Non-elementary proper forcing
Jakob Kellner
我们介绍了一个简化的框架阶传递模型和谢拉的非初等适当（nep）理论。我们还介绍了一个新的构造可数支持nep迭代。
We introduce a simplified framework for ord-transitive models and Shelah's non elementary proper (nep) theory. We also introduce a new construction for the countable support nep iteration.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Forcing with matrices of countable elementary submodels
我们分析了有限矩阵的力迫概念$\mathcal P$，其行由$H_θ$形式的给定结构的同构可数初等子模型组成。我们发现，迫使与此偏序集增加了一个Kurepa树$T$。此外，如果$\mathcal P_c$是$\mathcal P$的一个只包含连续矩阵的子序，则Kurepa树$T$几乎是Souslin，即$T$中任何反链的水平集在$ω_1$中都不是平稳的。
Non-elementary proper forcing notions
我们提出的理由发展理论的力迫概念，满足适当的要求，可数模型，不一定是初等子模型的一些（H（chi），在）。这导致了力迫概念，而这些概念是“合理的”可定义的。我们提出了两个具体的属性实现这一直觉：nep（非初等适当性）和snep（苏斯林非初等适当性）。为此，我们考虑候选人（定义适用的可数模型），以及旧的Souslin。这里的一个主要主题是“通过迭代保持”，但我们也展示了一个二分法：如果这样的力迫概念保持了某些自然定义的c.c.c. c的旧实数集的正性。理想，那么它们保持了任何旧的正集合的正性。我们还证明，（在这些力迫概念中）唯一与科恩交换的是科恩本身。
Iterating Semi-proper Forcing using Virtual Models
所谓虚模型，我们指的是传递闭包是基本的集合论模型。虚拟模型首先由Neeman \cite{neeman2014forcing}用于建模。这篇文章是关于适当的强迫。然后Veličković将该方法调整为半正常强迫的情况，并在\cite{velickovic2021iteration}中起草。我们在这里理顺细节，并进一步阐述Veličković的方法。第一部分收集了关于虚拟模型的事实，第二部分描述了迭代，第三部分说明了在$\mathsf{NS}_{ω_1}$饱和的情况下的方法（松散地依赖于\cite{schindler2016nsomega1}）。
Preservation of Topological Properties by Strongly Proper Forcings
本文证明强适当力迫保持拓扑空间的可数紧致度、Lindelöf、Rothberger、Menger 及 Rothberger 策略版本等性质，推广了 Dow、Iwasa 和 Kada 的结果。
The exact strength of the class forcing theorem
类强制定理，它断言每个类强制概念$\mathbb{P}$允许一个强制关系$\Vdash_{\mathbb{P}}$，即，一个满足强制关系递归的关系--由此可以得出，在相应的力迫扩张中为真的陈述是强制的，并且强制陈述为真--在哥德尔上是等价的--Bernays集合论GBC到初等超限递归原理$\text{ETR}_{\text{Ord}}$，用于长度为$\text{Ord}$的类递归。它也等价于允许任何类参数$A$的无限语言$\mathcal{L}_{\text{Ord},ω}(\in,A)$的真值谓词的存在性;等价于语言$\mathcal{L}_{\text{Ord},\text{Ord}}(\in,A)$的真值谓词的存在性;等价于一阶集合论$\mathcal{L}_{ω,ω}(\in,A)$的$\text{Ord}$ -迭代真值谓词的存在性;等价于每个分离类偏序$\mathbb{P}$有一个集合完备类布尔完备化的断言;类连接分离原则;以及最多等级为$\text{Ord}+1$的clopen类游戏的确定性原则。与集合强制不同，如果每个类强制概念$\mathbb{P}$仅对原子公式具有强制关系，则每个这样的$\mathbb{P}$具有同时适用于所有公式的统一强制关系。我们的结果在GBC和Kelley-Morse集理论KM之间丰富的理论层次中证明了类强迫定理。
Increasing the second uniform indiscernible by strongly ssp forcing
本文提出一种新的平稳集保持力迫 $\mathbb P^{c-c}(λ,μ)$，在特定大基数假设下将第二一致不可辨元 $\mathbf{u}_2$ 增加至超越给定序数 $λ$，并利用双人捕获博弈控制力迫行为。
Understanding preservation theorems: Chapter VI of Proper and Improper Forcing
本文介绍了Shelah的著作“Proper and Incremental Forcing”第六章的前两节，包括omega-omega边界的推导（使用真强迫的CS迭代）、Sacks性质、Lavewr性质、P点性质等。
Properness under closed forcing
对于不可数正则$κ$，给出了在某些$κ$ -闭力迫扩张中，真偏序集变为非真偏序集的两个例子.
