Essential self-adjointness of a discrete magnetic Schödinger operator
Volodymyr Sushch
证明了二维欧几里得空间的组合模型空间中自下而上半有界离散磁薛定谔算子的本质自伴性。采用Dezin离散化方法构造离散模型。
We prove essential self-adjointness for a semibounded from below discrete magnetic Schrödinger operator in a space that represents a combinatorial model of the two-dimensional Euclidean space. The Dezin discretization scheme is used for constructing a discrete model.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Energy decay for a system of Schr{ö}dinger equations in a wave guide
我们证明了在波导中的两个薛定谔方程的系统的指数衰减，耦合和阻尼的边界。这依赖于相应的耦合薛定谔算子在一维截面上的谱分析。我们特别表明，我们有一个谱间隙，相应的广义本征函数形成一个Riesz基础。
Local energy decay and smoothing effect for the damped Schr{ö}dinger equation
我们证明了R^d上阻尼Schr{<$}dinger方程的局部能量衰减和光滑效应。自伴部分是与平坦度量的长程扰动相关联的拉普拉斯算子。证明是基于一致的预解式估计得到的耗散矩阵方法。所有的结果取决于我们所考虑的耗散的强度。
Low frequency asymptotics and local energy decay for the Schr{ö}dinger equation
我们证明了Schr{<$}dinger方程在渐近欧几里德背景下的低频预解式估计和局部能量衰减.更准确地说，我们超越了最优估计，通过比较扰动薛定谔算子的预解式与自由拉普拉斯算子的预解式。当谱参数接近于0时，这给出了发展这个预解式的首项。对于这一点，我们特别展示了如何将通常的预解式方法应用于广义预解式，同时应用于不同的算子。最后，我们推导出相应的演化问题的大时间渐近类似的结果。
Exponential decay for the Schr{ö}dinger equation on a dissipative waveguide
针对边界处处吸收却不满足几何控制条件的耗散波导，本文利用变量分离与横向算子特征函数的 Riesz 基性质，证明 Schrödinger 方程解呈指数衰减，并讨论负吸收指数情形。
Sharp essential self-adjointness of relativistic Schrödinger operators with a singular potential
研究了具有奇异齐次势的相对论性薛定谔算子的本质自伴性。从奇异项系数的一个显式条件出发，给出了本质自伴的一个充分和必要条件。
On the Limiting Absorption Principle for Schr{ö}dinger operators on waveguides
本文证明了管中Schr{<$}dinger算子关于嵌入欧氏空间中的无限曲线的极限吸收原理。该论点是基于共轭算子不同于通常用于这种情况下的膨胀生成元的Schr dinger理论，并允许证明奇异波导中Schr dinger算子的限制吸收原理。
On the Limiting Absorption Principle at zero energy for a new class of possibly non self-adjoint Schr{ö}dinger operators
我们回顾了一个适用于非自伴算子的Schr{<$}dinger理论，并将这个理论应用于具有非实位势的Schr{<$}dinger算子，使用不同类型的共轭算子.我们表明，一些共轭算子允许放宽条件的衍生物的潜力，需要到现在为止。
On time dependent Schr{ö}dinger equations: global well-posedness and growth of Sobolev norms
本文考虑了具有如下形式的不定常Schr{<$}dinger线性偏微分方程：i $\partial$ t $ψ$ = L（t）$ψ$，其中L（t）是连续的自伴算子族.我们给出了抽象Sobolev空间中演化的适定性和多项式增长的条件。若L（t）= H + V（t），其中V（t）是时间上的扰动光滑算子，H是一个自伴正算子，其谱可以被包含在距离不断增加的谱簇中，我们证明了解的Sobolev范数至多增长为tPDMATHABMO，当tPDMATHABMP $\infty$，对任何$ε$ \textgreater{} 0.如果V（t）在时间上是解析的，我们改进了（log t）$γ$的界，对于某些$γ$ \textgreater{} 0。证明遵循的战略，由于豪兰，乔伊和Nenciu，绝热近似的流动。我们恢复了大部分已知的结果，并对R上的单自由度Schr{<$}dinger算子和Zoll流形上的Schr{<$} dinger算子等几种模型得到了新的估计.
