有$2^n$顶点通过与$2^n$封闭半空间相交而被移除）到不同程度的严重性$ρ$。我们证明了$ρ$上的界限，这些运营商将执行上述例子不好。我们还表明，完整性缺口的切片超立方体是不变的几个升降机和项目运营商的不同强度的应用程序。
2016-08-27 cs.CC cs.DM cs.DS
A Low-Rank Coordinate-Descent Algorithm for Semidefinite Programming Relaxations of Optimal Power Flow
交流最优潮流（ACOPF）是最著名的非凸非线性优化问题之一。我们提出了一种新的重新制定的ACOPF，这是基于提升的矩形功率电压等级约束的制定，并使之有可能获得替代SDP松弛。针对这些问题，我们提出了一种基于平行坐标下降的一阶方法，该方法具有基于三次多项式根的新的封闭形式步骤。
2016-10-16 math.OC
A Low-Rank Rounding Heuristic for Semidefinite Relaxation of Hydro Unit Commitment Problems
水电机组组合是指在满足短期水库运行约束和长期目标的前提下，在多个水电站的日常运行中，使水资源利用效率最大化，同时使启动成本最小化的问题。一个低秩舍入启发式半定松弛的混合整数二次约束制定这个问题。除了水库和发电机运行的限制，传输约束表示的近似交流潮流模型。在我们提出的方法中，数学规划等价地制定为QCQP问题解决的凸松弛的基础上半定规划，其次是MILP解决方案的未定义的机组承诺时间表。最后，一个降秩过程。所提出的启发式的有效性进行比较，分支定界的解决方案，不同大小的发电和输电系统的数值案例研究。
2017-11-16 math.OC
Exploring chordal sparsity in semidefinite programming with sparse plus low-rank data matrices
Institute of Operations Research and Analytics, National University of Singapore（新加坡国立大学运筹学与分析研究所）；Department of Mathematics, and Institute of Operations Research and Analytics, National University of Singapore（新加坡国立大学数学系及运筹学与分析研究所）
针对高维半定规划（SDP）求解难的问题，本文研究系数矩阵为稀疏加低秩（SPLR）结构的SDP问题，提出将其转化为有界树宽稀疏SDP的统一框架，并推导了最坏情况下紧的秩界。
2026-10-21 math.OC
Smoothed analysis for low-rank solutions to semidefinite programs in quadratic penalty form
TTI Chicago（芝加哥丰田理工学院）；Princeton University（普林斯顿大学）；Microsoft Research（微软研究院）
半定规划在学习和组合优化中有着重要的应用。在追求低秩的解决方案和低复杂度的算法，我们考虑的Burer-Monteiro分解方法解决SDP。我们表明，所有近似的局部最优解是全局最优的适当秩约束的SDP的处罚制定，只要约束的数量规模与所需的秩的最优解的次二次方。我们的结果是基于一个简单的惩罚函数制定的秩约束SDP随着平滑的分析，以避免最坏情况下的成本矩阵。我们列举了我们的结果，两个应用程序，即最大割和矩阵完成。
2018-03-01 cs.LG math.OC stat.ML
Bundle Method Sketching for Low Rank Semidefinite Programming
在本文中，我们表明，束方法可以适用于解决半定规划问题的低秩的解决方案，而不必构造一个完整的矩阵。为了实现这一点，我们使用最近的结果，从随机素描矩阵最优化问题和束方法的分析。在SDP的强对偶性和严格互补性下，算法产生的原始序列和对偶序列以$\tilde{O}(1/ε)$的速度收敛于可行性，以$\tilde{O}(1/ε^2)$的速度收敛于最优性.此外，我们的算法输出一个低秩表示其近似解的距离最多$\tilde{O}(1/ε^2)$ $\tilde{O}(1/ε^2)$迭代$O(\sqrtε)$的最优解。