Understanding Preservation Theorems, Chapter VI of Proper and Improper Forcing, I
这是一个解释的第六章的前两个部分的希拉的书正确和不正确的强迫。它涵盖了CS迭代的各种保持定理（Ω-Ω边界，Sacks性质，P-点性质等）。
Explicit example of collapsing kappa^+ in iteration of kappa-proper forcings
给出了（<kappa）-完全kappa ^+-cc力迫概念的长度Ω的迭代的一个例子.这个结构是从Shelah的证明中解码出来的[适当和不适当的强迫，附录，定理3.6（1）]。
Sufficient conditions for the forcing theorem, and turning proper classes into sets
我们提出了三个自然的组合性质类力迫概念，这意味着强迫定理成立。然后，我们表明，所有已知的充分条件的强迫定理（除了强迫定理本身），包括本文中提出的三个属性，意味着另一个正则性质的类力迫概念，即适当的类的地面模型不能成为集在一个泛型扩张，也就是说，他们没有集大小的名称在地面模型。然后，我们表明，在某些模型的Gödel-Bernays集合论没有幂集公理，有一个概念的类强迫一个适当的类变成一个集，但不满足强迫定理。此外，我们表明，不把适当的类集的性质可以用来刻画pretameness在这样的模型的Gödel-Bernays集合论。
Forcing Axioms for Proper Posets Preserving a Topological Property: Consistency Results
本文引入两个关于保持 Lindelöf 与可数紧致性质的真偏序集的力迫公理，并用 Neeman 侧条件迭代证明其一致性。
The $κ$-Strongly Proper Forcing Axiom
研究高阶力迫公理的相容性，通过超紧基数力迫得到$\kappa$-强正常且$\kappa$-格力迫公理的一致性，消除大基数需求，并构造$2^\kappa$任意大的模型，同时证明其某些自然强化的不相容性。
The Proper Forcing Axiom and the Singular Cardinal Hypothesis
我们证明了真力公理蕴含着奇异基数假设。证明是通过插值和使用映射反射原理。
The Proper Forcing Axiom, Prikry forcing, and the Singular Cardinals Hypothesis
本文的目的是提出一些结果表明，奇异基数假设遵循的适当的强迫公理。我们要证明的是，一种同时反射的形式来自于集合映射反射原理，这是PFA的一个结果。虽然结果没有表明MRP意味着SCH，但将表明MRP意味着如果SCH首先在kappa处失败，则S_{kappa^+} ^omega = {a < kappa^+：cf（a）= omega}的每个固定子集都反映。它也将证明，MRP总是失败的泛型扩张Prikry强迫。
Potential theory and forcing
我们隔离的组合性能的能力，导致建设适当的强迫。然后我们证明了许多经典的容量，如牛顿容量满足的性质。
On the consistency strength of the proper forcing axiom
最近，第二作者介绍了组合原则，其特点是超紧性的不可达基数，但也可以适用于小基数。我们证明了适当的强制公理PFA意味着这些原则适用于$ω_2$。利用这一点，我们认为，任何已知的方法迫使PFA模型从一个大基数假设需要一个强紧凑的基数。如果我们使用适当的强迫来强迫PFA，那么我们得到最优结果，即超紧基数是必要的。
Consistently there is no non trivial ccc forcing notion with the Sacks or Laver property
Boban Velickovic提出了以下问题：是否存在一个具有Sacks属性的非平凡力迫概念，它也是ccc？这个问题的一个"可定义的“变体在[Sh：480]（math.LO/9303208）中得到了回答：每个具有Sacks性质的非平凡Souslin力迫概念都有一个不可数的反链。证明了每个具有Sacks性质的非平凡力迫概念都有不可数反链是相容的。独立地，维利科维奇也证明了这一说法的一致性。
Proper and Improper Variants of Mathias and Silver Forcing
该研究解答了 Mathias 与 Silver 力迫密度变体的恰当性及添加支配实数、Cohen 实数等问题，并将证明推广到满足条件的下半连续子测度参数化 Mathias 力迫。
Many countable support iterations of proper forcings preserve Souslin trees
