A Freeness Theorem for RO(Z/2)-graded Cohomology
William C. Kronholm
本文证明了当系数Mackey函子为\underline{Z/2}时，一类Rep（Z/2）-复形（包括射影空间和Grassmann流形）的RO（Z/2）-分次上同调作为模在点的上同调上总是自由的.
In this paper it is shown that the RO(Z/2)-graded cohomology of a certain class of Rep(Z/2)-complexes, which includes projective spaces and Grassmann manifolds, is always free as a module over the cohomology of a point when the coefficient Mackey functor is \underline{Z/2}.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Let $C_2$ be the cyclic group of order two. We show that the $RO(C_2)$-graded Bredon cohomology of a finite Rep($C_2$)-complex is free as a module over the cohomology of a point when using coefficients in the constant Mackey functor $\underline{\mathbb{F}_2}$. This paper corrects some errors in Kronholm's proof of this freeness theorem. It also extends the freeness result to finite type complexes, those with finitely many cells of each fixed-set dimension. We give a counterexample showing the theorem does not hold for locally finite complexes.
Freeness of equivariant cohomology and mutants of compactified representations
我们调查推广的张-Skjelbred引理的积分系数。此外，我们构造了具有秩> 2环面作用的流形的例子，其等变上同调是挠自由的，但不是自由的。这回答了Allday的一个问题。我们构造的“突变体”是从紧化表示中获得的，并以一种至关重要的方式涉及Hopf丛。
Computations in $C_{pq}$-Bredon cohomology
本文计算了$C_{pq}$ -轨道的$RO(C_{pq})$ -分次上同调.我们推导出在所有情况下的Bredon上同调群是一个功能的不动点尺寸的潜在的虚拟表示。此外，当被认为是一个麦基函子时，几乎在所有情况下都有相同的独立性结果。这推广了Stong和Lewis早先对$C_p$群的计算。利用轨道上同调的计算证明了一个自由度定理。对于$C_p$群的类似结果已由Lewis证明。证明了某些复射影空间和复格拉斯曼空间满足自由度定理。
We compute the $RO(C_2)$-graded Bredon cohomology of certain families of real and complex $C_2$-equivariant Grassmannians.
On RO(G)-graded equivariant "ordinary" cohomology where G is a power of Z/2
我们计算了G=（Z/2）^n的Z/2中系数的“普通”上同调的完全RO（G）-分次系数。
In this paper, we calculate the $RO(G)$-graded coefficients of $H\underline{\mathbb{Z}}$, the Eilenberg-MacLane spectrum of constant Mackey functor for quaternion group $Q_8$.
A quotient criterion for syzygies in equivariant cohomology
设X是一个流形，其作用为环面T，使得所有各向同性群连通，并满足其他一些温和的假设。我们给出了实系数X的T-等变上同调是BT上的模的合的充要条件。结果表明，可能在将作用量的非自由部分爆破之后，这只取决于轨道空间X/T以及它按轨道类型的分层。我们的准则统一和推广了许多作者关于各类T-流形的等变上同调的自由性和无挠性的结果。
In this paper, we calculate $RO(C_2)$-graded cohomology of $C_2$-equivariant Eilenberg-Mac Lane spaces $K(\underline{Z/2}, n+σ)$ for $n\geq 0$. These can be used to give the relation between equivariant lambda algebra and equivariant Adams resolution and equivariant unstable Adams spectral sequence, which are defined in author`s dissertation.