Global Existence and Uniqueness of Solutions to the Maxwell-Schr{ö}dinger Equations
在三维索伯列夫空间中研究了Maxwell-Schr{<$}dinger方程的时间局部和整体适定性.利用Koch型和Tzvetkov型的Kohartz估计得到了低k的索伯列夫空间中的解.其中一个主要的结果是，解决方案存在的时间全球大数据。
Approximate controllability in small times of bilinear Schr{ö}dinger equations with magnetic drift
研究双线性薛定谔方程的小时间近似可控性，其中漂移为磁薛定谔算子，控制为电势，在两种情形下证明了该性质。
Global Energy Solutions for Normalized Linear Stochastic Schr{ö}dinger Equations
本文研究马尔可夫开放量子系统中的非线性薛定谔方程，在能量空间中证明线性方程的全局适定性，并在放宽单调性假设下证明非线性SPDE解的不可区分性，最终通过路径唯一性和归一化建立非线性随机方程的适定性。
Self-adjointness via partial Hardy-like inequalities
从Schur补的正性（作为二次型）可以导出非半有界算子的特殊自伴扩张。在实际应用中，这相当于证明一个Hardy不等式。特殊情况下，Dirac-Coulomb算子的杰出的自伴扩展耦合常数的最佳范围内获得。
Global well-posedness for the defocusing, cubic nonlinear Schr{ö}dinger equation with initial data in a critical space
本文证明了临界索伯列夫空间中一类散焦三次非线性Schr{<$}dinger方程的整体适定性.
Comments on observability and stabilization of magnetic Schr{ö}dinger equations
我们主要的兴趣是将薛定谔方程的可观测性不等式和稳定性的已知结果推广到磁薛定谔方程.这是在磁势存在的情况下。在与Schr{<$}dinger方程相同的几何条件下，通过推广通常的乘子方法，建立了系统的能观性不等式和指数镇定.我们还证明，椭圆Carleman不等式的帮助下，对数稳定的结果，通过预解估计。虽然这种方法是经典的，但这些关于对数稳定化的结果即使对于薛定谔方程也是新的。
The Kato smoothing effect for Schr{ö}dinger equations with unbounded potentials in exterior domains
本文证明了在非陷波外区域上变系数Schr{<$}dinger方程解的光滑效应。我们允许无穷远处的二次势。
Growth of Sobolev norms for linear Schr{ö}dinger operators
我们给出了一个线性的，时间相关的，薛定谔算子的Sobolev范数的最佳增长的例子。的建设是明确的，并依赖于全面研究的线性最低朗道能级方程与时间相关的潜力。
Schr{ö}dinger maps to a K{ä}hler manifold in two dimensions
本文研究了Schrödinger映射到二维Kähler流形的全局存在性和散射性质，采用小初始数据和Besov空间方法进行证明。
A Liouville theorem for the Chern--Simons--Schr{ö}dinger equation
本文证明了Chern-Simons-Schr{<$}dinger方程的一个Liouville定理.这一结果是一致的孤子分辨率猜想的初始数据，不在于在一个加权空间。加权空间中的孤子分辨结果见[KKO 22]。
Scattering for the defocusing, cubic nonlinear Schr{ö}dinger equation with initial data in a critical space
本文证明了初始数据位于临界Besov空间的散焦非线性Schr{<$}dinger方程的散射。此外，我们得到多项式的散射大小的临界Besov范数的函数的界限。
Essential self-adjointness for semi-bounded magnetic Schrödinger operators on non-compact manifolds
证明了完备黎曼流形上的半有界下磁薛定谔算子的本质自伴性，其中给定的正光滑测度与度量无关.标量势的某些奇异性是允许的。这是Povzner-Wienholtz-Simader定理的推广。证明使用的方案Wienholtz，但需要一个完善的不变的分部积分法技术，以及使用一个家庭的截止函数是由一个非平凡的平滑过程，由于Karcher。
Rigidity for the non self-dual Chern--Simons--Schr{ö}dinger equation at the level of the soliton
本文在孤子层面为非自对偶 Chern–Simons–Schrödinger 方程的解建立了刚性结论。
On unique continuation for solutions of the Schr{ö}dinger equation on trees
我们证明了如果齐次树上的含时薛定谔方程的解在两个不同的时刻快速衰减，则该解是平凡的.对于自由薛定谔算子，我们利用Laplacian谱理论和复分析，得到了导致在任意时刻急剧衰减的初始条件的一个特征.然后，我们利用Colin de Verdi和Turc的紧支势的Schr dinger算子的谱分解，推广了我们在紧支势存在下的结果.最后，我们使用实变量的方法首先介绍了Escauriaza，Kenig，Ponce和Vega建立一个一般的尖锐的结果的情况下，有界的潜力。
On a stationary Schr{ö}dinger equation with periodic magnetic potential
利用临界值函数证明了具有周期磁势的定常Schr{<$}dinger方程在全空间上满足局部可积性条件的解的存在性.
