Some Dimensions of Spaces of Finite Type Invariants of Virtual Knots
Dror Bar-Natan, Iva Halacheva, Louis Leung, Fionntan Roukema
我们计算许多维度的空间的有限型不变量的虚拟节点（几种）和相应的空间的“重量系统”的尺寸，发现一切都是在协议的猜想，“每一个重量系统集成”。
We compute many dimensions of spaces of finite type invariants of virtual knots (of several kinds) and the dimensions of the corresponding spaces of "weight systems", finding everything to be in agreement with the conjecture that "every weight system integrates".
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Virtual Knot Theory
虚纽结理论是作者在1996年发现的将纽结理论推广到全定向高斯码的研究中。（经典纽结理论是对平面高斯码的研究。）图论通过具有虚交叉的图来研究非可平面图。虚纽结理论通过具有虚交叉的纽结图来研究非平面高斯码。本文给出了一些基本结果和例子（如具有平凡Jones多项式的非平凡虚纽结），研究了虚纽结的基本群和quandles，括号和Jones多项式的扩张，具有虚框架的量子链不变量，Vassiliev不变量以及在加厚曲面纽结中的应用。
On Vassiliev Invariants of Virtual Knots
我们讨论了虚拟结的瓦西里耶夫不变量，扩展了arXiv：1509.00578中开发的量子虚拟结不变量理论。特别是，量子不变量的理论，我们的工作与'旋转'虚拟结。我们定义了弦图，权系统，并给出了旋转虚拟纽结的李代数权系统的例子。最后，我们讨论了扩展的量子不变量，它捕获的信息，旋转虚拟的标准量子不变量不能。
Parity Biquandle Invariants of Virtual Knots
我们使用宇称双量子点定义虚拟结的计数和上循环增强不变量。这些不变量是由一个双四元2-上循环和一个映射组成的对确定的，在一定的相容条件下，虚纽结的多项式不变量是单变量或双变量的。我们提供的例子表明，宇称上循环不变量可以区分虚拟的纽结，这是不区分相应的非宇称不变量。
Semiquandles and flat virtual knots
我们引入一个代数结构，我们称之为semiquandles的公理是来自平坦的Reidemeister移动。有限半量子有相关的计数不变量和增强的不变量定义为平面虚拟结和链接。我们还引入了奇异半量子线和虚奇异半量子线，它们定义了平坦奇异虚纽结和链环的不变量。作为应用，我们使用半量子不变量来比较两个瓦西里耶夫不变量。
The quandle and group for higher-dimensional and virtual knots
乔伊斯已经证明，一个古典纽结的基本困境可以从对该纽结的基本群和外围结构的考虑中推导出来，而且该群和大部分外围结构也可以从困境中恢复。我们将这些结果推广到任意尺寸，也虚拟和焊接结和弧。
Bikei Invariants and Gauss Diagrams for Virtual Knotted Surfaces
标记顶点图提供了一种组合方式来表示$\mathbb{R}^4$中的打结表面;包括虚拟交叉允许虚拟打结表面和虚拟配边理论。Biquandle计数不变量的定义只为标记的顶点图表示打结可定向曲面，我们扩展这些不变量的所有虚拟标记顶点图考虑着色对合biquandles，也被称为bikei。我们引入了一种用高斯图表示标记顶点图的方法，并用它来刻画可定向性。
Minimal surface representations of virtual knots and links
