Bootstrap percolation on the product of the two-dimensional lattice with a Hamming square
图上的自举渗透是一个确定性的过程，它通过邻接至少有$θ$占据的邻居的点来迭代地扩大一组占据的站点。初始占用集是随机的，由具有低密度$p$的均匀积测度给出。我们主要关注的是产品图$\mathbb{Z}^2\times K_n^2$上的这个过程，其中$K_n$是一个完全图。我们调查如何$p$规模与$n$，使一个典型的网站最终被占领。在临界标度下，偶$θ$的动力学表现出尖锐的相变，而奇$θ$产生一个渐进的渗流转变。我们还建立了一个逐步过渡的自举渗流$\mathbb{Z}^2\times K_n$。主要工具是$\mathbb{Z}^2$上的非均质自举渗流。
2018-07-26 math.PR
Lower bounds for bootstrap percolation on Galton-Watson trees
Bootstrap percolation是一种细胞自动机，在图上模拟“感染”的传播。本文证明了Galton-Watson树上$r$ -近邻自举逾渗的临界概率的一族下界.利用这个结果，我们证实了Bollobás，Gunderson，Holmgren，Janson和Przykucki的一个猜想。我们还表明，这些界限是最好的可能性，以积极的常数不依赖于后代分布。
2014-02-18 math.CO math.PR
Bootstrap percolation on the Hamming torus with threshold 2
本文分析了$d$维Hamming环面上的自举渗流问题，其中每个节点以概率$p$开放，渗流阈值为2。对于每一个$d'<d$，我们发现的事件，一个$d'$维子环面成为开放的临界指数，并计算其概率在临界标度下的极限值。对于甚至$d'$，我们使用的陈斯坦方法表明，成为开放的$d'$维subtori的数量可以近似的泊松随机变量。
2017-11-01 math.PR
Bootstrap percolation, probabilistic cellular automata and sharpness
本文通过建立渗流、自举渗流与概率及确定性元胞自动机之间的新联系，证明了吸引吸收型概率元胞自动机等模型相变的锐利性，并恢复和推广了 Toom 关于噪声稳定性的经典结果。
2022-03-26 cond-mat.stat-mech math.PR nlin.CG
Sharp metastability transition for two-dimensional bootstrap percolation with symmetric isotropic threshold rules
本文证明二维临界自举渗流中所有具有凸对称邻域的各向同性阈值规则均发生尖锐亚稳态相变，推广了此前仅对特定规则成立的结果。
2024-06-05 math.PR
Finite-size effects for anisotropic bootstrap percolation: logarithmic corrections
本文分析了Gravner和Griffeath提出的各向异性二维自举渗流模型。我们提出了有限尺寸效应的上界和下界。我们讨论的相似之处，半定向模型介绍了杜阿尔特。
2007-02-06 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
$K_{r,s}$ graph bootstrap percolation
一个图$G$在$K_{r,s}$ -bootstrap过程中是可解的，如果我们可以按某种顺序添加$G$的所有缺失边，使得每条边创建$K_{r,s}$的新副本，其中$K_{r,s}$是完全二部图。研究了Erdens-Rényi随机图上的$K_{r,s}$ -自助渗流问题，确定了平衡$K_{r,s}$的渗流阈值为对数因子.这部分回答了Balogh、Bollobás和Morris提出的问题。我们还建立了一个一般的下界的渗流阈值为所有$K_{r,s}$，与$r\geq s \geq 3$。
2022-02-19 math.CO math.PR
The time of bootstrap percolation with dense initial sets for all thresholds
本文研究了离散环面$(\Z/n\Z)^d$上$r$ -近邻自举渗流模型的渗流时间.对于$t$至多是$n$的一个多对数函数，且初始感染概率在一定范围内依赖于$t$，我们证明了当$n$趋于无穷大时，环面的一个随机子集的渗流时间以高概率恰好等于$t$.我们的证明关键在于三个新的极值定理，共同建立一个几乎完整的理解的几何行为的$r$邻居引导过程中的密集设置。我们结果的特例$d-r=0$最近被Bollobás，Holmgren，Smith和Uzzell证明.
