A functional analysis proof of Gromov's polynomial growth theorem
著名的Gromov定理指出，任何多项式增长的有限生成群都包含一个指数有限的幂零子群。Kleiner和其他人给出了替代的证明。本文在分析约化上同调和Shalom性质H_FD的基础上，沿着Shalom和Chifan-Sinclair的思路，给出了Gromov定理的又一个证明.
2016-10-27 math.GR math.RT
Conjugacy growth series of some infinitely generated groups
我们观察到有限对称群关于转置生成集的共轭增长级数是分拆函数的生成级数。其他共轭增长系列的计算，为其他生成集，有限群的有限对称群的限制置换圈积，和交替群。类似的方法被用来计算有限对称群和交错群关于各种转置生成集的一般增长多项式和共轭增长多项式。计算表明，一类有限图，我们称之为划分完全，它推广了类半哈密顿图，这是独立的利益。与有限交错群相关的级数的系数满足类似于分拆函数的Ramanujan同余的同余关系。它们是从我们称之为“广义拉马努金同余”的部分代数中得出的，我们在附录C中给出了数值证据。
2016-06-15 math.GR
Drift and entropy growth for random walks on groups
本文考虑群上的有限对称随机游动。我们构造新的可能的渐近漂移。我们表明，漂移可以非常接近线性蚂蚁，但次线性。我们也给出了这些随机游动的熵增长的估计。特别地，我们证明了存在无穷多个熵的渐近性。
2001-02-26 math.GR math.PR
Decomposition complexity growth of finitely generated groups
有限分解复杂性和渐近维数增长是M. Gromov的渐近维数，它可以用来证明性质A的大类有限生成群的无限渐近维数。在本文中，我们引入了分解复杂性增长的概念，这是一个拟等距不变量，推广了有限分解复杂性和维数增长。我们表明，次指数分解的复杂性增长意味着属性A，并保持一定的组和度量结构。
2019-02-25 math.GR math.MG
Locality of percolation for graphs with polynomial growth
Schramm的局部性猜想断言满足$p_c<1$的图的临界渗流参数$p_c$的值只取决于它的局部结构。在本文中，我们证明了这个猜想的特殊情况下，传递图的多项式增长。我们的证明依赖于两个最近的作品，这样的图，即超临界的清晰度的渗流由同一作者和有限的结构定理Tessera和Tointon。
2022-05-20 math.GR math.PR
A Wilson Group of Non-Uniformly Exponential Growth
本文构造了一个有限生成群$W$，它的字增长是指数增长的，但它在所有有限生成集上的增长率的下确界是1 --换句话说，它是非均匀指数增长性的.这回答了Mikhael Gromov的问题。该构造还产生一组中间生长的$V$，其局部类似于$W$，因为（通过改变$W$的生成集）在$V$和$W$的Cayley图中存在具有任意大半径的同构球。
2002-10-31 math.GR math.MG
The domino problem on groups of polynomial growth
我们刻画了多米诺问题可判定的虚幂有限生成群（或者等价于格罗莫夫定理，多项式增长群）：这些是虚自由群，即有限群，以及那些有$\Z$作为有限指数子群的群。
2018-01-13 math.GR
Harmonic functions of linear growth on solvable groups
本文研究了有限维具有固定多项式增长的调和函数空间的非有限生成群的结构。它被证明，这样的群体必须是几乎幂零的（反向克莱纳定理）。我们证明了这确实是可解群的情况。调查的部分动机是克莱纳的证明格罗莫夫定理的群体的多项式增长。
2015-10-13 math.GR math.MG math.PR
The structure of approximate groups
设K >= 1为参数。K-近似群是（局部）群中的一个有限集A，它包含单位元，是对称的，并且使得A^2被A的K个左平移所覆盖。本文的主要结果是近似群本质上是幂零有限的一个定性描述，回答了H。Helfgott和E.林登施特劳斯这可以被看作是一个推广的弗里曼-鲁萨定理集的小倍的整数到任意群体。我们首先建立一个对应原则之间的近似群体和局部紧（本地）群体，使我们能够恢复许多结果最近建立的基本文件Hrushovski。特别地，我们建立了近似群可以近似模拟的李群。为了证明我们的主要定理，我们应用了一些额外的论点，主要是由于格里森。这些都出现在解决希尔伯特的第五个问题在20世纪50年代。主要定理的应用包括Gromov定理的有限加细，Gromov定理的推广的Margulis引理和Ricci几乎非负曲流形的基本群的虚零点.