The $RO(C_2)$-graded cohomology of $C_2$-surfaces in $\underline{\mathbb{Z}/2}$-coefficients
具有对合的曲面可以看作是$C_2$ -空间，其中$C_2$是二阶的循环群。利用Dugger给出的$C_2$ -曲面的分类，我们计算了作为点上同调模的所有常$\mathbb{Z}/2$系数$C_2$ -曲面的$RO(C_2)$ -分次Bredon上同调.我们表明，上同调只依赖于三个数值不变量在非自由的情况下，只有两个数值不变量在自由的情况下。
On the $RO(G)$-graded coefficients of dihedral equivariant cohomology
我们完全计算了普通等变上同调的$RO(G)$ -分次系数，其中$G$是素数$p>2$的$2p$阶二面体群，它既具有常数又具有Burnside环系数.作者首先证明了它的$p=3$，然后第二作者推广到任意$p$。这是第一个这样的计算非阿贝尔群。
We introduce a notion of freeness for $RO$-graded equivariant generalized homology theories, considering spaces or spectra $E$ such that the $R$-homology of $E$ splits as a wedge of the $R$-homology of induced virtual representation spheres. The full subcategory of these spectra is closed under all of the basic equivariant operations, and this greatly simplifies computation. Many examples of spectra and homology theories are included along the way. We refine this to a collection of spectra analogous to the pure and isotropic spectra considered by Hill--Hopkins--Ravenel. For these spectra, the …
Let $C_2$ denote the cyclic group of order two. Given a manifold with a $C_2$-action, we can consider its equivariant Bredon $RO(C_2)$-graded cohomology. In this paper, we develop a theory of fundamental classes for equivariant submanifolds in $RO(C_2)$-graded cohomology in constant $\mathbb{Z}/2$ coefficients. We show the cohomology of any $C_2$-surface is generated by fundamental classes, and these classes can be used to easily compute the ring structure. To define fundamental classes we are led to study the cohomology of Thom spaces of equivariant vector bundles. In general the cohomology o…
A structure theorem for $RO(C_2)$-graded Bredon cohomology
设$C_2$是二阶循环群.利用常数Mackey函子$\underline{\mathbb{F}_2}.$中的系数给出了$C_2$ -空间的$RO(C_2)$ -分次Bredon上同调的一个结构定理.我们证明了，作为点的上同调上的模，有限$C_2$ -CW复形的$RO(C_2)$ -分次上同调分解为两个基本部分的直和：点的上同调的移动副本和具有对跖作用的球体的上同调的移动副本。移位是通过对应于实际（即，非虚拟）$C_2$表示的$RO(C_2)$的元素进行的。这种分解提升到真正的$C_2$ -谱的分裂。
$RO(C_p \times C_p)$-graded cohomology of universal spaces and the coefficient ring
本研究计算了子群族相关等变通用与分类空间的$RO(C_p \times C_p)$分次Bredon上同调，得到含乘法结构的系数环显式描述，并将其应用于等变复射影空间Bredon上同调的上同调运算提升研究。
The RO(G)-Graded Serre Spectral Sequence
本文将Moerdijk和Svensson的Serre谱序列从Bredon上同调推广到有限群G的RO（G）-分次上同调.特别注意的情况G=Z/2的谱序列被用来计算某些投射丛和闭路空间的上同调。
The Green functor structure of $RO(D_{2p})$-graded cohomology of a point
本文计算了常系数下一点的 $RO(D_{2p})$-分次上同调及其 Green 函子结构，推广了 Kriz-Lu 的加性计算结果。
The $RO(C_3)$-graded Bredon cohomology of $C_3$-surfaces in $\underline{\mathbb{Z}/3}$-coefficients
本文借助等变手术分类，计算常值 $\mathbb{Z}/3$ 系数下所有 $C_3$-曲面的 $RO(C_3)$-分次 Bredon 上同调，并证明其可由少数拓扑不变量及手术构造确定。
The representation-ring-graded local cohomology spectral sequence for BPR<3>
本文的目的是研究<n>第一作者和Meier在1607.02332中证明的BPR对偶的计算结果，使它们在n=3的特殊情况下显式化。我们给一个明确的描述的行为的谱序列，与图片。
Equivariant local coefficients and the RO(G)-graded cohomology of classifying spaces
本论文由两个主要部分组成。在第二部分中，我们回顾了如何描述当地的系数，艾伦伯格介绍了在20世纪40年代导致谱序列的计算同调和上同调与当地的系数。然后，我们展示了如何构建新的等变类似物的RO（G）-分级Bredon同调和上同调的这些谱序列。最后，利用这些谱序列完成了一个实例计算，即利用等变Serre谱序列和复射影空间的等变上同调计算等变分类空间B_Cp O（2）的上同调.但是，要完成这个示例计算，我们需要知道复射影空间的上同调。这个计算是Gaunce Lewis在1988年的一篇论文中完成的，但它依赖于一个定理，而这个定理的证明是不正确的。我们花了本文的第一部分提供了一个正确的证明和总结刘易斯的文件的结果。
$RO(G)$-graded Bredon cohomology of Euclidean configuration spaces
本文研究了欧几里得配置空间的$RO(G)$-分级Bredon上同调，探讨了在不同条件下上同调的结构和环性质。
Massey products in graded Lie algebra cohomology
讨论了N-分次李代数上同调的Massey积。Witt代数$W$的正部分L_1就是一个主要的例子。考虑L_1关于降中心列的相伴分次代数m_0，证明了H*（m_0）是由一个上同调H^1（m_0）关于非平凡Massey积生成的.