Kuperberg [Algebr.托波尔。3（2003）587-591]已经示出了虚拟结对应于（直到广义Reidemeister移动）最小亏格的增厚表面中的唯一嵌入。如果一个虚纽结图等价于一个经典纽结图，那么这个极小曲面就是一个球面。使用这个结果和一个广义括号多项式，我们开发的方法，可以确定是否一个虚拟的结图是非经典的（因此非平凡）。作为例子，我们表明，除了特殊情况下，与一个单一的虚拟化和链接图与一个单一的虚拟交叉的链接图是非经典的。
Polynomial knot and link invariants from the virtual biquandle
虚纽结或虚链环的Alexander双量子是二元Laurent多项式环上的模，它是虚纽结或虚链环的不变量。这个模的基本理想则是虚合痕的不变量，它决定了虚结点的广义亚历山大多项式（也称为Sawollek多项式）和经典结点的经典亚历山大多项式。对于一个固定的单项序$<$，这些理想的Gröbner基是可计算的，可比较的不变量，它完全确定了基本理想，并推广和统一了经典和广义亚历山大多项式。我们提供的例子来说明这些不变量的有用性，并提出问题，为今后的工作。
Finite Type Invariants of Classical and Virtual Knots
我们观察到，任何结不变量扩展到虚拟结。虚拟节点的合痕分类问题被简化为一个代数问题，用箭头图的代数来表示。我们引入了一个新的有限型不变量的概念，并证明了任何这样的不变量的限制度为n的经典节是一个不变量的度最多为n在经典意义上。通过高斯图公式定义了次数不超过n的泛不变量。这种机器是用来获得明确的公式为不变量的低程度。同样的技术也被用来证明任何有限型不变量的经典纽结是由高斯图公式。我们介绍了高斯图的n-等价的概念，并宣布了关于经典n-等价的结果的虚对应部分。
Virtual Knot Invariants from Group Biquandles and Their Cocycles
通过和田的表示，群论的方法，提出区分岸野的虚拟结的unknot。利用Wada的辫群表示，对任意群构造双量子。这些biquandles的Cocycle不变量进行了研究。这些不变量被用来证明Alexander数和棋盘着色的不存在性。
Virtual Yang-Baxter cocycle invariants
我们扩展了杨-巴克斯特上循环不变量的虚拟节点，通过增加杨-巴克斯特2-上循环与上同调理论相关的虚拟biquandle结构。这些不变量与经典的杨-巴克斯特上循环不变量的经典节点，但提供额外的信息，虚拟的节点和链接。特别地，它们提供了一种用于检测虚拟节点和链接的非经典性的方法。
Twisted Virtual Bikeigebras and Twisted Virtual Handlebody-Knots
我们将无定向的二体链环推广到扭曲的虚情形，得到了二体链环在$Σ\times [0,1]$形式的周围空间中的Reidemeister移动，其中$Σ$是紧致闭2-流形，直到稳定等价.我们介绍了一个相关的代数结构被称为扭曲的虚拟bikeigebras的公理是出于扭曲的虚拟bikeibody-link Reidemeister移动。我们使用扭曲的虚拟bikeigebras定义扭曲的虚拟bike-body链路的$X$ -着色性，并定义扭曲的虚拟bike-body链路的整数值不变量$Φ_{X}^{\mathbb{Z}}$。我们提供了新的不变量的示例计算，并使用它们来区分一些扭曲的虚拟双链体链接。
Virtual Biquandles
在本文中，我们描述了新的方法来构建虚拟结不变量。本文的主要背景来自制定和汇集的想法biquandle（考夫曼和雷德福）的虚拟quandle（曼图罗夫），四元数的想法由罗杰·芬和安德鲁·巴塞洛缪，概念和性质的长虚拟结（曼图罗夫），和其他想法之间的接口经典和虚拟纽结理论。在本文中，我们提出了一个新的代数结构的虚拟纽结不变量，它的各种表示，并研究了几个例子。文中还提出了几个问题和有待解决的问题。
Virtual unknotting numbers of certain virtual torus knots
虚拟结的虚拟解结数是使虚拟结成为解结的最小交叉变化数，其仅针对虚拟结与解结虚拟同伦而定义。本文着重讨论了由标准（p，q）-torus纽结图通过将一个overstrand上的所有交叉点替换为虚交叉点而得到的虚纽结，并证明了它的虚解纽结数等于$(p,q)$ -torus纽结的解纽结数，即为（p-1）（q-1）/2.