2013-08-14 math.CO math.PR
Scaling and Inverse Scaling in Anisotropic Bootstrap percolation
在自举逾渗中，已知临界逾渗阈值倾向于随着系统尺寸的增加而缓慢地收敛到零，或者相反地，临界尺寸在逾渗概率趋于零时快速发散。一般来说，要获得渗透阈值的高阶项（即，越来越尖锐的阈值）是一个困难的问题。在二维各向异性模型的情况下，有时可以通过相对简单的方式从反演中获得校正项。
2015-02-03 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
The time of bootstrap percolation for dense initial sets
在图G的顶点集上的r-邻居自举渗流中，顶点最初以一定的概率p独立地被感染。在每个时间步，感染集通过感染至少有r个感染邻居的所有未感染顶点而扩展。我们研究了所有顶点被感染的时间t的分布。给定t = t（n）= o（log n/log log n），我们证明了d维离散环面T_n^d上d-近邻自举渗流在时间t之前发生的概率的一个尖锐的阈值结果.此外，我们表明，对于某些范围的p = p（n），时间，发生渗流集中在一个单一的值或两个连续的值。我们还证明了相应的结果修改后的d-邻居规则。
2012-10-31 math.CO math.PR
Improved bounds on metastability thresholds and probabilities for generalized bootstrap percolation
推广和改进了Andrews，Gravner，Holroyd，Liggett和Romik关于广义二维自举渗流模型亚稳阈值的结果，并回答了他们的几个公开问题和解答.具体来说，我们证明了缓慢的收敛和本地化的界限Holroyd，Liggett和Romik的k-渗流模型，并在这个过程中提供了一个统一的和改进的处理现有的结果引导，修改后的引导，和Frobose渗流。此外，我们证明了改进的渐近界的生成函数的分区没有k-间隙，这也涉及到某些相关的无限概率过程，这些渗流模型。我们的一个关键技术概率结果也是独立的利益。我们证明了新的上界和下界的概率，一个序列的独立事件的单调增加的概率包含没有“k-间隙”模式，内插的一般马尔可夫链的解决方案中出现的情况下，所有的概率是相等的。
2010-02-26 math.CO math.NT math.PR
Subcritical bootstrap percolation via Toom contours
在本说明中，我们提供了一个替代证据，证明亚临界自举渗透模型在任何维度上都具有正临界概率。证明依赖于最近扩展的经典框架的托姆。这种方法不仅比原来的多尺度重正化证明的结果在两个和更多的维度更简单，但也给出了显着更好的界限。作为一个副产品，我们提高了最知名的Toom的东北中心多数规则元胞自动机的稳定阈值的界限。
2022-10-07 math.CO math.PR
Behavioral Intervention and Non-Uniform Bootstrap Percolation
Bootstrap渗流是一种常用的模型，用于研究疾病，谣言和稀疏随机图上的信息的传播。逾渗过程显示出临界值，使得基于初始种子大于或小于该临界值，该图几乎完全受影响或几乎完全不受影响。为了分析干预策略，我们提供了第一个分析确定的临界值的基本引导渗流在随机图的顶点阈值是不均匀的，并提供了一个有效的算法。这一结果也有助于解决当感染过程不确定时的“硬币翻转渗流”问题，这一直是对模型的批评。我们还将结果扩展到聚类随机图，从而扩展了所考虑的图类。在这些图中，顶点被分组在少量的簇中，簇模拟固定的通信网络，并且如果顶点在近簇或远簇中，则边概率是依赖的。我们提出了模拟基本渗流和干预，支持我们的理论结果。
2015-12-02 cs.SI math.PR
The Time of Bootstrap Percolation in High Dimensions
该研究针对d维环面上的d邻域bootstrap渗流过程，在初始感染概率特定范围、阈值为d的条件下，以高概率确定了渗流时间的常数因子阶结果，拓展了已有二维阈值为2的相关定理。
2025-05-16 math.CO math.PR
On polluted bootstrap percolation in Cartesian grids
本文研究笛卡尔网格中的污染引导渗流，针对给定污染顶点数，建立了最小2-邻居渗流数的闭式公式，并给出另一极端情况的下界。
2025-06-23 math.CO math.PR
Two Phase Transitions in Two-way Bootstrap Percolation
考虑图$G$和初始随机配置，其中每个节点独立地以概率$p$为黑色，否则为白色。在离散时间轮中，如果每个节点至少有$r$黑色邻居，则每个节点变为黑色，否则为白色。我们证明了这个基本过程具有两个相变的阈值行为时，底层图形是一个$d$维环面，并确定门限值。
2019-04-23 cs.DM math.PR
Explosive appearance of cores and bootstrap percolation on lattices