我们发现，许多可数支持适当的强迫迭代保持Souslin树。我们建立充分条件的游戏，我们绘制连接到其他保存属性。我们提出了一个证明，在所谓的情况下，A，不需要一个部门的强迫，增加真正的和那些不支持可数的相互作用的保存属性。
Quotients of Strongly Proper Forcings and Guessing Models
我们证明了一类强真强迫偏序集具有强性质的逆子。具体地说，我们证明了具有简单泛强一般条件的偏序集在平稳模型集上通过某些好的正则子序的等价性满足$ω_1$ -逼近性质。我们证明了在$P_{ω_2}(H(θ))$中，对于足够大基数$θ$，存在稳定的许多$ω_1$猜测模型，这与连续统是任意大的是一致的，解决了Viale和Weiss的问题。
Reinhardt cardinals and iterates of V
假设ZF（$j$）并且存在一个Reinhardt基数，如初等嵌入$j:V\to V$所证明的。研究了$(V,j)$的线性迭代$(N_α,j_α)$，以及它们与$(V,j)$、强迫和可定义性的关系，包括对每个无穷序数$α$，每个集合都是$N_α$上的集泛，但$N_α$不是集基.假设二阶ZF。证明了超Reinhardt基数和全Reinhardt基数的存在性不受小强迫的影响。如果$V[G]$有一组不在$V$中的序数，则$V[G]$没有初等嵌入$j:V[G]\to M\subseteq V$（甚至允许$M$是无基的）。
Proper forcing remastered
在这些笔记中，我们介绍了由尼曼介绍的方法的广义侧条件与两种类型的模型。然后讨论了它的一些应用：有限条件下在ω_2上加俱乐部的Friedman-Mitchell偏序集，从ω_1到ω_1的函数的长度为ω_2的强链的Koszmider强迫构造，以及薄的很高的超原子布尔代数的Baumgartner-Shelah强迫构造。
Bounded forcing axioms and Baumgartner's conjecture
我们研究了$σ$ -闭紧接着ccc强迫和适当强迫的迭代之间的力迫概念的谱。这包括$α$的层次结构-适当的强迫不可分解的可数序数，以及公理A强迫。我们专注于$α$ -适当的强制层次的有界强制公理，并将它们连接到一个层次的弱俱乐部猜测原则。我们证明了它们在某种意义上是对偶的。特别是，这些弱俱乐部猜测原则分离不同可数不可分解序数的有界强制公理。在研究强迫完全嵌入到$σ$ -闭紧接着ccc强迫的迭代中时，我们利用Baumgartner公理A给出了这类强迫的一个等价刻画.这解决了Baumgartner在20世纪80年代提出的一个著名猜想。
L(R) absoluteness under proper forcings
我们分离出一个新的大基数概念，“可扩展性”。“一致性方面，显着的红衣主教之间的不可言喻和欧米茄鄂尔多斯红衣主教。它们的特征在于存在“0^sharp-like”嵌入;然而，它们相对化到L。证明了在适当的强迫作用下，显著基数的存在性与L（R）绝对性等相容。特别是，上述绝对性并不意味着Pi ^[1_1]的确定性。
The Bounded Proper Forcing Axiom
有界真强迫公理BPFA是这样的陈述：对于任意一个真力迫概念的极大反链的aleph_1族，每个aleph_1的大小，都有一个有向集满足所有这些反链。正则基数kappa称为{Sigma}_1-反射，如果对任何正则基数chi，对所有公式phi，“H（chi）模型”暗示"存在delta < kappa，H（delta）模型“我们证明了BPFA等价于两个大小为aleph_1的非同构模型不能通过适当的力迫概念同构的陈述，证明了有界真强迫公理的相容性强度恰好是Sigma_1-反射基数的存在性（它小于Mahlo基数的存在性）.我们还表明，两个结构之间的同构存在的问题可以减少到一个结构的刚性问题。
Proper forcing and $L({\mathbb R})$
我们提出了两种方法，其中模型$L({\mathbb R})$是典型的假设存在的大基数。我们表明，这个模型的理论，{ \em序数}参数，不能改变小强迫，我们进一步表明，一组$V$序数不能添加到$L({\mathbb R})$小强迫。所需的大基数对应于$AD^{L({\mathbb R})}$的一致性强度;大致为$ω$ Woodin基数。
Hypergraphs and proper forcing
给定一个波兰空间X和X上的一个可数解析超图族，考虑由Borel集生成的σ-理想，Borel集至少在该超图族中的一个超图中是反角。事实证明，许多商偏序集是正确的。我调查这些偏序集的强制性质，对他们的某些自然操作，并证明了一些相关的二分法。对于这类广泛的偏序集，大多数融合参数和迭代保持参数可以用关于超图的简单组合考虑来代替。
Preserving old ([omega]^{aleph_0},supseteq^*) is proper
给出了保持力迫概念（[omega]^{aleph_0}，supseteq^*）为真的力迫概念Q的充分和必要条件.它们涵盖了许多合理的力迫概念。
Can a small forcing create Kurepa trees?