The $RO(ΠB)$-graded $C_2$-equivariant ordinary cohomology of $B_{C_2} U(1)$
本文将 $B_{C_2}U(1)$ 的 $C_2$-等变 Bredon 上同调从 $RO(C_2)$ 分次推广到更大的 $RO(\Pi B)$ 分次，从而纳入万有丛 Euler 类等更自然的生成元。
The $\mathrm{RO}(G)$-Graded Cohomology of the Equivariant Classifying Space $B_G\mathrm{SU}(2)$
对于任意的素数或奇素数的乘积的$n$，我们计算了等变分类空间$B_{C_n}\mathrm{SU}(2)$的$\mathrm{RO}(C_n)$ -分次Bredon等变上同调的加法结构，对于$n=2$，我们也计算了它的乘法结构.特别是，作为一个代数上的上同调的一个点，我们表明，上同调的$B_{C_2}\mathrm{SU}(2)$是由两个元素产生的一个单一的关系：- 将$C_2$的符号表示写成$σ$，生成元是维度$4σ$中的元素$c$和维度$4+4σ$中的元素$C$，满足关系式$c^2 = ε^4 c + ξ^2 C$，其中$ε$和$ξ$是点的上同调的元素。在整个过程中，我们采取系数伯恩赛德环麦基函子$A$。使用的关键工具是$G$ -胞腔复合体的等变“偶维自由度”和“乘法比较”定理，这两个定理都由Lewis在[Lew 88]中证明，随后由Shulman在[Shu 10]中改进，并且Basu和Ghosh在[BG 16]中扩展了前一个定理。后一个定理使我们能够计算乘法结构的上同调$B_{C_2}\mathrm{SU}(2)$通过嵌入它在一个直和的上同调环的结构更容易理解。这两个定理都要求$G$ -细胞复合物的细胞以良好的顺序附着，并且我们工作中的重要一步是给出$B_{C_n}\mathrm{SU}(2)$令人满意的$C_n$ -细胞复合物结构。
A criterion for the existence of periodic points based on the eigenvalues of maps induced in cohomology
对于有理上同调同构于生成元为奇数维的分次外代数和所有元素为偶数次的分次代数的张量积的空间，基于上同调诱导的映射的特征值给出了周期点存在的一个判据.我们给出了一些自然的例子，这样的空间，并提供一些非平凡的。我们也给一个反例，要求在\cite{duan}有没有证据。
On the equivariant cohomology of rotation groups and Stiefel manifolds
本文计算了具有特殊对合的旋转群和Stiefel流形的$RO(\mathbb{Z}/2)$ -分次等变上同调。
Uniqueness of $A_\infty$-structures and Hochschild cohomology
本文研究了微分分次代数是否可以有多个$A_\infty$ -结构来扩充给定的微分分次代数结构.利用Hochschild上同调给出了这种$A_\infty$ -结构直到拟同构唯一的一个充分条件。然后，我们将这个条件扩展到Sagave的概念派生的$A_\infty$ -代数后，引入了一个概念的Hochschild上同调，适用于此。
Bialgebraic proof of the existence of cup-product in the cohomology of racks and quandles
我们用纯代数的方法得到了Rack和Quandle上同调的分次交换代数结构。
We compute the equivariant cohomology of complex projective spaces associated to finite-dimensional representations of $C_2$, using ordinary cohomology graded on representations of the fundamental groupoid, with coefficients in the Burnside ring Mackey functor. This extension of the $RO(C_2)$-graded theory allows for the definition of Euler classes, which are used as generators of the cohomology of the projective spaces. As an application, we give an equivariant version of Bezout's theorem.
Generalized Euler classes, differential forms and commutative DGAs
在$\mathbb Q$上的交换微分分次代数的背景下，我们证明了“奇球纤维化”的迭代产生了一个“全空间“的交换微分分次代数，只有奇数度上同调。然后证明了对于这样一个交换微分分次代数，对它的任何一个上同调维数为有限的“纤维”的“纤维化”，上同调的诱导映射都是内射的。
Local cohomology and the multi-graded regularity of FI$^m$-modules
我们发展了FI $^m$ -模的局部上同调理论，并证明了它在许多方面模仿了多项式环上的多分次模的经典理论。特别地，我们利用局部上同调理论定义了FI $^m$ -模的一个不变量，它与Maclagan和Smith定义的Cox环上的多分次模的一个不变量非常相似.然后，它表明，这个不变量的行为几乎相同的不变量的麦克拉根和史密斯。
$RO(C_2\times C_2)$-graded cohomology ring of a point and applications
本文描述了点的$RO(C_2\times \Sigma_2)$-分次上同调环的主要性质，并将其应用于计算实数域Bredon动机上同调给出的动机类子环以及$E_{\Sigma_2}C_2$的$RO(C_2\times \Sigma_2)$-分次上同调环，推广了Voevodsky关于实数域动机上同调与点的$RO(C_2)$-分次上同调正锥的等同。
Bigraded cohomology of Z/2-equivariant Grassmannians