Universite Claude Bernard Lyon 1, CNRS, Centrale Lyon, INSA Lyon, Université Jean Monnet（里昂第一大学、法国国家科学研究中心、中央里昂学院、里昂国立应用科学学院、让·莫内大学）
研究了二维格子上自激发渗透现象中核心大小的突然跃变及多种感染规则下的击中时间结果。
2026-01-22 math.CO math.PR
Bootstrap Percolation on Random Geometric Graphs
自举渗滤已经被有效地用于模拟各种现象，如材料中磁性的出现，感染的传播，计算机网络中软件病毒的扩散，新技术的采用，以及人类社会中集体行动和文化时尚的出现。它是定义在一个（任意）网络的互动代理，其状态是由他们的邻居的状态根据阈值规则。在典型的设置中，自举渗透开始于具有固定概率$p$的节点的随机且独立的“激活”，随后是基于每个邻域中的活动节点（$θ$激活的节点）的密度的用于附加激活的确定性过程。在这里，我们研究引导渗流随机几何图形的政权时，后者（几乎肯定）连接。随机几何图提供了一个适当的模型，在设置中，每个节点的邻域结构是由地理距离，如在无线{ \it ad hoc}和传感器网络，以及在传染。我们推导出的临界阈值$p_c', p_c"$的界限，使所有$p > p"_c(θ)$充分渗透发生，而$p < p'_c(θ)$，它没有。我们得出结论，比较数值阈值与分析得到的模拟。
2012-06-14 cs.DM math.PR
Locality approach to the bootstrap percolation paradox
IMPA（巴西纯数和应用数学研究所）
本文通过局部方法解决Bootstrap渗透模型中的悖论，实现了数值与理论结果在第三阶展开的一致性，并提出新的预测。
2024-10-02 cond-mat.stat-mech math.PR
Sharp metastability threshold for an anisotropic bootstrap percolation model
在过去的二十年中，自举渗流模型得到了广泛的研究。在这篇文章中，我们研究了以下的“各向异性”的自举渗流模型：一个点（m，n）的邻域是集合\[\{(m+2,n),(m+1,n),(m,n+1),(m-1,n),(m-2,n),(m,n-1)\}.\]在时间0，网站被占用的概率为p。在每个时间步，被占用的网站仍然被占用，而未被占用的网站成为被占用的当且仅当三个以上的网站在其邻域被占用。我们证明了它具有一个尖锐的亚稳阈值。这是各向异性自举逾渗模型的一个锐阈值的第一个数学证明。
2016-03-30 math-ph math.CO math.MP
Polluted Bootstrap Percolation in Three Dimensions
在污染的自举逾渗模型中，立方晶格$\mathbb{Z}^3$的顶点被独立地声明为最初以概率$p$被占据或以概率$q$被关闭。在标准（相应地，修改的）引导规则下，如果顶点不是闭合的并且它至少具有$3$被占用的邻居（相应地，每个坐标中的被占用的邻居），则顶点在后续步骤中被占用。我们研究了最终的密度为$p,q\to 0$的占用顶点。我们表明，如果$q \ll p^3(\log p^{-1})^{-3}$的标准和修改后的规则，这个密度收敛到$1$。我们的主要结果是修改后的模型的一个互补的约束与匹配的权力：存在$C$，使最终的密度收敛到$0$，如果$q > Cp^3$。对于标准模型，我们在更强的条件$q>Cp^2$下建立收敛到$0$。
2017-06-22 math.PR
A large deviation approach to super-critical bootstrap percolation on the random graph $G_{n,p}$
我们认为Erdös-雷尼随机图$G_{n,p}$，我们分析了简单的不可逆的流行病过程的图，在文献中称为自举渗滤。我们给出了Janson等人（2012）的一些结果的定量版本，在适当的超临界状态下，对活动节点的最终大小$A_n^*$进行了精细的渐近分析。更具体地说，我们建立了大偏差原则的随机变量序列$\{\frac{n- A_n^*}{f(n)}\}_{n\geq 1}$与显式率函数，并允许缩放功能$f$，以改变在尽可能广泛的范围。
2020-01-16 cs.PF math.PR
Anisotropic bootstrap percolation in three dimensions
考虑离散立方体$[L]^3$中初始感染顶点的随机子集$p$-$A$，并假设每个顶点的邻域由每个$i \in \{1,2,3\}$的$\pm e_i$ -方向上的$a_i$最近邻居组成，其中$a_1\le a_2\le a_3$。假设我们感染任何健康的顶点$x\in [L]^3$，该顶点已经有$a_3+1$感染的邻居，并且感染的站点永远保持感染状态。在本文中，我们确定的临界长度为一个常数因子的指数，所有的三元组$(a_1,a_2,a_3)$的渗流。要做到这一点，我们引入了一个新的算法，称为梁过程，并证明了一个家庭的亚临界二维自助过程的指数衰减属性。
2019-08-30 math.PR
Scaling Limit and Critical Exponents for Two-Dimensional Bootstrap Percolation