2021-02-01 math.OC stat.ML
Exploiting Low-Rank Structure in Semidefinite Programming by Approximate Operator Splitting
与许多其他凸优化类相比，最先进的半定规划求解器还不能有效地解决大规模的情况。这项工作的目的是减少这种可扩展性的差距，提出了一种新的近似算法解决一般半定规划问题。所提出的方法，基于原始-对偶混合梯度法，允许存在的线性不等式，而不需要添加额外的松弛变量，并避免在每次迭代求解一个线性系。更重要的是，它同时计算与线性约束相关的对偶变量。这项工作的主要贡献是通过有效地调整所提出的算法，以利用几个半定规划问题固有的低秩属性，以实现大幅加速。这种修改是允许算子分裂方法有效地扩展到更大实例的关键因素。收敛性的保证，以及一个直观的解释算法。此外，一个开源的半定规划求解器，称为ProxSDP，提供和实施细节进行了讨论。案例研究，以评估所提出的方法的性能。
2018-12-19 math.OC
Low-rank optimization for semidefinite convex problems
本文提出了一个求解以正半定矩阵变量$X$定义的非线性凸规划的算法。该算法依赖于因子分解$X=Y Y^T$，其中Y的列数固定$X$的秩。因此，它是非常有效的解决方案，有一个低秩的解决方案。因子分解$X=Y Y^T$唤起了一个重新制定的原始问题作为一个特定的商流形上的优化。本文讨论了该流形的几何性质，并导出了一种二阶最优化方法。此外，它提供了一些条件的秩的因式分解，以确保等价于原问题。该算法的效率被证明在两个应用：一个图的最大割和稀疏主成分分析问题。
2008-07-28 math.OC
Low-rank semidefinite programming for the MAX2SAT problem
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Bosch Center for Artificial Intelligence（博世人工智能中心）
将搜索法与半定规划方法相结合，提出了一种求解MAX2SAT问题的新算法。半定规划技术是众所周知的近似最大可满足性问题的理论工具，但它们的应用传统上受到其速度和随机性的限制。我们的方法克服了这一困难，使用最近的低秩半定规划的方法，专门工作在一个增量的方式适合于使用在一个精确的搜索算法。该方法可以在完整或不完整的求解器中使用，并且我们在最近的比赛中演示了各种问题。我们的实验表明，该方法是更快（有时由数量级）比现有的国家的最先进的完整和不完整的解决方案，代表了一个实质性的进步，专门为MAX2SAT问题的搜索法。
2018-12-15 cs.AI math.OC
Lower bounds on matrix factorization ranks via noncommutative polynomial optimization
我们使用的技术（跟踪非交换）多项式优化，制定层次的半定规划下界矩阵分解秩。特别地，我们考虑非负秩，半正定秩，以及它们的对称类似物：完全正秩和完全半正定秩。我们研究了层次结构的收敛性，将它们与已知的下界进行了广泛的比较，并提供了一些（数值）示例。
2018-11-05 math.OC
A new graph parameter related to bounded rank positive semidefinite matrix completions
图$G$的Gram维数$\gd(G)$是最小整数$k\ge 1$，使得任何部分实对称矩阵，其元素被指定在$G$的对角线上和对应于$G$的边的非对角线位置处，可以被完成为秩至多为$k$的正半定矩阵（假设存在半正定完成）。对于任何固定的$k$，满足$\gd(G) \le k$的图类是子闭的，因此它可以用有限的禁止子表来刻画.我们发现，唯一的最小禁止未成年人是$K_{k+1}$的$k\le 3$和有两个最小的禁止未成年人：$K_5$和$K_{2,2,2}$的$k=4$。我们还显示了一些密切的联系，以欧几里德实现的图形和图形参数$ν^=(G)$的\cite{H03}。特别地，我们对具有$\gd(G)\le 4$的图的刻画暗示了Belk和Connelly \cite{Belk,BC}的3-可实现图和van der Holst \cite{H03}的具有$ν^=(G) \le 4$的图的禁止子刻画.