在本文中，我们探讨的可能性，创建一个Kurepa树的泛型扩张的CH加没有Kurepa树的模型的大小最多为ω_1的一个保持ω_1的力迫概念。在第一节中，我们证明了在Levy模型中，通过用可数支集强迫Levy塌缩序来塌缩Ω_1和强不可达基数之间的所有基数得到的许多Ω_1-保持的大小至多为Ω_1的力迫概念，包括所有的Ω-适当的力迫概念和一些大小至多为Ω_1的适当的但不是Ω-适当的力迫概念，不生成Kurepa树。在第二节中，我们构建了一个CH加无Kurepa树的模型，其中存在一棵ω-分布的Aronszajn树，使得用该Aronszajn树强制确实在泛型扩张中创建了一棵Kurepa树。在文章的最后，我们提出了三个问题。
Strongly proper forcing and some problems of Foreman
我们提供了解决方案，福尔曼关于理想的几个问题，其中有几个是密切相关的米切尔的概念\emph{strongly proper}强迫。我们证明：1）正规理想的预饱和蕴含着投射反链捕捉，使我们能够给出Foreman~ \cite{MR2768692}关于理想投影的一个问题的解，它比\cite{MR3343538}的解更全面、更简单。2)我们解决了Foreman~ \cite{MR819932}提出的一个关于类属极大性和类属几乎极大性之间关系的老问题。3)最后，我们提供了解决方案，从福尔曼~ \cite{MR3038554}和\cite{MR2768692}有关他的\emph{Duality Theorem}的两个技术问题。
A forcing axiom for a non-special Aronszajn tree
假设$T^*$是一棵没有固定反链的$ω_1$ -Aronszajn树.我们引入了一个强制公理PFA（$T^*$），用于保持$T^*$的这些性质的适当强制.我们证明了PFA（$T^*$）包含了PFA的许多强结果，例如非常弱的俱乐部猜测的失败，连续统的所有基数特征都大于$ω_1$，以及$P$ -理想二分法。另一方面，PFA（$T^*$）暗示了金刚石原理的某些结果，例如存在非稳态Knaster的Knaster力。
Forcing Axioms and the Continuum Hypothesis, part II: Transcending ω_1-sequences of real numbers
本文的目的是证明完全正常强迫的强迫公理与连续统假设不一致。这回答了一个长期存在的希拉问题。此外，可以使用CH构造的相应的完全正常强迫是一棵树，其平方是特殊的对角线。虽然这样的树以前曾被詹森和Kunen根据詹森的钻石原理的假设，这是第一次这样的建设已经进行了使用连续统假设。
Reasonably complete forcing notions
我们引入了更多的力迫概念的性质，这意味着它们的λ-支撑迭代是λ-适当的，其中λ是一个不可达基数。本文是数学LO/0210205第A.2节的直接延续。作为我们的迭代结果的应用，我们表明，它是一致的，与两个正常的过滤器在lambda的支配数是不同的。
Iteration of lambda-complete forcing notions not collapsing lambda^+
我们在λ ^+不坍缩的完全力迫概念中寻找与“适当力迫”概念的相似之处。我们建议这样一个定义，并证明它是保存适当的迭代。
Definable MAD families and forcing axioms
我们证明了在有界真力公理和反大基数假设下，存在一个$\mathbfΠ^1_2$ MAD族。
The proper forcing axiom for $\aleph_1$-sized posets, $ω_1$-linked symmetrically proper forcing, and the size of the continuum
本文证明针对 $\aleph_1$ 规模偏序集的真力迫公理与任意大的连续统相容，并进一步构造模型同时满足 Martin's Maximum 及多种组合原则。
Almost Strong Properness
我们引入了介于恰当性和强恰当性之间的强迫性质“几乎强恰当性”。作为应用，我们引入了一个简单的有限条件强制力$\rm MRP$。
The last forcing standing with diamonds
本文继续Roslanowski和Shelah math.LO/9906024和1105.6049我们在这里引入（<lambda）-策略完备力迫概念的另一个性质，这意味着它们的支持lambda的迭代不会崩溃lambda^+。
Sweet & Sour and other flavours of ccc forcing notions