Around plane waves solutions of the Schr{ö}dinger-Langevin equation
考虑了带阻尼的对数Schr{<$}dinger方程，也称为Schr{<$}dinger-Langevin方程.在周期区域上，该方程具有显式的平面波解。我们证明了这些解在Sobolev正则性下是渐近稳定的。在没有阻尼的情况下，我们证明了对于几乎所有的非线性参数值，当解接近于平面波时，这些解在任意长的时间内都是稳定的.我们还展示和讨论数值实验说明我们的结果。
A differential approach to the multi-marginal Schr{ö}dinger system
在$L^\infty$环境下，我们发展了一种初等的和自包含的微分方法，用于证明多边缘Schr{<$}dinger系统的适定性（存在性、唯一性和对数据的光滑依赖性），该系统是在最优输运问题的熵正则化中产生的.
Global well-posedness and scattering for the defocusing, energy -critical, nonlinear Schr{ö}dinger equation in the exterior of a convex obstacle when $d = 4$
本文证明了凸障碍物外区域上的能量临界非线性Schr{<$}dinger方程对于有限能量的初值是整体适定的和散射的.为了证明这一点，我们利用频率本地化的Morawetz估计适应外部域。
Some remarks on Schr{ö}dinger operators
我们考虑的问题是给定一个混合模型$F(γ) \rightarrow γ\rightarrow \tildeγ$和一个潜在的$\widehat{V}$使得$\log \widehat{V} \in L^{1}$，以确定一个运动$U$使得$F(U γ)=F(γ) + \widehat{V}$。
Stability of multi-solitons for the derivative nonlinear Schr{ö}dinger equation
具有导数立方非线性项的非线性Schr{<$}dinger方程存在一族孤子，这些孤子在能量空间中是轨道稳定的.本文在对组成孤子的速度和频率作适当假设的情况下，证明了多孤子组态在能量空间中的轨道稳定性。证明的主要成分是调制理论，能量的单调性和性质。
Littlewood-Paley-Stein functions for Hodge-de Rham and Schr{ö}dinger operators
研究了黎曼流形上与Hodge-de Rham和Schr{}dinger算子相关的Littlewood-Paley-Stein函数.在满足里奇曲率的条件下，我们证明了它们在Lp上的有界性，其中p在某个区间（p1，2]上，并与里斯变换相联系.一个重要的事实是，在这种情况下，我们不做加倍测度的假设或热核的估计。当p > 2时，给出了一个判别准则，证明了与Schr{<$}dinger算子相关的垂直Littlewood-Paley-Stein函数在Lp上的有界性.
Blow up of the solutions to a linear elliptic system involving Schr{ö}dinger operators
当$μ$趋于某个临界值时，我们证明了包含Schr{<$}dinger算子的$2\times2$线性系的解是如何爆破的，该临界值是系统的主特征值;这里的势函数是连续的正的，具有超二次增长，系统的方阵是常系数的，并且可能具有双特征值.