考虑具有状态空间$\{0,1 \}^{{\mathbb Z}^2}$的元胞自动机，其中初始配置$ω_0$是根据伯努利乘积度量来选择的，1是稳定的，并且如果0被至少三个相邻的1包围，则0变为1。在本文中，我们表明，配置$ω_n$在时间n指数收敛到一个最终的配置$\barω$，并相应于$\barω$的限制措施是在普适类的伯努利（独立）渗流。更确切地说，假设存在临界指数$β$、$η$、$ν$和$γ$，以及在${\mathbb Z}^2$的紧密堆积版本上的独立位点渗流的交叉概率的连续标度极限（即，对于${\mathbb Z}^2$上独立的$*$ -渗流），我们证明了自举渗流模型具有相同的标度极限和临界指数.这种类型的自举渗流可以被看作是一类细胞自动机的范例，其演化在每个时间步都是由单调和非本质的增强给出的。
2004-10-21 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
The time of graph bootstrap percolation
图自举逾渗（Graph Bootstrap Percolation），由Bollobás于1968年提出，是一种元胞自动机，定义如下。给定一个“小”图$H$和一个“大”图$G = G_0 \subseteq K_n$，在连续的步骤中，我们通过向$G_t$添加所有新的边$e$来从$G_t$获得$G_{t+1}$，使得$G_t \cup e$包含$H$的新副本。我们说$G$表示如果对于某个$t \geq 0$，我们有$G_t = K_n$。对于$H = K_r$，关于最小可分解图的大小的问题在20世纪80年代由Alon，Frankl和Kalai独立回答。最近，Balogh，Bollobás和Morris考虑了$G = G(n,p)$的图自举渗流，并研究了图以高概率渗流的临界概率$p_c(n,K_r)$.在本文中，使用相同的设置，我们确定，对数因子，临界概率渗流时间$t$所有$1 \leq t \leq C \log\log n$。
2016-02-25 math.CO math.PR
Cellular Automata and Bootstrap Percolation
本文研究了二元状态集初始化在随机构形上的二维冻结元胞自动机的定性性质。如果自动机也是单调的，则设置等价于自举渗透。我们探索在何种程度上单调约束可能的渐近动力学证明两个结果，不持有的单调自动机的子类。首先，对于某些/所有$0 < p < 1$，当在具有密度$p$的伯努利随机配置上初始化时，自动机是否几乎肯定填充空间是不可判定的。第二，存在一个自动机，其空间填充性质以非单调的方式依赖于$p$。
2022-04-19 cs.DM math.DS math.PR
Weak percolation on multiplex networks
Bootstrap渗流是一个简单但不平凡的模型。它在许多科学领域都有应用，并且已经在随机网络上探索了几十年。在单层（单纯形）网络中，最近观察到自举渗透（bootstrap percolation），它被定义为一个增量过程，可以被视为修剪渗透（pruning percolation）的反面，其中节点根据连通性规则被删除。在这里，我们提出了多重网络的自举和修剪渗流模型。我们将这两个模型统称为“弱”渗流的概念，以区别于普通（“强”）渗流的经典概念。虽然这两种模型在单纯形网络中重合，但我们发现，当考虑多路复用时，它们会解耦，从而产生大量的临界现象。我们的自助模型构成了一个传染过程中的一个最简单的例子，在一个多路复用的网络和关键基础设施的恢复和信息安全有潜在的应用。此外，我们表明，我们的修剪渗透模型可以提供一种方法来诊断丢失的层在一个多路网络。最后，我们的分析方法使我们能够计算临界行为和表征关键集群。
2014-04-13 cond-mat.dis-nn cs.CR math.PR
Bootstrap percolation on the stochastic block model with k communities
我们分析的随机块模型（SBM），一个自然扩张的Erdös-Rényi随机图，允许代表“社区结构”在许多真实的系统中观察到的自举渗滤过程。在SBM中，节点被划分为表示不同社区的子集，并且节点对以取决于它们所属的社区的概率独立地连接。在系统参数的温和假设下，我们证明了存在一个尖锐的相变的最终数量的活跃节点和特征的亚临界和超临界制度的初始活跃节点的数量，这是在每个社区随机均匀选择。
2020-09-24 cs.PF math.PR
Polluted Bootstrap Percolation with Threshold Two in All Dimensions
在污染自举渗流模型中，图的顶点被独立地声明为初始以概率p被占据或以概率q被封闭。在随后的步骤中，如果一个顶点不是闭合的，并且它至少有r个被占用的邻居，则它被占用。在维数d>=3且阈值r=2的立方晶格Z^d上，我们证明了当p和q都趋近于0时，占据位置的最终密度收敛于1，而不管它们的相对标度如何。我们的结果部分地解决了Morris的一个猜想，并与d=2的情况形成了对比，在d=2的情况下，Gravner和McDonald证明了临界参数是q/{p^2}。
2017-05-03 math-ph math.MP math.PR