2011-10-25 math.CO math.GR
A virtually 2-step nilpotent group with polynomial geodesic growth
格罗莫夫定理的一个直接结果是，如果一个群关于某个有限生成集具有多项式测地线增长，那么它实际上是幂零的。然而，到目前为止，已知的唯一例子实际上是阿贝尔。本文给出了关于某个有限生成集具有多项式测地增长的虚二步幂零群的一个例子。
2022-10-18 math.GR
Eigenvalue multiplicity and volume growth
设$G$是具有对称生成集$S$的有限群，$c = \max_{R > 0} |B(2R)|/|B(R)|$是相应Cayley图的加倍常数，其中$B(R)$表示关于$S$的字度量中的$R$ -球.证明了$G$的Cayley图上Laplacian的$k$第阶特征值的重数仅由$c$和$k$的函数有界.更具体地，多重性至多为$\exp((\log c)(\log c + \log k))$。类似地，如果$X$是一个紧的，具有非负Ricci曲率的$n$维黎曼流形，则$X$上Laplace-Beltrami算子的第$k$个特征值的重数至多为$\exp(n^2 + n log k)$。第一个结果（对于$k=2$）产生了下面的群论应用。存在$G$的正规子群$N$，其中有$[G : N] \leq α(c)$，并且使得$N$允许到循环群$Z_M$上的同态，其中$M \geq |G|^{δ(c)}$和$α(c), δ(c) > 0$是仅依赖于$c$的显函数。这是有限模拟的一个定理格罗莫夫指出，每一个无限群的多项式增长有一个小组的有限指数承认同态的整数。这解决了Trevisan的一个问题，并通过缩小Kleiner对Gromov定理的证明来证明。特别是，我们取代的调和函数的空间固定的多项式增长的第二特征空间的拉普拉斯算子的凯莱图的$G$。
2009-03-26 math.DG math.GR math.MG
On the universality of fluctuations for the cover time
Universität Wien（维也纳大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Université de Lorraine（洛林大学）
该研究探讨了有限顶点传递图中随机游走覆盖时间波动的普遍性，发现覆盖时间波动与图直径的平方关系，并证明其等价于未覆盖集合的去相关性。
2026-01-21 math.GR math.MG math.PR
An Introduction to Geometric Group Theory
IMPA（巴西纯数学与应用数学研究所）
本书对几何群论进行自包含介绍，涉及凯莱图、施赖埃尔图、格罗莫夫定理等内容，讨论了乒乓引理等概念，基于研究生课程，可用于教学或自学。
2026-07-13 math.GR math.GT math.MG
On the scaling limit of finite vertex transitive graphs with large diameter
设$(X_n)$是一个无界的有限连通点可迁图序列，使得对于某些$q>0$，有$ |X_n | = o(diam(X_n)^q)$.我们表明，采取一个子序列，并重新缩放后的直径，序列$(X_n)$收敛在Gromov Hausdorff距离的尺寸$<q$环面，配备了一些不变的芬斯勒度量。证明依赖于最近的定量版本格罗莫夫定理的群体与多项式增长获得Breuillard，绿色和陶。如果$X_n$只是粗略地传递和$|X_n| = o\bigl({diam(X_n)^δ}\bigr)$的$δ> 1$足够小，我们证明，这一次的初等手段，即$(X_n)$收敛到一个圆。
2014-08-26 math.CO math.GR math.MG
Homology growth, hyperbolization, and fibering
本文提出保持双曲性与同调增长性质的双曲反射群技巧，并据此构造出不可实际上纤维化于圆周的 Gromov 双曲 7-流形。
2024-01-17 math.GR math.GT
Lacunary hyperbolic groups with fast injectivity radius growth and enough loxodromic elements are selfless
Universität Wien（维也纳大学）
本文证明在双曲常数和单射半径满足一定增长条件时，空隙双曲群是无私的，并用直接测地线n边形准则替代了基于非柱性的方法，进而得到C*-无私性，同时构造了区分这些性质的例子。
2026-06-19 math.GR math.OA
On the dimension growth of groups
Gromov在1999年引入了群的维数增长函数。我们证明了R的每个可解的n-生成子群。Thompson群$F$具有多项式维数增长，而群$F$本身和某些第3类可解群具有指数维数增长，并受指数控制.我们描述了有限图的维数增长、扩张性质和拉姆齐理论之间的联系。
2012-07-24 math.AT math.CO math.GR