On The Cauchy Problem For A Derivative Nonlinear Schr{ö}Dinger Equation With Nonvanishing Boundary Conditions
本文研究了一类带非线性导数项的Schr{<$}dinger方程.我们的目标是开始研究这个方程的非零边界条件。得到了Zhidkov空间Xk（R）和$ϕ$ + Hk（R）中Cauchy问题的局部适定性.此外，我们还利用局部化函数证明了守恒律的存在性。最后，我们给出了Zhidkov空间上定态解的显式公式。
Modified scattering for the cubic Schr{ö}dinger equation on product spaces: the nonresonant case
我们考虑空间域$\mathbb{R}\times \mathbb{T}^d$上的三次非线性薛定谔方程，用卷积势对其进行扰动.利用最近的技术的Hani-Pausader-Tzvetkov-Visciglia，我们证明了修改的散射结果和构造修改的波算子，在一般的假设下的潜力。特别是，这使我们能够证明，这个非共振立方NLS的小解的Sobolev范数是渐近常数。
A sharper energy method for the localization of the support to some stationary Schr{ö}dinger equations with a singular nonlinearity
本文针对具有奇异非线性项的稳态 Schrödinger 方程，提出了一种更敏锐的能量方法，并据此证明了解的支集紧致性。
Global well-posedness and scattering for the defocusing, $L^{2}$-critical, nonlinear Schr{ö}dinger equation when $d \geq 3$
本文证明了$d$维散焦质量临界非线性Schr{<$}dinger初值问题对于$u_{0} \in L^{2}(\mathbf{R}^{d})$和$d \geq 3$是整体适定的和散射的.为了做到这一点，我们将证明一个类似于[10]中估计的频率局部相互作用Morawetz估计。由于我们考虑的是一个$L^{2}$临界初值问题，我们将局限于低频。
Global well-posedness and scattering for the defocusing, $L^{2}$-critical, nonlinear Schr{ö}dinger equation when $d = 2$
本文证明了$u_{0} \in L^{2}(\mathbf{R}^{2})$的散焦三次非线性Schr{<$}dinger初值问题是整体适定的和散射的.要做到这一点，我们将证明一个频率本地化的相互作用Morawetz估计类似的估计在\cite{CKSTT4}。由于我们考虑的是一个$L^{2}$临界初值问题，我们将局限于低频。
Global well-posedness for the cubic nonlinear Schr{ö}dinger equation with initial lying in $L^{p}$-based Sobolev spaces
在本文中，我们继续我们的研究[DSS 20]的非线性薛定谔方程（NLS）与有界的初始数据不消失在无穷远。证明了$\mathbb{R}$的局部适定性。在这里，我们证明了全球适定性的一维NLS与初始数据躺在$L^{p}$的任何$2 < p < \infty$，提供的初始数据是足够光滑的。我们没有使用三次非线性薛定谔方程的完全可积性。
Smoothing effect and quantum-classical correspondence for the Schr{ö}dinger equation with confining potential
本文研究具次二次约束势的 Schrödinger 方程，证明其解的局部平滑效应等价于对应经典流的逃逸率估计，并借助 Egorov 定理建立量子-经典对应。
Stability estimate for an inverse problem for the Schr{ö}dinger equation in a magnetic field with time-dependent coefficient
本文研究了由边界观测确定薛定谔方程中磁场和不定常电势的反问题的稳定性问题。我们证明在3维或更大的，Dicrichlet-诺依曼映射的知识稳定地确定磁场和电势。
Local dispersive and Strichartz estimates for the Schr{ö}dinger operator on the Heisenberg group
H. Bahouri，P. G{é}rard and C. J. Xu在[9]中指出，海森堡群$\mathbb{H}^d$上的薛定谔方程，包括次拉普拉斯算子，是完全非色散发展方程的一个例子：由于这个原因，全局色散估计不能成立。通过对$\mathbb{H}^d$上的Schr{<$}dinger核$S_t$的精细研究，建立了线性Schr{<$} dinger方程在$\mathbb{H}^d$上的局部色散估计.通过几个例子，这些估计的锐度进行了讨论。我们的方法是基于B. Gaveau在[20]中的方法是通过结合复分析和傅里叶-海森堡工具实现的。作为我们的结果的一个副产品，我们建立了本地的Eschhartz估计，并证明了核$S_t$集中在量化的水平超平面的$\mathbb{H}^d$。