Bootstrap percolation on geometric inhomogeneous random graphs
几何非齐次随机图（GIRG）是一种具有底层几何的无标度网络模型。我们研究这些图上的自举渗流，这是一个过程建模的顶点开始在一个（小）局部区域内的感染的蔓延。我们表明，该过程中表现出的初始感染率在该地区的相变。我们确定的速度的过程中的超临界的情况下，低阶项，并表明其演变是从根本上影响的基本几何形状。对于给定的位置和期望度的顶点，我们确定的感染时间的低阶项。最后，我们展示了如何使用这些知识来包含本地的感染，从图中删除相对较少的边缘。这是第一次，几何形状的作用，自助渗流数学分析几何无标度网络。
2020-09-01 cs.SI math.CO math.PR
Sensitive bootstrap percolation second term
本文研究二维修正型两邻点自助渗流模型，证明其感染时间渐近展开第二项含对数因子，标度行为异于经典两邻点模型，给出了$p$趋于0时感染时间的高概率上界。
2023-06-19 math.PR
$\mathcal{U}$-bootstrap percolation: critical probability, exponential decay and applications
Bootstrap渗流是一类具有随机初态的单调元胞自动机。在这项工作中，我们开发的工具，在充分的一般性研究的三个“普遍性”类的自举渗流模型在两个维度，称为亚临界。我们引入了新的概念“临界密度”服务的关键模型的“困难”的作用，但适应亚临界的。我们将这些数量的临界概率，并成功地应用此链接来证明新的和旧的结果，如DTBP和螺旋以及一般的非平凡的上界的具体模型。我们的方法建立和利用了一个紧密的连接，亚临界引导渗流和一个适当的概括经典导向渗流，这无疑将是更多的结果的来源，并可以提供一个切入点，一般的approachationists引导渗流。进一步证明了在某个临界概率以上，单臂事件的概率指数衰减，而在该概率以下，单臂事件的概率为正，且期望传染时间为无穷大。我们还确定这是相应的动力学约束模型的谱隙和平均感染时间的过渡。最后，我们基本上是在固定密度的两个自然单臂事件的噪声灵敏度属性。在这样做的过程中，我们完全或部分回答了Balister，Bollobás，Przykucki和Smith（2016）提出的大部分开放性问题-即我们关注他们的问题11，12，13，14和17。
2020-06-11 math-ph math.MP math.PR
3-Neighbor bootstrap percolation on two-dimensional grids
Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
该研究确定了矩形网格$P_m\square P_n$上3邻域自举渗流的最小渗流集大小，扩展了前人工作，还针对环面网格$C_m\square C_n$得到了相差不超过1的上下界及部分情形的精确解。
2026-08-07 math.CO math.PR
Bootstrap percolation on the stochastic block model
我们分析了随机块模型（SBM），一个自然扩张的Erdens-Rényi随机图，结合在许多真实系统中观察到的社区结构的自举渗流过程。在SBM中，节点被划分为两个子集，这两个子集代表不同的社区，并且节点对以取决于它们所属的社区的概率独立地连接。在系统参数的温和假设下，我们证明了存在一个尖锐的相变的最终数量的活跃节点和特征的亚临界和超临界制度的初始活跃节点的数量，这是均匀随机选择在每个社区。
2022-01-31 cs.PF math.PR
Local Bootstrap Percolation
我们研究了一个变种的自举渗流增长被限制在一个单一的活性集群。最初，在原点只有一个活性位点，而Z^2的其他位点以小概率p被独立占据，否则为空。随后，空站点通过与2个或更多个活动邻居接触而变为活动站点，并且被占用站点如果在距离2内具有活动站点则变为活动站点。我们证明了整个格以概率exp[alpha（p）/p]变为活动格，其中alpha（p）介于-pi^2/9 + c sqrt p和pi^2/9 + C sqrt p（-log p）^3之间。这纠正了先前的数值预测的校正项的缩放。
2008-06-13 math-ph math.MP math.PR
Bootstrap percolation and the geometry of complex networks
关于复杂网络的几何模型（由Krioukov等人介绍）我们研究了自举逾渗过程。该模型由双曲平面上具有$N$顶点的随机几何图组成，是Chung-Lu模型的依赖版本。该过程从感染率$p=p(N)$开始。至少有$\mathbf{r}\geq 1$感染邻居的每个未感染顶点都将被感染，并永远保持感染状态。我们确定一个函数$p_c(N)=o(1)$，使得a.a.s.\当$p\gg p_c(N)$时，感染扩散到正比例的顶点，而当$p\ll p_c(N)$时，过程不能发展。此外，这种行为在随机删除边缘的情况下是“鲁棒的”。
2015-08-22 math.CO math.PR