Nilpotent Lie algebras and systolic growth of nilmanifolds
Gromov在90年代提出，李群的收缩增长给出了具有给定收缩的晶格的最小可能的余体积。在单连通幂零李群中，该函数具有多项式增长，但可以比体积增长更快。我们表示这个收缩增长函数的离散余紧子环的李代数，使它更实际的估计。在提供一些通用的上界后，我们开发了提供非平凡下界的方法。我们提供了第一次计算的渐近收缩增长的幂零群，这是不等同于体积的增长。特别地，我们提供了一个增长度不是整数的例子;它具有7维。最后，我们收集一些开放的问题。
2017-07-20 math.DG math.GR
Foundations of geometric approximate group theory
本文通过拟等距拟作用建立可数无限近似群的几何理论，证明几何有限生成近似群具有典范拟等距类型，并研究渐近维数、增长类型及双曲空间上的基本性质。
2024-04-01 math.GR
Thick embeddings into the Heisenberg group and coarse wirings into groups with polynomial growth
本文研究有限图到 Heisenberg 群及多项式增长群的嵌入与布线，证明粗布线达到 Benjamini 猜想的最优体积，并在三维离散 Heisenberg 群中得到近优的 1-厚嵌入。
2024-10-28 math.GR math.MG
Ergodic theorems for affine actions of amenable groups on Hilbert space
证明了顺从群的弱混合表示的1-上圈的一个新的弱平均遍历定理（定理A）。设$G$是一个离散生成的顺从群$G$，它允许一个受控Folner序列.本文利用定理A证明了在具有弱混合线性部分的希尔伯特空间上的仿射作用$G\ca^T \Cal H$存在几乎不动点序列（定理B）。专门的情况下，$G$是一个生成的多项式增长组，我们表明，凸组合的平均相关的1-上循环的$n$球提供了一个序列的几乎不动点的行动$G\ca^T \Cal H$（推论C）。这肯定了一个弱形式的猜想沙洛姆独立格罗莫夫定理的虚拟幂零群体的多项式增长。因此，我们能够给出一个新的，初等的，遍历理论证明格罗莫夫定理。
2012-08-03 math.FA math.GR
Polynomially growing harmonic functions on connected groups
研究了群上某些调和函数空间的维数与其几何和代数性质之间的关系。我们的主要结果表明（对于足够“好”的随机游动测度）一个连通的、紧生成的、局部紧群具有多项式体积增长当且仅当线性增长的调和函数空间具有有限维.这个特征是有趣的事实，格罗莫夫的定理关于有限生成群的多项式增长没有一个类似的连接的情况下。也就是说，有多项式增长的连通群的例子不是紧幂零的。同样，离散情形的类似结果只对可解群成立，对一般的有限生成群仍然是开放的。
2020-07-30 math.GR math.PR
Banach Zuk's criterion for partite complexes with application to random groups
我们证明了一个巴拿赫版本的dookuk的标准，为集团的部分单纯复形。利用这个新的准则，我们得到了几类巴拿赫空间（$L^p$空间，Hilbert空间，一致曲空间）中Gromov密度模型中随机群的一个新的不动点定理.特别地，我们证明了对于每个$p$，Gromov密度模型中的群具有渐近几乎必然性质$(F L^p)$，并给出了该群边界共形维数增长的一个尖锐的下界，该下界是密度模型参数的函数.
2021-12-15 math.CO math.FA math.GR
From Finite Cayley Graphs to Growth of Infinite Groups
本文研究图神经网络能否从有限凯莱图泛化到无限有限生成群，实验表明模型能捕捉与群增长相关的几何特征。
2026-07-03 math.GR
On the growth of Betti numbers of locally symmetric spaces
本文给出了高秩局部对称空间的贝蒂数在体积趋于无穷大时的渐近性质的新结果。我们的主要定理是Lück逼近定理\cite{luck}的统一形式，它比Gromov在\cite{BGS}中给出的贝蒂数的线性上界强得多.其基本思想是适应理论的局部收敛，最初介绍了有界度的Benjamimi和Schramm，序列的黎曼流形的图。使用刚性理论，我们能够表明，当体积趋于无穷大时，流形局部收敛到泛覆盖在一个足够强的方式，使我们能够推导出收敛的归一化贝蒂数。
2011-04-29 math.GR math.GT
Nilprogressions and groups with moderate growth
