Mixed type surfaces with bounded Gaussian curvature in three-dimensional Lorentzian manifolds
混合型曲面是洛伦兹三维流形中具有非空类空点集和类时点集的连通正则曲面。混合型曲面的诱导度量是一个特征变换度量，其类光点可看作是这类度量的奇点。本文研究了混合型曲面在非退化类光点处的高斯曲率的性质。为了刻画高斯曲率在非退化类光点上的有界性，我们引入了几个沿非退化类光点的基本不变量，如类光点的奇异曲率和类光点的法曲率.利用Pelletier和Steller的结果，得到了混合型曲面的Gauss-Bonnet型公式.
2019-11-23 math.DG
Behavior of Gauss curvatures and mean curvatures of Lightcone framed surfaces in the Lorentz-Minkowski 3-space
本文研究Lorentz-Minkowski 3-空间中光锥框架曲面的微分几何性质，引入修正标架工具，揭示了该类曲面在类光点和奇异点处高斯曲率与平均曲率的行为。
2025-10-28 math.DG
The axisymmetric $σ_k$-Nirenberg problem
研究了轴对称下标准球面$\mathbb{S}^n$上共形度量的$σ_k$ -曲率问题，给出了$2 \leq k < n/2$和$n \geq 5$.根据给定曲率函数$K$在南极和北极附近的行为证明了紧性、非紧性、存在性和不存在性。例如，考虑北极和南极是平坦度阶数为$β\in [2,n)$的$K$的局部最大点的情况。除其他外，我们证明以下陈述。(1)当$β>n-2k$时，解集是紧的，具有非零的总度计数，因此是非空的。(2)当$ β= n-2k$时，存在与$K$相关的显式正常数$C(K)$。如果是$C(K)>1$，则解集是紧的，总度计数为非零，因此是非空的。如果$C(K)<1$，则解集是紧的，但总度计数是$0$，并且解集有时为空，有时为非空。(3)当$\frac{2}{n-2k}\le β< n-2k$时，解集是紧的，但总度计数为零，解集有时为空，有时为非空。(4)当$β< \frac{n-2k}{2}$时，存在$K$，且存在能量无界的解的爆破序列。在这个相同的$β$范围内，也存在一些解集为空的$K$。
2021-06-08 math.AP math.DG
Equivariant $3$-manifolds with positive scalar curvature
本文证明了对于任意紧李群$G$，在任意闭三元流形上，具有正数量曲率的$G$不变黎曼度量空间（PSC）是空的或可收缩的.特别地，我们证明了广义Smale猜想的球面三orbifolds。此外，对于连通的$G$，我们对所有的PSC $G$ -不变三维流形进行了分类.
2022-04-20 math.DG math.GT
Generalized von Mangoldt surfaces of revolution and asymmetric two-spheres of revolution with simple cut locus structure
众所周知，如果高斯曲率函数沿着旋转表面$(R^2, dr^2+m(r)^2dθ^2)$上的每个子午线减小，则$θ^{-1}(0)$的每个点的割迹是空的或者是相对子午线$θ^{-1}(π).$的子弧。这样的表面被称为冯曼戈尔德旋转表面。旋转曲面$(R^2, dr^2+m(r)^2dθ^2)$称为广义冯曼戈尔特旋转曲面，如果$θ^{-1}(0)$的每个点的割迹是空的或相反子午线$θ^{-1}(π).$的子弧。例如，旋转曲面$(R^2, dr^2+m_0(r)^2dθ^2),$，其中$m_0(x):=x/(1+x^2),$具有与上述相同的割迹结构，并且$r^{-1}( (0, \infty ) )$中每个点的割迹是非空的。请注意，高斯曲率函数不会沿此曲面的子午线减小。本文给出了旋转曲面$(R^2, dr^2+m(r)^2dθ^2)$是广义vonMangoldt旋转曲面的充分条件。证明了对任意有限总曲率旋转曲面$c,$，存在一个具有相同总曲率$c$的广义von Mangoldt旋转曲面，使得沿子午线的高斯曲率函数在$[a,\infty)$上不单调，对任意$a>0.$
2022-08-11 math.DG
Existence and Non-Existence of Constant Scalar Curvature and Extremal Sasaki Metrics