Strong-majority bootstrap percolation on regular graphs with low dissemination threshold
考虑图上的强多数自助渗流模型。设r是某个正整数，p在[0，1]中。最初，每个顶点都以概率p活跃，独立于所有其他顶点。然后，在该过程的每一步，如果至少（deg（v）+r）/2个相邻顶点是活动的，则度为deg（v）的每个顶点v变为活动的。给定任意小的p>0和任意整数r，我们构造了一族d=d（p，r）-正则图，使得所有的顶点都有很高的概率最后成为活跃的.特别是，r=1的情况回答了一个问题，并反驳了Rapaport，Suchan，Todinca和Verstraete的猜想（Rummica，2011）。
2015-03-28 cs.DM math.CO math.PR
Bootstrap percolation on products of cycles and complete graphs
图上的自举渗流通过邻接至少具有$θ$被占用邻居的点来迭代地扩大被占用站点的集合。最初被占据的集合是随机的，由一个均匀的积测度给出，如果每个点最终都被占据，我们说生成发生了。主要问题涉及临界概率，即使生成可能的最小初始密度。我们考虑的图是$m$点的圈与$n$点的完全图的乘积。本文主要讨论了两个因子是完全图，一个因子是圈的情形。我们确定的临界概率的渐近行为，并表明，当$θ$是奇数，有两个定性不同的阶段：从低到高的过渡概率跨越作为初始密度的增加是尖锐的或渐进的，这取决于大小的$m$。
2015-05-13 math.PR
Bootstrap percolation in random $k$-uniform hypergraphs
我们研究了在$n^{-1}\ll n^{k-2}p \ll n^{-1/r}$范围内的二项$k$ -均匀随机超图$H_k(n,p)$上，当从给定大小的所有集合中均匀随机地选择初始感染点集时，具有感染阈值$r> 1$的自举渗流问题.我们建立了一个阈值，如果有较少的顶点在初始的一组感染的顶点，那么只有少数额外的顶点被感染，而如果初始的一组感染的顶点超过阈值，那么几乎所有的顶点被感染。此外，对于$k=2$，我们表明，失败的概率呈指数下降。
2017-04-24 math.CO math.PR
Bootstrap percolation in directed and inhomogeneous random graphs
Bootstrap渗流是一个用来对给定图上的感染传播进行建模的过程。在这里考虑的模型中，每个顶点都配备了一个单独的阈值。一旦被感染的邻居数量超过该阈值，顶点也会被感染，并永远保持这种状态。我们进行了彻底的分析引导渗透的一种新的模型，有向和非均匀的随机图，其中的边缘的分布指定分配两个不同的权重，每个顶点，描述它的倾向，以接收边缘或发送边缘到其他顶点。在图的极限度分布可积的假设下，我们确定了感染顶点的典型分数。我们的模型允许我们研究各种设置，特别是突出的情况下，度分布具有无界的方差。在其他结果中，我们量化的概念“系统性风险”，即在何种程度上本地的不利冲击可以传播到大部分的图形通过级联，并发现新的功能，使图表容易/弹性最初小的感染。
2017-04-27 math.PR
Higher order corrections for anisotropic bootstrap percolation
研究了具有$(1,2)$ -邻域和阈值$r = 3$的二维各向异性自举渗流模型的亚稳相变的临界几率.第一和第二作者最近确定了临界概率的一阶渐近性。在这里，我们确定了以下尖锐的二阶和三阶渐近：\[ p_c\big( [L]^2,\mathcal{N}_{(1,2)},3 \big) \; = \; \frac{(\log \log L)^2}{12\log L} \, - \, \frac{\log \log L \, \log \log \log L}{ 3\log L} + \frac{\left(\log \frac{9}{2} + 1 \pm o(1) \right)\log \log L}{6\log L}. \]我们注意到，二阶和三阶项是如此之大，以至于一阶渐近无法近似$p_c$，即使对于尺寸远远超过$10^{10^{1000}}$的晶格。
2017-10-09 math.CO math.PR
Graph bootstrap percolation
图自举逾渗（Graph Bootstrap Percolation）是一种确定性的细胞自动机，由Bollobás在1968年提出，定义如下。给定一个图$H$和一组最初“感染”的边$G \subset E(K_n)$，如果在$K_n$中有一个$H$的拷贝，使得$e$是$H$的唯一未感染的边，则在每个时间步，我们感染一个新的边$e$。如果最终$K_n$的每个边缘都被感染，我们说$G$在$H$ -bootstrap过程中被感染。当$H$是完全图$K_r$时，这个模型的极值问题已经由Alon，Kalai和Frankl在大约30年前（独立地）解决了。本文研究了随机问题，确定了$K_r$ -过程的临界概率$p_c(n,K_r)$达到一个多对数因子.在$r = 4$的情况下，我们证明了一个更强的结果，并确定了$p_c(n,K_4)$的阈值。
2012-11-25 math.CO math.PR