Exponential stability of solutions to the Schr{ö}dinger-Poisson equation
本研究证明了无外参数圆周上Gevrey类薛定谔-泊松方程小解的指数稳定性，给出了最优时间量级，验证了Bourgain的相关猜想。
Bilinear Strichartz estimates for the Schr{ö}dinger map problem
本文在临界Schihartz空间$| |\nabla|^{\frac{d - 2}{2}} ψ_{x} |_{L_{t,x}^{\frac{2(d + 2)}{d}}}$中证明了小尺寸Schr{<$}dinger映射问题解的双线性Schihartz估计.这些估计将有助于在即将发表的论文中证明局部适定性结果。双线性估计使用了一个类似于Planchon和Vega（2009）中的论点。我们使用与Bejenaru，Ionescu和Kenig（2007），Bejenaru等人（2011）和Smith相同的量规。
A nonlinear Schr{ö}dinger equation with fractional noise
研究了空间维数小于3的具有二次非线性项和时空分数阶扰动的随机薛定谔方程.当Hurst指数足够大时，我们用经典的方法证明了问题的局部适定性。然而，对于一个小的赫斯特指数，即使是方程的解释也需要一些照顾。在这种情况下，重整化过程必须进入画面，导致模型的威克型解释。我们的不动点论证涉及到薛定谔群的一些特殊的正则化性质，这使我们能够处理解的强不规则性。
Growth of Sobolev norms and strong convergence for the discrete nonlinear Schr{ö}dinger equation
本文证明了无限格上离散非线性Schrödinger方程的解在任意Sobolev范数下强收敛于全空间连续方程的解，核心方法依赖Shannon插值的双线性估计与离散Sobolev范数增长控制。
The logarithmic Schr{ö}dinger equation with spatial white noise on the full space
本文研究全空间上带乘性空间白噪声的对数薛定谔方程，因非线性无法用正则结构等方法，借助指数变换求解，适用于d≤2。
On a nonlinear Schr{ö}dinger equation for nucleons in one space dimension
研究了一维非线性薛定谔方程在描述原子核内的粒子时的性质.对于各种非线性，基态进行了讨论，并给出了明确的形式。通过扰动基态的时间演化数值研究了它们的稳定性。在一般局域化初始数据的时间演化中，它们表现为某些情况下的长时间行为。
Finite time extinction for a damped nonlinear Schr{ö}dinger equation in the whole space
我们考虑一个在全空间中的非线性薛定谔方程组，它具有一个相互作用幂和一个外部源.我们首先建立的解决方案的存在性和唯一性，然后显示，在低空间维，解决方案消失在有限的时间。在初始数据小的假设和对外部源的一些适当的附加假设下，我们还证明了我们可以选择解消失的时间的上界。
Long time well-posedness and wave turbulence limit for a quadratic non-lienar Schr{ö}dinger equation with well prepared random initial data
本文证明二次非线性薛定谔方程在随机初始数据下的长时适定性，并在高维情形推导波动力学方程，方法基于Deng和Hani的思想。
Spatial decay of multi-solitons of the generalized Korteweg-de Vries and nonlinear Schr{ö}dinger equations
研究了广义Korteweg-de Vries方程多孤子的逐点空间衰减。我们得到，在时间上一致，这些解决方案和他们的衍生物在空间中的孤子区域的左边和指数衰减，并证明快速衰减的孤子的权利。我们还证明了非线性薛定谔方程的多孤子的相应结果，即在孤子区域内是指数衰减的，而在孤子区域外是快速衰减的.
Spectral Inequalities for the Schr{ö}dinger operator
在本文中，我们处理所谓的“谱不等式”，它产生了一个尖锐的量化的唯一延续的谱族与薛定谔算子在$ \mathbb{R}^d$ \begin{equation*} H_{g,V} = Δ_g + V(x), \end{equation*}其中$Δ_g$是拉普拉斯-贝尔特拉米算子关于一个解析度量$g$，这是一个扰动的欧几里德度量，和$V(x)$一个实值解析潜力消失在无穷远。
Some nonexistence results for space-time fractional Schr{ö}dinger equations without gauge invariance
本文考虑了具有分数阶导数的半线性薛定谔方程在$\mathbb{R}^N$，$N\geq1$中的Cauchy问题.在一定的初值和非线性项条件下，讨论了次临界和临界情形下整体$L^1$或$L^2$弱解的不存在性.进一步研究了超临界情形下局部$L^1$或$L^2$弱解的不存在性.