我们发现，加倍在一些大规模的凯莱图意味着均匀加倍在所有后续的规模。证明是基于格林，陶和第一作者证明的近似子群的结构定理。我们也给出了一些应用到有限Cayley图的几何和谱。例如，我们证明了一个有限群具有Diaconis和Saloff-Coste意义下的适度增长当且仅当它的直径大于群的基数的固定幂。我们呼吁这样的群体几乎平坦的，并表明他们有一个子群的有界指数承认一个循环商可比直径。我们还给出了边界上的Cheeger常数，第一特征值的拉普拉斯算子，和混合时间。这可以看作是格罗莫夫关于多项式增长群的定理的有限群版本。它还改进了Lackenby关于覆盖物塔中的属性（τ）的结果。另一个结果是所有有限单群的直径的一个普遍的上界，独立于CFSG。
2015-11-30 math.CO math.GR math.MG
Growth gap in hyperbolic groups and amenability
本文在Gromov双曲群G的Cayley图上或CAT（-1）-空间上适当地协紧作用的统一背景下，证明了顺从性猜想的一个一般形式.也就是说，对于G的任何子群H，我们证明了H在G中是共顺从的当且仅当它们的指数增长性率（相对于规定的动作）重合。为此，我们证明了一个量化的，代表性的理论版本的Stadlbauer的顺从性标准的有限型的拓扑传递subshift的群扩展，在经典的Ruelle转移算子的谱半径和相应的扩展。因此，我们能够表明，在我们扩大的背景下，有一个差距的指数增长性的一组Kazhdan的性质（T）和它的无限指数子群。这也推广了四元数双曲空间或Cayley双曲平面格的Corlette定理。
2018-08-24 math.DS math.FA math.GR
Balls in groups: volume, structure and growth
School of Mathematics, University of Bristol（布里斯托大学数学学院）
本文在Breuillard-Green-Tao的Gromov定理有限版本中给出了精确界，证明了多项式增长群的结构性质，并应用于顶点传递图理论等多个领域。
2026-10-14 math.CO math.GR math.PR
Small entropy doubling for random walks and polynomial growth
Université Paris-Dauphine（巴黎第九大学）
本文研究随机游走中的熵类性质，证明若随机游走满足熵增长条件，则群为虚 nilpotent 群，并探讨多项式增长的熵判据及非虚 nilpotent 群的熵增长现象。
2026-04-09 math.GR math.PR
On twisted Fourier analysis and convergence of Fourier series on discrete groups
在离散群的约化扭群$C^*$ -代数的背景下，研究了傅里叶级数的范数收敛性与可和性.对于顺从群，Følner网给出了Fejér求和的关键。我们表明，阿贝尔泊松求和持有一大类的群体，包括例如所有的Coxeter群和所有的Gromov双曲群。作为我们演示中的工具，我们引入了可数群w.r.t.的多项式和次指数H增长的概念适当的尺度函数，通常选择为长度函数。这与顺从群体的增长的经典概念相吻合。
2008-02-21 math-ph math.FA math.GR
Strongly scale-invariant virtually polycyclic groups
一个强有限生成群$Γ$称为强标度不变群，如果存在一个内射自同态$φ: Γ\to Γ$，其像$φ(Γ)$在$Γ$中为有限指标，子群$\displaystyle \bigcap_{n>0}φ^n(Γ)$为有限.这样的群的唯一已知的例子几乎是幂零的，或者等价地，所有的例子都有多项式增长。Nekrashevych和Pete提出的一个问题是，这些群是否是这种自同态的唯一可能性，其动机是Gromov在扩展群态射的特殊情况下给出的肯定答案。本文研究了虚多环群，即每个子群都是双生成的虚可解群的这类问题。使用的$\mathbb{Q}$ -代数壳，这使我们能够扩展的内射自同态的某些虚拟多环群的线性代数群，我们表明，这样的自同态的存在意味着该集团几乎是幂零的。此外，我们充分刻画了哪些虚幂零群具有满足上述条件的态射，这与相应的根幂零群上正阶的存在性有关。作为方法的另一个应用，我们推广了Fel'shtyn和Lee关于下解流形上的映射对所有迭代都有有限Reidemeister数的一个结果.
2021-03-10 math.GR
Amenability of Lie, Group and Hopf algebras
Université de Lyon 1（里昂第一大学）；Université de Genève（日内瓦大学）
本文通过泛包络代数中几乎不变的有限维子余代数定义Lie代数可均性，证明其与Elek定义等价，并推广至Hopf代数，验证Gromov猜想及多种封闭性质。
2026-09-10 math.GR math.RA
Asymptotic Dimension of Minor-Closed Families and Assouad-Nagata Dimension of Surfaces
该研究证明真子式闭图族的渐近维数至多为2，解决了相关公开问题，还将结果推广至曲面的Assouad-Nagata维数及其他组合图类。
2021-05-21 cs.DM math.CO math.GR