本文研究Sasaki度量的常数量曲率与极值度量的存在性，证明特定流形上存在CSC Sasaki度量，并给出极值Sasaki-Reeb锥不连通或为空的例子，同时回答一个开放问题，并附录探讨加权数量曲率Kähler度量的存在性。
2023-06-27 math.DG
Area-stationary surfaces inside the sub-Riemannian three-sphere
我们考虑由曲率为1的黎曼度量限制到与Hopf向量场正交的平面分布所提供的$\mathbb{S}^3$上的次黎曼度量$g_{h}$。我们计算的测地线与卡诺Carathéodory距离，我们表明，根据其曲率，它们是封闭的或密集的克利福德环面的子集。我们在$(\mathbb{S}^3,g_{h})$中研究了带或不带体积约束的面积平稳曲面。利用[RR]中的思想和技巧，我们引入了变分的中曲率的概念，刻画了平稳曲面，并证明了具有非空奇异集的完全保体积面积平稳曲面的分类结果.我们还使用的Carnot-Carathéodory测地线的行为和统治财产的恒定中曲率曲面表明，只有$C^2$紧凑，连接，嵌入表面在$(\mathbb{S}^3,g_{h})$与空奇异集和恒定中曲率$H$，使$H/\sqrt{1+H^2}$是一个无理数，Clifford托里。最后我们描述了$(\mathbb{S}^3,g_{h})$中具有常中曲率的完备旋转不变曲面。
2006-08-02 math.DG math.MG
On the discrete spectrum of quantum layers
考虑一个量子粒子被困在一个恒定宽度的弯曲层之间，该弯曲层建立在一个完整的、非紧凑的、嵌入$\mathbb{R}^3$中的$\mathcal C^2$光滑表面上。我们假设曲面是渐近平坦的，在这个意义上，第二基本型在无穷远处为零，并且曲面不是全测地线。这种几何设置被称为量子层。我们认为量子粒子是由作为哈密顿量的Dirichlet Laplacian控制的。我们的工作涉及能量低于本质谱的束缚态的存在，这意味着存在离散谱。我们首先证明了如果高斯曲率是可积的，并且曲面是弱$κ$ -抛物的，则离散谱是非空的。这个结果意味着如果总高斯曲率是非正的，则离散谱是非空的。我们接下来证明，如果高斯曲率是非负的，那么离散谱是非空的。最后，我们证明了，如果表面是抛物面，那么离散谱是非空的，如果层是足够薄的。
2012-11-16 math-ph math.DG math.MP
Isoparametric functions and solutions of Yamabe type equations on manifolds with boundary
设$(M,g)$是具有非空边界的紧致黎曼流形.若$f$是$(M,g)$的等参函数，我们证明了Yamabe方程沿$f$的水平集为常数的正解的存在性.如果$(M,g)$具有正的常数量曲率，极小边界和容许等参函数，我们还证明了Yamabe方程在$(M \times N,g+th) $上正解的多重性结果，其中$(N,h)$是任意具有正的常数量曲率的闭黎曼流形.
2022-11-28 math.DG
The Area Blow Up set for bounded mean curvature submanifolds with respect to elliptic surface energy functionals
本文研究了一类光滑余维1流形序列的“面积爆破”集，其关于各向异性积分的一阶变分是有界的。遵循White在（J.Differential Geom.，2016），我们表明，这一套有界（各向异性）中曲率的粘性意义。特别是，这允许在各种情况下显示集合为空。因此，我们给出了二维稳定各向异性极小曲面的边界曲率估计，推广了（Invent.数学，1987年）。
2019-01-11 math.AP math.DG
Compact stable surfaces with constant mean curvature in Killing submersions
一个Killing浸没是从一个三维流形到一个曲面的黎曼浸没，它既连通又可定向，其纤维是一个Killing向量场的积分曲线，不一定是幺正的。本文的第一部分讨论了用两个几何函数，即丛曲率和Killing向量场的长度，对所有Killing淹没进行分类，这两个几何函数可以任意给定。在第二部分中，我们证明了，如果基地是紧凑的和淹没承认一个整体瓣，那么它也承认一个全球性的最小部分。这些原来是唯一的整体瓣与恒定的中曲率，解决了伯恩斯坦问题的Killing淹没在紧凑的基础表面，以及高原问题与空边界。最后，证明了浸入Killing浸入的全空间中的任何具有常中曲率的紧致可定向稳定曲面，必是整极小截面或处处切于Killing方向.