Invariants of Welded Virtual Knots Via Crossed Module Invariants of Knotted Surfaces
我们定义了一个不变量的焊接虚拟结从每个有限的交叉模块考虑交叉模块不变量的带状打结的表面，这是自然与他们。通过计算明确的例子，我们阐明了所获得的不变量是非平凡的。我们定义焊接虚拟图，并考虑他们以类似的方式定义的不变量。
A spinning construction for virtual 1-knots and 2-knots, and the fiberwise and welded equivalence of virtual 1-knots
我们成功地推广自旋结的经典1-节的虚拟1-节的情况下，通过使用“自旋构造”。也就是说，我们证明了以下几点：让$Q$是一个虚拟的1-knot $K$通过我们的方法纺结。$S^4$中的嵌入类型$Q$仅取决于$K$。进一步证明了：$S^4$中的子流形$Q$和由Satoh方法定义的$K,$构成的嵌入环面是同位素的。我们成功地将上述构造推广到了虚2节情形。请注意，Satoh的方法没有提到虚拟2节的情况。鲁尔克对佐藤方法的解释是，人们在每个虚拟1-节图的每个点上放置“纤维圈”。如果虚2-纽结图中没有虚分支点，我们的方法将这样的纤维圆赋予虚2-纽结图中的每个点。我们证明了：如果一个虚拟2-节点图$α$有一个虚拟分支点，$α$不能覆盖这样的纤维圈。利用我们的旋转构造，我们得到了虚2-纽结图集合的一个新的等价关系，即$\mathcal E$ -等价关系。我们证明，有虚拟2结图，几乎是不等价的，但$\mathcal E$ -等价。虽然Rourke声称两个虚1-节图$α$和$β$是纤维等效的当且仅当$α$和$β$是焊接等效的，我们声明这种说法是错误的。我们证明了两个虚1-节图$α$和$β$是纤维方向等价的当且仅当$α$和$β$是旋转焊接等价的。
Virtual Tribrackets
我们引入虚拟的三括号，着色区域的代数结构在一个有方向的虚拟结或链接图的平面补。我们使用这些结构来定义计数不变量的虚拟结和链接，并提供计算的不变量的例子，特别是我们表明，不变量可以区分某些虚拟结。
Braid presentation of virtual knots and welded knots
本文介绍了L.考夫曼提出了虚拟辫子的概念。它与R.芬河Rimanyi和C.洛克证明了关于虚结和虚辫的Alexander定理和Markov定理。焊接结和编织也证明了类似的结果。
Alexander groups of long virtual knots
定义了虚拟长纽结的Alexander群系统，并证明了任何虚拟纽结都是无穷多个虚拟长纽结的闭包。Manturov关于存在一对不对易的长虚纽结的结果被重新证明。
Two-variable polynomial invariants of virtual knots arising from flat virtual knot invariants
我们引入了两个二元多项式序列$\{ L^n_K (t, \ell)\}_{n=1}^{\infty}$和$\{ F^n_K (t, \ell)\}_{n=1}^{\infty}$，用交叉的索引值和虚拟结$n$值表示，其中$t$和$\ell$是变量。基于$n$是平坦的虚纽结不变量这一事实，我们证明了作为特例，$L^n_K$和$F^n_K$是含有Kauffman仿射指数多项式的虚纽结不变量.利用$L^n_K$给出了虚纽结不允许化妆交叉变换的充分条件。
Vassiliev Invariants of Virtual Legendrian Knots
我们介绍了一个理论的虚拟勒让德结。虚勒让德纽结是一个有向曲面上的共定向波前，直到它的单位余切丛的升力的勒让德合痕以及远离波前的曲面的稳定和不稳定。我们表明，Vassiliev不变量的虚拟勒让德结和虚拟框架结的群体是同构的。特别是，瓦西里耶夫不变量不能用来区分虚拟勒让德结，这些虚拟勒让德结与虚拟框架结是同位素的，并且具有相等的虚拟马斯洛夫数。
Virtual Mosaic Knot Theory