Sharp Metastability Threshold for Two-Dimensional Bootstrap Percolation
在自举逾渗模型中，$L$乘$L$正方形中的站点最初以概率$p$独立地被宣布为活跃的。在每个时间步，如果一个非活动站点的四个邻居中至少有两个是活动的，则该非活动站点变为活动站点。我们研究的行为作为$p \to 0$和$L \to \infty$同时的概率$I(L,p)$，整个广场最终是活跃的。我们证明了$I(L,p) \to 1$如果$\liminf p \log L > λ$，和$I(L,p) \to 0$如果$\limsup p \log L < λ$，其中$λ= π^2/18$。我们证明了相同的行为，具有相同的阈值$λ$，概率$J(L,p)$，一个网站是活跃的时间$L$在无限晶格上的过程。同样的结果也适用于所谓的修改的自举渗滤模型，但具有阈值$λ' = π^2/6$。$λ,λ'$阈值的存在解决了Aizenman和Lebowitz的猜想，而它们的值的确定纠正了Adler，Stauffer和Aharony的数值预测。
2002-06-12 math-ph math.MP math.PR
A sharp threshold for a modified bootstrap percolation with recovery
自举逾渗（Bootstrap percolation）是一种图上的元胞自动机，作为一种简单的铁磁性动力学模型引入。图中的顶点可以处于两种状态之一：“健康”或“感染”，并且从状态的初始配置开始，健康顶点被局部规则感染。虽然通常的引导过程是单调的感染顶点的集合，在本文中，修改检查中，感染的顶点可以返回到一个健康的状态。顶点最初是随机独立感染的，中心问题是是否所有顶点最终都被感染。这里所研究的模型是一个正方形网格上的过程，其中至少有两个被感染的邻居的健康顶点被感染，而没有被感染的邻居的被感染顶点变得健康。尖锐的阈值给出了所有顶点最终被感染的初始感染的临界概率。
2015-05-29 math.CO math.PR
Bootstrap Percolation on Periodic Trees
我们研究了具有门限参数$θ\geq 2$和初始概率$p$的无限周期树上的自举渗流，定义如下。树的每个节点具有从有限的预定义的非负整数集合中选择的度，并且从任何节点开始，距其相同图距离的所有节点具有相同的度。我们证明了临界阈值$p_f(θ) \in (0,1)$的存在，使得具有很高的概率，（i）如果$p > p_f(θ)$，那么周期树变得完全活跃，而（ii）如果$p < p_f(θ)$，那么周期树不会变得完全活跃。我们还推导出一个系统的递归方程的临界阈值$p_f(θ)$和计算这些数值收集的周期树和各种值的$θ$，从而扩展了以前的结果为定期（均匀）树。
2013-11-29 cs.DM math.PR
Large deviations for subcritical bootstrap percolation on the random graph
针对Erdős-Rényi随机图上的亚临界bootstrap渗流，本文计算了小规模初始感染集感染异常多顶点事件的速率函数，确定了对应大偏差的最小代价轨迹。
2021-01-05 math.CO math.PR
A sharper threshold for bootstrap percolation in two dimensions
二维自举渗流是一种细胞自动机，其中站点通过与两个或更多个已感染的最近邻居接触而被“感染”。我们考虑这些动态，这可以被解释为一个单调版本的伊辛模型，在一个n × n的正方形，与网站最初感染独立的概率p。临界概率p_c是最小的p，其中的概率，整个广场最终被感染超过1/2。Holroyd确定了一阶近似：p_c \sim π^2/（18 log n）为n \to \infty。在这里，我们锐化了这个结果，证明了展开式中的第二项是-（log n）^{-3/2+ o（1）}，并且进一步确定了它的poly（log log n）-因子。指数-3/2修正了物理学文献中的数值预测。
2010-12-24 math.CO math.PR
Strict majority bootstrap percolation in the r-wheel
本文研究了图上的严格多数自助渗流过程。顶点可以是主动的或被动的。最初，主动顶点以概率p独立选择。如果至少有一半的邻居是主动的，则每个被动顶点都成为主动的（此后永远不会改变其状态）。如果在这个过程的最后，所有的顶点都变成了活动的，那么我们说初始的活动顶点集在图上是活动的。我们解决的问题，找到图的渗透是可能发生的小值的p。具体而言，我们研究了一个图，我们称之为r-轮：一个环的n个顶点增加了一个通用的顶点，在环中的每个顶点连接到它的r最近的邻居的左边和它的r最近的邻居的权利。我们证明了临界概率是1/4。换句话说，如果p>1/4，那么对于大的r值，当n趋于无穷大时，渗流发生的概率任意接近1。另一方面，如果p<1/4，则渗流的概率有界远离1。
2013-11-20 cs.SI math.PR
Bootstrap percolation on a graph with random and local connections