2016-04-02 math.DG
Stochastic half-space theorems for minimal surfaces and $H$-surfaces of $\mathbb{R}^{3}$
证明了$\mathbb{R}^{3}_{\raisepunct{.}}$的递归极小曲面类与有界曲率完备极小曲面类之间的强半空间定理，并证明了只要$\mathbb{R}^{3}_{\raisepunct{.}}$是一个有$\text{Ric}_M \geq 0$的完备递归$n$维黎曼流形且其截面曲率自上而下有界，则$\mathbb{R}^{3}_{\raisepunct{.}}$中任何有界曲率浸入的极小超曲面都等于某个$M\times \{s\}$.对于$H$ -曲面，我们证明了当$\sup \vert H_{_M}\vert < H$或当$\sup \vert H_{_M}\vert = H$时，随机完备曲面$M$不可能在嵌入$\R^3$的具有有界曲率的$H$ -曲面${\rm dist}(M,N)=0$的平均凸边中.最后，在$M$具有非空边界的假设下，给出了无穷远处的极大值原理。
2021-04-04 math.DG
Blow Up of Compact Mean Curvature Flow Solutions with Bounded Mean Curvature
本文沿用Velázquez、Guo、Sesum和Stolarski的论证方法，在$\mathbb{R}^n$（$n\geq 8$）中构造了具平均曲率有界的紧致平均曲率流解。
2024-03-25 math.AP math.DG
Prescribed Scalar Curvature Problem under Conformal Deformation of A Riemannian Metric with Dirichlet Boundary Condition
本文首先证明了对于所有具有非空光滑边界且维数至少为3的紧致黎曼流形，存在一个度量，它逐点共形于原度量，内部具有常数数量曲率，边界上也具有常数数量曲率，并将边界看作是它自己的维数至少为2的流形.然后，我们显示了一系列规定的数量曲率的结果，在内部和边界上，逐点保形变形。这类结果既是Kazdan和Warner的“三分定理”在不同类型流形上的类比和推广。这类问题的关键是求一个带Dirichlet边界条件的Yamabe方程的正的光滑解。
2022-08-24 math.AP math.DG
Calabi-Yau domains in three manifolds
本文证明了：给定任何具有边界M的紧致黎曼3-流形，存在包含在M中的光滑真嵌入单流形G，G的每个分支是一条简单闭曲线，使得区域D=Int（M）-G不允许任何具有至少一个环端、有界中曲率、紧致边界（可能为空）和完全诱导黎曼度量的真嵌入开曲面.
2009-06-25 math.DG
Volume-preserving mean curvature flow of revolution hypersurfaces in a Rotationally Symmetric Space
在围绕轴旋转对称的环境空间（包括双曲空间和欧几里得空间）中，研究了旋转超曲面M在保体积中曲率流下的演化，该超曲面M由围绕旋转轴的图生成，其边界在两个全测地超曲面（简称tgh）中.本文证明了：a）当M_t不接触旋转轴时，流动存在，b）在存在的整个时间间隔内，b1）M_t的母曲线保持为图，b2）平均中曲率为正常数的双边有界; d）在M的n-体积与封闭体积相联系的适当假设下，我们获得了长时间存在性，并收敛到一个具有常中曲率的旋转超曲面.