2012-04-03 cs.DM math.CO math.OC
Four Dimensional Polytopes of Minimum Positive Semidefinite Rank
一个多面体的半正定（psd）秩是最小psd锥的大小，该锥允许一个线性投影到多面体上的仿射切片。d-多面体的psd秩至少是d+1，当等式成立时，我们说这个多面体是psd-极小的。在本文中，我们开发了新的工具来研究psd-极小性，并利用它们给出了psd-极小4-多面体的一个完整分类。介绍的主要工具是三项式的障碍，一个新的代数障碍PSD极小，松弛理想的多面体，它编码的空间实现的多面体射影等价。我们的中心结果是psd-极小4-多面体有31个组合类。我们提供组合信息和明确的PSD最小实现在每个类。对于其中的11个类，它们中的每个多面体都是psd-极小的，并且这些正是已知的射影唯一4-多面体的组合类。我们给出了一个完整的表征PSD-极小在剩余的类，遇到的过程中的反例，一些开放的approximatures。
2016-07-25 math.AG math.CO math.OC
The Signed Positive Semidefinite Matrix Completion Problem for Odd-$K_4$ Minor Free Signed Graphs
本文给出了Laurent定理的一个符号推广，该定理用度量多面体刻画了可行正半定矩阵完备化问题。在此基础上，我们给出了奇- $K_4$次自由符号图的正半定矩阵完备化问题的最大秩完备化的一个刻画。分析也可以用来界定的最小秩的完成，并刻画唯一可解的完成问题的奇- $K_4$小自由签署的图。作为推论，我们得到的奇- $K_4$小自由球面张紧系统的通用刚性的一个特征，也是一个特征的有符号的图，其有符号的Colin de Verdière参数$ν$是有界的，最近由Arav等人。
2016-04-01 math.CO math.OC
An inexact proximal DC algorithm with sieving strategy for rank constrained least squares semidefinite programming
本文考虑了用于数据降维（DR）的有监督距离保持投影（SDPP）的最优化问题，该问题等价于秩约束最小二乘半定规划（RCLSSDP）。为了克服秩约束带来的困难，采用凸差分正则化策略，将RCLSSDP转化为一系列带DC正则化的最小二乘半定规划（DCLSSDP）.提出了一种带筛选策略的非精确邻近DC算法（s-iPDCA）求解DCLSSDP，其子问题采用加速块坐标下降法（ABCD）求解.收敛性分析表明，生成的s-iPDCA序列全局收敛于相应DC问题的平稳点.通过对COIL-20数据库的DR实验，将s-iPDCA算法与经典的邻近DC算法（PDCA）和PDCA外推算法（PDCAe）进行了比较，结果表明，s-iPDCA算法在求解效率上优于PDCA和PDCAe算法.在ORL数据库和YaleB数据库上进行的DR人脸识别实验表明，秩约束核SDPP（RCKSDPP）与核半定SDPP（KSSDPP）和核主成分分析（KPCA）的识别率相比，具有较好的识别效果。
2021-05-26 math.OC
Naive constant rank-type constraint qualifications for multifold second-order cone programming and semidefinite programming
常秩约束规格是Janin在1984年为非线性规划引入的，它已被广泛地用于灵敏度分析、一阶和二阶算法的整体收敛以及计算值函数的导数。本文基于近似Karush Kuhn-Tucker最优性最优性条件和约简方法的应用，讨论了二阶锥规划和半定规划的常秩型约束规格的朴素推广.我们的定义严格弱于Robinson的约束规格，并应用于增广拉格朗日算法的整体收敛。
2020-09-12 math.OC
Enhancing low-rank solutions in semidefinite relaxations of Boolean quadratic problems
布尔二次最优化问题出现在许多应用中。它们的混合整数连续性质是具有挑战性的，因为它本质上是NP难的。为此，文献中提出了半定规划松弛（SDR）来近似解，将问题转化为凸优化问题。然而，SDR不能保证提取正确的二进制最小值。在本文中，我们提出了一种新的方法来提高二元溶液的回收率。所提出的方法的关键是利用已知的信息的特征值所需的解决方案。由于所提出的方法产生一个非凸规划，我们开发和分析的迭代下降策略，其实际有效性通过数值结果显示。
2020-03-19 math.OC
A large number of problems in optimization, machine learning, signal processing can be effectively addressed by suitable semidefinite programming (SDP) relaxations. Unfortunately, generic SDP solvers hardly scale beyond instances with a few hundreds variables (in the underlying combinatorial problem). On the other hand, it has been observed empirically that an effective strategy amounts to introducing a (non-convex) rank constraint, and solving the resulting smooth optimization problem by ascent methods. This non-convex problem has --generically-- a large number of local maxima, and the reason…
2016-03-13 math.OC stat.ML