2008年，Lomanoco和Kauffman首次引入了节点的镶嵌图，目的是构建量子结系统。从那时起，许多其他人探索了这些结镶嵌图的结构，因为它们本身就是有趣的研究对象。Garduño已将结马赛克概括为虚拟结，包括一个额外的瓷砖类型来表示虚拟交叉。然而，还有另一种对虚拟结的解释，即表面上的结图，这激发了这项工作。通过查看经典的马赛克图作为$4n$ -粘合这些多边形的边缘，我们得到的表面上的节点，可以被视为虚拟节点。这些虚拟马赛克是我们目前的研究对象。在本文中，我们提供了一组移动，可以执行虚拟马赛克，保持结和链接类型，我们表明，任何虚拟结或链接可以表示为虚拟马赛克，我们提供了几个计算结果，虚拟马赛克数为小的经典和虚拟结。
Stable Equivalence of Knots on Surfaces and Virtual Knot Cobordisms
我们在纽结图和曲面上的闭曲线上引入了一种等价关系，称为稳定等价。我们给出了抽象结点集、虚结点集和曲面上结点图的稳定等价类集之间的双射。利用这些双射，我们定义了虚拟链接的一致性和链接同源性。作为一个应用，它表明，考夫曼的虚拟纽结图的例子是不等价于一个经典的纽结图。
Concordance group of virtual knots
我们研究虚拟节点的一致性。我们的主要结果是，一个经典的纽结K是虚拟切片当且仅当它是经典切片。由此，我们推出经典纽结的和谐群嵌入长虚纽结的和谐群。
On Virtual Crossing Numbers for Virtual Knots
本文的目的是证明一些家庭的虚拟节点的虚拟交叉的最小数量的增长二次关于经典交叉的最小数量。所有以前已知的估计虚拟交叉数主要是不超过线性的经典交叉的数量（或，什么是相同的，在虚拟节点图的边缘数），并没有发现虚拟结与虚拟交叉数大于的经典交叉数。
PL-virtual knots
分段线性虚拟节点进行了讨论和分类的边缘指数为6。
Virtual Multicrossings and Petal Diagrams for Virtual Knots and Links
本文将经典纽结的多重交叉概念推广至虚拟纽结与链环，并证明所有虚拟纽结均存在花瓣图。
A Functorial Map from Virtual Knots to Classical Knots and Generalisations of Parity
我们构造了从虚拟节点到经典节点的各种函子映射（投影）。这些映射被定义在虚结点的图上;根据高斯图，它们中的每一个都可以被表示为一些弦的删除。这种解释依赖于对等的概念。作为推论，我们证明了经典纽结的最小经典交叉数。
Gordian complexes of knots and virtual knots given by region crossing changes and arc shift moves
在$\mathbb{S}^3$中，结点的Gordian复形是由Hirasawa和Uchida定义的，其顶点是结点合痕类的单纯复形。后来Horiuchi和Ohyama使用$v$ -移动和禁止移动定义了虚拟结的Gordian复合体。本文讨论了区域交叉变换的结点的戈尔迪复形和弧移移动的虚结点的戈尔迪复形。弧移移动是虚拟结图中的局部移动，其导致在两个连续交叉之间局部反转取向。我们证明了存在一个任意高维的单形在这两个戈尔迪复合物，即，通过区域交叉变化和通过弧移移动。对于任何给定的结（分别，虚拟结）图，我们构造一个无限的家庭结（分别，虚拟结），使任何两个不同的家庭成员有距离的区域交叉变化（分别，弧移移动）。我们证明了所构造的虚拟节点具有相同的仿射指数多项式。
Graphical Constructions for the sl(3), so(3) and G2 Invariants for Virtual Knots, Virtual Braids and Free Knots
我们构造了虚结点的Kuperberg sl（3）和G2不变量的图值类似物。经典纽结的sl（3）或G2不变量的限制与通常的Homflypt sl（3）不变量和G2不变量一致。对于虚拟节点和图形，这些不变量提供了新的图形信息，允许证明极小定理，并为自由节点（抽象Reidemeister移动的无方向和无标记高斯码）构建新的不变量。这种方法的一个新的特点是，一些结是足够的复杂性，他们评估自己的意义上说，不变的是结本身被视为一个组合结构。本文将这些结构推广到虚拟辫子，并讨论了与原来的彭罗斯括号图着色的关系。
Virtual Knot Groups