2008-03-26 math.DG
Subsequent singularities of mean convex mean curvature flows in smooth manifolds
本文证明在光滑流形中，若平均曲率流收敛到光滑超曲面，则其所有奇点均为圆柱型，推广了此前对维数或首奇点时刻的限制。
2016-01-05 math.AP math.DG math.GT
Positive scalar curvature on manifolds with boundary and their doubles
本文研究了紧致带边界流形上正数量曲率度量的边界条件与其加倍流形正数量曲率问题之间的关系，在某些情形下给出了完整回答。
2022-05-25 math.AT math.DG math.KT
Torus manifolds and non-negative curvature
一个环面流形$M$是一个$2n$维可定向流形，它具有一个$n$维环面的有效作用，使得$M^T\neq \emptyset$ .本文讨论了容许非负曲率不变度量的环面流形的分类。如果$M$是一个单连通的环面流形，它允许这样一个度量，那么$M$是一个自由线性环面作用在球面积上的商的同构。利用$H^{\text{odd}}(M;\mathbb{Z})=0$ up同胚对椭圆环面流形$M$进行了有理分类.
2015-02-27 math.DG math.GT
Prescribed mean curvature hypersurfaces in conformal product manifolds
College of Mathematics and Statistics, Chongqing University（重庆大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, Shenzhen University（深圳大学数学科学学院）
本文在 conformal product manifolds 中研究 prescribed mean curvature 超曲面的存在性，扩展了 Gerhardt 的工作，并获得高维 PMC Plateau 问题的新解。
2026-03-28 math.AP math.DG
Existence of Positive Scalar Curvature and Positive Yamabe constant on Hypersurfaces of Noncompact Cylinders
本文研究非紧圆柱超曲面上的正标量曲率与正 Yamabe 常数，利用 $g$-角度条件及度量的有界几何或有界曲率，将圆柱上的相应正性传递到截面流形。
2025-09-28 math.DG
Strongly stable surfaces in sub-Riemannian $3$-space forms
在一个次黎曼$3$ -流形中，一个常平均曲率（CMC）等于$H$的曲面是强稳定的，如果它最小化泛函$\text{area}+2H\,\text{volume}$直到二阶。本文得到了Sasakian $3$ -流形中曲面强稳定性的一些判据。通过研究含有垂直线的$3$-空间型，我们给出了次黎曼$3$ -空间型中具有空奇异集的$C^1$完备CMC曲面的新例子。因此，我们能够在次黎曼双曲$3$ -空间$\mathbb{M}(-1)$中找到具有空奇异集的完全强稳定非垂直曲面。针对$\mathbb{M}(-1)$中的Bernstein问题，我们发现了$\mathbb{M}(-1)$中不同于垂直平面的强稳定$C^\infty$整极小图.这些例子与第一海森堡群中的情形形成鲜明对比，在第一海森堡群中，具有空奇异集的完全强稳定曲面是垂直平面。最后，我们分析了次黎曼$3$ -空间型中$C^2$类CMC曲面和非空奇异集的强稳定性。当这些表面有孤立奇点，我们推导出他们的强稳定性，甚至对奇异集移动的变化。
2016-10-14 math.DG math.MG
An extension of Perelman's soul theorem for singular spaces