An equivalent nonlinear optimization model with triangular low-rank factorization for semidefinite programs
本文提出了一种新的求解半定最优化问题的非线性最优化模型，给出了局部最优解的一些性质.该模型基于Burer和Monteiro（2003）提出的另一个非线性最优化模型，但它具有一些现有模型所没有的优良特性。首先，该模型的决策变量是一个三角形低秩矩阵，因此其决策变量空间的维数较小。其次，在一定条件下，保证了所提出的模型存在严格的局部最优值，而现有的模型没有严格的局部最优值。换句话说，很难使用现有的模型构造具有快速收敛性的求解方法。一些数值结果也被提出来检验所提出的模型的效率。
2021-03-29 math.OC
Exponential lower bounds on fixed-size psd rank and semidefinite extension complexity
最近有很多兴趣证明表示给定多面体P所需的线性规划的大小的下界。在Fiorini等人的突破性论文[Proceedings of 44 th ACM Symposium on Theory of Computing 2012，第95-106页]中，表明最大割的任何线性规划公式必须具有指数大小。一个自然的问题是，是否可以证明这样强的下界半定规划公式。在本文中，我们朝着这个目标迈出了一步，我们证明了强下界的某一类SDP配方，即SDPs的笛卡儿积的固定大小的半正定锥。在实践中，这对应于具有块对角结构的半定程序，其中块具有恒定大小d。我们表明，任何这样的扩展配方的切割多面体必须有指数的大小（当d是固定的）。Fiorini等人对LP公式的结果是d=1时的特殊情况。对于大小为d=2的块，结果排除了使用二阶锥规划的任何小公式。我们的研究SDP升降机上的笛卡儿积的固定大小的半正定锥的动机主要是从实际的考虑，众所周知，这样的SDP可以更有效地解决比一般的SDP。我们的下界的证明依赖于一些矩阵的稀疏模式与小psd秩的新结果，结合从最近的论文启发Kaibel和Weltge [arXiv：1307.3543]的相关多面体的LP扩展复杂性的归纳参数。
2013-11-11 cs.CC math.CO math.OC
A relaxed interior point method for low-rank semidefinite programming problems with applications to matrix completion
本文提出了求解低秩半定规划问题的一种新的松弛型内点方法。该方法是通常的内点框架之外的一个步骤。为了使原迭代收敛于低秩原解，对原迭代赋予了一种特殊的近似低秩形式。为了适应这样的（限制性）结构，一阶最优性条件必须放松，因此近似通过求解辅助最小二乘问题。放松的内点框架打开了许多可能性如何原始和对偶近似牛顿方向可以计算。特别是，它承认在这方面的应用程序的第一和第二阶的方法。证明了该方法的收敛性。一个原型的实施进行了讨论，并报告了令人鼓舞的初步计算结果，为解决的SDP-重新制定的矩阵完成问题。
2021-03-25 cs.NA math.NA math.OC
We develop a decomposition method based on the augmented Lagrangian framework to solve a broad family of semidefinite programming problems, possibly with nonlinear objective functions, nonsmooth regularization, and general linear equality/inequality constraints. In particular, the positive semidefinite variable along with a group of linear constraints can be transformed into a variable on a smooth manifold via matrix factorization. The nonsmooth regularization and other general linear constraints are handled by the augmented Lagrangian method. Therefore, each subproblem can be solved by a semi…
2023-03-07 math.OC
Binary Component Decomposition Part I: The Positive-Semidefinite Case
研究了低秩半正定矩阵分解为二元对称因子$\{\pm 1\}$或$\{0,1\}$的问题.这项研究回答了这些分解的存在性和唯一性的基本问题。它还导致了易于处理的因式分解算法，成功的温和的确定性条件下。一个配套文件解决了相关的问题分解成一个二元因子和一个无约束因子的低秩矩形矩阵。
2019-07-31 cs.DS math.MG math.OC
A Riemannian low-rank method for optimization over semidefinite matrices with block-diagonal constraints
Inria（法国国家信息与自动化研究所）；Ecole Normale Supérieure（巴黎高等师范学院）
在$X$是半正定的和$X$的对角块是小单位矩阵的约束下，提出了一种求解光滑函数$f$的形式为$\min f(X)$的最优化问题的新算法.这样的问题通常是由于放松秩约束（提升）而出现的。特别是，许多涉及相位，旋转，规范正交基或置换的估计任务适合在这个框架中，以及某些组合问题的松弛，如最大切割。该算法利用了以下事实：（1）此类公式允许低秩解，（2）它们的秩限制版本是黎曼流形上的光滑最优化问题。结合从黎曼和凸几何的问题的见解，我们刻画当二阶临界点的光滑问题揭示KKT点的半定问题。我们与最先进的成熟软件进行比较，发现在某些有趣的问题实例中，我们称之为阶梯方法的速度要快几个数量级，更准确，规模更好。代码可用。