考夫曼定义的虚结是经典结的自然推广。结的大多数不变量以自然的方式扩展以给出虚拟结的不变量。在本文中，我们研究了虚纽结的基本群，并观察到一些新的和意想不到的现象。在经典的设定中，如果一个纽结的经度在纽结群中是平凡的，那么这个群是无限循环的。我们证明了对于任何经典的纽结群，都存在一个具有该群和平凡经度的虚纽结。众所周知，经典纽结群的第二同调是平凡的。我们提供了反例，这虚拟结。对任意群G，给出了存在一个虚纽结群的充要条件，该群在G的周边子群上具有特定的行为.这些条件简化了经典环境中出现的条件。
On the lower central series of some virtual knot groups
研究了具有少量交叉数的虚纽结群，证明了存在具有长下中心序列的虚纽结，特别地，这意味着存在具有剩余幂零群的虚纽结.这就给出了利用纽结群的下中心序列的项构造虚纽结不变量的可能性。研究了虚纽结群的半直积和自由积的合并分解。特别地，我们证明了某些虚纽结的群是由无限循环群生成的自由群的扩张。
Classification of Flat Virtual Pure Tangles
虚纽结理论由考夫曼提出，是经典纽结理论的推广，因为它的有限型不变量理论可能是Etingof和Kazhdan的李双代数量子化理论的拓扑解释。经典纽结注入到虚纽结中，而平坦虚纽结是虚纽结的商，其等于实正交叉和实负交叉，并且在这个意义上是虚纽结理论中的经典纽结理论的补充。我们对没有封闭成分的平坦虚拟缠结（纯缠结）进行了完全分类。这种分类可以用作虚拟纯缠结和虚拟辫子的不变量。
Fibered Knots and Virtual Knots
介绍了一种用虚纽结理论研究经典纽结的新方法。设$K$是一个纽结，$J$是$K$与$\text{lk}(J,K)=0$的补的纽结。设存在覆盖空间$π_J: Σ\times (0,1) \to \bar{S^3\backslash V(J)}$，其中$V(J)$是$J$的正则邻域，满足$V(J) \cap \text{im}(K)=\emptyset$，$Σ$是连通紧致可定向2-流形.令$K'$是$Σ\times (0,1)$中的结，使得$π_J(K')=K$。然后，$K'$稳定为虚拟结$\hat{K}$，称为$K$相对于$J$的虚拟覆盖。我们调查什么可以说一个经典的结从它的虚拟覆盖的情况下，$J$是一个纤维结。几个例子和应用程序的经典节点。建立了虚拟覆盖的基本理论。
Virtualized Delta moves for virtual knots and links
该研究提出虚拟纽结与链环的虚拟化 Δ 移动，证明其对虚拟纽结是解结操作，并刻画了虚拟链环在该移动下等价的充要条件。
Connected sum and crossing numbers of flat virtual knots
研究平坦虚拟纽结连通和对图与基点的依赖性，证明复合纽结的极小交叉图必为连通和图，且交叉数在连通和下具有超加性。
Virtual Knot Cobordism
本文定义了虚纽结的配边理论，并研究了标准虚纽结和旋转虚链环的配边理论。非平凡的虚拟切片结的例子。使用作者和Heather Dye和Aaron Kaestner的一篇姊妹论文的结果，给出了正虚结的四球亏格的确定。与带通相关的问题进行了解释，并制定了理论的虚拟表面的合痕的吉川移动的推广。
Forbidden detour number on virtual knot
我们发现，禁止绕道移动，基本上介绍了Kanenobu和纳尔逊，是一个unknotting操作虚拟结。然后，我们定义一个虚拟的纽结的禁止迂回数是必要的虚拟纽结图转换成平凡纽结图的禁止迂回移动的最小数量。根据最小实交叉数或虚拟节点的仿射指数多项式的系数，给出了禁止迂回数的上界和下界。
The Alexander polynomial for Virtual Twist Knots
我们定义了一个家庭的虚拟结推广的经典扭曲结。我们开发了一个递归公式的亚历山大多项式$Δ_0$（定义银和威廉姆斯）这些虚拟的扭曲结。这些结果被应用于提供证据的猜想，一个虚拟的纽结的奇扭可以得到从$Δ_0$。
Rectangular mosaics for virtual knots
本文引入虚拟纽结的矩形马赛克定义，修改Ganzell和Henrich的马赛克移动至矩形设定，提供若干不变量及常见虚拟纽结不变量的计算算法。
An unknotting index for virtual knots
在本文中，我们介绍了一个unknotting指数的概念，虚拟结。给出了利用扭不变量进行计算的实例，并讨论了解结指数与虚纽结模之间的关系。特别地，我们证明了对于任意非负整数$n$，存在一个虚结，其解结指数为$(1,n)$.