本文研究具有非负曲率的开完全度量空间。其中，我们建立了Perelman灵魂定理在可能奇异空间中的推广：“设X是一个完备的、非紧的、有限维的Alexandrov空间，具有非负曲率。设X在非空开子集上无边界且有正曲率。则X一定是一个可缩空间“。这个结果的证明使用了距离函数和Busemann函数在具有非负曲率的奇异空间上的性质的详细分析。我们将引入一类角过剩函数来度量奇异空间中凸超曲面的凸性和外曲率。我们还得到了一个新的比较，在非负弯曲的空间，这导致了我们的新的灵魂定理的证明所需的凸性估计。
2010-06-09 math.DG math.GT
The spherical image of singular varieties of bounded mean curvature
本文讨论粘性意义下有界中曲率的奇异簇。它们包含有界广义中曲率的所有变分。在第一部分中，我们调查这些品种的二阶属性，获得的结果也是新的varifold的设置。特别地，我们证明了这些簇的广义法丛满足一个自然的Lusin（N）条件，从而推广了光滑簇的Gauss映射的经典Coarea公式，并为所有有界中曲率的积分变倍引入了第二基本型的自然定义，其迹等于广义变倍中曲率.在第二部分中，我们利用这一机制将Almgren的一个尖锐的几何不等式推广到粘性意义下有界中曲率的所有紧簇，并刻画了等式的情形。作为结果，我们制定充分条件，得出结论，面积爆破集是空的变量序列的一阶变分的控制。
2020-03-02 math.AP math.DG
On a class of immersions of spheres into space forms of nonpositive curvature
设$ M^{n+1} $（$ n \ge 2 $）是截面曲率$ -κ^2 $的单连通空间形式，对于某些$ κ\geq 0 $，$ I $是其内部不包含$ [-κ,κ] $的区间.众所周知，主曲率位于$ I $中的$ M $的闭合浸入超曲面的域必须与球面$ S^n $微分同胚。因此这些超曲面是拓扑刚性的。本文的目的是证明它们也是同伦刚性的。更准确地说，对于固定的$ I $，所有此类闭超曲面的空间$ \mathscr{F} $要么是空的，要么弱同伦等价于$ S^n $的保持方向的微分同胚群。等价性为$ \mathscr{F} $的每个元素分配其高斯映射的适当修改。对于非单连通的$ M $，$ \mathscr{F} $是$ M $的泛覆盖的相应超曲面空间与$ M $的基本群的自然自由真作用的商。
2018-07-31 math.DG math.GT
A fully nonlinear flow for two-convex hypersurfaces
考虑一类单参数的闭嵌入超曲面族$G_κ= \big ( \sum_{i < j} \frac{1}{λ_i+λ_j-2κ} \big )^{-1}$，其中$λ_1 \leq \hdots \leq λ_n$表示曲率特征值，$κ$是非负常数.这就定义了一个完全非线性的抛物型方程，条件是$λ_1+λ_2>2κ$。与平均曲率流相反，该流在一般环境流形中保持条件$λ_1+λ_2>2κ$。在本文中，我们的主要目标是将手术算法的Huisken-Sinestrari这个完全非线性流。这是第一次构造这种完全非线性流。作为推论，我们证明了满足$\overline{R}_{1313}+\overline{R}_{2323} \geq -2κ^2$的紧致黎曼流形与满足$λ_1+λ_2 > 2κ$的非空边界是同构于$1$ -流形体的.主要的技术进步是逐点曲率导数估计。这个估计的证明需要一个新的参数，因为现有的平均曲率流的技术由于Huisken-Sinestrari，Haslhofer-Kleiner和Brian White不能推广到完全非线性设置。为了建立这个估计，我们采用了归纳尺度的论点，这依赖于几个成分的组合，包括几乎凸估计，内接半径估计，以及径向图的正则性结果。我们希望这种技术在其他情况下也能派上用场。
2017-05-07 math.DG
Locally Conformally Flat Manifolds with Positive Scalar Curvature: Kleinian Groups, Moduli Spaces, and Euclidean Rigidity
该研究探讨具正标量曲率的局部共形平坦流形，通过克莱因群等工具得到宏观维数、同伦群等约束，证明三维相关空间可缩性，构造了不满足欧氏刚性的反例。