设$G_{n,p}^1$是随机图$G_{n,p}$和一维格的叠加：$n$的顶点被设置为在环上，在连续顶点之间具有固定边，并且在任何一对顶点之间具有以概率$p$给出的随机独立边。随机图上的自举渗透是在具有给定数量的初始活跃节点的图的给定实现上传播“激活”的过程。在每个步骤中，那些没有被激活但至少具有$r \geq 2$激活邻居的顶点也变为激活的。研究了当$n\rightarrow \infty $满足极限时，最终有效集的大小.该模型的参数是$n$、初始活动集的大小$A_0=A_0(n)$和图中边的概率$p=p(n)$。先前研究了$G_{n,p}$上的自举渗滤过程。在这里，我们表明，除了$n$本地连接到图$G_{n,p}$导致一个更窄的临界窗口的相变，然而，保留的临界缩放参数已知的模型上$G_{n,p}$。我们发现了一系列的参数，产生渗流$G_{n,p}^1$，但不是在$G_{n,p}$。
2015-08-27 math.PR
Heterogeneous-k-core versus Bootstrap Percolation on Complex Networks
我们引入了非均匀$k$核，它是对$k$核的推广，并与自举逾渗进行了对比。顶点具有阈值$k_i$，该阈值在每个顶点处可以不同。如果顶点的邻居少于$k_i$，则将其从网络中修剪。异构- $k$ -核心是在没有进一步的顶点可以被修剪之后剩余的子图。如果阈值$k_i$是具有概率$f$的$1$或具有概率$(1-f)$的$k \geq 3$，则该过程形成了表现出滞后的激活-修剪过程的一个分支。另一个分支由普通的自举渗流形成。我们发现，有两种类型的过渡在这个异质- $k$ -核心过程：巨大的异质- $k$ -核心可能会出现一个连续的过渡，可能有第二个，不连续的，混合过渡。我们比较临界现象，临界集群和雪崩在异质$k$核心和自举逾渗过渡。我们还表明，网络结构有一个至关重要的影响，这些过程中，与巨大的异质$k$核心立即出现在一个有限的值时，任何$f > 0$度分布趋于幂律$P(q) \sim q^{-γ}$与$γ< 3$。
2010-12-20 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
The Metastability Threshold for Modified Bootstrap Percolation in d Dimensions
在改进的自举逾渗模型中，立方体{1，.，L}^d最初以概率p独立地被宣布为活跃的。在随后的步骤中，如果在d维中的每一个维中具有至少一个活跃的最近邻，则非活跃的位点变为活跃的，而活跃的位点永远保持活跃。我们研究整个立方体最终处于活动状态的概率。对于所有d>=2，我们证明了当L \to \infty和p \to同时为0时，如果L=exp^{d-1}（lambda+ λ）/p，则该概率收敛于1，如果L=exp^{d-1}（λ-λ）/p，则该概率收敛于0，对于任何λ>0。这里exp^n表示指数函数的第n个λ，对于所有d，阈值λ等于pi^2/6。
2006-04-03 math-ph math.MP math.PR
Polluted Modified Bootstrap Percolation
研究受污染修正引导渗流模型中方格点的最终占据密度，在初始占据概率与封闭概率均较小时，推导得出临界标度的对数修正结果，解决了Gravner与McDonald于1997年提出的猜想。
2025-03-19 math.PR
A modified bootstrap percolation on a random graph coupled with a lattice
本文介绍了一种随机图模型$G_{\mathbb{Z}^2_N,p_d}$，它是由$(\mathbb{Z}/N \mathbb{Z})^2$中的固定环面网格边和一些附加的随机网格边组合而成。随机边被称为长边，并且在环面网格上具有图距离$d$的顶点$u,v\in(\mathbb{Z}/N \mathbb{Z})^2$之间具有长边的概率是$p_d=c/Nd$，其中$c$是某个常数。我们证明了，{ \em whp}，直径$D(G_{\mathbb{Z}^2_N,p_d})=Θ(\log N)$。此外，我们考虑非单调的自举渗流$G_{\mathbb{Z}^2_N,p_d}$。我们证明了平均场近似相变的存在，并提供了相当尖锐的临界参数的误差界限。我们的模型解决了有趣的数学问题的非单调的自举渗流，它的动机是最近的大脑研究结果。
2018-12-14 math.CO math.PR
Three-dimensional 2-critical bootstrap percolation: The stable sets approach
考虑离散立方体$[L]^3$中初始感染顶点的随机子集$p$-$A$，并假设每个顶点的邻域由每个$i \in \{1,2,3\}$的$\pm e_i$ -方向上的$a_i$最近邻居组成，其中$a_1\le a_2\le a_3$。假设我们感染了任何健康的顶点$v\in [L]^3$，该顶点已经有$r$被感染的邻居，并且被感染的站点永远被感染。在本文中，我们确定了$\log$的临界长度渗流到一个常数的因素，所有的$r\in \{a_3+1, \dots, a_3+a_2\}$与$a_3\ge a_1+a_2$。此外，我们给所有剩余的情况下$a_3 < a_1+a_2$的上限，并认为他们是紧到一个常数因子。
2022-01-27 math.PR