Intersection formulas for parities on virtual knots
证明了虚纽结上的奇偶性来自纽结图弧上的不变1-圈。反过来，不变圈是由图的交叉点上的准指数确定的。发现奇偶校验和（准）指数之间的连接允许定义一系列新的奇偶校验虚拟结。
Flat-virtual knot: introduction and some invariants
该研究围绕从经典纽结到虚拟纽结的映射构建需求展开，定义了平坦虚拟纽结，得到了加厚环面中纽结到平坦虚拟纽结的系列映射，并给出了对应的类Alexander多项式与图像值Kauffman括号不变量。
Multivariate writhe polynomial of multi-virtual knots
将拧扭多项式不变量从虚拟纽结推广到多虚拟纽结，并解答了[16]中的若干问题。
An example of biquandle and an invariant of long virtual knots defined through it
本文引入双环面的一个例子，定义长虚拟纽结的不变量，并给出两个可交换长虚拟纽结的必要条件。
Virtual Links with Finite Medial Bikei
我们考虑的问题，其中虚拟结有有限的基本内侧bikei。我们描述并实现了一个算法，用于完成一个医疗bikei的表示矩阵的操作表，确定基数和同构类的基本医疗bikei，其中每个链接不变量。作为一个例子，我们计算的基本内侧bikei的所有主要虚拟结与多达四个经典的交叉中列出的结图集。
A note on longitudes of virtual knots
该研究指出经典纽结经度的换位子群性质可推广至虚拟纽结，为虚拟纽结的相关研究提供了新的结论
Virtual Knots and Links
本文是对虚纽结理论的一个介绍，并结合虚纽结的一些具体的新定理进行了讨论。新的结果如下：我们证明，使用3维拓扑方法，如果两个虚拟节点$K_{1}$和$K_{2}$的连接和是平凡的，那么$K_{1}$和$K_{2}$。我们建立了一个算法，使用Haken-Matveev技术，识别虚拟节点。本文既可作为导言，也可作为研究论文阅读。
Maps from knots in the cylinder to flat-virtual knots
在本文中，我们解决的问题是如何得到一个映射从结在圆柱体上和加厚环面上的一些（广义）虚拟结称为虚拟平坦结。主要的结构是在一个圆柱体（环面）上画一个图，并增加了一些“不可见”的交叉点，这些交叉点产生了一个可以正式浸入但不能嵌入（绘制）在圆柱体（环面）上的图，并舒适地生活在更高属的加厚表面上。这使得人们可以把虚理论的不变量“拉回”到加厚圆柱（环面）中的纽结理论，其中奇偶括号和其他图像值不变量不够强。
A polynomial invariant of virtual knots
本文的目的是介绍一个多项式不变的$f_K(t)$的虚拟节点。我们表明，$f_K(t)$可以用来区分一些虚拟结从它的逆和镜像。给出了$f_K(t)$在连通和下的性质.最后讨论了对于某些虚结点$K$，哪种多项式可以实现为$f_K(t)$.