2026-09-03 math.DG
Heat kernel bounds and Ricci curvature for Lipschitz manifolds
给定任何具有热核$\mathsf{p}$的$d$维Lipschitz黎曼流形$(M,g)$，我们建立了$\mathsf{p}$在空间和时间上总是解耦的一致上界.更准确地说，我们证明了存在一个常数$C>0$和一个有界Lipschitz函数$R\colon M \to (0,\infty)$，使得对于每个$x\in M$和每个$t>0$，\begin{align*} \sup_{y\in M} \mathsf{p}(t,x,y) \leq C\min\{t, R^2(x)\}^{-d/2}. \end{align*}这使我们能够确定合适的加权Lebesgue空间w.r.t.将给定的体积测量作为由$(M,g)$诱导的Kato类的子集。在$\partial M \neq \emptyset$的情况下，我们也提供了一个类似的包含勒贝格空间w.r.t.在$\partial M$上测量表面。我们使用这些见解，给出充分条件的可能不完整的Lipschitz黎曼流形被驯服，即承认一个测度值下界的里奇曲率，制定在综合意义上。
2021-11-24 math.AP math.DG math.PR
Non-existence of eternal solutions to Lagrangian mean curvature flow with non-negative Ricci curvature
本文给出了复欧几里得空间中几乎标定拉格朗日中曲率流永恒解（包括平移解）的中曲率估计.因此，我们证明了几乎校准拉格朗日中曲率流的永恒解的不存在性。
2018-10-06 math.DG
Curvature estimates of ancient solutions to the mean curvature flow of higher codimension with convex Gauss image
本文通过进行精细的曲率估计，在各种高斯像限制条件下，证明了高余维平均曲率流完备非紧古老解的更好刚性定理。
2023-11-21 math.DG
The Boundary Yamabe Problem, II: General Constant Mean Curvature Case
本文利用迭代格式和摄动方法完全解决了Han-Li猜想，即具有非空光滑边界的紧致流形$ (M, \partial M, g) $上具有给定常数量曲率和常中曲率的一般边界Yamabe问题，$ \dim M \geqslant 3 $ .等价于证明了$ -\frac{4(n -1)}{n - 2} Δ_{g} u + R_{g} u = λu^{\frac{n+2}{n - 2}} $在$ M $中的实正光滑解的存在性，$ \frac{\partial u}{\partial ν} + \frac{n-2}{2} h_{g} u = \frac{n-2}{2} ζu^{\frac{n}{n - 2}} $在$ \partial M $上具有某些常数$ λ, ζ\in \mathbb{R} $。在满足齐次Robin条件的共形拉普拉斯算子的第一特征值$ η_{1} $的符号的情况下，求解了边值Yamabe问题.纯量曲率$ R_{g} $和中曲率$ h_{g} $的符号在该存在性结果中发挥了重要作用。与经典方法相比，外尔张量和边界点的分类在证明中没有作用。此外，该方法不具有尺寸特异性。关键步骤包括非线性椭圆型偏微分方程和非线性边界条件的新单调迭代格式，扰动共形Laplacian算子的引入，构造光滑超解的精细胶合技巧和局部Yamabe型方程解的存在性.
2023-02-20 math.AP math.DG
Ricci flow and contractibility of spaces of metrics
证明了任意三维流形上具有正数量曲率的度量空间要么是空的，要么是可收缩的。其次，我们证明了每一个三维球面空间形式的同构群在形变收缩核后都收缩到它的等距群。这证明了广义Smale猜想。我们的论证在$S^3$情形下独立于Hatcher定理，特别是对$S^3$情形给出了一个新的证明.