本文件有三个主题。首先，我们继续Judah，Roslanowski and Shelah \math .LO/9310224和Roslanowski and Shelah math.LO/9807172，math.LO/9703222中开始的研究，在ccc力迫概念的背景下研究了可能性的范数方法，得到了一些可很好定义的ccc力强迫的构造。论文的第二个主题是一般程序的一部分“随机和科恩力迫概念（或：各自的理想）有多特殊”。Shelah math.LO/9303208表明，这两个力迫概念在可精确定义的力迫概念领域中可能占据特殊的位置。在这个领域中，我们可以使用Shelah [Sh：630]（math.LO/9712283），[Sh：669]的方法对力迫概念进行分类，例如，声明非常Souslin（或通常为omega-nw-nep）ccc力迫概念确实是好的。科恩力迫概念和随机力迫概念以及它们的FS迭代（和良好的子强迫）都是ccc omega-nw-nep，数学问题4.24.LO/9906113问我们是否有更多的例子。我们的方法比较容易产生非常Souslinccc力迫概念。第三个主题是Sweet & Sour，它与随机和科恩力迫概念之间最显著的差异有关，当我们考虑投射集各自的正则性时，就会出现这种差异：西格马^[1_3]集的勒贝格可测性意味着在L中无法接近aleph_1，而人们可以（在ZFC中…
More about lambda-support iterations of <lambda-complete forcing notions
本文继续Rossanowski和Shelah math.LO/9906024、math.LO/0508272、math.LO/0210205、math.LO/0611131和math.LO/0605067。我们在这里引入了一个新的性质<λ-策略完备力迫概念，这意味着他们的λ-支撑迭代不崩溃λ ^+（对于一个强不可达基数λ）。
Proper forcing and rectangular Ramsey theorems
我证明强制产品的可定义的偏序保持共尾性的微薄或零理想的保存定理。矩形拉姆齐定理相关的理想遵循的证明。
First Countable Continua and Proper Forcing
在连续统假设下，存在一个权为aleph_1的紧致第一可数连通空间，其中不存在全不连通的完美子集。然而，每一个这样的空间都可以被某种不加实数的适当的强迫序所破坏。
Forcing isomorphism
一个力迫扩张可以在一阶理论的两个模型之间产生新的同构。对理论的某些模型理论约束和对强迫的其他约束可以防止这种病理。一个可数一阶理论是可分类的，如果它是超稳定的，并且不具有维数序性质或省略型序性质。Shelah [Sh：c]表明，如果理论T是可分类的，那么基数λ的每个模型都由L_{infty, lambda}的句子描述。事实上，这句话可以在L^*_{lambda}中选择。（L^*_{lambda}是通过为每个μ < lambda添加表示依赖结构的维数大于μ的量词来丰富语言L_{infty, beth^+}的结果。）这样的句子的真实性将被任何不坍缩基数<= lambda且不添加lambda的新可数子集的强制所保持。因此，如果幂λ的可分类理论的两个模型是非同构的，那么它们在一个λ-完全强迫之后也是非同构的。在这里，我们表明，强制添加没有新的可数子集的lambda的假设不能被消除。特别是，我们表明，非同构的模型的分类理论不需要保持ccc强迫。
$^*$Forcing
设$M$是$ZFC$的传递模型，${\bf B}$是$M.$中的$M$ -完备布尔代数（一般是真类）.我们定义了一个广义的概念，迫使这样的布尔代数，$^*$强迫。（$M$的$^*$强制扩张是$M[{\bf G}]$形式的传递集，其中${\bf G}$是${\bf B}.$上的$M$ -完全超滤子）我们证明了1.如果${\bf G}$是$^*$，强制在${\bf B},$上进行完全超滤，则$M[{\bf G}]\models ZFC.$ 2.设$H\sub M.$如果存在最小传递模型$N$使得$H\in M,$ $Ord^M=Ord^N,$和$N\models ZFC,$，则我们用$M[H].$表示$N$。我们证明了形式为$M[H]$的$ZFC$的所有模型都是$M.$的$^*$强迫扩张。作为直接推论，我们得到$L[0^{\#}]$是$L.$的$^*$强迫扩张。
Nonproper Products
证明了存在两个具有简单（Borel）定义的真生物力，它们的乘积是不真的.我们还给出了一个新的条件，确保适当的一些强制与规范。
Forcing axioms and the structure theory of Aronszajn trees
本文研究Aronszajn树的结构定理对力迫公理的需求，证明MA(ℵ₁)足以保证存在2^ℵ₁棵两两非同构的相干A-树。
Forcing axioms and coronas of $C^*$-algebras
我们证明刚性结果的大型类的冠代数，假设适当的强制公理。特别地，我们证明了Coskey和Farah的一个猜想对所有具有度量逼近性质和投影的递增逼近恒等式的可分$C^*$ -代数成立.
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