A transcendental function invariant of virtual knots
在这项工作中，我们描述了一个新的不变量的虚拟结。证明了这种超越函数不变量推广了虚结点的几种多项式不变量，如扭多项式、仿射指数多项式和零多项式。
Arc shift number and region arc shift number for virtual knots
在本文中，我们制定了一个新的局部移动虚拟纽结图，称为弧移移动。此外，我们将其扩展到另一个本地移动称为区域弧移上定义的一个区域的虚拟结图。我们建立，这些弧移和区域弧移移动是unknotting操作显示，任何虚拟的结图可以变成平凡的结使用弧移（区域弧移）移动。在弧移移动和区域弧移移动的基础上，分别定义了弧移数和区域弧移数两个虚拟结点不变量。
Higher-order finite type invariants of classical and virtual knots and unknotting operations
瓦西里耶夫介绍了过滤不变量的结使用unknotting操作，称为交叉变化。Goussarov、Polyak和Viro介绍了虚结的其他过滤不变量，其阶称为GPV阶，使用称为虚拟化的解结操作。我们定义了其他过滤不变量，其顺序被称为$F$ -顺序，使用unknotting操作，称为禁止移动的虚拟结。本文证明了$F$ -阶$\le n+1$的虚纽结不变量集严格强于$F$ -阶$\le n$的虚纽结不变量集和GPV-阶$\le 2n+1$的虚纽结不变量集.为了得到这个结果，我们证明了$F$ -阶$\le n$的虚纽结不变量集合包含了GPV-阶$\le 2n+1$的每个Goussarov-Polyak-Viro不变量，这意味着$F$ -阶的虚纽结不变量集合是经典纽结和虚纽结的完全不变量.
Finite-Type Invariants of Order One for Framed Virtual Knots
A. Henrich证明了虚纽结的一阶普适有限型不变量的存在性。我们扩展的建设和她的论文的方法，以框架虚拟结。要做到这一点，我们介绍的概念，虚拟字符串和框架平面虚拟结的基础矩阵。
Writhe polynomials and shell moves for virtual knots and links
扭多项式是有向虚纽结的基本不变量。我们介绍了一种本地移动定向虚拟节点称为壳移动。本文的第一个目的是证明两个有向虚纽结具有相同的扭多项式当且仅当它们由一个有限序列壳移动相关。本文的第二个目的是分类定向$2$组件虚拟链接壳移动通过使用虚拟链接的几个不变量。
Meander diagrams of virtual knots
本文将经典纽结的（半）曲径图概念推广到虚拟纽结，证明其曲径图类的通用性，并引入虚拟k-弧交叉数这一新不变量，通过Manturov投影证明经典纽结的虚拟与经典k-弧交叉数相等。
New Invariants of Long Virtual Knots
本文将虚纽结不变量的构造推广到虚长纽结，并引入了虚长纽结的两个新的不变量模。描述了几个有趣的功能，区分虚拟长结从他们的经典同行就其对称性和级联产品。
Biquandles for Virtual Knots
本文研究了虚纽结的一个代数不变式--双量子。双量子推广了基本群和虚纽结量子。在本文中采取的方法biquandle强调理解其结构方面的组合物的态射，其中基本态射相关联的定向经典和虚拟交叉的图。
The Three Loop Isotopy and Framed Isotopy Invariants of Virtual Knots
本文介绍了两个虚拟的纽结理论“类比”的一个著名的家庭不变量的加厚曲面：Grishanov-Vassiliev有限型不变量的二阶。第一个称为三圈同痕不变量，是虚纽结的不变量，而第二个称为三圈框架同痕不变量，是框架虚纽结的正则同痕不变量。这些不变量的性质进行了研究的长度。此外，我们使“类比”的非正式概念精确化。利用这个形式定义，证明了广义三圈不变量是二阶Grishanov-Vassiliev不变量的推广的虚拟纽结理论模拟。
Kauffman-Harary conjecture for alternating virtual knots
1999年，Kauffman-Harary证明了具有素行列式$p$的约化交错纽结图的每一个非平凡Fox $p$ -染色都是异质的. 10年后，这个猜想被W.马特曼和P.索利斯。马修·威廉姆森将这个猜想推广到交替虚纽结，并证明了它的某些家庭的虚纽结。在本文中，我们使用W. Mattman和P. Solis对交错虚纽结的Kauffman-Harary猜想给出了肯定的回答。
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