2019-09-18 math.AP math.DG math.GT
The inhomogeneous Allen--Cahn equation and the existence of prescribed-mean-curvature hypersurfaces
证明了对任意给定的维数为$n+1 \geq 3$的紧致黎曼流形$N$和$N$上的任意非负Lipschitz函数$g$，存在一个$C^{2, α}$类的拟嵌入无边界超曲面$M \subset N,$，使得$M$是一个双侧浸入的像，其平均曲率由$gν$给出，对于任意的$α\in (0,1),$，对于浸入的连续单位法$ν$的适当选择;而且，如果$2 \leq n \leq 6,$是有限的，则奇异集$Σ= \overline{M} \setminus M$是空的，如果$n=7$，并且对于每个$γ>0$，如果$n \geq 8$，则奇异集$Σ= \overline{M} \setminus M$满足${\mathcal H}^{n-7 + γ}(Σ) = 0$。这里，准嵌入意味着在每个非嵌入点附近，$M$是两个嵌入的$C^{2, α}$盘的联合，每个盘切向相交，每个盘位于另一侧。如果$g >0$，则$\overline{M}$是Caccioppoli集的边界。我们证明这个定理是偏微分方程理论和依赖，当$g>0$和$g\in C^{1,1}(N)$，对（一）山路建设的解决方案，非齐次的艾伦-卡恩方程和（ii）的正则性结果所产生的Morse指数有界，能量有界，序列的解决方案（非齐次）艾伦-卡恩方程的积分varifolds。非负Lipschitz $g$的情况下，通过近似，根据我们建立的估计。
2021-02-18 math.AP math.DG
Monotone Quantities for $p$-Harmonic functions and the Sharp $p$-Penrose inequality
本文在带极小边界的渐近平坦三维流形上建立 $p$-调和函数的单调量，并据此推出联系 ADM 质量与边界 $p$-容量的尖锐 $p$-Penrose 不等式。
2024-01-19 math-ph math.CA math.DG
Area-stationary surfaces in the Heisenberg group H^1
我们用变分的方法引入了海森堡群H ^1中曲面的中曲率的概念，并赋予了它的卡诺-卡拉西奥多里距离。通过分析面积的一阶变分，我们将面积上的C^2平稳曲面刻画为中曲率零（或在保体积条件下为常数）且特征曲线与奇异曲线正交的曲面。此外，对于包围给定区域的保体积面积平稳曲面，得到了一个与面积、中曲率和体积有关的Minkowski型公式.由于面积平稳曲面的特征，我们改进了以前的伯恩斯坦型定理，以便描述H^1中xy平面上的整个面积平稳图。校准参数表明，这些图是全球面积最小化。最后，利用已知的奇异集的描述、面积平稳曲面的特征和常中曲率曲面的规则性质，证明了我们的主要结果，其中我们将H^1中的保体积面积平稳曲面分类为非空奇异集.特别地，我们在欧几里得空间中推导出亚历山德罗夫唯一性定理的对应定理：在体积约束下，H^1区域平稳的任何紧致连通C^2曲面必须与旋转对称球面全等，该旋转对称球面是连接两点的所有曲率相同的测地线的并集。作为结果，我们解决了H^1中的等周问题，假设解是C^2光滑的。
2006-04-08 math.DG math.MG
The rigidity of eigenfunctions' gradient estimates
本文证明了在非负Ricci曲率紧致黎曼流形上，若Neumann或Dirichlet特征函数的Li-Yau型梯度估计在非临界点成立，则流形等距于低维流形与圆或线段的乘积。
2024-11-28 math.AP math.DG math.SP
Partial regularity at the first singular time for hypersurfaces evolving by mean curvature
本文研究了$(0, t_0)$上$\mathbb{R}^{n+1}$的某个开子集中光滑的、适当浸入的超曲面按中曲率演化.我们证明了在某些时空区域$B_R(y)\times (0, t_0)$中这些超曲面的第二基本形式的$p$ -可积性和$p\ge 2$-可积性意味着第一奇异集的$\mathcal{H}^{n+2-p}$ -测度在$B_R(y)$中为零。对于$p=2$，这是由Han和Sun独立建立的。我们的结果进一步推广了Xu，Ye和Zhao以及Le和Sesum以前对$p\ge n+2$的工作，在这种情况下奇异集被证明是空的.利用Ilmanen的一个定理，证明了当初始曲面有有限亏格时，$p=2$和$n=2\,$满足可积性条件。因此，在这种情况下，第一奇异集具有零$\mathcal{H}^2$ -测度。这是Brakke的主要正则性定理对于曲面的特殊情况的结论，但导出时不必施加面积连续性和单位密度假设。它遵循最近的工作头和Huisken和Sinestrari的流动封闭，$k$凸超曲面，即超曲面的总和最小的$k$主曲率是积极的，我们的可积性准则举行与指数$p=n+3-k-α$所有小$α>0$只要$1\le k\le n-1$。因此，这种解决方案的第一个奇异集是最$(k-1)$维，这是一个最佳的估计，鉴于一些明确的例子。