Global well--posedness for the mass--critical nonlinear Schr{ö}dinger equation on $\mathbb{T}$
本文证明环面上五次非线性薛定谔方程在 $H^s(\mathbb{T})$ ($s>1/3$) 初值下的全局适定性，改进了此前 $s>2/5$ 的最佳结果。
Self-adjointness of non-semibounded covariant Schrödinger operators on Riemannian manifolds
在测地完备黎曼流形$M$的背景下，我们研究了$\nabla^{\dagger}\nabla+V$的自伴性，其中$\nabla$是度量协变导数（具有形式伴随$\nabla^{\dagger}$），并且$V$是$\textrm{End }\mathcal{V}$的局部平方可积部分，使得“负”部分PDMATHAMT的（纤维方向）范数属于局部Kato类（或者更一般地，局部收缩Dynkin类）。而不是下半有界性假设，我们假设存在一个数$\varepsilon \in [0,1]$和一个正函数$q$的$M$满足一定的增长条件，使$\varepsilon \nabla^{\dagger}\nabla+V\geq -q$，在二次型意义上的不等式被理解为$C_{c}^{\infty}(\mathcal{V})$。在第一个结果中，它属于情况$ε\in [0,1)$，我们使用椭圆方程方法。在第二个结果中，它属于情况$\varepsilon=1$，我们使用双曲方程方法。
The Cauchy problem for logarithmic Schr{ö}dinger equation with a perturbation of power law nonlinearity
研究带对数与多项式增长非线性项的薛定谔方程柯西问题，在次临界情形构造能量空间解，并讨论临界情形的全局存在条件及更一般的柯西理论。
Observability of the Schr{ö}dinger equation with subquadratic confining potential in the Euclidean space
本文研究至多二次增长约束势下 Schrödinger 方程的能观性，利用半经典分析刻画满足正则性的观测开集，并估计最优观测时间。
Bounds on the growth of high discrete Sobolev norms for the cubic discrete nonlinear Schr{ö}dinger equations on $h\mathbb{Z}$
本文研究了一维网格中具有立方聚焦或反聚焦非线性的离散非线性薛定谔方程，证明了离散Sobolev范数增长的多项式界，并基于更高修改能量的构造。
Solutions with expanding compact support of saturated Schr{ö}dinger equations: self-similar solutions
本文研究带饱和非线性项的薛定谔方程，利用自相似解方法证明了存在具有紧支集且按 \\(C\sqrt{t}\\) 规律扩张的解。
Dispersion for the Schr{ö}dinger equation on the line with short-range array of delta potentials
研究一维Schrödinger方程在直线上的色散性质，考虑由短程delta势阵列扰动得到的自共轭算子，建立L^1(R)→L^∞(R)色散估计。
Existence of modified wave operators and infinite cascade result for a half wave Schr{ö}dinger equation on the plane
考虑平面$\mathbb{R}_x \times \mathbb{R}_y$上的半波薛定谔方程$$\left(i \partial_{t}+\partial_{x }^2-\left|D_{y}\right|\right) U=|U|^{2} U$$.证明了该方程的小衰减解与非手征三次\H o方程的小衰减解之间的修正波算子的存在性，这与H. Xu [16].然后，我们结合我们的修改波算子的结果与最近的级联结果[7]的立方\H o方程的P. G{é}rard和A。Pushnitski推导出了半波薛定谔方程存在解$U$，使得当$t \rightarrow +\infty$时，$\|U(t)\|_{L_{x}^{2} H_{y}^{1}}$趋于无穷大.结果表明，平面上的半波Schr{<$}dinger方程是极少数具有小而光滑的数据的色散方程之一，当$t$趋于无穷大时，$H^s$范数趋于无穷大.
Variational properties of space-periodic standing waves of nonlinear Schr{ö}dinger equations with general nonlinearities
本文研究一般非线性薛定谔方程空间周期驻波的变分刻画，通过固定质量与动量最小化能量及在Nehari流形上最小化作用量，并讨论周期、反周期及聚焦、散焦情形。
Global well-posedness and scattering for the mass critical nonlinear Schr{ö}dinger equation with mass below the mass of the ground state
本文证明了聚焦的$d$维质量临界非线性Schr{<$}dinger初值问题对于$u_{0} \in L^{2}(\mathbf{R}^{d})$，$\| u_{0} \|_{L^{2}(\mathbf{R}^{d})} < \| Q \|_{L^{2}(\mathbf{R}^{d})}$（其中$Q$为基态）和$d \geq 1$是整体适定的和散射的.我们首先建立了一个相互作用的Morawetz估计是正定时，$\| u_{0} \|_{L^{2}(\mathbf{R}^{d})} < \| Q \|_{L^{2}(\mathbf{R}^{d})}$，并有适当的缩放。接下来，我们将证明一个频率局部化的相互作用Morawetz估计类似的估计在\cite{D2}，\cite{D3}，\cite{D4}。另见\cite{CKSTT4}，了解能量临界情况。由于我们考虑的是一个$L^{2}$临界初值问题，我们将局限于低频。
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