在G=Z/2的情形下，确定了实无限等变Grassmannian算子的RO（G）-分次Eilenberg-MacLane上同调.简要讨论了二次丛与动机特征类的可能联系。
Spectral sequences for Hochschild cohomology and graded centers of derived categories
一个微分分次代数或微分分次范畴的Hochschild上同调，允许一个自然映射到它的同调范畴的分次中心：特征同态。我们把它解释为谱序列中的边同态。这给出了一个概念上的解释失败的特征同态是内射或满射，一般。为了说明这一点，我们讨论了对偶数上的模，代数曲线上的相干层，以及与自由闭路空间和弦拓扑有关的例子。
Graded-Tannakian categories of motives
给定一个刚性张量三角范畴和一个向量空间值同调函子，且Künneth同构成立，我们构造了一个泛分次Tannakian范畴，给定的同调函子通过它分解.我们用这个（无条件）构建分级Tannakian类别的纯动机相关的一个固定的Weil上同调理论，与纤维函子实现给定的上同调理论。对于$\ell$ -adic上同调和有限域上代数的基域，这个范畴是Tannakian的.在这种情况下，我们得到特别motivic伽罗瓦群自然作用于$\ell$ -adic上同调，而不假设任何标准的代数。我们表明，这些分次Tannakian范畴是等价的Grothendieck的范畴的纯动机，如果标准猜想D成立。
Revisiting the Nandakumar-Ramana Rao Conjecture
该研究采用表示环分次的Bredon上同调方法，以位形空间的$RO(C_p)$分次上同调为单点对应上同调的模，重新证明了素数情形的广义Nandakumar-Ramana Rao猜想。
Cyclic theory for commutative differential graded algebras and s-cohomology
本文考虑流形范畴$hH^\ast, cH^\ast, sH^\ast,$上的三个同伦函子，并将它们与连通交换微分分次代数范畴$HH^\ast, CH^\ast, SH^\ast.$上的其他三个同伦函子平行，如果$P$是光滑1-连通流形，且代数是$P$的de-Rham代数，则这两对函子一致，但一般不一致.函子$ HH^\ast $和$CH^\ast$也可以分别导出为Hochschild。交换微分分次代数的循环同调，但这里不是这样介绍它们的。第三个$SH^\ast ,$虽然是从负循环同调中得到的启发，但不能与任何代数的任何种类的循环同调相一致。函子$sH^\ast$可能在拓扑学中扮演某种角色。构造函子$HH^\ast, CH^\ast $和$SH^\ast ,$的重要工具除了循环理论所建议的线性代数外，还有本文所描述的Sullivan极小模型定理和“自由环”构造。
In this paper, we investigate certain graded-commutative rings which are related to the reciprocal plane compactification of the coordinate ring of a complement of a hyperplane arrangement. We give a presentation of these rings by generators and defining relations. This presentation was used by Holler and I. Kriz to calculate the $\mathbb{Z}$-graded coefficients of localizations of ordinary $RO((\mathbb{Z}/p)^n)$-graded equivariant cohomology at a given set of representation spheres, and also more recently by the author in a generalization to the case of an arbitrary finite group. We also give…
Cohomology Rings of Precubical Sets
本文的目的是在有单位环中定义系数为准三次集的分次上同调群上的环的结构。
Cohomology of Coxeter groups with group ring coefficients: II
对于任何Coxeter群W，我们定义H^*（W;ZW）通过W-子模的滤子，然后计算相关的分次项。更一般地说，如果U是CW复形，W作为其上的反射群，我们计算H_*（U）的相关分次项，并且在作用是真的和余紧的情况下，计算H^*_c（U）的相关分次项。
Vector fields, torus actions and equivariant cohomology
第一作者和David Lieberman的一个旧结果说，如果紧致Kaehler流形X允许一个全纯向量场V至少有一个零点，则X的Dolbeault上同调代数H^*（X，Ω^*）与某个滤分次环的双分次代数同构。如果V有孤立的零点，这是与由零点（V）定义的方案Z的坐标环的某个过滤相关联的分次代数。本文的目的是证明如果V是由环面作用生成的，那么等变的Dolbeault上同调可以用来给出上述结果的直接几何证明。特别有趣的是当零（V）具有正维数时得到的图像。
Duality for graded Lie algebras
本文研究了分层李代数的上同调与扭曲同调的对偶性，并展示了其在导出范畴中的Calabi-Yau结构。
Products in Generalized Differential Cohomology
在本文中，它表明，乘法上同调理论，合理甚至-一个技术条件，往往是满意的-霍普金斯-辛格建设的广义微分上同调有一个单位，分级交换乘法结构。为此，一个明确的整合和微分上同调理论对也发展。
Ends and end cohomology
本文阐述端的拓扑理论并证明真映射穷竭存在性等新推广，定义约化端上同调，证明计算流形端和约化端上同调的King定理版本，给出Freudenthal拓扑群端数定理的完整证明及不依赖超限归纳的Nöbeling连续函数模自由性定理证明。
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