2011-06-10 math.AP math.DG
Self-dual metrics and twenty-eight bitangents
我们考虑具有正数量曲率的3CP ^2上的自对偶度量，它允许一个非平凡的Killing场，但与LeBrun度量不是共形等距的。首先，我们确定了这种自对偶度量的扭量空间的定义方程。接下来，我们证明了相反地，由方程定义的复三重总是成为3CP ^2上的上述类型的自对偶度量的扭量空间。作为推论，我们确定了这些自对偶度量的模空间的整体结构，即我们证明了模空间是非空的并且同构于R^3/G，其中G是R^3的具有一维固定轨迹的对合。结合LeBrun的工作，解决了具有正数量曲率且Killing场为非平凡的3CP ^2上自对偶度量的模问题.在我们的证明中，一个经典的结果，在代数几何中，一个光滑的平面四次线总是有二十八个双切线发挥了关键作用。
2006-04-19 math.AG math.DG
Groups with torsion, bordism and rho-invariants
设G是一个离散群，M是一个m>3维的闭自旋流形，其中pi_1（M）=G.我们假设M容许一个正数量曲率的黎曼度量。讨论了如何利用M上Dirac算子的L ~ 2-rho不变量和离域eta不变量来获得正数量曲率度量空间的信息.特别地，我们证明了：如果G包含挠且M是3 mod 4同余的，则M容许无穷多个不同的具有正数量曲率的协边度量类.我们表明，这是真的，甚至到双同态。如果G具有某些特殊性质，则我们得到关于正数量曲率的度量空间的"大小“的更精确的信息，并且这些结果也适用于维数等于1 mod 4的情况。例如，如果G包含一个奇阶中心元素，则正数量曲率度量的模空间有无穷多个分量，如果它不是空的。我们的一些不变量是由John Lott引入的离域eta-不变量。这些不变量定义的某些积分的收敛性是不明确的一般情况下，我们表明，实际上，存在的例子，这个积分绝对不收敛，从而回答了一个问题的洛特。我们还讨论了狄拉克算子的ρ不变量的可能值，并表明有一定的全球限制（提供的数量曲率是积极的）。
2007-02-21 math.DG math.GN
Kazdan-Warner Problem on Compact Riemann Surfaces with Smooth Boundary
本文研究了带光滑边界紧致黎曼曲面上的Kazdan-Warner问题，通过证明Brezis-Merle型方程的存在性结果并利用单值化定理的推广，证明了任意光滑函数可实现为高斯曲率或测地曲率函数。
2023-04-10 math.AP math.DG
Harmonic spinors and metrics of positive curvature via the Gromoll filtration and Toda brackets
我们在同伦群$π_{8j+1+*} Diff(D^6,\partial)$中构造了2阶非平凡元素，对于 * 同余1或2模8，这些元素通过“组装同态”（引起Gromoll过滤）检测，然后是$KO_*=Z/2$中的α不变。这些元素是通过$Diff(D^6,\partial)$和$Ω^7(PL_6/O_6)$之间的Morlet同伦等价以及$PL_6/O_6$中的Toda括号构造的。我们还构造了$π_* PL_m$中的2阶非平凡元素，对于每个m大于或等于6且 * 全等于1或2模8，这是由α不变式检测到的。作为结果，我们（a）得到了$π_* Diff(D^m,\partial)$中的2阶非平凡元，其中m大于或等于6，且 * + m同余0或1模8;（b）这些元在$π_* Diff(M)$中保持非平凡，其中M是相同维数m的闭自旋流形，且 * > 0;（c）它们非平凡地作用在这样一个M的正数量曲率度量空间的相应同伦群上;特别地，这些同伦群都是非平凡的。这同样适用于所有其他正曲率的非同态不变度量，如正截面曲率的度量空间，或正里奇曲率的度量空间，只要它们非空。进一步的后果是：（d）任何维数m大于或等于6的闭自旋流形允许具有调和旋量的度规;（e）对于素数2，不存在$(PL/O)_{(p)}$的奇-准素分裂的类似物;（f）对于除4的阶的任何$bP_{8j+4}$ -球面（其中j > 0），$π_0 Dif…
2018-08-29 math.AT math.DG math.GT