2016-01-06 cs.CV math.OC stat.CO
The Mixing method: low-rank coordinate descent for semidefinite programming with diagonal constraints
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Bosch Center for Artificial Intelligence（博世人工智能中心）
本文提出了一种低秩坐标下降方法，用于求解带对角约束的结构半正定规划问题。该方法在优化性能上显著优于现有方法，并证明其在随机初始化下以局部线性速率收敛到全局最优解。
2026-05-10 cs.LG math.OC stat.ML
Conditions for Existence of Dual Certificates in Rank-One Semidefinite Problems
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
研究秩一半定规划中对偶证书的存在性，提出完整性条件并给出补全过程以确保对偶证书存在。
2014-05-28 cs.NA math.NA math.OC
Computational complexity of decomposing a symmetric matrix as a sum of positive semidefinite and diagonal matrices
本文研究对称矩阵的低秩半正定加对角分解复杂性，证明常数秩情形可多项式求解，而一般及近似情形 NP-hard，且许多问题在实数一阶理论中完全。
2023-09-29 math.OC
Solving clustered low-rank semidefinite programs arising from polynomial optimization
针对源自多项式优化的聚类低秩半定规划高精度求解需求，提出结合采样、对称性约简与贪心基选取的专用原-对偶内点法，在接吻数界计算等问题上实现加速且对病态问题表现良好。
2025-02-21 math.MG math.OC
The well known constant rank constraint qualification [Math. Program. Study 21:110--126, 1984] introduced by Janin for nonlinear programming has been recently extended to a conic context by exploiting the eigenvector structure of the problem. In this paper we propose a more general and geometric approach for defining a new extension of this condition to the conic context. The main advantage of our approach is that we are able to recast the strong second-order properties of the constant rank condition in a conic context. In particular, we obtain a second-order necessary optimality condition tha…
2021-07-09 math.OC
Nondegeneracy and Inexactness of Semidefinite Relaxations of Optimal Power Flow
最优潮流问题可以转化为一个非凸的二次约束二次规划问题。有越来越多的工作使用半定规划松弛来解决最优潮流。松弛是精确的当且仅当相应的最优解集包含秩1矩阵。本文给出了该最优解集中秩为1的矩阵不存在的充分条件。特别是，我们表明，在温和的假设下，问题的非退化，任何半定松弛的最优解将有秩大于1，如果平等和积极的不等式约束的数量至少是两倍的网络中的巴士。该充分条件适用于任意网络拓扑（包括树形网络）。我们从经验上评估这些结果的实际影响，从文献中的几个测试案例。
2014-11-17 math.OC
Low-Rank Extragradient Methods for Scalable Semidefinite Optimization
Faculty of Data and Decision Sciences, Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院数据与决策科学学院）
本文研究高维半定优化问题，提出在低秩解假设下，初始化于最优解附近的Extragradient方法仅需低秩SVD即可保证标准收敛率，并通过Max-Cut数据集验证了其有效性。
2025-04-07 cs.LG math.OC
Semidefinite Programming and Nash Equilibria in Bimatrix Games
我们探讨的权力半定规划（SDP）寻找添加剂$epsilon$ -近似纳什均衡双矩阵游戏。我们引入了一个SDP松弛的二次规划制定的纳什均衡（NE）问题，并提供了一些有效的不等式，以提高质量的放松。如果找到该SDP的秩1解，则可以恢复精确的NE。我们表明，对于一个严格竞争的游戏，我们的SDP保证返回一个秩1的解决方案。我们提出了两个算法的基础上迭代线性化的光滑非凸目标函数的全局极小值的设计符合秩-1的解决方案。经验上，我们证明，这些算法往往恢复的解决方案的秩最多为2和$epsilon$接近零。此外，我们证明了，如果我们的SDP的秩2的解决方案被发现，那么5/11-NE可以恢复任何游戏，或1/3-NE的对称对策。然后，我们展示了我们的SDP方法可以解决两个（NP难）的经济利益问题：找到任何NE下可实现的最大福利，并测试是否存在一个NE，其中一组特定的策略不发挥。最后，我们展示了我们的SDP和第一级的Lasserre/平方和层次结构之间的连接。
2019-08-15 cs.DS cs.GT math.OC
